4. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego - M_R_W16_M2 Ciąg arytmetyczny i geometryczny

R48K8SSkvAPdC

R1VpyhkvHnoXD1

Obraz przedstawia dojrzałego mężczyznę w jasnym habicie, stojącego przy biurku. Lewą ręką podtrzymuje otwartą książkę kartkami w stronę obserwatora, w prawej dłoni trzyma cyrkiel, który opiera na kartce leżącej na dwóch zamkniętych książkach na biurku. Obok książek znajduje się także linijka i pióro. — Luigi Guido Grandi (1671 - 1742)
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Włoski matematyk, filozof, mnich Luigi Guido Grandi opisał w $1703$ roku dziwny ciąg geometryczny, który nazywany jest dzisiaj szeregiem Grandiego.

Pierwszy wyraz ciągu to $1$ , a iloraz to $(- 1)$ .

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . .

Postawił on pytanie – ile wynosi suma wyrazów tego ciągu.

Okazuje się, że można pogrupować wyrazy ciągu po dwa i wtedy suma będzie równa
$0$ .

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . = 0

Można też pogrupować nieco inaczej i wtedy suma będzie równa $1$ .

1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + . . . = 1 + 0 + 0 + 0 + . . . = 1

Stosując jeszcze inne przekształcenia można uzasadnić, że suma ta wynosi $\frac{1}{2}$ .
Jak myślisz – dlaczego otrzymujemy tak różne wyniki?

W tym materiale też będziemy obliczać sumy wyrazów ciągów geometrycznych. Jednak będą to tylko sumy skończonej liczby wyrazów. Zatem sposoby obliczania tych sum nie będą nastręczały takich problemów, z jakimi zmagał się Grandi. Sumy dadzą się określić jednoznacznie, co więcej poznamy wzór na ich wyznaczanie.

Twoje cele

Wyprowadzisz wzór na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Obliczysz sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Wyznaczysz wielkości związane z ciągiem geometrycznym o znanej sumie częściowej.
Zastosujesz wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego w zadaniach z kontekstem realistycznym.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ o ilorazie $q$ . Chcemy znaleźć wzór na sumę $S_{n}$ kolejnych $n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

W tym celu najpierw przypomnimy sobie wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Wzór ogólny ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o wyrazie pierwszym $a_{1}$ i ilorazie $q$ ma postać

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Wyprowadzając wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu, rozpatrzymy dwa przypadki.

1 przypadek: $q = 1$ .
Jeśli iloraz ciągu jest równy $1$ , to ciąg jest stały. Każdy jego wyraz jest równy wyrazowi pierwszemu. Zatem:
$S_{n} = n \cdot a_{1}$
2 przypadek: $q \neq 1$
Wypiszemy kilka kolejnych sum początkowych wyrazów ciągu, korzystając z przypomnianego wyżej wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu (inaczej wzór ogólny ciągu geometrycznego).
$S_{1} = a_{1}$
$S_{2} = a_{1} + a_{1} q$
$S_{3} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2}$
$S_{4} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3}$
$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$
$S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + . . . + a_{1} q^{n - 2} + a_{1} q^{n - 1}$
Mnożymy teraz obie strony ostatniej z zapisanych równości przez $(- q)$ .
$- q S_{n} = - a_{1} q - a_{1} q^{2} - a_{1} q^{3} - a_{1} q^{4} - . . . - a_{1} q^{n - 1} - a_{1} q^{n}$
Dodajemy stronami dwie ostatnie zapisane równości.
$S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + . . . + a_{1} q^{n - 2} + a_{1} q^{n - 1} + - q S_{n} = - a_{1} q - a_{1} q^{2} - a_{1} q^{3} - a_{1} q^{4} - . . . - a_{1} q^{n - 1} - a_{1} q^{n}$
$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$
$S_{n} (1 - q) = a_{1} (1 - q^{n})$
Wiemy, że $q \neq 1$ , więc można obie strony równości podzielić przez $1 - q$ .
$S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$
Ujmijmy teraz powyższe rozważania w postaci odpowiedniego twierdzenia.

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Suma

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o ilorazie $q$ wyraża się wzorem:

$S_{n} = n \cdot a_{1}$ , gdy $q = 1$ ,

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , gdy $q \neq 1$ .

Przykład 1

Obliczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = - 9$ i $q = \frac{2}{3}$ .

Stosujemy wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy $q \neq 1$ .

$S_{4} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}$

$S_{4} = (- 9) \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{4}}{1 - \frac{2}{3}}$

$S_{4} = (- 9) \cdot \frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}}$

$S_{4} = - \frac{65}{3} = - 21 \frac{2}{3}$

Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego jest większy od $1$ , to warto korzystać z podanego wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, w zmodyfikowanej, równoważnej postaci.

Mianowicie, gdy pomnożymy licznik i mianownik ułamka występującego we wzorze przez $(- 1)$ , otrzymamy:

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ .

Przykład 2

Obliczymy sumę pięciu kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 4$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze zmodyfikowanego wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_{5} = 4 \cdot \frac{2^{5} - 1}{2 - 1}$

$S_{5} = 124$ .

Nie zawsze ciąg geometryczny jest bezpośrednio opisany za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu. W niektórych przypadkach, trzeba te wielkości najpierw określić, aby następnie obliczyć sumę jego początkowych wyrazów.

Przykład 3

Dany jest ciąg geometryczny nieskończony $(c_{n})$ taki, że $c_{n} = \frac{1}{4} \cdot 5^{n - 1}$ dla $n \geq 1$ . Wyznaczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu.

1 sposób:
Wypisujemy cztery początkowe wyrazy ciągu.
$c_{1} = \frac{1}{4}$
$c_{2} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
$c_{3} = \frac{1}{4} \cdot 5^{2} = \frac{25}{4}$
$c_{4} = \frac{1}{4} \cdot 5^{3} = \frac{125}{4}$
Dodajemy otrzymane liczby.
$c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} = \frac{1 + 5 + 25 + 125}{4} = \frac{156}{4} = 39$

2 sposób:
Wyznaczamy pierwszy i drugi wyraz ciągu i określamy iloraz ciągu.
$c_{1} = \frac{1}{4}$
$c_{2} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
$q = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}} = 5$
Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
$S_{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5^{4} - 1}{5 - 1}$
$S_{4} = \frac{624}{16} = 39$

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same wyniki. Jeśli do dodania jest mała liczba wyrazów ciągu, można stosować oba sposoby. Natomiast, gdy ich liczba jest duża, znacznie wygodniej posłużyć się wzorem.

Przykład 4

Obliczymy sumę $10$ początkowych, kolejnych wyrazów ciągu $1$ , $3$ , $9$ , $27$ , $81$ , $. . .$

Tym razem ciąg określony jest za pomocą jego wyrazów.

Ustalamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu.

$a_{1} = 1$

$q = 3$

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_{10} = 1 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3 - 1}$

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{2} = 29524$ .

W następnych przykładach pokażemy, jak znając sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczyć niektóre z wielkości związanych z danym ciągiem.

Przykład 5

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy $5$ , a iloraz ciągu $2$ . Ustalimy, ile początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać $20475$ .

Oznaczmy przez $n$ szukaną liczbę wyrazów.

Liczba $20475$ to suma $n$ kolejnych wyrazów ciągu, zatem

$5 \cdot \frac{2^{n} - 1}{2 - 1} = 20475 | : 5$

$2^{n} - 1 = 4095$

$2^{n} = 4096$

$n = 12$

Odpowiedź:

Należy dodać $12$ wyrazów tego ciągu.

Przykład 6

Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równa $\frac{63}{80}$ . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu, jeżeli iloraz ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ .

Podstawiamy dane do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

$a_{1} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{6}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{63}{80}$

Wykonujemy wskazane działania.

$a_{1} \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{80}$

$a_{1} \cdot \frac{126}{64} = \frac{63}{80} : \frac{126}{64}$

$a_{1} = \frac{2}{5}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Przykład 7

Suma $n$ początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznegoSuma $n$ początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznego $(b_{n})$ wyraża się wzorem $S_{n} = 3^{n} - 1$ . Obliczymy $b_{3} - b_{1}$ .

Pierwszy wyraz ciągu jest równy $S_{1}$ . Zatem:

$b_{1} = S_{1} = 3 - 1 = 2$

Zauważmy, że

$S_{3} = b_{1} + b_{2} + b_{3} = S_{2} + b_{3}$

Wynika z tego, że

$b_{3} = S_{3} - S_{2}$

$b_{3} = 3^{3} - 1 - (3^{2} - 1) = 18$

Wyznaczamy szukaną różnicę.

$b_{3} - b_{1} = 18 - 2 = 16$

Odpowiedź:

Różnica $b_{3} - b_{1}$ jest równa $16$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady, a następnie porównaj z prezentowanymi rozwiązaniami.

RVmXAXVx7ZyS1

Polecenie 2

Znajdź sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ wiedząc, że $a_{1} = 64$ i $q = \frac{1}{4}$ .

$S_{5} = 64 \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{5}}{1 - \frac{1}{4}}$

$S_{5} = \frac{64 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1023}{1024} = 85, 25$

Szukana suma jest równa $85, 25$ .

Zbierzmy w tabeli wzory związane z ciągiem geometrycznym.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg $(a_{n})$ , jest określony dla $n \geq 1$ i $n \in ℕ$ .

Ciąg geometryczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$	$a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$	$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

W pierwszym przykładzie pokażemy, że znając sumę kilku wyrazów ciągu geometrycznego, pierwszy wyraz i iloraz ciągu, można określić ile wyrazów dodano.

Przykład 8

Dany jest ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny $(c_{n})$ taki, że $c_{1} = 4$ . Iloraz ciągu jest równy $3$ . Dodano kilka początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu i otrzymano $484$ . Ile wyrazów dodano?

Oznaczmy:
$n$ – liczba wyrazów, które dodano ( $n \in ℕ$ , $n \geq 1$ ),
$q$ – iloraz ciągu.

Podstawiamy dane wynikające z treści zadania do wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_{n} = c_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

$484 = 4 \cdot \frac{1 - 3^{n}}{1 - 3}$

$484 = 4 \cdot \frac{1 - 3^{n}}{- 2}$

$484 = 2 \cdot (- 1 + 3^{n})$

Dzielimy obie strony równania przez $2$ i wyznaczamy $n$ .

$242 + 1 = 3^{n}$

$3^{n} = 243$

$n = 5$

Odpowiedź:

Dodano pięć wyrazów ciągu.

Zauważ, że w rozpatrywanym wyżej przykładzie, można było znaleźć kolejne wyrazy ciągu i dodawać je tak długo, aż otrzymamy $484$ . Jednak w przypadku dużej liczby wyrazów sumy, taka procedura jest pracochłonna i znacznie prościej jest korzystać z odpowiednich wzorów.

Teraz podobny, ale trudniejszy przykład, w którym teoretycznie też, moglibyśmy ograniczyć się do znalezienia kolejnych wyrazów ciągu („od tyłu”). Ale nie wiemy ile operacji dzielenia i dodawania musielibyśmy wykonać, więc ponownie skorzystamy z przydatnych wzorów.

Przykład 9

Obliczymy pierwszy wyraz i liczbę $n$ wyrazów ciągu geometrycznego $(b_{n})$ , w którym $b_{n} = 8748$ , $S_{n} = 6564$ i iloraz ciągu $q = (- 3)$ .

Korzystamy ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego i ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego – otrzymujemy układ równań.

$\{\begin{cases} b_{1} \cdot {(- 3)}^{n - 1} = 8748 \\ b_{1} \cdot \frac{{(- 3)}^{n} - 1}{- 3 - 1} = 6564 \end{cases}$

Obie strony pierwszego równania mnożymy przez $(- 3)$ , a obie strony drugiego równania przez $(- 4)$ .

$\{\begin{cases} b_{1} \cdot {(- 3)}^{n} = - 26244 \\ b_{1} \cdot [{(- 3)}^{n} - 1] = - 26256 \end{cases}$

Z pierwszego równania wyznaczamy $b_{1}$ i wstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} b_{1} = \frac{- 26244}{{(- 3)}^{n}} \\ \frac{- 26244}{{(- 3)}^{n}} \cdot [{(- 3)}^{n} - 1] = - 26256 \end{cases}$

Przekształcamy drugie równanie i wyznaczamy $n$ .

$- 26244 \cdot {(- 3)}^{n} = - 26256 \cdot {(- 3)}^{n} - 26244$

$12 \cdot {(- 3)}^{n} = - 26244$

${(- 3)}^{n} = {(- 3)}^{7}$

$n = 7$

Znamy już liczbę wyrazów, które dodawaliśmy – liczba $7$ jest liczbą naturalną dodatnią, więc spełnia warunki zadania. Wyznaczymy pierwszy wyraz ciągu.

$b_{1} = \frac{- 26244}{{(- 3)}^{7}} = 12$

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu jest równy $12$ . Dodawano $7$ wyrazów tego ciągu.

W kolejnym przykładzie na podstawie znanych wyrazów ciągu, znajdziemy sumę ciągu.

Przykład 10

Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego $(c_{n})$ jest równy $10000$ , a siódmy jest równy $62500$ . Wyznaczymy sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Oznaczmy:
$c_{5}$ – piąty wyraz rozważanego ciągu,
$c_{7}$ – siódmy wyraz ciągu,
$S_{5}$ – suma pierwszych pięciu wyrazów ciągu.

Zauważmy, że $c_{7} = c_{5} \cdot q^{2}$ . Zatem:

$62500 = 10000 \cdot q^{2}$

$q^{2} = 6, 25$

$q = 2, 5$ lub $q = - 2, 5$

Ponieważ ciąg ma być rosnący, zatem $q = 2, 5$ .

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$c_{5} = c_{1} \cdot q^{4}$

$10000 = c_{1} \cdot {(\frac{5}{2})}^{4}$

$c_{1} = 256$

Obliczamy sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu.

$S_{5} = 256 \cdot \frac{1 - {(\frac{5}{2})}^{5}}{1 - \frac{5}{2}}$

$S_{5} = 256 \cdot \frac{\frac{3093}{32}}{\frac{3}{2}}$

$S_{5} = 16496$

Odpowiedź:

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu jest równa $16496$ .

Pokażemy, jak znając dwie sumy kilku wyrazów ciągu geometrycznego, można znaleźć wzór ogólny tego ciągu i jego wyrazy.

Przykład 11

Dany jest malejący ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny $(a_{n})$ sześciowyrazowy. Suma trzech pierwszych wyrazów jest równa $168$ , a suma trzech końcowych wyrazów jest ośmiokrotnie mniejsza. Znajdziemy wyraz ogólny ciągu i obliczymy wszystkie wyrazy tego ciągu.

Oznaczmy:
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{6}$ – kolejne wyrazy ciągu.

Na podstawie treści zadnia możemy zapiać, że

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 168$ i $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 168 : 8 = 21$

Wynika stąd, że $S_{6} = 168 + 21 = 189$ .

Teraz możemy zapisać odpowiedni układ równań, korzystając ze wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

Ponieważ ciąg jest malejący, zatem $q \neq 1$ .

$a_{1} \cdot \frac{1 - q^{3}}{1 - q} = 168$ i $a_{1} \cdot \frac{1 - q^{6}}{1 - q} = 189$

Dzielimy stronami drugie z otrzymanych równań przez pierwsze.

$a_{1} \cdot \frac{1 - q^{6}}{1 - q} : (a_{1} \cdot \frac{1 - q^{3}}{1 - q}) = 189 : 168$

$\frac{a_{1} (1 - q^{6})}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{a_{1} (1 - q^{3})} = \frac{189}{168}$

Skracamy ułamki i korzystamy z tego, że $1 - q^{6} = (1 - q^{3}) (1 + q^{3})$ .

$1 + q^{3} = \frac{9}{8} \Rightarrow q = \frac{1}{2}$

Znajdujemy teraz pierwszy wyraz ciągu.

$a_{1} \cdot \frac{1 - \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{2}} = 168$

$a_{1} = 168 \cdot \frac{4}{7} = 96$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu: $a_{n} = 96 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ , gdy $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Kolejne wyrazy ciągu to: $96$ , $48$ , $24$ , $12$ , $6$ , $3$ .

Równanie, które teraz rozwiążemy, może wydawać się dość trudne. Jednak rozumowanie, które przeprowadzimy, będzie podobne do tych, stosowanych w poprzednich przykładach.

Przykład 12

Rozwiążemy równanie wiedząc, że lewa strona równania jest sumą kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 + \dots + x = 255, 75$

Na podstawie treści zadania wnioskujemy, że liczby

$\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1 \dots$

są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy $\frac{1}{4}$ , a iloraz

$q = \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{4}{2} = 2$

Liczba $255, 75$ jest sumą kolejnych wyrazów tego ciągu. Ustalimy ilu.

Zapisujemy lewą stronę równania, korzystając ze wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} = 255, 75$

$2^{n} - 1 = 1023$

$2^{n} = 1024$

$n = 10$

Obliczyliśmy, że lewa strona równania jest sumą dziesięciu wyrazów ciągu. Zatem $x$ to dziesiąty wyraz tego ciągu. Czyli

$x = \frac{1}{4} \cdot 2^{10 - 1} = \frac{512}{4} = 128$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $128$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. Zwróć uwagę na zastosowania wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego w obliczeniach praktycznych.

R9rBGbSFAbChx

Polecenie 4

Danych jest sześć trójkątów o wspólnej podstawie długości $2$ . Wysokość pierwszego, najmniejszego z trójkątów jest równa $1$ . Wysokość drugiego trójkąta jest równa $2$ , wysokość każdego kolejnego trójkąta jest dwukrotnie większa, niż wysokość poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól tych trójkątów.

Pola trójkątów: $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego sześciowyrazowego, o pierwszym wyrazie $1$ i ilorazie $2$ .

Obliczamy sumę tych wyrazów.

$S = 1 \cdot \frac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 63$

Odpowiedź:

Suma pól trójkątów jest równa $63$ .

R12wIZrgwYhBK1

Ćwiczenie 1

RZsw5zCGgazDQ1

Ćwiczenie 2

RvDCkGK6qDTJn2

Ćwiczenie 3

W ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz jest równy a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, natomiast iloraz jest równy q.
Połącz w pary wielkości określające ciąg i sumę S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego początkowych kolejnych jedenastu wyrazów ciągu. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, przecinek, q, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście, 2. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 3. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jedenaście, 4. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, przecinek, q, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście, 2. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 3. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jedenaście, 4. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, przecinek, q, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście, 2. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 3. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jedenaście, 4. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, przecinek, q, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście, 2. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 3. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jedenaście, 4. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden

RErHlx0WDmr092

Ćwiczenie 4

R12FEA4L5ulu42

Ćwiczenie 5

R1BBA9hPtNvXl2

Ćwiczenie 6

Dostępne opcje do wyboru: jeden, jeden, początek ułamka, sześćset dwadzieścia cztery, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, cztery, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, pięć, początek ułamka, jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka. Polecenie: W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy cztery, iloraz początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, a suma n początkowych wyrazów wynosi cztery początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka. Uzupełnij obliczenia liczby n dodanych wyrazów. Przeciągnij odpowiednie liczby naturalne lub ułamki zwykłe nieskracalne. Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego zapisujemy:
cztery, razy, nawias kwadratowy nawias luka do uzupełnienia minus, nawias początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, n, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, podzielić na, nawias jeden, minus luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, cztery początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka
Wykonujemy obliczenia w mianowniku ułamka.
cztery, razy, nawias kwadratowy nawias luka do uzupełnienia minus, nawias początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, n, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, podzielić na, nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, cztery początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka
Po lewej stronie równania wykonujemy dzielenie.
nawias kwadratowy, jeden, minus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu kwadratowego, razy luka do uzupełnienia równa się, cztery początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka

Dzielimy obie strony równania przez pięć.
jeden, minus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, równa się luka do uzupełnienia
Od obu stron równania odejmujemy jeden.
nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, równa się luka do uzupełnienia
Wyznaczamy n.
n, równa się luka do uzupełnienia .

Ćwiczenie 7

Wyznacz sumę wszystkich potęg liczby $4$ o wykładnikach całkowitych większych niż $- 4$ , ale mniejszych niż $5$ .

Należy wyznaczyć sumę

$4^{- 3} + 4^{- 2} + . . . + 4^{3} + 4^{4}$

Jest to suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} = 4^{- 3}$ , $q = 4$ , $n = 8$ .

$S_{8} = 4^{- 3} \cdot \frac{4^{8} - 1}{4 - 1}$

$S_{8} = \frac{1}{64} \cdot \frac{65535}{3}$

$S_{8} = \frac{65535}{192} = \frac{21845}{64} = 341 \frac{21}{64}$

Poszukiwana suma jest równa $341 \frac{21}{64}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz, ile wyrazów ma suma $27 + 81 + 243 + . . . + 3^{20}$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

W rozpatrywanym ciągu geometrycznym $a_{1} = 27$ , $q = 3$ , $a_{n} = 3^{20}$

Z własności ciągu geometrycznego:

$a_{n} = 27 \cdot 3^{n - 1}$

$3^{20} = 3^{3} \cdot 3^{n - 1}$

$3^{20} = 3^{n + 2}$

$20 = n + 2$

$n = 18$

Suma ma $18$ wyrazów.

R1YmnvOMWS29W1

Ćwiczenie 9

R1K75fx7OC1S11

Ćwiczenie 10

RSX70rI6OkFs52

Ćwiczenie 11

R15r8TXoM7WFL2

Ćwiczenie 12

Dostępne opcje do wyboru: sześćdziesiąt cztery, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, sześćdziesiąt dwa, razy, nawias dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa zamknięcie nawiasu, dziesięć, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, cztery. Polecenie: Uzupełnij obliczenia prowadzące do wyznaczenia sumy minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, cztery, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, osiem, minus, wielokropek, plus, sześćdziesiąt cztery kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Przeciągnij odpowiednie liczby. Pierwszy wyraz ciągu nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu to a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się luka do uzupełnienia .
Iloraz ciągu to q, równa się, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, podzielić na luka do uzupełnienia równa się luka do uzupełnienia
Obliczamy, ile wyrazów ciągu mamy dodać.
a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy

nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego
luka do uzupełnienia równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego
n, równa się luka do uzupełnienia
Obliczamy sumę na podstawie wzoru na sumę n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias kwadratowy, jeden, minus, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu kwadratowego, podzielić na nawias luka do uzupełnienia nawias, zamknięcie nawiasu
S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się luka do uzupełnienia

RijqOiISzeGJj2

Ćwiczenie 13

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest równa S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, gdy n, większy równy, jeden i n, należy do, liczby naturalne. Połącz w pary sumę i odpowiadający jej wzór ciągu. S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, zero przecinek dwa pięć Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, razy, dwa indeks górny, n, minus, trzy, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, trzy, koniec indeksu górnego, minus, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego

R1EIbH7Z8H4MS2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ sześciowyrazowym suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest trzy razy mniejsza od sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych. Suma wyrazów stojących na miejscach parzystych jest równa $546$ . Znajdź wzór na $n$ –ty wyraz ciągu.

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu,
$S_{p}$ – suma wyrazów stojących na miejscach parzystych,
$S_{n p}$ – suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych.

Wyrazy stojące na miejscach parzystych: $a_{2}$ , $a_{4}$ , $a_{6}$ tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny o ilorazie $q^{2}$ i pierwszym wyrazie $a_{2} = a_{1} q$ .

Zatem:

$S_{p} = a_{1} q \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1} = 546$

Wyrazy stojące na miejscach nieparzystych: $a_{1}$ , $a_{3}$ , $a_{5}$ tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny o ilorazie $q^{2}$ i pierwszym wyrazie $a_{1}$ .

Zatem:

$S_{n p} = a_{1} \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1} = \frac{546}{3}$

Dzielimy stronami pierwsze z zapisanych równań przez drugie.

$(a_{1} q \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1}) : (a_{1} \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1}) = 546 : 182$

$q = 3$

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$\frac{3^{6} - 1}{3^{2} - 1} \cdot a_{1} = 182$

$a_{1} = 2$

Wzór na $n$ –ty wyraz ciągu: $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ .

Ćwiczenie 16

W rosnącym ciągu geometrycznym suma pierwszych czterech wyrazów jest równa $85$ , a suma następnych czterech jest równa $21760$ . Wyznacz iloraz ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Zapiszemy pierwszą z sum określonych w treści zadania.

$a \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q} = 85$

Zauważmy teraz, że wyraz piąty, szósty, siódmy i ósmy tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest $a q^{4}$ . Wyznaczymy sumę tego ciągu.

$a q^{4} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q} = 21760$

Dzielimy drugą z wyznaczonych sum przez pierwszą.

$(a q^{4} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}) : (a \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}) = 21760 : 85$

$q^{4} = 256$

$q = \sqrt[4]{256}$ lub $q = - \sqrt[4]{256}$

$q = 4$ lub $q = - 4$

Ciąg ma być rosnący, zatem tylko liczba $4$ jest szukaną liczbą.

Iloraz ciągu jest równy $4$ .

Słownik

ciąg geometryczny

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu

suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o ilorazie $q$ wyraża się wzorem:

$S_{n} = n \cdot a_{1}$ , gdy $q = 1$ ,

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , gdy $q \neq 1$

3. Ciąg geometryczny

5. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Słownik