5. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

R1b9mXuN9XpIr

Przed nami kompletny ciągowy miszmasz, czyli pomieszanie z poplątaniem ciągu arytmetycznego z geometrycznym. A więc, żeby zabrać się do analizowania treści zawartych w tym materiale, musisz znać przynajmniej podstawowe pojęcia związane z tymi ciągami. Inaczej trudno będzie zrozumieć Ci odniesienia do wzorów, czy zależności między wyrazami tych ciągów.

Jeśli czujesz się na siłach, żeby podjąć się karkołomnej pracy polegającej na samodzielnym rozwiązaniu zadań – zapraszamy. Jeśli nie masz pewności, czy sprostasz wszystkim trudnościom – pocieszam Cię, że do wszystkich zadań są w materiale odpowiedzi, a w sekcji „Przeczytaj” – nawet szczegółowe rozwiązania.

Zatem do dzieła!

Twoje cele

Wykorzystasz własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego do znajdowania wielkości związanych z tymi ciągami.
Rozwiniesz umiejętności stosowania zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego oraz wyrazami ciągu geometrycznego.
Zastosujesz zintegrowaną wiedzę matematyczną do rozwiązywania problemów związanych z ciągami liczbowymi.

Pokażemy teraz wykorzystanie związków między ciągami arytmetycznym i geometrycznym do znajdowania wielkości związanych z tymi ciągami.
Na początek przypomnienie definicji tych ciągów i podstawowych wzorów z nimi związanych.
Będziemy przyjmować, że dany ciąg, np. $(a_{n})$ , określony jest dla $n \in ℕ$ i $n \geq 1$ .

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$	$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$	$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

Ciąg geometryczny

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu.

Ciąg geometryczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$	$a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$	$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Pierwszy typ zadań, którym się zajmiemy, to z wyrazów ciągu arytmetycznego budowanie wyrazów ciągu geometrycznego.

Przykład 1

Liczby $a$ , $b$ , $c$ ( w tej kolejności) są kolejnymi wyrazami trzywyrazowego ciągu arytmetycznego. Ich suma jest równa $15$ . Jeśli dodamy do pierwszej z tych liczb $1$ , do drugiej $4$ i do trzeciej $19$ , to tak otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (w tej samej kolejności). Znajdziemy liczby $a$ , $b$ , $c$ .

Rozwiązanie:

Najpierw korzystamy z własności ciągu arytmetycznego. Oznaczmy przez $r$ różnicę tego ciągu.

Wtedy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
$b = a + r$ – drugi wyraz ciągu arytmetycznego,
$c = a + 2 r$ – trzeci wyraz ciągu arytmetycznego.

Z treści zadania wynika, że suma tych wyrazów jest równa $15$ .

$a + a + r + a + 2 r = 15$

$3 a + 3 r = 15 | : 3$

$a + r = 5$

$a = 5 - r$

Teraz zajmiemy się ciągiem geometrycznym.

$a + 1$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$a + r + 4$ – drugi wyraz ciągu geometrycznego,
$a + 2 r + 19$ – trzeci wyraz ciągu geometrycznego.

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, zapisujemy odpowiednie równanie.

${(a + r + 4)}^{2} = (a + 1) (a + 2 r + 19)$

Do równania podstawiamy w miejsce $a$ wcześniej wyznaczone wyrażenie.

${(5 - r + r + 4)}^{2} = (5 - r + 1) (5 - r + 2 r + 19)$

Sprowadzamy równanie do postaci ogólnej i rozwiązujemy.

$81 = (6 - r) (r + 24)$

$r^{2} + 18 r - 63 = 0$

$∆ = 324 + 252 = 576$

$r_{1} = \frac{- 18 - 24}{2} = - 21$

$r_{2} = \frac{- 18 + 24}{2} = 3$

Stąd:

$a = 5 - (- 21) = 26$ lub $a = 5 - 3 = 2$

Jeśli $a = 26$ , to $b = 26 - 21 = 5$ i $c = 5 - 21 = - 16$ .

Jeśli $a = 2$ , to $b = 2 + 3 = 5$ i $c = 5 + 3 = 8$ .

Odpowiedź:

Szukane liczby to $26$ , $5$ , $(- 16)$ lub $2$ , $5$ , $8$ .

Teraz rozważymy problem odwrotny do zaprezentowanego w Przykładzie 1 – z wyrazów ciągu geometrycznego budujemy wyrazy ciągu arytmetycznego.

Przykład 2

W ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich, pierwszy wyraz jest równy $5$ . Pierwszy, trzeci i piąty wyraz tego ciągu to odpowiednio pierwszy, czwarty i szesnasty wyraz ciągu arytmetycznego. Znajdź różnicę tego ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie:

Rozważmy najpierw ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny, oznaczając jego iloraz przez $q$ .

Wtedy:
$5$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$5 q^{2}$ – trzeci wyraz ciągu geometrycznego,
$5 q^{4}$ – piąty wyraz ciągu geometrycznego.

Teraz zajmiemy się ciągiem arytmetycznym, oznaczając jego różnicę przez $r$ .

$5$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
$5 + 3 r$ – czwarty wyraz ciągu arytmetycznego,
$5 + 15 r$ – szesnasty wyraz ciągu arytmetycznego.

Na podstawie treści zadania zapisujemy odpowiednie równości.

$5 q^{2} = 5 + 3 r$

$5 q^{4} = 5 + 15 r$

Z tak otrzymanego układu równań wyznaczymy najpierw iloraz ciągu geometrycznego.

W tym celu dzielimy obie strony drugiego z równań przez $5$ i odejmujemy równania stronami.

$- \{\begin{cases} 5 q^{2} = 5 + 3 r \\ q^{4} = 1 + 3 r \end{cases}$

$q^{4} - 5 q^{2} + 4 = 0$

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe. Stosujemy podstawienie: $t = q^{2}$ , $t > 0$ .

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$

$∆ = 25 - 16 = 9 > 0$

$t_{1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$t_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Obie uzyskane liczby są dodatnie, zatem:

$q = 1$ lub $q = 2$ (pamiętamy, że wyrazy rozpatrywanego ciągu geometrycznego są dodatnie).

Jeśli $q = 1$ to $5 \cdot 1 = 5 + 3 r$ i $r = 0$ .

Jeśli $q = 2$ to $5 \cdot 4 = 5 + 3 r$ i $r = 5$ .

Odpowiedź:

Różnica ciągu arytmetycznego jest równa $0$ lub $5$ .

Trzeci typ zadań związanych z ciągiem geometrycznym i arytmetycznym polega na znalezieniu takich liczb, z których niektóre są wyrazami ciągu arytmetycznego, a niektóre geometrycznego.

Przykład 3

Dane są liczby $4$ , $x$ , $y$ , $18$ . Trzy pierwsze (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie (w podanej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Znajdziemy liczby $x$ , $y$ .

Rozwiązanie:

$(4, x, y)$ – ciąg arytmetyczny

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wynika, że:

$x = \frac{4 + y}{2}$

$(x, y, 18)$ – ciąg geometryczny

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wynika, że:

$y^{2} = 18 x$

Do ostatniego z zapisanych równań podstawiamy wyznaczone wcześniej $x$ .

$y^{2} = 18 \cdot \frac{4 + y}{2}$

$y^{2} - 9 y - 36 = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆ = 81 + 144 = 225$

$y = \frac{9 - 15}{2} = - 3$ lub $y = \frac{9 + 15}{2} = 12$

Wyznaczamy $x$ .

Jeśli $y = - 3$ to $x = \frac{4 - 3}{2} = \frac{1}{2}$ .

Jeśli $y = 12$ to $x = \frac{4 + 12}{2} = 8$ .

Odpowiedź:

Szukane liczby to $\frac{1}{2}$ i $(- 3)$ lub $8$ i $12$ .

Przyszła teraz kolej na ulubiony przez wszystkich typ zadań – czyli zadanie na dowodzenie.

Przykład 4

Wykaż, że jeśli liczby $x$ , $y$ , $z$ dodatnie i różne od $1$ tworzą ciąg geometryczny (w podanej kolejności), to liczby

$\frac{1}{\log_{x} k}$ , $\frac{1}{\log_{y} k}$ , $\frac{1}{\log_{z} k}$ $(k > 0, k \neq 1)$ , również w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny.

Dowód:

Z założenia wynika, że liczby $x$ , $y$ , $z$ dodatnie i różne od $1$ tworzą ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny. Zatem

$y^{2} = x z$ .

Logarytmujemy przy podstawie $k$ obie strony zapisanej równości.

$2 \cdot \log_{k} y = \log_{k} (x z)$

Korzystamy z własności logarytmu iloczynu, a następnie dzielimy obie strony równości przez $2$ .

$2 \cdot \log_{k} y = \log_{k} x + \log_{k} z$

$\log_{k} y = \frac{\log_{k} x + \log_{k} z}{2}$

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wynika, że liczby $\log_{k} x$ , $\log_{k} y$ , $\log_{k} z$ tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny.

Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy:

$\frac{1}{\log_{x} k} = \frac{1}{\frac{\log_{k} k}{\log_{k} x}} = \frac{\log_{k} x}{1} = \log_{k} x$

W podobny sposób możemy wykazać, że

$\frac{1}{\log_{y} k} = \log_{k} y$ i $\frac{1}{\log_{z} k} = \log_{k} z$ .

Czyli liczby $\frac{1}{\log_{x} k}$ , $\frac{1}{\log_{y} k}$ , $\frac{1}{\log_{z} k}$ tworzą ciąg arytmetyczny, c.n.d.

Przed nami ostatnie, najtrudniejsze zadanie, którego rozwiązanie wymaga nie tylko znajomości teorii związanej z ciągami, ale dobrego posługiwania się funkcjami trygonometrycznymi.

Przykład 5

Miary kątów pewnego trójkąta tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny. Długości boków tego trójkąta tworzą ciąg geometryczny. Znajdziemy miary kątów tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$α$ , $β$ , $γ$ – miary kątów trójkąta (w stopniach),
$δ$ – różnica ciągu, który tworzą miary kątów trójkąta (w stopniach).

Przyjmując, że $α$ jest najmniejszym kątem tego trójkąta, możemy zapisać:

$β = α + δ$

$γ = α + 2 δ$

Ponieważ suma miar kątów trójkąta jest równa $180 °$ , więc:

$α + α + δ + α + 2 δ = 180 °$

$3 α + 3 δ = 180 °$

$α + δ = 60 °$

Oznaczmy:
$a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta, przy czym niech $a$ będzie najkrótszym bokiem,
$q$ – iloraz ciągu geometrycznego, który tworzą długości boków trójkąta $(q \geq 1)$ .

Wtedy:

$b = a q$

$c = a q^{2}$

Na podstawie twierdzenia sinusów (pamiętając, że naprzeciw najmniejszego kąta leży najkrótszy bok), zapisujemy:

$\frac{a}{\sin α} = \frac{a q}{\sin (α + δ)} = \frac{a q^{2}}{\sin (α + 2 δ)}$

$\frac{a}{\sin α} = \frac{a q}{\sin 60 °} = \frac{a q^{2}}{\sin (120 ° - α)}$

Otrzymujemy układ równań.

$\{\begin{cases} q \sin α = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ q \sin (120 ° - α) = \frac{\sqrt{3}}{2} q^{2} \end{cases}$

Mnożymy stronami równania układu i dzielimy każdą ze stron przez $q^{2}$ .

$\sin α \cdot \sin (120 ° - α) = \frac{3}{4}$

Korzystamy teraz ze wzoru: $\sin x \cdot \sin y = \frac{\cos (x - y) - \cos (x + y)}{2}$ .

$\cos (2 a - 120 °) - \cos 120 ° = \frac{3}{2}$

$\cos (2 a - 120 °) - (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

$\cos (2 a - 120 °) = 1$

$2 a - 120 ° = 0 °$

$a = 60 °$

Ponieważ $α + δ = 60 °$ , więc $δ = 0 °$ , czyli każdy z kątów trójkąta ma miarę $60 °$ .

Odpowiedź:

Trójkąt jest równoboczny, każdy kąt ma miarę $60 °$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady, a następnie porównaj z prezentowanymi rozwiązaniami.

RelMkEdv3GrLn

Polecenie 2

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $14$ . Jeśli od trzeciego wyrazu odejmiemy $2$ , nie zmieniając dwóch poprzednich wyrazów, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$q$ – iloraz ciągu geometrycznego $(q \neq 0)$ .

Na podstawie treści zadania otrzymujemy układ równań:

$a + a q + a q^{2} = 14$ i $a q = \frac{a + a q^{2} - 2}{2}$

Po przekształceniach układ równań przyjmuje postać:

$a + a q + a q^{2} = 14$ i $a - 2 a q + a q^{2} = 2$

Odejmujemy stronami do pierwszego równania drugie równanie.

Otrzymujemy:

$3 a q = 12$

$a q = 4$

$a = \frac{4}{q}$

Podstawiamy wyznaczone $a$ do pierwszego równania.

$\frac{4}{q} + 4 + 4 q = 14$

$4 q^{2} - 10 q + 4 = 0 | : 2$

$2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$∆ = 25 - 16 = 9 > 0$

$q = 0, 5$ lub $q = 2$

Jeśli $q = 0, 5$ to $a = 8$ .

Jeśli $q = 2$ to $a = 2$ .

Odpowiedź:

Otrzymaliśmy dwa ciągi spełniające warunki zadania: $(8, 4, 2)$ oraz $(2, 4, 8)$ .

Rz3MgKdtiSxeP1

Ćwiczenie 1

R6SQ15mpSWlE21

Ćwiczenie 2

RtFlcWMQdqSY82

Ćwiczenie 3

RNstfapkaz8Rn2

Ćwiczenie 4

RDNuusLuYTYEO2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru: cztery, b, plus, c, dwanaście, a, plus, d, a, minus, trzy b, c, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa, a c, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, osiem. Polecenie: Znajdź liczby a, b, c, d, o których wiesz, że:

trzy pierwsze z tych liczb tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny, a trzy ostatnie w podanej kolejności, ciąg arytmetyczny;
suma dwóch skrajnych liczb jest równa czternaście;
suma dwóch liczb środkowych jest równa dwanaście.

Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Na podstawie treści zadania tworzymy układ równań z czterema niewiadomymi.
czternaście, równa się luka do uzupełnienia i dwanaście, równa się luka do uzupełnienia i luka do uzupełnienia równa się, początek ułamka, b, plus, d, mianownik, dwa, koniec ułamka i luka do uzupełnienia równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego
Jeśli z pierwszego równania wyznaczymy d i podstawimy do trzeciego równania układu, a z drugiego równania wyznaczymy c i podstawimy do czwartego i trzeciego równania układu, to po przekształceniach otrzymamy układ równań z dwoma niewiadomymi:
luka do uzupełnienia równa się, minus, dziesięć i dwanaście a, minus, a b, równa się luka do uzupełnienia
Z kolei z tego układu otrzymujemy równanie dwa b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia trzy b, plus, sześćdziesiąt, równa się, zero, którego rozwiązaniami są liczby:
luka do uzupełnienia i b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem przecinek pięć.
Otrzymujemy więc dwa ciągi liczb spełniających warunki zadnia:
luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia oraz początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka.

RDMQ8wPh1yOGH2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Znajdź taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(7 x - 2, 3 x, x + 1)$ jest ciągiem geometrycznym i jednocześnie jest ciągiem arytmetycznym.

Ciąg ma być arytmetyczny, zatem $3 x = \frac{7 x - 2 + x + 1}{2}$ .

Czyli $x = \frac{1}{2}$ .

Wyrazy ciągu są wtedy równe: $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ .

Ciąg jest stały, jest więc ciągiem geometrycznym o ilorazie $1$ .

Zauważmy, że dla $x = 2$ (które to rozwiązanie otrzymalibyśmy jako drugie rozpatrując najpierw ciąg geometryczny) ciąg ma postać $(12, 6, 3)$ jest więc ciągiem geometrycznym, ale nie jest ciągiem arytmetycznym.

Ćwiczenie 8

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli trzecią z tych liczb zwiększymy o kwadrat liczby $8$ , to liczby utworzą ciąg geometryczny. Jeżeli zmniejszymy drugi wyraz ciągu arytmetycznego o $8$ , to otrzymamy również ciąg geometryczny. Znajdź wyrazy tych ciągów.

Oznaczmy:
$a - r$ , $a$ , $a + r$ – wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy $r$ ,
$a - r$ , $a$ , $a + r + 64$ – wyrazy początkowego ciągu geometrycznego,
$a - r$ , $a - 8$ , $a + r$ – wyrazy otrzymanego ciągu geometrycznego.

Korzystamy ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego i zapisujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a^{2} = (a - r) (a + r + 64) \\ {(a - 8)}^{2} = (a - r) (a + r) \end{cases}$

$\{\begin{cases} r^{2} + 64 r - 64 a = 0 \\ r^{2} - 16 a + 64 = 0 \end{cases}$

Odejmujemy równania układu stronami.

$r = 0, 25 \cdot (3 a + 4)$

Podstawiamy wyznaczone $r$ do drugiego z równań układu i uzyskujemy równanie kwadratowe.

$9 a^{2} - 232 a + 1040 = 0$

$∆ = 16384 \Rightarrow \sqrt{∆} = 128$

$a = \frac{52}{9}$ lub $a = 20$

Jeśli $a = \frac{52}{9}$ to $r = \frac{16}{3}$ .
Wyrazy ciągu arytmetycznego to: $\frac{4}{9}$ , $\frac{52}{9}$ , $\frac{100}{9}$ .
Wyrazy pierwszego ciągu geometrycznego: $\frac{4}{9}$ , $\frac{52}{9}$ , $\frac{676}{9}$ (iloraz ciągu $13$ ).
Wyrazy drugiego ciągu geometrycznego: $\frac{4}{9}$ , $(- \frac{20}{9})$ , $\frac{100}{9}$ (iloraz ciągu to $(- 5)$ ).

Jeśli $a = 20$ to $r = 16$ .
Wyrazy ciągu arytmetycznego: $4$ , $20$ , $36$ .
Wyrazy pierwszego ciągu geometrycznego: $4$ , $20$ , $100$ (iloraz ciągu $5$ ).
Wyrazy drugiego ciągu geometrycznego: $4$ , $12$ , $36$ (iloraz ciągu to $3$ ).

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

ciąg geometryczny

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu

4. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

6.* Średnia geometryczna (DODATEK)

5. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Słownik