1. Granica ciągu liczbowego

R1AoeIHyEhrI7

Jedną z podstawowych własności ciągu zbieżnego jest posiadanie przez niego granicy. Obecnie stosowana definicja granicy ciągu została podana niezależnie przez dwóch matematyków. Pierwszym z nich był pochodzący z Czech Bernard Bolzano, który podał definicję granicy w roku $1816$ w publikacji Der binomische Lehrsatz. Drugim był Francuz Augustin Louis Cauchy (Cours d’analyse, $1821$ ).

Twoje cele

Dowiesz się czym jest otoczenie a czym sąsiedztwo punktu na osi liczbowej.
Dowiesz się, co oznacza sformułowanie „prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego”.
Poznasz definicję granicy ciągu zbieżnego.
Poznasz przykłady ciągów posiadających granice.

Otoczenie i sąsiedztwo punktu

Przed sformułowaniem definicji otoczenia punktu przypomnijmy, że jeśli mamy dane dwie liczby rzeczywiste $x$ i $y$ na osi liczbowej, to ich odległość definiujemy jako wartość bezwzględną ich różnicy, czyli liczbę $|x - y|$ .

Przykład 1

Odległość liczb $x = - 1$ oraz $y = 5$ na osi liczbowej wynosi:

$|x - y| = |- 1 - 5| = |- 6| = 6$ .

Otoczenie punktu

Definicja: Otoczenie punktu

Otoczeniem punktu $x_{0} \in ℝ$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których odległość od $x_{0}$ jest mniejsza od $ε$ . Otocznie punktu $x_{0}$ o promieniu $ε$ oznaczamy $U (x_{0}, ε)$ . Powyższą definicję możemy zatem zapisać symbolicznie

U (x_{0}, ε) =

\{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej możemy zapisać otoczenie punktu w równoważny sposób w postaci przedziału

U (x_{0}, ε) = (x_{0} - ε, x_{0} + ε)

Pojęcie otoczenia punktu ilustruje poniższy rysunek.

R13FPilPWJkAO

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczoną po środku współrzędną x 0. Poniżej osi poziomymi klamrami zaznaczone są odległości na prawo i lewo od współrzędnej. Każda z odległości wynosi epsilon. Nad osią zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty x 0 odjąć epsilon, x 0 dodać epsilon. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 2

Otoczeniem punktuotoczenie punktuOtoczeniem punktu $x_{0} = 4$ o promieniu $ε = 5$ jest zbiór

U (4, 5) = \{x \in ℝ : |x - 4| < 5\}

Możemy zapisać w postaci przedziału $(- 1, 9)$ .

RAB5jP3FnruHK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do dziesięciu z zaznaczoną po środku współrzędną 4. Nad osią zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty minus jeden dziewięć. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Często pojawia się potrzeba zbadania pewnej własności w otoczeniu jakiegoś punktu na osi liczbowej, lecz nie interesuje nas ta własność w samym punkcie. W takiej sytuacji możemy posłużyć się pojęciem sąsiedztwasąsiedztwo punktusąsiedztwa.

Sąsiedztwo punktu

Definicja: Sąsiedztwo punktu

Sąsiedztwem punktu $x_{0} \in ℝ$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór

S (x_{0}, ε) = U (x_{0}, ε) - \{x_{0}\} = (x_{0} - ε, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + ε)

Sąsiedztwo punktu możemy zatem interpretować jako otoczenie punktu bez tego punktu.

RPuMtqfixVyeQ

Czasami w praktyce potrzebujemy zbadać pewną własność jedynie z lewej lub z prawej strony pewnego punktu. Mówimy wówczas o sąsiedztwie lewostronnym lub prawostronnym. Bardziej precyzyjnie sąsiedztwem lewostronnym punktu $x_{0} \in ℝ$ nazywamy zbiór $S^{-} (x_{0}) = (x_{0} - ε, x_{0})$ dla pewnej liczby $ε > 0$ , natomiast sąsiedztwem prawostronnym punktu $x_{0} \in ℝ$ nazywamy zbiór $S^{+} (x_{0}) = (x_{0}, x_{0} + ε)$ dla pewnej liczby $ε > 0$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą infografiką ilustrującą na osi liczbowej otoczenie o promieniu $ε$ punktu o współrzędnej $1$ , a następnie odpowiedz na zamieszczone niżej pytania.

RYhfyUKZMDKo5

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

Na podstawie zamieszczonej infografiki wyznacz promień otoczenia punktu o współrzędnej $1$ .

Promieniem otoczenia punktu o współrzędnej $1$ będzie odległość do lewego krańca otoczenia lub prawego krańca otoczenia (muszą one być takie same). Skorzystajmy z wartości bezwzględnej aby to wyznaczyć. Zatem odległość do prawostronnego krańca otoczenia jest równa $r = |6 - 1| = 5$ oraz do lewostronnego krańca otoczenia $r = |1 - (- 4)| = 5$ . Podsumowując, $r = 5$ .

Polecenie 3

Zapisz za pomocą wartości bezwzględnej, otoczenie punktu o współrzędnej $1$ , przedstawione w infografice.

Korzystając z Polecenia 2 wiemy, że $r = 5$ . Postać ogólna otoczenia punktu z zastosowaniem wartości bezwzględnej ma postać $U (x_{0}, ε) = \{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}$ , gdzie $x_{0}$ jest środkiem otoczenia. Uzupełniając podany zapis, zebranymi danymi otrzymujemy $U (1, 5) = \{x \in ℝ : |x - 1| < 5\}$ .

Co to znaczy „prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego”?

Przy formułowaniu pojęcia granicy ciągu wykorzystuje się często zwrot „prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego”. Zwrot ten stosuje się jedynie do ciągów nieskończonych, tzn. takich które posiadają nieskończenie wiele wyrazów. W związku z tym w dalszym ciągu będziemy mówić po prostu „prawie wszystkie wyrazy ciągu” pamiętając, że ciąg ten musi być ciągiem nieskończonym. Mówiąc najprościej zwrot „prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza wszystkie jego wyrazy poza skończoną ich ilością. Aby dobrze zrozumieć to sformułowanie przyjrzyjmy się poniższym przykładom.

Przykład 3

Rozważmy ciąg, który składa się ze wszystkich liczb naturalnych: $1,2, 3,4, . . .$ . Ciąg taki możemy zapisać wzorem

a_{n} = n .

Jeżeli usuniemy z tego ciągu kilka jego początkowych wyrazów, np. $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ , to otrzymamy ciąg $4,5,6,7, . . .$ . Ten nowo otrzymany ciąg składa się z prawie wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ , gdyż nie zawiera jedynie trzech jego wyrazów $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ . Podobnie jeśli wzięlibyśmy pod uwagę ciąg

1,2, 3, \dots, 100,1000, 1001,1002, \dots

Powyższy ciąg zawiera wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ za wyjątkiem wyrazów $101,102, 103, \dots, 999$ . Wyrazów tych jest dokładnie $899$ a zatem ilość skończona. Stąd możemy powiedzieć, że rozważany ciąg zawiera prawie wszytskie wyrazy ciągu $(a_{n})$ , tzn. wszytskie poza skończoną ilością (która w tym przypadku jest równa $899$ ).

prawie wszystkie wyrazy ciągu

Definicja: prawie wszystkie wyrazy ciągu

Niech dany będzie ciąg $(a_n)$ oraz pewien zbiór $A\subset\mathbb{R}$ . Powiemy, że do zbioru $A$ należą prawie wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ , jeśli istnieje co najwyżej skończona liczba wyrazów ciągu $(a_n)$ , które nie należą do zbioru $A$ .

Przykład 4

Rozważmy ciąg

a_{n} = \frac{1}{n}

Weźmy dowolne otoczenie liczbyotoczenie punktuotoczenie liczby $0$ , tzn. zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $|x-0|\lt \varepsilon$ , gdzie $ε$ jest dowolną, ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą. Zbiór ten można zapisać w postaci przedziału $(- ε, ε)$ . Zauważmy, że wybierając dostatecznie dużą liczbę naturalną $N \in ℕ$ ułamek $\frac{1}{N}$ będzie mniejszy od wybranej dodatniej liczby $ε$ . Ponieważ $\frac{1}{N + 1} < \frac{1}{N}$ dla dowolnej liczby naturalnej $N$ więc wszystkie wyrazy ciągu $a_{n} = \frac{1}{n}$ począwszy od wyrazu $a_N$ należą do przedziału $(- ε, ε)$ . Obserwacja ta prowadzi do wniosku, że dla dowolnej liczby dodatniej $ε$ do przedziału $(- ε, ε)$ należą prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_{n} = \frac{1}{n}$ (tzn. wszytskie za wyjątkiem wyrazów $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{N - 1}$ ). Ilustruje to poniższa grafika.

R16aC1gv3LT0u

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do jeden. Na osi zaznaczono zamalowanymi punktami następujące liczby: 0, 1N, 1N-1, 12, 1. Pomiędzy liczbami 1N i 1N-1 oznaczono na osi również epsilon. Nad osią poziomą klamrą objęto fragment osi od zera do epsilon i podpisano następująco: "prawie wszystkie wyrazy ciągu an=1n.

Oczywiście im liczba $\varepsilon$ będzie bliżej zera, tym liczba naturalna $N$ będzie musiała być większa aby warunek $\frac{1}{N}\lt \varepsilon$ był spełniony. Jednak wciąż nierówność ta będzie spełniona dla prawie wszystkich wyrazów ciągu $a_{n} = \frac{1}{n}$ ( tzn. dla ułamków $\frac{1}{N}, \frac{1}{N+1}, \frac{1}{N+2}, \ldots$ ).

Polecenie 4

Na poniższej infografice zilustrowane zostało pojęcie prawie wszystkich wyrazów ciągu na przykładzie pewnego ciągu nieskończonego. Zapoznaj się z tą infografiką a następnie wykonaj polecenia zamieszczone poniżej.

R1UOPFNxRI0Uj1

Ilustracja interaktywna przedstawia poziomą oś X od minus jeden do jeden. Na osi zaznaczono kilka punktów oraz trzy przedziały. Zaznaczone punkty to kolejno: minus jeden nazwany nad osią jako pierwszy wyraz ciągu, czyli a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka nazwany nad osią jako trzeci wyraz ciągu, czyli a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka nazwany nad osią jako piąty wyraz ciągu, czyli a indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, dalej zaznaczono kilka przykładowych punktów na osi, nie podpisując ich liczbami. Punkty te zagęszczają się w kierunku zera. Następnie mamy zaznaczonych kilka punktów również nie podpisanych, na dodatniej części osi. Punkty te również są ułożone gęściej przy zerze. Dalej mamy zaznaczony punkt początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka nazwany nad osią jako szósty wyraz ciągu, czyli a indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, następnie jest punkt początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka nazwany nad osią jako czwarty wyraz ciągu, czyli a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, dalej zaznaczono punkt początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka nazwany nad osią jako drugi wyraz ciągu, czyli a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i ostatni zaznaczony punkt to liczba jeden. Przedziały na osi są następujące: przedział A, równa się, nawias ostry, minus, jeden, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przedział B, równa się, nawias zero, średnik, jeden zamknięcie nawiasu ostrego oraz przedział C, równa się, nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Na osi liczbowej zaznaczono kolejne wyrazy ciągu a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, mianownik, n, koniec ułamka oraz trzy przedziały., Przedział A, równa się, nawias ostry, minus, jeden przecinek zero, zamknięcie nawiasu nie zawiera prawie wszystkich wyrazów ciągu a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, ponieważ nie zawiera żadnego wyrazu o numerze parzystym, których jest nieskończenie wiele., Przedział B, równa się, nawias, zero przecinek jeden, zamknięcie nawiasu ostrego nie zawiera prawie wszystkich wyrazów ciągu a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, ponieważ nie zawiera żadnego wyrazu o numerze nieparzystym, których jest nieskończenie wiele. Przedział otwarty C, równa się, nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, ponieważ nie zawiera tylko dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu, które są równe nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu oraz początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka.

Polecenie 5

Do których z podanych przedziałów należą prawie wszystkie wyrazy ciągu przedstawionego na infografice.

Rl2WXk5BI8y8o

Polecenie 6

Podaj przykład ciągu takiego, że do przedziału $(-1, \frac{1}{2})$ należą prawie wszystkie jego wyrazy.

$a_{n} = -1 + \frac{4}{n}$

Granica ciągu

Zanim podamy formalną definicję granicy ciągu nieskończonego, przyjrzyjmy się następującemu przykładowi. Rozważmy ciąg określony wzorem $a_{n} = \frac{1}{n}$ , gdzie $n \in ℕ$ . Podstawiając za $n$ kolejne liczby naturalne, otrzymujemy ciąg postaci:
$1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$ ...
Ciąg ten można przedstawić graficznie następująco

RX2hzKNCTfD27

Rysunek przedstawia poziomą oś X od zera do 1. Na osi zaznaczone i opisane są punkty między nimi: jedna szósta, jedna piąta, jedna czwarta, jedna trzecia, jedna druga. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zwróćmy uwagę, że każdy kolejny wyraz tego ciągu znajduje się coraz bliżej zera. Wynika to z faktu, że wyrazami tego ciągu są ułamki zwykłe, których liczniki są zawsze równe jeden, natomiast mianowniki to kolejne liczby naturalne. Zatem ciąg ten jest malejący i oczywiście wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Gdybyśmy teraz rozważyli dowolne otoczenie zera, czyli przedział $(- ε, ε)$ , to niezależnie od wyboru dodatniej liczby $ε$ (w szczególności biorąc dowolnie małą dodatnią liczbę $ε$ ) zawsze do takiego otoczenia należeć będą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (tzn. wszystkie poza skończoną ilością).

R1KhfPWYRjNaS

Rysunek przedstawia poziomą oś X od ok. minus jednej trzeciej do 1. Na osi zaznaczone i opisane są punkty między zerem a jeden: jedna szósta, jedna piąta, jedna czwarta, jedna trzecia, jedna druga. Na osi zaznaczony jest także innym kolorem przedział od minus epsilon do epsilon. Epsilon umiejscowione jest na osi między jedną piątą a jedną czwartą. Nad przedziałem poziomymi klamrami zaznaczone są odległości przedziału od zera, czyli epsilon. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Patrząc na powyższy rysunek widzimy, że wybierając dodatnią liczbę $ε$ dowolnie blisko zera, zawsze po jej prawej stronie będzie się znajdować skończona ilość wyrazów ciągu. Zatem na lewo znajdować się będą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Powyższa obserwacja pozwala sformułować intuicyjną definicję granicy ciągu. Mianowicie jest to taka liczba rzeczywista $g \in ℝ$ , że w dowolnym jej otoczeniuotoczenie punktuotoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Powyższą definicję można zapisać w sposób formalny następująco.

Granica ciągu

Definicja: Granica ciągu

Niech dany będzie ciąg nieskończony $(a_{n})$ . Powiemy, że liczba $g \in ℝ$ jest granicą tego ciągu, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej $ε > 0$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność

|a_{n} - g| < ε

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej ostatnią nierówność można zapisać następująco

- ε < a_{n} - g < ε

czyli

g - ε < a_{n} < g + ε

Ostatnia nierówność oznacza właśnie, że prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu $a_{n}$ (dokładnie wszystkie począwszy od wyrazu o numerze $N + 1$ ) należą do przedziału $\left(g-\varepsilon,\ g+\varepsilon\right)$ , czyli do otoczeniaotoczenie punktuotoczenia liczby $g$ o promieniu $ε$ , przy czym liczbę dodatnią $ε$ można wybrać dowolnie małą.

Jeśli ciąg $(a_{n})$ posiada granicę równą liczbie $g \in ℝ$ , to fakt ten zapisujemy następująco

lim_{n \to + \infty} a_{n} = g

Przykład 5

Powróćmy do początkowego przykładu ciągu $a_{n} = \frac{1}{n}$ , gdzie $n \in ℕ$ . Z przeprowadzonych rozważań wynika, że ciąg ten posiada granicę i jest ona równa $0$ . Zatem zgodnie z definicją dla każdej dodatniej liczby $ε$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność $\left|a_n-0\right|\lt\varepsilon$ . Podstawiając wzór ciągu i korzystając z faktu, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie, ostatnia nierówność jest równoważna nierówności $\frac{1}{n} < ε$ . Jest to nierówność prawdziwa, gdyż wybierając dowolną dodatnią liczbę $ε$ (w szczególności dowolnie małą) zawsze znajdziemy na tyle dużą liczbę naturalną $N$ , aby $\frac{1}{N} < ε$ . Wówczas nierówność ta będzie też spełniona dla każdej liczby naturalnej $n > N$ . Zatem istotnie prawdą jest, że

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0

Polecenie 7

Zapoznaj się z poniższą infografiką, na której przedstawiono interpretację geometryczną ciągów $(a_{n})$ oraz $(b_{n})$ , które posiadają taką samą granicę $g$ .

Następnie na podstawie podanych w infografice wartości niektórych wyrazów tych ciągów, odpowiedz na zamieszczone poniżej pytania.

R1ZvNO8Gj87tq1

Polecenie 8

Jaka jest granica obu ciągów przedstawionych na powyższej infografice?

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} = 1$

Polecenie 9

Zapisz wzór na wyraz ogólny każdego z ciągów przedstawionych na powyższej infografice.

$a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$

$b_{n} = 1 + \frac{1}{n}$

RCG9OrXuO0gFt1

Ćwiczenie 1

R11PviNQfph2c1

Ćwiczenie 2

RbnhvRvGdrC9H1

Ćwiczenie 3

R1Zr2trtCIQmN1

Ćwiczenie 4

R1MZoDmR2NzLY2

Ćwiczenie 5

R1QkIKV63pUDt2

Ćwiczenie 6

RtFuw2yLi0y1q2

Ćwiczenie 7

RdkeEUFgXgrb42

Ćwiczenie 8

R1etDNiDRttHk2

Ćwiczenie 9

R1FuuO2x958gX2

Ćwiczenie 10

RMHOuydMBYyki3

Ćwiczenie 11

Znając granicę ciągów połącz je w pary z przedziałami, do których należą prawie wszystkie ich wyrazy. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

RKKglrj8m32Xc3

Ćwiczenie 12

Znając granice ciągów przenieś je do obszarów odpowiadających przedziałom, do których należą prawie wszystkie wyrazy ciągu. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 2. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, 5. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 2. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, 5. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, 2. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, 5. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka

Słownik

wartość bezwzględna liczby

x

wartość bezwzględna liczby

x

|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

otoczenie punktu

U (x_{0}, ε) =

\{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}

sąsiedztwo punktu

otoczenie punktu bez tego punktu

prawie wszystkie wyrazy ciągu

wszystkie wyrazy ciągu poza skończoną ich ilością

2. Zbieżność ciągu

M_R_W16_M3 Szereg geometryczny