• Dowiesz się co to znaczy, że ciąg jest zbieżny.

• Poznasz przykłady ciągów zbieżnych oraz takich, które nie są zbieżne.

• Zrozumiesz związek między zbieżnością ciągu oraz granicą ciągu.

Niech dany będzie ciąg nieskończony $\left(a_n\right)$. Powiemy, że liczba $g\in ℝ$ jest granicą tego ciągu, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej $\epsilon >0$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ zachodzi nierówność

Rozważmy ciąg dany wzorem

Ponieważ wyrażenie ${\left(-1\right)}^n$ jest równe $1$ dla $n$ będących liczbami naturalnymi parzystymi oraz jest równe $-1$ dla $n$ będących liczbami naturalnymi nieparzystymi, więc kolejne wyrazy ciągu $\left(a_n\right)$ można zapisać następująco

Zatem ciąg $\left(a_n\right)$ przyjmuje tylko dwie różne wartości $-1$ oraz $1$ i każda z nich powtarza się nieskończoną ilość razy. Ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że ciąg ten nie posiada granicy, gdyż nie istnieje liczba rzeczywista taka, że w dowolnym jej otoczeniu znajdą się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Istotnie, jeśli $g$ jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą, to dobierając dostatecznie małą liczbę dodatnią $\epsilon$, otocznie liczby $g$ o promieniu $\epsilon$, tzn. przedział $\left(g-\epsilon ,g+\epsilon \right)$, nie będzie zawierać co najmniej jednej z liczb $-1$ lub $1$

R1KBZl0dixabA

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z oznaczonymi liczbami: minus jeden, zerem, jeden. Po prawej stronie liczby jeden zaznaczono większą od niej liczbę $g$, a także przedział opisany jako $\left(g-\epsilon ;g+\epsilon \right)$.

Ciąg nieskończony $\left(a_n\right)$ nazywamy zbieżnym, jeśli posiada on granicę $g\in\mathbb{R}$ (tzn. posiada on granicę będącą liczbą rzeczywistą).

Ciąg $a_n=\frac{1}{n}$ jest ciągiem zbieżnym, gdyż posiada on granicę równą $0$. Rozważmy teraz ciąg dany wzorem

Wiemy, że $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n}=0$. Oznacza to, że w dowolnie małym otoczeniuotoczenie punktuotoczeniu liczby $0$ znajdują się prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonegoprawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Jeśli do każdego wyrazu ciągu $a_n=\frac{1}{n}$ dodamy liczbę $3$, to wówczas w  dowolnie małym otoczeniuotoczenie punktuotoczeniu liczby $3$ znajdą się prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonegoprawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n=3+\frac{1}{n}$. Oznacza to, że granica tego ciągu jest równa $3$, zatem jest to również ciąg zbieżny.

Rozważmy ciąg dany wzorem

Policzmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu

Z powyższego oraz faktu, że funkcja cosinus jest funkcją okresową o okresie równym $2\pi$ wynika, że $a_n=-2$ dla $n=2k+1, \ k\in\mathbb{N}$ (tzn. gdy $n$ jest liczbą nieparzystą) oraz $a_n=2$ dla $n=2k, \ k\in\mathbb{N}$ (tzn. gdy $n$ jest liczbą parzystą). Rozumując teraz analogicznie jak w przykładzie 1., możemy stwierdzić, że ciąg dany wzorem $a_n=2\cos (\pi n)$ nie posiada granicy, a zatem nie jest zbieżny.

Rozważmy ciąg dany wzorem

Policzmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu

Ponieważ funkcja sinus jest funkcją okresową o okresie równym $2\pi$, więc $\sin (\pi n)=0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$. Oznacza to, że nasz ciąg jest ciągiem stałym takim, że $a_n=-1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$. Ciągi stałe są ciągami zbieżnymi, gdyż ich granica jest równa tej stałej wartości (w naszym przypadku $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=-1$).

Okazuje się, że suma dwóch ciągów nie będących ciągami zbieżnymi może być ciągiem zbieżnym. Aby wykazać ten fakt, rozważmy dwa ciągi.

Wypiszmy po kilka początkowych wyrazów każdego z ciągów.

Oba ciągi przyjmują zatem na zmianę wartości $1$ oraz $-1$. Rozumując więc analogicznie jak w przykładzie 1., możemy stwierdzić, że oba ciągi nie są zbieżne. Z drugiej strony widzimy, że dla $n=2k+1, \ k\in\mathbb{N}$ (tzn. gdy $n$ jest liczbą nieparzystą) $a_n=-1$, natomiast $b_n=1$. Gdy $n=2k, \ k\in\mathbb{N}$ (tzn. gdy $n$ jest liczbą parzystą) $a_n=1$, natomiast $b_n=-1$. Wynika stąd, że dla każdego $n\in\mathbb{N}$

Ciąg $(a_n+b_n)$ jest więc ciągiem stałym równym $0$. Jest on więc zbieżny.

Niech $a_n=3$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Jest to ciąg stały, którego każdy wyraz jest równy $3$. Granicą ciągugranica ciąguGranicą ciągu stałego jest jego stała wartość, czyli w naszym przykładzie

Istotnie, sprawdźmy czy spełniona jest definicja granicy ciągu. Ponieważ

więc warunek $\left|a_n-g\right|<\epsilon$ jest zawsze spełniony dla każdej dodatniej liczby $\epsilon$.

Niech $b$, $c$, $d\in \mathrm{ℝ}$ będą danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym $c\ne 0$. Rozważmy ciąg $a_n=\frac{b}{cn+d}$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Ciąg ten dla wszystkich liczb rzeczywistych $b$, $c$, $d\in \mathrm{ℝ}$, $\left(c\ne 0\right)$ jest zbieżny do zera, co można zapisać symbolicznie

Zauważmy, że dla $b=1$, $c=1$, $d=0$ ciąg ten jest równy poznanemu już ciągowi $a_n=\frac{1}{n}$.

Rozważmy ciąg $a_n=\frac{2n}{n+1}$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu

$a_1=1$, $a_2=1\frac{1}{3}$, $a_3=1\frac{1}{2}$, $a_4=1\frac{3}{5}$, $a_5=1\frac{2}{3}$, $\dots$,$a_{20}=1\frac{19}{21}$

Widzimy, że kolejne wyrazy ciągu $a_n$ są coraz bliższe liczbie $2$. Możemy stąd wysnuć przypuszczenie, że granicągranica ciągugranicą tego ciągu jest liczba $2$, czyli

Spróbujmy wykazać powyższą równość, korzystając z definicji granicy ciągu. W tym celu obliczymy wartość wyrażenia $\left|a_n-g\right|$, które pojawia się w definicji granicy. Mamy

Ponieważ ciąg $a_n=\frac{2}{n+1}$ jest zbieżny do $0$ (podobnie jak ciąg $a_n=\frac{1}{n}$) więc z definicji granicy ciągu dla dowolnej liczby $\epsilon >0$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n>N$ zachodzi nierówność  $\frac{2}{n+1}<\epsilon$. Stąd

To dowodzi, że $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n}{n+1}=2$.

Rozważmy ciąg $a_n=\frac{bn+c}{dn+f}$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, gdzie $b$, $c$, $d$, $f\in \mathrm{ℝ}$, $d\ne 0$. W podobny sposób jak w przykładzie 3. można wykazać, że

Przyjmując np. $b=2$, $c=0$, $d=3$, $f=-1$ otrzymujemy ciąg $a_n=\frac{2n}{3n-1}$, którego granicagranica ciągugranica jest równa $\frac{2}{3}$. W jednym z kolejnych tematów poznamy sposób na obliczanie granic tego typu ciągów.

Rozważmy ciąg $a_n={\left(-1\right)}^n·\frac{1}{n}$. Ciąg ten podobnie jak ciąg $a_n=\frac{1}{n}$ jest zbieżny do zera. W odróżnieniu od niego przyjmuje również wartości ujemne. Interpretację geometryczną tego ciągu przedstawia poniższy rysunek.

RQEuvel33BEdg

Na osi X zaznaczone są punkty: minus jeden, minus jedna trzecia, minus jedna piąta, minus jedna siódma, wiele punktów zagęszczających się w okolicy zera, dalej zaznaczono kolejno punkty: jedna ósma, jedna ósma, jedna szósta, jedna czwarta, jedna druga.

Widzimy, że w odróżnieniu od wcześniej poznanych ciągów, których prawie wszystkie wyrazy należały tylko do prawo- lub lewostronnego sąsiedztwasąsiedztwo lewostronnelewostronnego sąsiedztwa jego granicy, prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n={\left(-1\right)}^n·\frac{1}{n}$ należą zarówno do lewo- jaki i prawostronnego sąsiedztwasąsiedztwo prawostronneprawostronnego sąsiedztwa zera.

Niech dany będzie ciąg $a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Jest to ciąg geometryczny o ilorazie równym $\frac{1}{2}$. Łatwo widać, że jest on zbieżny do zera (liczniki są zawsze równe jeden, natomiast mianowniki są coraz większe i zawsze dodatnie). Ilustruje to poniższy rysunek.

R8DLpV7n8UADY

Na osi X zaznaczono kilka punktów. O lewej mamy zero, kilka gęsto upakowanych punktów leżących między zerem a jedną ósmą, dalej zaznaczono: jedną czwartą, jedną drugą i jeden.

Okazuje się, że w ogólnym przypadku ciąg geometryczny $a_n=q^n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, jest zbieżny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|q\right|<1$. Możemy to zapisać symbolicznie w następujący sposób

Poniżej podane są granice jeszcze kilku ważnych ciągów.

• $\underset{n\to +\infty }{lim}\sqrt[n]{n}=1$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$, $a\in \mathrm{ℝ}$, $a>0$;

• jeśli $\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=a>0$, to $\underset{n\to +\infty }{lim}\sqrt[n]{a_n}=1$.

Pierwszą z podanych granic uzasadnimy w temacie poświęconym twierdzeniu o trzech ciągach.

Ważną rolę w matematyce odgrywa ciąg

Jest to ciąg zbieżny a jego granicagranica ciągugranica jest jedną z najważniejszych stałych matematycznych. Wypiszmy niektóre jego wyrazy.

$a_1={\left(1+1\right)}^1=2$

$a_2={\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=2,25$

$a_3={\left(1+\frac{1}{3}\right)}^3\approx 2,37$

$a_{10}={\left(1+\frac{1}{10}\right)}^{10}\approx 2,59$

$a_{100}={\left(1+\frac{1}{100}\right)}^{100}\approx 2,705$

$a_{200}={\left(1+\frac{1}{120}\right)}^{200}\approx 2,716$

$a_{2500}={\left(1+\frac{1}{2500}\right)}^{2500}\approx 2,7177$

Jak widać ciąg ten jest zbieżny do liczby, która w przybliżeniu jest równa $2,7$. Liczba ta oznaczana jest literą $e$ i jest ona liczbą niewymierną. Jest ona w przybliżeniu równa

wszystkie wyrazy ciągu poza co najwyżej ich skończoną ilością

otoczeniem punktu $x_0$ o promieniu $\epsilon >0$ nazywamy zbiór

liczba rzeczywista $g$ taka, że dla dowolnej liczby dodatniej $\epsilon$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n>N$ zachodzi $\left|a_n-g\right|<\epsilon$

przedział $\left(x_0-\epsilon ,x_0\right)$ dla pewnej liczby $\epsilon >0$

przedział $\left(x_0,x_0+\epsilon \right)$ dla pewnej liczby $\epsilon >0$