3. Obliczanie granic ciągów zbieżnych

R1KyX0DWblP9W

Ciąg posiadający granicę, która jest liczbą rzeczywistą nazywamy ciągiem zbieżnym. W tym temacie zajmiemy się zagadnieniem arytmetyki granic ciągów zbieżnych. W szczególności sprawdzimy czy jeśli dodamy do siebie dwa ciągi zbieżne, to uzyskany w ten sposób ciąg też będzie zbieżny. Jeśli tak to jaka będzie jego granica? Zajmiemy się też między innymi różnicą, iloczynem oraz ilorazem dwóch ciągów zbieżnych oraz podamy przykłady ilustrujące wykorzystanie tych zagadanień do obliczania granic ciągów.

Twoje cele

Dowiesz się kiedy suma, różnica, iloczyn i iloraz ciągów zbieżnych jest ciągiem zbieżnym.
Poznasz zasady działań na granicach ciągów zbieżnych.
Obliczysz granice ciągów zbieżnych wykorzystując twierdzenia o arytmetyce granic.

Suma i różnica ciągów zbieżnych

Twierdzenie: Suma i różnica ciągów zbieżnych

Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,

to suma oraz różnica tych ciągów jest również ciągiem zbieżnym oraz

lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b

lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b

Przykład 1

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n + 1}{n}

Mamy

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n} = lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n}{n} + \frac{1}{n}) = lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})

Ponieważ ciągi $a_{n} = 2$ oraz $b_{n} = \frac{1}{n}$ są zbieżne a ich granice są równe odpowiednio $2$ i $0$ więc

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n} = 2 + 0 = 2 .

Przykład 2

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{3} - \sqrt[n]{5}

Ponieważ granica ciągu o wyrazie ogólnym $a_{n} = \sqrt[n]{a}$ dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ jest równa $1$ więc

lim_{n \to + \infty} (\sqrt[n]{3} - \sqrt[n]{5}) = 1 - 1 = 0 .

Iloczyn ciągów zbieżnych

Twierdzenie: Iloczyn ciągów zbieżnych

Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,

to iloczyn tych ciągów jest również ciągiem zbieżnym oraz

lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b

Przykład 3

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{n} (3 - \frac{2}{n}) .

Ponieważ $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ oraz $lim_{n \to + \infty} (3 - \frac{2}{n}) = 3 - 0 = 3$ więc z powyższego twierdzenia otrzymujemy

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} (3 - \frac{2}{n}) = 1 \cdot 3 = 3 .

Iloczyn ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera

Własność: Iloczyn ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera

Jeżeli $lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ natomiast ciąg $(b_{n})$ jest ograniczony, to

lim_{n \to + \infty} a_{n} \cdot b_{n} = 0 .

Przykład 4

Obliczymy granicę ciągu

a_{n} = \frac{sin (2 n + 1)}{n} .

Ponieważ ciąg $b_{n} = sin (2 n + 1)$ jest ograniczony (wynika to z faktu, że zbiór wartości funkcji sinus jest ograniczony) oraz granica ciągu $a_{n} = \frac{1}{n}$ jest równa $0$ więc z powyższej własności mamy

lim_{n \to + \infty} \frac{sin (2 n + 1)}{n} = lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot sin (2 n + 1) = 0

Iloczyn ciągu przez liczbę

Własność: Iloczyn ciągu przez liczbę

Jeśli $lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ oraz $c \in ℝ$ , to

lim_{n \to + \infty} (c \cdot a_{n}) = c \cdot lim_{n \to + \infty} a_{n} = c \cdot a .

Przykład 5

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = 7 \sqrt[n]{n}

Ponieważ $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ , więc z powyższej własności mamy

lim_{n \to + \infty} 7 \sqrt[n]{n} = 7 \cdot lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} = 7 \cdot 1 = 7 .

Iloraz ciągów zbieżnych

Twierdzenie: Iloraz ciągów zbieżnych

Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne, przy czym $b_{n} \neq 0$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \neq 0,

to iloraz tych ciągów jest również ciągiem zbieżnym oraz

lim_{n \to + \infty} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}

Przykład 6

Obliczymy granicę ciągugranica ciągugranicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n^{2} + n - 1}{3 n^{2} + 2}

W celu obliczenia granicy ciągu będącego ilorazem dwóch wielomianów, wyciągamy w liczniku i mianowniku najwyższą potęgę $n$ przed nawias.

\frac{2 n^{2} + n - 1}{3 n^{2} + 2} = \frac{n^{2} (2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (3 + \frac{2}{n^{2}})} = \frac{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{3 + \frac{2}{n^{2}}}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = 2 + 0 + 0 = 2

oraz

lim_{n \to + \infty} (3 + \frac{2}{n^{2}}) = 3 + 0 = 3

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n - 1}{3 n^{2} + 2} = \frac{2}{3} .

Przykład 7

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n + 5}{n^{2} + 1} .

Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyciągamy najwyższą potęgę licznika i mianownika przed nawias.

\frac{2 n + 5}{n^{2} + 1} = \frac{n (2 + \frac{5}{n})}{n^{2} (1 + \frac{1}{n^{2}})} = \frac{2 + \frac{5}{n}}{n (1 + \frac{1}{n^{2}})} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2 + \frac{5}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} \frac{2 + \frac{5}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2}{1} = 2

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 5}{n^{2} + 1} = lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n} \cdot \frac{2 + \frac{5}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}) = 0 \cdot 2 = 0 .

Polecenie 1

Poniżej znajduje się galeria zdjęć interaktywnych, na której przedstawiono w jaki sposób można obliczyć granicę sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych. Zapoznaj się z przedstawionymi w niej przykładami a następnie wykonaj zamieszczone pod nią polecenia.

RqlTG9NZH1ZJJ

Rxc3Th6dtr3UB

RCuvpG5qhei36

RkcLXRndmPf1F

R10GK1xXlVR5A

Polecenie 2

Korzystając z twierdzeń o działaniach arytmetycznych na ciągach zbieżnych, obliczyć granicę

lim_{n \to + \infty} (5 \sqrt[n]{3} - 3 \sqrt[n]{5})

lim_{n \to + \infty} (5 \sqrt[n]{3} - 3 \sqrt[n]{5}) = 2 .

Polecenie 3

Korzystając z twierdzeń o działaniach arytmetycznych na ciągach zbieżnych, obliczyć granicę

lim_{n \to + \infty} [(1 - \frac{2}{n}) \cdot (3 + {(\frac{1}{4})}^{n})]

lim_{n \to + \infty} [(1 - \frac{2}{n}) \cdot (3 + {(\frac{1}{4})}^{n})] = 3

Przykład 8

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

lim_{n \to + \infty} \frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} .

Na początek wyłączamy najwyższą potęgę licznika i mianownika, czyli $n^{2}$ , przed nawias.

\frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} = \frac{n^{2} (3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}})} = \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} (3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}) = 3 - 0 + 0 = 3

lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = 2 + 0 - 0 = 2

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} = \frac{3}{2}

Zauważmy, że w powyższym przykładzie granicą ciągu jest iloraz współczynników stojących przy najwyższych potęgach $n$ licznika i mianownika. Okazuje się, że nie jest to przypadek. Zachodzi bowiem następująca własność.

Granica ilorazu wielomianów (1)

Własność: Granica ilorazu wielomianów (1)

Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)},

gdzie $W_{k} (n), P_{k} (n)$ są dwoma wielomianami stopnia $k$ , tzn.

W_{k} (n) = a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + a_{2} n^{2} + a_{1} n + a_{0}

P_{k} (n) = b_{k} n^{k} + b_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + b_{2} n^{2} + b_{1} n + b_{0}

Wówczas

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)} = \frac{a_{k}}{b_{k}} .

Dowód.

W celu obliczenia granicy danego ciągu wyłączamy w liczniku oraz w mianowniku najwyższą potęgę, czyli $n^k$ . Otrzymamy wówczas

$\frac{W_k(n)}{P_k(n)}=\frac{n^k\left( a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{a_0}{n^k}\right)}{n^k\left( b_k+\frac{b_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{b_0}{n^k}\right)}=\frac{ a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{a_0}{n^k}}{ b_k+\frac{b_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{b_0}{n^k}}$

Ponieważ

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{k-1}}{n}=\ldots =\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{0}}{n^k}=0$

oraz

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{b_{k-1}}{n}=\ldots =\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{b_{0}}{n^k}=0$

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)} = \frac{a_{k}}{b_{k}} .

Co kończy dowód.

Przykład 9

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n - 3}{3 n + 1} - \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1} .

Korzystając z powyższej własności mamy, że

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n - 3}{3 n + 1} = \frac{2}{3},

lim_{n \to + \infty} \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1} = \frac{1}{5} .

Zatem

lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n - 3}{3 n + 1} - \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{7}{15} .

Przykład 10

Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}}

W celu obliczenia jego granicy wyłączamy w mianowniku najwyższą potęgę $n$ przed nawias.

\frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}} = \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} (n^{2} + 3 n - 2)} = \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2}

Z wcześniejszej własności wiemy, że

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2} = 2 .

Wiemy również, że $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ . Stąd

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}} = lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2}) = 0 \cdot 2 = 0 .

Zauważmy, że w powyższym przykładzie wyraz ogólny ciągu jest ułamkiem, który w mianowniku ma wielomian stopnia wyższego niż wielomian w liczniku. W takiej sytuacji granica ciągu jest zawsze równa zero. Można to zapisać w postaci własności.

Granica ilorazu wielomianów (2)

Własność: Granica ilorazu wielomianów (2)

Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{W_{k} (n)}{P_{l} (n)},

gdzie $W_{k} (n), P_{l} (n)$ są dwoma wielomianami stopni $k$ oraz $l$ . Jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, tzn. $k < l$ , to

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{l} (n)} = 0 .

Przypomnijmy sobie, że $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = 1$ o ile $lim_{n \to + \infty} a_{n} = a > 0 .$ Spójrzmy na kolejny przykład.

Przykład 11

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}}

Na początek przekształcimy wyraz ogólny ciągu wyłączając przed nawias pod pierwiastkiem wyrażenie $5^{n}$

\sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}} = \sqrt[n]{5^{n} \cdot [5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}]} .

Następnie zapisujemy pierwiastek iloczynu w postaci iloczynu pierwiastków

\sqrt[n]{5^{n} \cdot [5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}]} = \sqrt[n]{5^{n}} \cdot \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}} .

Ciągi $b_{n} = {(\frac{3}{5})}^{n}$ oraz $c_{n} = {(\frac{2}{5})}^{n}$ są ciągami geometrycznymi o ilorazie mniejszym od $1$ a zatem są zbieżne do zera. Stąd $lim_{n \to + \infty} (5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}) = 5$ a zatem

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}} = 1 .

Ponieważ $\sqrt[n]{5^{n}} = 5$ więc granica wyjściowego ciągu jest równa

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}} = lim_{n \to + \infty} (\sqrt[n]{5^{n}} \cdot \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}}) = 5 \cdot 1 = 5 .

Przykład 12

Zapoznaj się z poniższą infografiką, na której przedstawiono sposób na obliczenie granicy pewnego typu ciągu. Wyraz ogólny tego ciągu, to pierwiastek $n$ -tego stopnia z wielomianu.

RctRGuffLpGGj

Ilustracja interaktywna przedstawia kolejne etapy obliczania granicy. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden koniec pierwiastka, równa się 1. Wyciągamy pod pierwiastkiem n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego przed nawias. równa się, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, równa się, 2. Zapisujemy iloczyn pod pierwiastkiem w postaci iloczynu pierwiastków. równa się, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, pierwiastek stopnia n z n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, pierwiastek stopnia n z nawias, jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, 3. Korzystamy z twierdzenia o iloczynie ciągów zbieżnych. równa się, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, pierwiastek stopnia n z n koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z nawias, jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, koniec pierwiastka, równa się, 4. Ponieważ limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z n koniec pierwiastka, równa się, jeden, więc limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, pierwiastek stopnia n z n koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden., 5. Ponieważ limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, więc limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, jeden. Ostatecznie mamy, że to dalej równa się, jeden, razy, jeden, równa się, jeden.

Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższym samouczkiem, na którym przedstawiono kilka przykładów obliczania granic ciągów zbieżnych z wykorzystaniem twierdzeń poznanych wcześniej. Po zapoznaniu się z nagraniem wykonaj zamieszczone pod nim polecenia.

R17yHUl6UZ2St

Polecenie 5

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{1 + 3 + \dots + (2 n - 5)}{3 + 6 + \dots + 3 n} .

$lim_{n \to + \infty} a_{n} = \frac{2}{3}$

Polecenie 6

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt{4 n^{2} - 8 n} - 2 n .

$lim_{n \to + \infty} a_{n} = - 2$

RZkv48DeYp9AK1

Ćwiczenie 1

R1XBysBPyaa3g1

Ćwiczenie 2

R17vxGgLk31Ue2

Ćwiczenie 3

RP4IQjSU1R6ab2

Ćwiczenie 4

R1NLlWzcdXvVP2

Ćwiczenie 5

RbTzab5Oi0Rar2

Ćwiczenie 6

R15qNLf49Rk933

Ćwiczenie 7

Połacz w pary ciągi z ich granicami. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, plus, dwa, mianownik, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwa, 5. zero a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa, minus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwa, 5. zero a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, trzy n, plus, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwa, 5. zero a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, plus, trzy, mianownik, jeden, plus, n indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwa, 5. zero a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, n, plus, trzy, mianownik, jeden, plus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwa, 5. zero

RPjekxYc0misP3

Ćwiczenie 8

R1AeGkDptEe1B1

Ćwiczenie 9

RXFsCOeYKQVWg1

Ćwiczenie 10

R1M67TnDnTTkL2

Ćwiczenie 11

RLMpEMTEuD0uW2

Ćwiczenie 12

R2lmFz3UzUeJ82

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

R1eFXhHXDZZeC

R1ckGvpiBwmhK

R68EY9j38Nmsl3

Ćwiczenie 15

RuH6rQ19PGOvI3

Ćwiczenie 16

Połącz w pary ciągi o tych samych granicach. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, mianownik, n, plus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, plus, pięć, mianownik, trzy n, plus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć, mianownik, piętnaście n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, n, plus, dwa, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n, plus, trzy, mianownik, trzy n, plus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, sześć n, plus, dwa, plus, pięć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, jeden, plus, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć n, plus, trzy, mianownik, trzy n, plus, dwa n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, sześć n, plus, dwa, mianownik, jeden, plus, cztery n, koniec ułamka a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, minus, pięć, mianownik, pięć n, plus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, mianownik, n, plus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, plus, pięć, mianownik, trzy n, plus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć, mianownik, piętnaście n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, n, plus, dwa, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n, plus, trzy, mianownik, trzy n, plus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, sześć n, plus, dwa, plus, pięć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, jeden, plus, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć n, plus, trzy, mianownik, trzy n, plus, dwa n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, sześć n, plus, dwa, mianownik, jeden, plus, cztery n, koniec ułamka a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dziewięć n indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, plus, pięć, mianownik, dwa n indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześć n indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, mianownik, n, plus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, plus, pięć, mianownik, trzy n, plus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć, mianownik, piętnaście n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, n, plus, dwa, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n, plus, trzy, mianownik, trzy n, plus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, sześć n, plus, dwa, plus, pięć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, jeden, plus, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć n, plus, trzy, mianownik, trzy n, plus, dwa n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, sześć n, plus, dwa, mianownik, jeden, plus, cztery n, koniec ułamka a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy n indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, cztery n indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, mianownik, n, plus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa n, plus, pięć, mianownik, trzy n, plus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć, mianownik, piętnaście n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, n, plus, dwa, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n, plus, trzy, mianownik, trzy n, plus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, sześć n, plus, dwa, plus, pięć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, jeden, plus, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć n, plus, trzy, mianownik, trzy n, plus, dwa n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, sześć n, plus, dwa, mianownik, jeden, plus, cztery n, koniec ułamka

Słowniczek

granica ciągu

liczba rzeczywista $g$ taka, że dla dowolnej liczby dodatniej $ε$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi $| a_{n} - g | < ε$

2. Zbieżność ciągu

4. Twierdzenie o trzech ciągach