4. Twierdzenie o trzech ciągach

R1KYKL4xoX5bL

Twierdzenie o trzech ciągach jest jednym z narzędzi używanych do badania czy dany ciąg jest zbieżny i jaką ma granicę. Twierdzenie to ma swoją (nieco żartobliwą) interpretację w postaci twierdzenia o policjantach: Jeśli idziesz pomiędzy dwoma policjantami i Ci policjanci zmierzają na ten sam komisariat, to Ty również tam zmierzasz. W tym temacie poznamy matematyczną interpretację tego twierdzenia.

Twoje cele

Poznasz twierdzenie o trzech ciągach.
Uzasadnisz zbieżność pewnych ciągów, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach.
Obliczysz granicę ciągów wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach.

Temat ten poświęcimy przedstawieniu ważnego narzędzia, które pozwala stwierdzać zbieżność ciągu oraz wyznaczać jego granicę. Jest to twierdzenie o trzech ciągach. Intuicyjnie mówi ono, że jeśli uda nam się ograniczyć ogólny wyraz ciągu z góry oraz z dołu przez ogólne wyrazy ciągów zbieżnych do tej samej granicy, to wyjściowy ciąg też jest zbieżny do tej samej granicy. Formalnie można je zapisać następująco.

o trzech ciągach

Twierdzenie: o trzech ciągach

Niech dane będą nieskończone ciągi $(a_{n}), (b_{n}), (c_{n})$ . Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągówprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkich wyrazów tych ciągów zachodzą nierówności

b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}

oraz

lim_{n \to + \infty} b_{n} = g, lim_{n \to + \infty} c_{n} = g,

to wówczas również

lim_{n \to + \infty} a_{n} = g .

Poniższe przykłady pokazują w jaki sposób można użyć powyższego twierdzenia do stwierdzania zbieżności ciągu i obliczenia jego granicy.

Przykład 1

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}}

Zauważmy, że dla każdego $n \in ℕ$

7 = \sqrt[n]{7^{n}} \leq \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}}

oraz

\sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}} \leq \sqrt[n]{7^{n} + 7^{n}} = \sqrt[n]{2 \cdot 7^{n}} = \sqrt[n]{2} \cdot 7.

Wykazaliśmy zatem, że

7 \leq \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}} \leq \sqrt[n]{2} \cdot 7

Mamy więc dwa ciągi $b_n=7$ oraz $c_n=\sqrt[n]{2}\cdot 7$ takie, że

$\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=7 \quad , \quad \lim\limits_{n\to +\infty}c_n=7\cdot\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{2}=7\cdot 1=7$

Ponieważ ciągi $b_n$ oraz $c_n$ są zbieżne do tej samej granicy równej $7$ więc z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{3^{n} + 7^{n}} = 7.

Przykład 2

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{2^{- n} - 3^{- n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} .

Na początek zauważmy, że

\sqrt[n]{2^{- n} - 3^{- n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} = \sqrt[n]{{(\frac{1}{2})}^{n} + {(\frac{1}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} .

Ponadto dla każdego $n \in ℕ$ mamy

\sqrt[n]{{(\frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{1}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} \leq \sqrt[n]{{(\frac{2}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} = \sqrt[n]{3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}} = \sqrt[n]{3} \cdot \frac{2}{3}

oraz

\frac{2}{3} = \sqrt[n]{{(\frac{2}{3})}^{n}} \leq \sqrt[n]{{(\frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{1}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} .

Zatem

\frac{2}{3} \leq \sqrt[n]{{(\frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{1}{3})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}} \leq \sqrt[n]{3} \cdot \frac{2}{3}

Ponieważ pierwszy i trzeci ciąg w powyższych nierównościach są zbieżne do granicy równej $\frac{2}{3}$ więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{(\frac{1}{2})^{n} - (\frac{1}{3})^{n} + (\frac{2}{3})^{n}} = \frac{2}{3}

Przykład 3

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n + {(- 1)}^{n}}{3 n + 5} .

Zauważmy, że wyrażenie ${(- 1)}^{n}$ przyjmuje tylko dwie wartości: $1$ lub $-1$ więc dla każdego $n \in ℕ$ wyraz ogólny ciągu możemy oszacować w następujący sposób

\frac{2 n - 1}{3 n + 5} \leq \frac{2 n + {(- 1)}^{n}}{3 n + 5} \leq \frac{2 n + 1}{3 n + 5}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n - 1}{3 n + 5} = lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{3 n + 5} = \frac{2}{3},

więc z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + (- 1)^{n}}{3 n + 5} = \frac{2}{3} .

Przykład 4

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

$a_n=\frac{3n+\cos n}{n+1}.$

Ponieważ $-1\le \cos{n}\le 1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ , więc wyraz ogólny ciągu $a_n$ możemy oszacować następująco

$\frac{3n-1}{n+1}\le \frac{3n+\cos n}{n+1}\le \frac{3n+1}{n+1}.$

Po lewej oraz prawej stronie otrzymaliśmy ciągi $b_n=\frac{3n-1}{n+1}$ oraz $c_n=\frac{3n+1}{n+1}$ . Ponieważ

$\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=\lim\limits_{n\to +\infty}c_n=3$

więc z twierdzenia o trzech ciągach wnisokujemy, że $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=3$ .

Na koniec podamy jeszcze jedno twierdzenie.

o zachowaniu nierówności

Twierdzenie: o zachowaniu nierówności

Niech dane będą nieskończone ciągi $(a_{n}), (b_{n})$ . Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazówprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkich wyrazów tych ciągów zachodzi nierówność

a_{n} < b_{n}

oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a, lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,

a \leq b .

Przykład 5

Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym

$a_n=\frac{\sin^2n}{n+1}.$

Z faktu, że $-1\lt \sin{n}\lt 1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ wynika, że $\sin^2{n}\lt 1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ . Stąd

$\frac{\sin^2n}{n+1}\lt \frac{1}{n+1}.$

Z przytoczonej powyżej własności wnioskujemy zatem, że

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\sin^2n}{n+1}\le \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}.$

Ponieważ $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}=0$ , więc

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\sin^2n}{n+1}\le 0.$

Z drugiej strony jasne jest, że $\frac{\sin^2n}{n+1}\ge 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ , co wraz z ostatnią nierównością oznacza, że

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\sin^2n}{n+1}= 0.$

Polecenie 1

Poniżej znajduje się animacja, na której przedstawiono dowód twierdzenia o trzech ciągach. Zapoznaj się z nią a następnie wykonaj umieszczone pod nią polecenia.

RS9dcJznW031V

Polecenie 2

Korzystając z twierdzenia trzech ciągach, wyznacz granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{5^{n} + 3^{2 n} + 2^{n}}

9 \leq \sqrt[n]{5^{n} + 3^{2 n} + 2^{n}} \leq \sqrt[n]{3 \cdot 9^{n}}

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5^{n} + 3^{2 n} + 2^{n}} = 9

Polecenie 3

Korzystając z twierdzenia trzech ciągach, wyznacz granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2}{\sqrt[n]{3^{n} + 6^{n}}}

\frac{2}{\sqrt[n]{2 \cdot 6^{n}}} \leq \frac{2}{\sqrt[n]{3^{n} + 6^{n}}} \leq \frac{2}{\sqrt[n]{6^{n}}}

lim_{n \to + \infty} \frac{2}{\sqrt[n]{3^{n} + 6^{n}}} = \frac{1}{3}

RrYQukCSAWHvO1

Ćwiczenie 1

Rmmjdhp1cI7d01

Ćwiczenie 2

R1VOosiqOLakA2

Ćwiczenie 3

R1evuC3PFkKDy2

Ćwiczenie 4

R1Vhi6XRpfpK92

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

RyDahNmsBLbcP

R9uMpGavKuEiS

RClWVzOkDBi1L3

Ćwiczenie 7

R1LYO2cHNwsuZ3

Ćwiczenie 8

Połącz w pary ciągi o tych samych granicach. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek stopnia n z pięć indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, siedem koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, kosinus nawias n, minus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa, plus, n, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, plus, dwa kosinus n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery n, plus, jeden, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sinus nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, plus, pięć n, mianownik, n, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa n, plus, jeden, koniec ułamka a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia n z trzy indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, cztery indeks górny, n, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, kosinus nawias n, minus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa, plus, n, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, plus, dwa kosinus n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery n, plus, jeden, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sinus nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, plus, pięć n, mianownik, n, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa n, plus, jeden, koniec ułamka a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek stopnia n z dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, pięć indeks górny, jeden, minus, n, koniec indeksu górnego, plus, cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, kosinus nawias n, minus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa, plus, n, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, plus, dwa kosinus n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery n, plus, jeden, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sinus nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, plus, pięć n, mianownik, n, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa n, plus, jeden, koniec ułamka a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek stopnia n z trzy indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa indeks górny, dwa n, plus, jeden, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, kosinus nawias n, minus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa, plus, n, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, plus, dwa kosinus n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery n, plus, jeden, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sinus nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, plus, pięć n, mianownik, n, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa n, plus, jeden, koniec ułamka a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, pierwiastek stopnia n z trzy indeks górny, dwa n, koniec indeksu górnego, plus, sześć indeks górny, n, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, kosinus nawias n, minus, trzy zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, koniec ułamka, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa, plus, n, koniec ułamka, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, plus, dwa kosinus n, mianownik, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery n, plus, jeden, koniec ułamka, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sinus nawias, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, plus, pięć n, mianownik, n, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, n, plus, kosinus n, mianownik, dwa n, plus, jeden, koniec ułamka

Słownik

prawie wszystkie wyrazy ciągu

wszystkie wyrazy ciągu poza co najwyżej skończoną ich ilością

3. Obliczanie granic ciągów zbieżnych

5. Ciągi rozbieżne do nieskończoności

4. Twierdzenie o trzech ciągach

Słownik