• Zapoznasz się z pojęciem szeregu liczbowego.

• Nauczysz się rozpoznawać szeregi geometryczne zbieżne i rozbieżne.

• Nauczysz się obliczać sumy szeregów geometrycznych.

Szeregiem o wyrazach $a_1,a_2,a_3,...$ nazywamy ciąg, którego kolejnymi wyrazami są sumy początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$:

$s_1=a_1$,

$s_2=a_1+a_2$,

$s_3=a_1+a_2+a_3$,

...

Liczby $s_1,s_2,s_3,...$ nazywane są sumami częściowymi szeregu o wyrazach $a_1,a_2,a_3,...$ Szereg o wyrazach $a_1,a_2,a_3,...$ oznaczamy symbolem $a_1+a_2+a_3+...$ lub symbolem $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$.

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu, jeżeli suma szeregu jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli suma szeregu jest nieskończona lub jeżeli ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy, to szereg nazywamy rozbieżnym. Jeżeli szereg ma sumę skończoną, to oznaczamy ją tak jak szereg $a_1+a_2+a_3+...$ lub symbolem $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$.

Wracamy do przykładu $1-1+1-1+1-1+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n+1}$.

Rozwiązanie

Mamy ciąg $a_n={\left(-1\right)}^{n+1}$.

Zobaczmy jak wygląda ciąg sum częsciowych:

$s_1=1$,

$s_2=1-1=0$,

$s_3=1-1+1=1$,

$s_4=1-1+1-1=0$,

i tak dalej.

Zatem ciąg $\left(s_n\right)$ jest ciągiem $1,0,1,0,1,0,...$ rozbieżnym.

Zatem szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n+1}$ jest szeregiem rozbieżnym.

Zbadamy zbieżność szeregu: $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$.

Rozwiązanie

Zapiszmy kolejne sumy częściowe ciągu $a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$:

$s_1=\sqrt{2}-\sqrt{1}$,

$s_2=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=\sqrt{3}-\sqrt{1}$,

$s_3=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)=\sqrt{4}-\sqrt{1}$,

...

Zatem wzór ciągu sum częściowych jest następujący:

$s_n=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+\dots +\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=$

$=\sqrt{n+1}-\sqrt{1}=\sqrt{n+1}-1$.

Ponieważ

$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{1}\right)=+\infty$,

zatem szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ jest rozbieżny.

Zbadamy zbieżność szeregu: $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

Rozwiązanie

Zapiszmy kolejne sumy częściowe ciągu $a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$:

$s_1=\frac{1}{2}$

$s_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$s_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$

Możemy zauważyć, że sumy częściowe to sumy początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1=\frac{1}{2}$ i ilorazie $q=\frac{1}{2}$. Zatem możemy zastosować wzór na sumę początkowych wyrazówsuma początkowych wyrazów ciągu geometrycznegowzór na sumę początkowych wyrazów:

$s_n=\frac{1}{2}\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}$

czyli

$s_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

Ponieważ ciąg $b_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ zmierza do $0$, zatem granicą ciągu $s_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ jest $1$.

Wobec tego szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ jest zbieżny do $1$.

Ten przykład możemy zwizualizować na poniższym rysunku: w kwadracie o boku $1$ sumujemy pola prostokątów o polach kolejno: $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...$ Łatwo zauważyć, że prostokąty te wypełniają cały kwadrat, czyli nieskończona suma wszystkich pól prostokątów jest równa $1$.

R1GAAHkxGSIXR

Grafika przedstawia kwadrat, który jest podzielony na mniejsze prostokąty. Pierwszy prostokąt stanowi lewą połowę kwadratu, jego poziomy bok stanowi połowę podstawy kwadratu, a pionowy jest równy bokowi kwadratu. Prostokąt ten jest podpisany 1/2. Z prawej strony tego prostokąta znajduje się kwadrat oraz prostokąt. Kwadrat o boku równym 1/4 boku dużego kwadratu. Kwadrat ten znajduje się w lewym górnym rogu pierwszego kwadratu i jest podpisany 1/4. Pod tym kwadratem znajduje się prostokąt. Pionowa ściana tego prostokąta przylega do prawego boku prostokąta z podpisem 1/2. i ma długość 1/4 boku największego kwadratu. Pozioma ściana tego prostokąta m długość 1/8 boku największego kwadratu. Prostokąt ten jest podpisany 1/8. Z prawej strony tego prostokąta znajduje się kwadrat oraz prostokąt. Kwadrat przylega do kwadratu z podpisem 1/8 oraz kwadratu z podpisem 1/4. Jego boki mają długości równe połowie długości boków kwadratu z podpisem 1/4. Pod tym kwadratem znajduje się prostokąt. Pozioma ściana tego prostokąta ma połowę długości kwadratu z podpisem 1/16, natomiast pionowa ściana połowę długości ściany prostokąta z podpisem 1/8. Prostokąt ten jest podpisany 1/32. Obok tego prostokąta znajduje się kwadrat i prostokąt i są ułożone w taki sam sposób jak poprzednie figury i tak dalej, aż figury są tak małe, że ciężko je rozróżnić.

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci: $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}$, gdzie $a_1$, $q\in \mathrm{ℝ}$. Liczbę q nazywamy ilorazem szeregu geometrycznego.

Sprawdzimy, czy szereg $1+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\dots$ jest szeregiem geometrycznym.

Rozwiązanie

Aby szereg był geometryczny, sprawdzamy czy kolejne składniki sumy są wyrazami ciągu geometrycznego. Powinny zatem zachodzić równości:

$\frac{\frac{1}{6}}{1}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}}=\frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}}=\dots$

Obliczamy

$\frac{\frac{1}{6}}{1}=\frac{1}{6}$

$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}}=\frac{1}{2}$

Ponieważ kolejne składniki szeregu nie są wyrazami ciągu geometrycznego, zatem nie jest to szereg geometryczny.

Jeżeli $\left|q\right|<1$ lub $a_1=0$, to szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}$ jest zbieżny.

Jeżeli $a_1=0$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=0$.

Jeżeli $\left|q\right|<1$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$.

Dany jest szereg geometryczny: $1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\dots$ Zbadamy, czy podany szereg jest zbieżny. Jeżeli jest zbieżny, podamy jego sumę.

Rozwiązanie

Zbadamy jaki jest iloraz podanego szeregu:

$q=\frac{-\frac{2}{3}}{1}=-\frac{2}{3}$

Zatem $\left|q\right|=\frac{2}{3}<1$

Zatem szereg jest zbieżny i jego suma jest równa: $1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}-\frac{8}{27}+\dots =\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{3}{5}$.

Dany jest szereg geometryczny: $x+\frac{x}{x+1}+\frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x}{{\left(x+1\right)}^3}+\dots$.

Zbadamy, dla jakich wartości $x$ podany szereg jest zbieżny. W przypadku, gdy szereg jest zbieżny wyznaczymy jego sumę.

Rozwiązanie

Szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1=0$ lub $\left|q\right|<1$.

Ponieważ w analizowanym szeregu $a_1=x$ i $q=\frac{1}{x+1}$, zatem, aby szereg był zbieżny, musi zajść jeden z dwóch warunków:

$x=0$ lub $\left|\frac{1}{x+1}\right|<1$.

Rozwiązujemy nierówność: $\left|\frac{1}{x+1}\right|<1$.

Wówczas $1<\left|x+1\right|$

$x+1>1$ lub $x+1<-1$

$x>0$ lub $x<-2$

Jeżeli $x=0$, to $x+\frac{x}{x+1}+\frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x}{{\left(x+1\right)}^3}+\dots =0$.

Jeżeli $x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,+\infty \right)$, to $x+\frac{x}{x+1}+\frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x}{{\left(x+1\right)}^3}+\dots =\frac{x}{1-\frac{1}{x+1}}=x+1$.

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny gdy $x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left.⟨0,+\infty \right)$.

Ułamek okresowy $0,\left(31\right)$ zamienimy na ułamek zwykły.

Rozwiązanie

Zapiszmy ułamek $0,\left(31\right)$ w następujący sposób:

$0,\left(31\right)=0,313131\dots =0,31+0,0031+0,000031+\dots =$

$=31·{10}^{-2}+31·{10}^{-4}+31·{10}^{-6}+\dots$

Ułamek ten stanowi sumę szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, w którym $a_1=31·{10}^{-2}$ i iloraz $q={10}^{-2}$. Szereg ten jest więc zbieżny, bo $\left|q\right|<1$, a jego suma jest równa:

$S=31·{10}^{-2}·\frac{1}{1-{10}^{-2}}=\frac{31}{99}$.

Odpowiedź: $0,\left(31\right)=\frac{31}{99}$.

Ułamek okresowy $2,5\left(141\right)$ zamienimy na ułamek zwykły.

Rozwiązanie

Zapiszmy ułamek $2,5\left(141\right)$ w następujący sposób:

$2,5\left(141\right)=2,5+0,0141+0,0000141+0,0000000141+\dots =$

$=2,5+141·{10}^{-4}+141·{10}^{-7}+141·{10}^{-10}+\dots$

Suma tych wszystkich składników, poczynając od drugiego, jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1=141·{10}^{-4}$ i ilorazie $q={10}^{-3}$.

Szereg ten jest więc zbieżny, gdyż $\left|q\right|<1$, a jego suma jest równa: $S=141·{10}^{-4}·\frac{1}{1-{10}^{-3}}=\frac{141}{0,999}·{10}^{-4}·$.

Stąd otrzymujemy:

$2,5\left(141\right)=2,5+\frac{141}{9990}=2,5+\frac{47}{3330}=\frac{25}{10}+\frac{47}{3330}=\frac{8325}{3330}+\frac{47}{3330}=\frac{8372}{3330}$.

Odpowiedź: $2,5\left(141\right)=\frac{8372}{3330}$.

Wyznaczymy szereg geometryczny, którego suma jest równa $\frac{6}{5}$, a suma kwadratów wyrazów tego szeregu wynosi $\frac{36}{5}$.

Rozwiązanie

Oznaczmy szukany szereg jako: $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$.

Zadanie sprowadza się do znalezienia dwóch parametrów tego ciągu: pierwszego wyrazu $a_1$ i ilorazu $q$.

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest zbieżny, więc $\left|q\right|<1$.

W takim razie szereg o pierwszym wyrazie $a_1^2$ i ilorazie $q^2$ też jest zbieżny.

Zapiszmy układ warunków:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{5}\\ \frac{a_1^2}{1-q^2}=\frac{36}{5}\end{array}\right.$

Wyliczmy $a_1$ z pierwszego równania: $a_1=\frac{6}{5}\left(1-q\right)$ i podstawmy do drugiego:

$\frac{{\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\left(1-q\right)\right)}^2}{1-q^2}=\frac{36}{5}$

$\frac{{\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)}^2\left(1-q\right)}{1+q}=\frac{36}{5}$

$1-q=5\left(1+q\right)$

$6q=-4$

$q=-\frac{2}{3}$

Wyliczona wartość $q$ spełnia warunek zbieżności.

Wyliczamy $a_1=\frac{6}{5}\left(1-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)=\frac{6}{5}·\frac{5}{3}=2$.

Odpowiedź: $a_1=2$, $q=-\frac{2}{3}$.

Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych jest równa $12$, a suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych jest równa $4$. Znajdź ten ciąg.

Rozwiązanie

Oznaczmy szukany szereg jako: $\left(a_n\right)$. Niech $a_1$ będzie pierwszym wyrazem i $q$ będzie ilorazem tego ciągu.

Zwróćmy uwagę na to, że szereg geometryczny utworzony z wyrazów o nieparzystych numerach ciągu $\left(a_n\right)$ jest szeregiem geometrycznym zbieżnym o ilorazie $q^2$ i pierwszym wyrazie $a_1$. Zatem $\left|q^2\right|<1$, czyli $\left|q\right|<1$. Stąd wynika, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest zbieżny.

Analogicznie możemy stwierdzić, że szereg utworzony z wyrazów o parzystych numerach ciągu $\left(a_n\right)$ jest szeregiem geometrycznym zbieżnym o ilorazie $q^2$ i pierwszym wyrazie $a_2=q{a}_1$.

Zapiszmy zatem sumy szeregów z zadania:

$\frac{a_2}{1-q^2}=4$, czyli $\frac{q{a}_1}{1-q^2}=4$,

$\frac{a_1}{1-q^2}=12$.

Z układu wynika, że $12q=4$, czyli $q=\frac{1}{3}$. Zatem $a_1=12\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right)=\frac{32}{3}$.

Jeżeli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$, to suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

• $s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$, gdy $q\ne 1$,

• $s_n=n·a_1$, gdy $q=1$

szereg, dla którego ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy liczbowej

jeżeli $\left|q\right|<1$ lub $a_1=0$, to szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}$ jest zbieżny.

Jeżeli $a_1=0$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=0$.

Jeżeli $\left|q\right|<1$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$