• Nauczysz się rozwiązywać zadania geometryczne za pomocą szeregów geometrycznych.

• Przypomnisz sobie podstawowe związki w metryczne w figurach geometrycznych.

• Nauczysz się stosować szereg geometryczny w zadaniach egzaminacyjnych.

Odcinek długości $1$ dzielimy na $3$ równe części i usuwamy środkowy odcinek otwarty. Sumę długości odcinków, które pozostały oznaczamy przez $a_1$. Następnie każdy z tych odcinków ponownie dzielimy na $3$ równe części i usuwamy z każdego z nich środkowy odcinek otwarty, otrzymując cztery odcinki, których sumę długości oznaczamy przez $a_2$. Konstrukcję tę powtarzamy nieskończenie wiele razy. Obliczymy sumę $a_1+a_2+a_3+\dots$

Rozwiązanie

Zaznaczmy na osi liczbowej odcinek o długości $1$: $⟨0,1⟩$.

R11lDYrmVF6DA

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej cyframi zero i jeden. Oba punkty oznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono między nimi odcinek.

Wykonujemy pierwszy krok.

Podzielmy odcinek $⟨0,1⟩$ na $3$ równe części i usuńmy środkowy odcinek otwarty.

Otrzymujemy zbiór

$⟨0,\frac{1}{3}⟩\cup ⟨\frac{2}{3},1⟩$.

Stąd otrzymujemy

$a_1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

R1WBKsoCIcXYX

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami zero, jedna trzecia, dwie trzecie i jeden. Punkty oznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono między nimi dwa następujące odcinki: odcinek od zera do jednej trzeciej oraz odcinek od dwóch trzecich do jeden.

Wykonajmy drugi krok.

Otrzymujemy zbiór

$⟨0,\frac{1}{9}⟩\cup ⟨\frac{2}{9},\frac{3}{9}⟩\cup ⟨\frac{6}{9},\frac{7}{9}⟩\cup ⟨\frac{8}{9},1⟩$.

A więc mamy $4$ odcinki, a każdy ma długość $\frac{1}{9}$, czyli $a_2=\frac{4}{9}$.

R5zxT9K9SkDDT

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami zero, jedna dziewiąta, dwie dziewiąte, trzy dziewiąte, sześć dziewiątych, siedem dziewiątych, osiem dziewiątych i jeden. Punkty oznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono między nimi dwa następujące cztery odcinki: odcinek od zera do jednej dziewiątej, odcinek od dwóch dziewiątych do trzech dziewiątych, odcinek od sześciu dziewiątych do siedmiu dziewiątych oraz odcinek od ośmiu dziewiątych do jeden.

Możemy dokonać następującej obserwacji:

W kroku $n$ powstaje dwa razy więcej odcinków niż powstało w kroku $\left(n-1\right)$, ale każdy odcinek ma $\frac{1}{3}$ długości odcinka z poprzedniego kroku. Zatem ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie $a_1=\frac{2}{3}$ i ilorazie $q=\frac{2}{3}$.

Stąd suma szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznego $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest równa

$a_1+a_2+a_3+\dots =\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=2$.

W kwadrat o boku długości $2$ wpisano drugi kwadrat, którego wierzchołkami są środki boków danego kwadratu. W ten sam sposób w drugi kwadrat wpisano trzeci itd. Wyznaczymy sumę obwodów i sumę pól otrzymanego nieskończonego ciągu kwadratów.

R1P9cCF2zcKg5

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku długości dwa, w który wpisano romb, czyli przekręcony o 45 stopni kwadrat. Wierzchołki drugiego kwadratu to środki boków dużego kwadratu. W romb wpisano mniejszy kwadrat tak, że jego wierzchołki znajdują się w środkach boków rombu. W mały kwadrat wpisano z kolei drugi, mniejszy romb według tej samej zasady.

Rozwiązanie

Jeżeli bok pierwszego kwadratu ma długość $a_1=2$, to możemy obliczyć długość boku drugiego kwadratu korzystając z twierdzenia Pitagorasa

$a_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

Zatem $\frac{a_2}{a_1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Zauważmy, że długość boku $a_3$ trzeciego kwadratu w stosunku do długości boku $a_2$ drugiego kwadratu ma się tak, jak długość boku $a_2$ drugiego kwadratu w stosunku do długości boku $a_1$, czyli $\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Zatem długości boków kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a_1=2$ i ilorazie $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suma obwodów wszystkich kwadratów jest zatem równa

$L=4·2+4·2·\frac{\sqrt{2}}{2}+4·2·{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\dots =\frac{8}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{16}{2-\sqrt{2}}$.

Suma pól wszystkich kwadratów jest zatem równa

$P=2^2+{\left(2·\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(2·\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3+\dots =\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$.

W trójkąt równoboczny o boku długości $1$ wpisano koło. Następnie wpisano trzy koła styczne do wpisanego koła i boków danego trójkąta. Następnie wpisano trzy koła, z których każde jest styczne do jednego koła powstałego w poprzednim kroku i dwóch boków. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Obliczymy sumę pól wszystkich tak wpisanych kół.

RBxLHwGYZRNuP

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny, w który wpisano koło. Następnie w trójkąt wpisano po trzy coraz mniejsze koła w taki sposób, że w kierunku każdego wierzchołka trójkąta mamy cztery parami styczne coraz mniejsze koła. Łącznie w trójkąt wpisano 10 kół. Koło największe opisano jako S, koło mniejsze nad nim opisano jako S jeden, a koło nad S jeden opisano jako S dwa. Najmniejszego koła znajdującego się przy wierzchołku nie opisano.

Rozwiązanie

Promień pierwszego okręgu $s$ wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości $1$ ma długość $r=\frac{1}{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Następne trzy okręgi $s_1$ styczne do okręgu $s$ i dwóch boków trójkąta, to w istocie okręgi wpisane w trójkąt równoboczny o boku długości $\frac{1}{3}$. Zatem promień każdego z tych okręgów jest równy

$r_1=\frac{1}{3}r=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{18}$.

Zauważamy, że promienie kolejnych okręgów stanowią $\frac{1}{3}$ promienia okręgu z poprzedniego kroku.

Zatem zapiszmy sumę pól kół

$S=\pi {\left(\frac{1}{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+3\pi {\left(\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+3\pi {\left(\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\dots$.

Zauważmy, że począwszy od drugiego składnika suma stanowi szereg geometryczny o ilorazie $q=\frac{1}{9}$.

Zatem $S=\pi {(\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}^2+\frac{3\pi \cdot \frac{1}{108}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{32}=\frac{11\pi }{96}$.

Na bokach $AB$, $BC$, $CA$ trójkąta równobocznego $ABC$ o boku długości $1$, wyznaczamy punkty odpowiednio: $C_1$, $A_1$, $B_1$ w taki sposób, że $\frac{\left|A{C}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B{A}_1\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|C{B}_1\right|}{\left|CA\right|}=a$, gdzie $a$ jest pewną liczbą dodatnią mniejszą od $1$. Na bokach $A_1{B}_1$, $B_1{C}_1$, $C_1{A}_1$ trójkąta równobocznego $A_1{B}_1{C}_1$ wyznaczamy punkty odpowiednio: $C_2$, $A_2$, $B_2$ w taki sposób, że $\frac{\left|A_1{C}_2\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}=\frac{\left|B_1{A}_2\right|}{\left|B_1{C}_1\right|}=\frac{\left|C_1{B}_2\right|}{\left|C_1{A}_1\right|}=a$. W taki sposób postępujemy w nieskończoność. Obliczymy sumę obwodów tych wszystkich trójkątów $ABC$, $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$, ...

Rozwiązanie

R1M803ophwfnU

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, wewnątrz którego narysowano trójkąt A jeden B jeden C jeden w taki sposób, że wierzchołki mniejszego trójkąta znajdują się na bokach trójkąta ABC: A jeden leży na odcinku BC, B jeden leży na odcinku AC, C jeden leży na odcinku AB. Podobnie w mniejszym trójkącie narysowano najmniejszy trójkąt A dwa B dwa C dwa o wierzchołkach znajdujących się na bokach trójkąta A jeden B jeden C jeden. Wierzchołek A dwa leży na odcinku B jeden C jeden, wierzchołek B dwa leży na odcinku C jeden A jeden, wierzchołek C dwa leży na odcinku A jeden B jeden. Stosunki boków w tej konstrukcji opisane są w treści zadania.

Najpierw ustalimy związek między bokami trójkąta $ABC$ i $A_1{B}_1{C}_1$.

Przeanalizujmy trójkąt $A{C}_1{B}_1$, $\left|A{B}_1\right|=1-a$, $\sphericalangle C_{1}A{B}_1=60°$.

Korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczamy długość odcinka $\left|C_1{B}_1\right|$:

${\left|C_1{B}_1\right|}^2={\left|A{C}_1\right|}^2+{\left|A{B}_1\right|}^2-2\cdot \left|A{C}_1\right|\cdot \left|A{B}_1\right|\cos \left(\sphericalangle C_{1}A{B}_1\right)$

${\left|C_1{B}_1\right|}^2=a^2+{\left(1-a\right)}^2-2a\left(1-a\right)\frac{1}{2}$

${\left|C_1{B}_1\right|}^2=a^2+a^2-2a+1-a+a^2$

${\left|C_1{B}_1\right|}^2=3a^2-3a+1$

$\left|C_1{B}_1\right|=\sqrt{3a^2-3a+1}$

Zatem otrzymujemy: $\frac{\left|C_1{B}_1\right|}{\left|CB\right|}=\sqrt{3a^2-3a+1}$

Zatem długości boków kolejnych trójkątów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q=\sqrt{3a^2-3a+1}$.

Zatem suma długości obwodów jest równa: $3+3\sqrt{3a^2-3a+1}+3{\left(\sqrt{3a^2-3a+1}\right)}^2+\dots =\frac{3}{1-\sqrt{3a^2-3a+1}}$.

Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ określony wzorem $a_n={\left(\frac{1}{2x-371}\right)}^n$ dla $n\ge 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznaczymy najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_1+a_2+a_3+\dots$ jest zbieżny. Podamy dla wyznaczonej liczby sumę szeregu $a_1+a_2+a_3+\dots$.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenie:

$2x-371\ne 0$

$x\ne 185,5$.

Ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q=\frac{1}{2x-371}$.

Wyrazy ciągu $\left(a_n\right)$ są dodatnie, zatem $a_1>0$ i $q>0$.

Ponieważ $a_1=q=\frac{1}{2x-371}>0$, więc $x\in \left(185,5;\infty \right)$

Szereg geometryczny jest zbieżnyszereg geometryczny zbieżnySzereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|q\right|<1$ lub $a_1=0$.

Ponieważ $\frac{1}{2x-371}>0$, zatem musi być spełniony warunek $\frac{1}{2x-371}<1$, co jest równoważne warunkowi $1<2x-371$, skąd dostajemy $x>186$.

Zatem szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ o wyrazach dodatnich jest zbieżny dla $x\in \left(186,\infty \right)$.

Najmniejsza liczba całkowita należąca do przedziału $\left(186,\infty \right)$ to $187$.

Dla $x=187$ szereg ma postać $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2·187-371}\right)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$, zatem jego sumą jest $\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $\left(o_n\right)$ o równaniach $x^2+y^2=2^{11-n}$, gdzie $n\ge 1$. Niech $P_k$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2k-1}$ i wewnętrznym okręgiem $o_{2k}$. Obliczymy sumę pól wszystkich pierścieni $P_k$, gdzie $k\ge 1$.

Rozwiązanie

Okrąg $o_n$ o równaniu $x^2+y^2=2^{11-n}$ jest okręgiem o środku $\left(0,0\right)$ i promieniu $r_n=\sqrt{2^{11-n}}$.

Pole koła ograniczonego okręgiem $o_n$ jest równe $\pi r_n^2=\pi ·2^{11-n}$.

Pierścień $P_k$ jest ograniczony z zewnątrz okręgiem $o_{2k-1}$ o polu $\pi r_{2k-1}^2=\pi ·2^{11-\left(2k-1\right)}=\pi ·2^{12-2k}$ i od wewnątrz okręgiem $o_{2k}$ o polu $\pi r_{2k}^2=\pi ·2^{11-2k}$.

RCIaILLc6ZIYO

Na ilustracji przedstawiono pierścień $P_k$ zbudowany w oparciu o dwa okręgi o wspólnym środku. Okrąg mniejszy opisany jest jako $O_{2k}$, okrąf większy opisany jest jako $O_{2k-1}$.

Pole pierścienia $P_k$ jest równe $P_k=\pi ·2^{12-2k}-\pi ·2^{11-2k}=\pi ·2^{11-2k}\left(2-1\right)=\pi ·2^{11-2k}$.

Ponieważ mamy obliczyć sumę pól wszystkich pierścieni $P_k$ zauważmy, że ciąg pól $P_k$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie

$q=\frac{P_k}{P_{k-1}}=\frac{\pi ·2^{11-2k}}{\pi ·2^{11-2\left(k-1\right)}}=\frac{2^{11-2k}}{2^{13-2k}}=2^{11-2k-\left(13-2k\right)}=2^{-2}=\frac{1}{4}$.

Ponieważ iloraz spełnia warunek $\left|q\right|<1$, zatem szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\infty }{P}_n$ jest zbieżny i jego suma jest równa: $S=\frac{2^9\pi }{1-\frac{1}{4}}=\frac{2^9\pi }{\frac{3}{4}}=\frac{4·2^9\pi }{3}=\frac{2^{11}\pi }{3}=\frac{2048\pi }{3}$.

Odpowiedź: Suma pól wszystkich pierścieni $P_k$ jest równa $\frac{2048\pi }{3}$.

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ są liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest $100$ razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz $\log a_1+\log a_2+\log a_3+\dots +\log a_{100}=100$. Oblicz $a_1$.

Rozwiązanie

Jeżeli iloraz ciągu $\left(a_n\right)$ jest równy $q$, to iloraz ciągu wyrazów o numerach nieparzystych jest równy $q^2$ oraz iloraz ciągu wyrazów o numerach parzystych jest równy $q^2$. Ponieważ suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto  razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych, więc $q^2<1$. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu $\left(a_n\right)$ są dodatnie, zatem $0<q<1$.

Zapiszmy warunek w następujący sposób: suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest dziesięć razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych w następujący sposób:

$\frac{a_1}{1-q^2}=100\frac{a_{1}q}{1-q^2}$

Stąd otrzymujemy, że $q=\frac{1}{100}$.

Teraz zajmiemy się drugim warunkiem:

$\log a_1+\log a_2+\log a_3+\dots +\log a_{100}=100$.

Wykorzystując wzór na sumę logarytmówsuma logarytmówsumę logarytmów przekształcamy równanie do postaci:

$\log \left(a_1·a_2·a_3·\dots a_{100}\right)=100$.

Wykorzystujemy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

$\log \left(a_1·a_{1}q·a_1{q}^2·\dots ·a_1{q}^{99}\right)=100$

$\log \left(a_1^{100}\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^{1+2+\dots +99}\right)=100$

Korzystamy z definicji logarytmu dziesiętnego:

$a_1^{100}\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^{1+2+\dots +99}={10}^{100}$

$a_1^{100}\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^{\frac{99\cdot 100}{2}}={10}^{100}$

$a_1\cdot {10}^{-99}=10$

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $a_1={10}^{100}$.

Wartości funkcji $f:D\to \mathrm{ℝ}$ spełniają dla każdego $x\in D$ następujące równanie

$1+f\left(x\right)+{\left(f\left(x\right)\right)}^2+\left(f\left(x\right)\right){}^3+\dots =\frac{1}{2x^2-3x}$, gdzie lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego. Wyznaczymy dziedzinę, zbiór wartości i wzór funkcji $f$.

Rozwiązanie

Aby szereg z lewej strony równania był zbieżny musi być spełniony warunek $\left|f\left(x\right)\right|<1$.

Wyznaczmy wzór funkcji $f$ zakładając, że jest spełniony warunek $\left|f\left(x\right)\right|<1$. Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, mamy

$\frac{1}{1-f\left(x\right)}=\frac{1}{2x^2-3x}$

Stąd otrzymujemy:

$2x^2-3x=1-f\left(x\right)$.

Zatem wzór funkcji ma postać:

$f\left(x\right)=-2x^2+3x+1$.

Podamy dziedzinę korzystając z warunku $\left|f\left(x\right)\right|<1$:

$-1<-2x^2+3x+1$ i  $-2x^2+3x+1<1$

Dostajemy zatem układ nierówności:

$2x^2-3x-2<0$ i  $0<2x^2-3x$.

Rozwiązujemy nierówność $2x^2-3x-2<0$:

$\mathrm{\Delta }=9+16=25$

$x_1=-\frac{1}{2}$, $x_2=2$

Zatem $x\in \left(-\frac{1}{2},2\right)$.

Rozwiązujemy nierówność $0<2x^2-3x$:

$0<2x\left(x-\frac{3}{2}\right)$

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$

Zatem dziedziną funkcji jest część wspólna zbiorów: $\left(-\frac{1}{2},2\right)$ oraz $\left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$.

Zatem dziedziną funkcji jest zbiór: $\left(-\frac{1}{2},0\right)\cup \left(\frac{3}{2},2\right)$.

Aby odczytać zbiór wartości funkcji $f$, narysujemy wykres.

RYfSBpOCQcPNx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych do dołu zadaną wzorem: $f\left(x\right)=-2x^2+3x+1$. Wierzchołek paraboli znajduje się w pierwszej ćwiartce, a jej lewe ramię przecina oś Y w punkcie y równa się jeden. Funkcja ma dwa miejsca zerowe. Ramiona paraboli wyróżniono częściowo kolorem w dziedzinie, czyli w zbiorze $\left(-\frac{1}{2},0\right)\cup \left(\frac{3}{2},2\right)$. Zbiór wartości w tym przedziale to zbiór $\left(-1, 1\right)$.

Zatem z wykresu odczytujemy, że zbiorem wartości jest przedział $\left(-1,1\right)$.

jeżeli $\left|q\right|<1$ lub $a_1=0$, to szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}$ jest zbieżny.

Jeżeli $a_1=0$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=0$.

Jeżeli $\left|q\right|<1$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$

jeżeli $\left|q\right|<1$ lub $a_1=0$, to szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}$ jest zbieżny

jeżeli $a_1=0$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=0$

jeżeli $\left|q\right|<1$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$

jeżeli $x,y>0$ oraz $a\in \left(0,1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$, to ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a\left(x·y\right)$