7. Okrąg wpisany w czworokąt

R1Im9UnB2HnWN

W każdy wielokąt foremny da się wpisać dokładnie jeden okrąg, czyli inaczej mówiąc, każdy wielokąt foremny jest opisany na pewnym okręgu. Podobnie w każdy trójkąt, także taki, który nie jest foremny, da się wpisać okrąg i okrąg ten jest wyznaczony jednoznacznie. Mówiąc o możliwości wpisania okręgu myślimy o takim okręgu, który jest styczny do każdego z boków danego wielokąta. W przypadku czworokątów istnienie okręgów wpisanych nie dotyczy wszystkich figur o czterech bokach – potrafimy na przykład wpisać okrąg w każdy romb, czy szerzej w każdy deltoid, ale nie da się tego zrobić w przypadku dowolnego równoległoboku niebędącego rombem. Kryterium, które pozwala rozstrzygnąć istnienie okręgu wpisanego w dany czworokąt jest prostą konsekwencją zasadniczego twierdzenia planimetrii.

Twoje cele

Udowodnisz twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Przypomnijmy, że odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do danego okręgu z punktu $P$ leżącego zewnątrz okręgu, wyznaczone przez punkt $P$ i punkty styczności, są sobie równe. Oto zasadnicze twierdzenie planimetriizasadnicze twierdzenie planimetriizasadnicze twierdzenie planimetrii:

Rov9H8XmucwWN

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. Poprowadzono do niego dwie styczne o odcinkach AP i BP które są równe. Odcinki AO i BO są promieniami okręgu.

Powyższy fakt wykorzystamy dla dowodu poniższych dwóch twierdzeń, które podają warunki koniczne i wystarczające, by w dany czworokąt można było wpisać okrąg.

warunek konieczny, by czworokąt można było opisać na okręgu

Twierdzenie: warunek konieczny, by czworokąt można było opisać na okręgu

Jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są sobie równe.

Dowód

Rozważmy czworokąt $A B C D$ opisany na okręgu. Niech punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ będą odpowiednimi punktami styczności okręgu i boków danego wielokąta, jak na rysunku.

RoBV7WQNpRNeU

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD opisany na okręgu. Punkty P, Q, R, S są punktami styczności okręgu i boków czworokąta.

Wtedy z twierdzenia o odcinkach stycznych mamy: $|A P| = |A S|$ , $|B P| = |B Q|$ , $|C Q| = |C R|$ , $|D R| = |D S|$ .

Ponieważ: $|A B| = |A P| + |B P|$ , $|B C| = |B Q| + |C Q|$ , $|C D| = |C R| + |D R|$ oraz $|A D| = |A S| + |D S|$ , więc

$|A B| + |C D| = (|A P| + |B P|) + (|C R| + |D R|) =$

$= (|A S| + |B Q|) + (|C Q| + |D S|) =$

$= (|B Q| + |C Q|) + (|A S| + |D S|) = |B C| + |A D|$

Co należało udowodnić.

warunek wystarczający, by czworokąt można było opisać na okręgu

Twierdzenie: warunek wystarczający, by czworokąt można było opisać na okręgu

Jeżeli w czworokącie wypukłym sumy długości boków przeciwległych są sobie równe, to istnieje okrąg wpisany w ten czworokąt.

Dowód

Rozważmy czworokąt $A B C D$ spełniający warunek $|A B| + |C D| = |B C| + |A D|$ i rozważmy okrąg styczny do boków $A B$ , $A D$ i $C D$ – okrąg taki oczywiście istnieje, a jego środek jest jednoznacznie wyznaczony przez punkt przecięcia się dwusiecznych kątów $B A D$ i $A D C$ . Odpowiednie punkty styczności oznaczymy przez $P$ , $R$ , $S$ .

Przypuśćmy, że bok $B C$ nie jest styczny do tego okręgu. Wtedy można byłoby z punktu $B$ poprowadzić styczną do danego okręgu, która wyznaczyłaby na prostej $C D$ punkt $E$ różny od punktu $C$ (zapoznaj się z rysunkiem).

RbdxBsFpFGAc9

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD opisany na okręgu. Punkty P, R, S są punktami styczności okręgu i boków czworokąta. Bok BC nie jest styczny do okręgu. Dorysowano bok BE styczny do okręgu.

Jak widać na rysunku, dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy punkt $E$ leży między punktami $D$ i $C$ (w przypadku, gdyby punkt $C$ leżał między punktami $D$ i $E$ , dowód przebiegałby analogicznie). Z warunku koniecznego dla czworokąta $A B E D$ opisanego na okręgu mielibyśmy, że $|A B| + |E D| = |B E| + |A D|$ .

Ostatnia równość wraz założeniem pozwalają zapisać układ równań:

$\{\begin{cases} |A B| + |C D| = |B C| + |A D| \\ |A B| + |E D| = |B E| + |A D| \end{cases}$

Odejmując stronami równania układu mamy: $|C D| - |E D| = |B C| - |B E|$ , czyli $|E C| = |B C| - |B E|$ . Stąd $|E C| + |B E| = |B C|$ .

Otrzymaliśmy równość sprzeczną z nierównością trójkąta, dla trójkąta $B C E$ , co dowodzi, że nasze przypuszczenie, iż bok $B C$ nie jest styczny do okręgu jest fałszywe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Przykład 1

Rozważmy czworokąt $A B C D$ opisany na okręgu o średnicy $4$ , w którym $|A B| = 4$ , $|B C| = 3$ , $|C D| = 5$ , jak na rysunku.

RpOBdo2alflAm

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD opisany na okręgu.

Obliczymy stosunek pola danego czworokąta do pola koła wpisanego w ten czworokąt.

Oczywiście pole $P_{K}$ koła jest równe $P_{K} = 4 π$ .

Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg wynika, że $|A B| + |C D| = |B C| + |A D|$ , czyli $4 + 5 = 3 + |A D|$ . Stąd $|A D| = 6$ .

Zauważmy, że prowadząc odcinki ze środka okręgu do wierzchołków czworokąta dokonamy jego podziału na trójkąty, których podstawy są bokami czworokąta, a wysokościami poprowadzonymi na te podstawy są promienie okręgu (koła) wpisanego, jak na rysunku.

R1EDHNOAAMUJH

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD opisany na okręgu. Poprowadzono odcinki z wierzchołków czworokąta do środka okręgu. Zaznaczono promienie okręgu prostopadle do boków czworokąta.

Zatem pole czworokąta $P_{A B C D}$ można wyrazić, jako sumę pól odpowiednich trójkątów, czyli $P_{A B C D} = \frac{1}{2} |A B| \cdot r + \frac{1}{2} |B C| \cdot r + \frac{1}{2} |C D| \cdot r + \frac{1}{2} |A D| \cdot r =$

$= \frac{(|A B| + |B C| + |C D| + |A D|) \cdot r}{2}$ .

Stąd $P_{A B C D} = \frac{(3 + 4 + 5 + 6) \cdot 2}{2} = 18$ , a stosunek pól jest równy $\frac{P_{A B C D}}{P_{K}} = \frac{18}{4 π} = \frac{9}{2 π}$ .

W przykładzie wykazaliśmy, że pole czworokąta opisanego na okręgu jest równe połowie obwodu tego czworokąta przez długość promienia okręgu wpisanego. Pozostaje zauważyć, że ta własność dotyczy każdego wielokąta wypukłego, w który można wpisać okrąg.

Przykład 2

Przejdźmy teraz do klasycznej geometrii, czyli geometrii cyrkla i linijki. Zajmiemy się konstrukcją czworokąta, który da się opisać na okręgu. Przyjmijmy, że mamy dane odcinki $a$ , $b$ , $c$ równe kolejnym bokom czworokąta oraz kąt $α$ równy kątowi między bokiem $a$ i czwartym, nieznanym bokiem czworokąta.

Etapy konstrukcji.

Na prostej odkładamy sumę odcinków $a + c$ , a następnie od jednego z końców odejmujemy odcinek $b$ . W wyniku otrzymamy odcinek $d$ równy długości czwartego boku czworokąta.
Na prostej odkładamy odcinek $a$ , a następnie odkładamy kąt $α$ w taki sposób, by jedno z ramion zawierała odcinek $a$ a wierzchołkiem kąta był jeden z końców tego odcinka.
Z wierzchołka kąta, na drugim ramieniu odkładamy odcinek $d$ - w wyniku otrzymujemy trzy wierzchołki konstruowanego czworokąta.
Dla dokończenia konstrukcji pozostaje z tych wierzchołków, które nie są wierzchołkiem kąta $α$ wykreślić łuki odpowiednio równe $b$ i $c$ , aż do ich przecięcia.

Zauważmy, że warunkiem wykonalności konstrukcji jest, by suma $b + c$ była dłuższa od odległości wierzchołków leżących na ramionach kąta $α$ .

R2KHloAf5LoPN

Ilustracja przedstawia czworokąt o bokach a,b,c i d. Kąt pomiędzy bokami a i d wynosi alfa.

Polecenie 1

Uruchom aplet. Ustal położenie wierzchołków czworokąta opisanego na okręgu, a następnie wybierz polecenie „Długości boków”. Odczytaj długości boków czworokąta. Porównaj sumy długości przeciwległych boków dla różnych położeń wierzchołków.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu. Uzyskane informacje wykorzystaj do rozwiązania kolejnych poleceń.

R1ck9WxMpnPfl

Polecenie 2

Korzystając z danych widocznych obok rysunku w aplikacji, oblicz pola trójkątów, na jakie podzielony został czworokąt. Oblicz sumę pól powstałych trójkątów i porównaj z polem czworokąta. Wyjaśnij ewentualne różnice (o ile istnieją).

Polecenie 2

R1Dfa8VFZq8ZV

Polecenie 3

Boki czworokąta opisanego na okręgu o promieniu $2$ mają długości $|A B| = 8$ , $|B C| = 5$ , $|C D| = 2$ , $|A D| = 5$ . Oblicz pole tego czworokąta.

Zauważmy, że pole jest równe połowie iloczynu promienia okręgu wpisanego w czworokąt przez obwód tego czworokąta. Zatem $P = \frac{8 + 5 + 2 + 5}{2} \cdot 2 = 20$ .

Ćwiczenie 1

Dłuższa podstawa $A B$ trapezu równoramiennego $A B C D$ opisanego na okręgu o promieniu $3$ jest równa $18$ . Oblicz pole trapezu.

Oznaczmy przez $b$ długość krótszej podstawy, a przez $c$ długość ramienia trapezu. Wtedy, korzystając z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu mamy, że $2 c = 18 + b$ .

Wysokość trapezu, poprowadzona z wierzchołka krótszej podstawy, jest równa $6$ i jest przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, w którym przeciwprostokątną jest równa $c$ , a druga przyprostokątna ma długość $\frac{18 - b}{2}$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: $6^{2} + {(\frac{18 - b}{2})}^{2} = {(\frac{18 + b}{2})}^{2}$ . Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia i redukcji otrzymujemy, że $18 b = 36$ , czyli $b = 2$ . Zatem pole jest równe $P = \frac{18 + 2}{2} \cdot 6 = 60$ .

Ćwiczenie 2

W deltoidzie $A B C D$ krótszy bok ma długość $4$ , a dwa przeciwległe kąty mają miary odpowiednio $60 °$ i $120 °$ . Oblicz promień okręgu wpisanego w ten deltoid.

Zauważmy, że dwa pozostałe kąty deltoidu są proste, a oś symetrii dzieli ten deltoid na dwa trójkąty prostokątne, których kąty ostre mają miary $60 °$ i $30 °$ .

Dłuższy bok deltoidu (dłuższa przyprostokątna każdego z otrzymanych trójkątów) ma długość $4 \sqrt{3}$ , stąd pole deltoidu, jako suma pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych jest równe $P = 2 (\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{3}) = 16 \sqrt{3}$ .

Ale pole czworokąta opisanego na okręgu można wyrazić jako iloczyn promienia $r$ tego okręgu i połowy obwodu, zatem $16 \sqrt{3} = \frac{(2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \sqrt{3}) \cdot r}{2}$ . Stąd otrzymujemy, że $r = \frac{16 \sqrt{3}}{4 + 4 \sqrt{3}} = 6 - 2 \sqrt{3}$ .

R1SA8Ctqyiaa31

Ćwiczenie 3

RgqZYYacO88k92

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

RCetstyZW3MGA

R1cGpjvbBUlch

W czworokąt o bokach długości a, b, c, d można wpisać okrąg. Długości boków tego czworokąta, w zależności od x, są opisane na rysunkach. Dopasuj zależności do wartości x. x, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, trzy x, plus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, jeden, c, równa się, x, plus, trzy oraz d, równa się, cztery x, minus, trzy., 2. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, cztery x, plus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, dwa, c, równa się, cztery x, minus, trzy oraz d, równa się, pięć x, minus, dwa., 3. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, jeden, c, równa się, dwa x oraz d, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, sześć. x, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, trzy x, plus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, jeden, c, równa się, x, plus, trzy oraz d, równa się, cztery x, minus, trzy., 2. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, cztery x, plus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, dwa, c, równa się, cztery x, minus, trzy oraz d, równa się, pięć x, minus, dwa., 3. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, jeden, c, równa się, dwa x oraz d, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, sześć. x, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, trzy x, plus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, jeden, c, równa się, x, plus, trzy oraz d, równa się, cztery x, minus, trzy., 2. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, cztery x, plus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, dwa, c, równa się, cztery x, minus, trzy oraz d, równa się, pięć x, minus, dwa., 3. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w czworokąt. Boki czworokąta wynoszą. a, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, jeden, b, równa się, dwa x, plus, jeden, c, równa się, dwa x oraz d, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, sześć.

Ćwiczenie 6

Przeprowadź konstrukcję czworokąta, który można opisać na okręgu, mając dany bok $a$ , kąty wewnętrzne $α$ , $β$ , którego ramiona zawierają dany bok $a$ oraz trzeci kąt tego czworokąta $γ$ .

Na prostej odkładamy odcinek $a$ - otrzymujemy wierzchołki $A$ , $B$ czworokąta.
Odkładamy kąt odpowiednio o mierze $α$ w wierzchołku $A$ i o mierze $β$ w wierzchołku $B$ tak, aby ich jedno ramię zawierało odcinek $a$ , a drugie ramiona leżały po tej samej stronie prostej – otrzymujemy półproste $k$ i $l$ zawierające boki czworokąta przyległe do boku $a$ .
Kreślimy dwusieczne kątów $α$ i $β$ - otrzymujemy środek $O$ okręgu wpisanego.
Kreślimy prostą prostopadłą do odcinka $a$ przechodzącą przez punkt $O$ - w punkcie przecięcia tej prostopadłej i odcinka otrzymujemy punkt styczności $E$ .
Kreślimy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $|O E|$ .
Na półprostej $l$ (lub $k$ ), w dowolnym punkcie, jako wierzchołku, odkładamy kąt $γ$ - otrzymujemy półprostą $m$ , która jest równoległa do boku $C D$ czworokąta.
Kreślimy styczną do skonstruowanego wcześniej okręgu równoległą do półprostej $m$ . W tym celu prowadzimy prostą prostopadłą do $m$ i przechodzącą przez środek okręgu $O$ - otrzymany punkt wspólny prostej i okręgu jest punktem styczności, przez który prowadzimy prostopadłą.

RoQgqXn19ezcx

Ilustracja przedstawia fragment czworokąta z widocznym wierzchołkiem A i B. Bok A B tworzy podstawę tego czworokąta . Przy wierzchołku A odłożoną kąt o mierze alfa tak aby jedno ramie leżało na odcinku AB a drugie tworzyło ramie czworokąta k. Przy wierzchołku B odłożono kąt o mierze beta tak że jedno ramie pokrywa się z odcinkiem A B a drugie ramie wyznacza ramie czworokąta l. Poprowadzone są półproste wyznaczające dwusieczne podanych kątów. Ich miejsce przecięcia oznaczono punktem O. Następnie poprowadzona jest prosta prostopadła do boku A B przechodząca przez punkt O. Miejsce przecięcia tej prostej z bokiem A B oznaczono punktem E. Wykreślony jest również okrąg o promieniu długości O E, który jest styczny do punktu E i ramion czworokąta k i l. Na półprostej l odłożono kąt gamma powyżej okręgu tak że jedno ramie pokrywa się z półprostą l a drugie tworzy półprostą m. Wyznaczono również styczną do okręgu równoległą do prostej m.

Ćwiczenie 7

Na okręgu o promieniu $5$ opisano trapez, którego ramiona mają długości: $|A D| = 12, 5$ , $|B C| = 10, 3$ . Wyznacz długość krótszej podstawy tego trapezu.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

RKRuY064NKNia

Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trapez ABCD. Zaznaczono wysokości upuszczone na dłuższa podstawę, wysokości o odcinkach DE i CF. Podstawa DC ma długość b, odcinek AE ma długość x, a odcinek BF długość y.

Wtedy mamy: ${(12 \frac{1}{2})}^{2} = x^{2} + 10^{2}$ , ${(10 \frac{3}{10})}^{2} = y^{2} + 10^{2}$ oraz $x + y + 2 b = 12 \frac{1}{2} + 10 \frac{3}{10}$ .

Zatem $x = \sqrt{{(12 \frac{1}{2})}^{2} - 10^{2}} = 7 \frac{1}{2}$ oraz $y = \sqrt{{(10 \frac{3}{10})}^{2} - 10^{2}} = \frac{\sqrt{609}}{10}$ .

Otrzymujemy więc, że $b = \frac{12 \frac{1}{2} + 10 \frac{3}{10} - x - y}{2} = \frac{12 \frac{1}{2} + 10 \frac{3}{10} - 7 \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{609}}{10}}{2} = \frac{153 - \sqrt{609}}{20}$ .

Rh8mHwfkmkABY3

Ćwiczenie 8

Słownik

zasadnicze twierdzenie planimetrii

twierdzenie, które orzeka, że odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do danego okręgu z punktu $P$ leżącego zewnątrz okręgu, wyznaczone przez punkt $P$ i punkty styczności, są sobie równe

6. Okrąg opisany na czworokącie

8. Własności czworokątów - zadania różne

7. Okrąg wpisany w czworokąt

Słownik