8. Własności czworokątów - zadania różne - M_R_W18_M1 Własności czworokątów

R1ETklkTiBdmo

8 Własności czworokątów - zadania różne

Funkcje trygonometryczne pozwalają w łatwy sposób obliczać długości odcinków w trójkątach prostokątnych, a co za tym idzie, również w innych wielokątach.

RGHeP0oYNkd9m

Ilustracja przedstawia drogowy most kratownicowy. — Źródło: Tomasz Paszek, licencja: CC BY 3.0.

Takie możliwości są wykorzystywane przede wszystkich w geodezji i budownictwie, gdzie często niemożliwe jest wykonanie dokładnych pomiarów wszystkich boków wielokąta, natomiast nie jest trudnością obliczenie miary konkretnych kątów przy użyciu odpowiednich narzędzi.

Twoje cele

Udowodnisz wzór na wysokość trójkąta równobocznego oraz przekątną kwadratu.
Wykorzystasz funkcje trygonometryczne do obliczenia długości boków wielokątów.
Zastosujesz twierdzenie Pitagorasa.
Zilustrujesz zadania tekstowe i zaplanujesz ich rozwiązanie.

W architekturze, budownictwie czy sztukach użytkowych często stosuje się kształt trójkąta równobocznego. Również na lekcjach matematyki można spotkać wiele zadań, gdzie ten rodzaj trójkąta się pojawia, a wzór na jego wysokość pamięta prawie każdy. Skąd jednak on wynika?

Przykład 1

Wyznaczymy wzór na wysokość trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie

R1K9uMSNQUP8q

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny ABC o boku a. Z wierzchołka C poprowadzono wysokość h do punktu D w podstawie AB .

Aby wyznaczyć wzór na wysokość trójkąta równobocznego wystarczy rozpatrzyć funkcję sinus $∢ B A C$ .

Istotnie, $\sin ∢ B A C = \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Mamy więc

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{a}$

i dalej

$2 h = a \sqrt{3}$ ,

skąd ostatecznie otrzymujemy

$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Okazuje się zatem, że wzór na wysokość trójkątawysokość trójkątawysokość trójkąta równobocznego i co za tym idzie, również na jego pole, można w łatwy sposób wyprowadzić z funkcji trygonometrycznych. Podobnie możemy wyznaczyć wzór na przekątną kwadratu.

Przykład 2

Niech dany będzie kwadrat o bokach długości $a$ oraz przekątnej długości $d$ . Wyznaczymy wzór na przekątną kwadratu.

Rozwiązanie

PrzekątnaprzekątnaPrzekątna dzieli kwadrat na trójkąty równoramienne o kątach przy podstawie $45 °$ .

RQF0T7A8eqlyf

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a i przekątnej d. W połówce kwadratu oznaczono kąty 45°.

Mamy zatem

$\sin 45 ° = \frac{a}{d}$ ,

skąd otrzymujemy

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{d}$

i ostatecznie

$d = a \sqrt{2}$ .

Wyobraźmy sobie teraz, że chcemy zmierzyć wysokość pionowego obiektu, np. drzewa. Wybierając punkt dostatecznie daleko od mierzonego obiektu (im dalej, tym dokładniejsze będą obliczenia) wystarczy zmierzyć odległość w poziomie między punktem, a drzewem oraz odpowiedni kąt.

Przykład 3

Czubek drzewa widać z odległości $20$ metrów pod kątem $22 °$ (z poziomu ziemi). Obliczymy wysokość drzewa.

Rozwiązanie:

Przyjmując że drzewo rośnie pionowo problem ten można przedstawić na poniższym rysunku.

R1QHc7smCTPKt

Ilustracja przedstawia drzewo. Na drzewo naniesiono trójkąt prostokątny tak , że krótsza przyprostokątna jest wysokością drzewa, dłuższa przyprostokątna ma wartość 20m a kąt pomiędzy nią a przeciwprostokątną ma wartość 22°.

Teraz, aby obliczyć wysokość drzewa, można zastosować funkcję tangens.

$tg 22 ° = \frac{wysokość drzewa}{20 m}$ .

Korzystając z tablic otrzymujemy, że $tg 22 ° \approx 0, 4040$ i co za tym idzie

$wysokość drzewa \approx 0, 4040 \cdot 20 m \approx 8, 1 m$ .

Na tym przykładzie widać, jak istotne dla geodezji czy budownictwa są funkcje trygonometryczne.

Rozpatrzmy teraz problem od innej strony. Niech tym razem znane będą odległości, a potrzebujemy wyznaczyć miarę odpowiedniego kąta.

Przykład 4

Samolot leci $6000 m$ nad ziemią prosto na lotnisko oddalone o $50 km$ . Wyznaczymy, jaki kąt opadania powinien obrać samolot, aby wylądować na lotnisku.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od zilustrowania problemu zadania.

RswE6yKPYAg9A

Ilustracja przedstawia lotnisko z którego startuje samolot. Naniesiono trójkąt prostokątny tak że startujący samolot znajduje się przy kącie α pomiędzy przeciwprostokątną a dłuższą przyprostokątną .Dłuższa przyprostokątną ma wartość 50000m a krótsza która sięga do płyty lotniska ma 6000m.

Zauważmy, że $tg α = \frac{6000}{50000} = 0, 12$ . Wystarczy teraz odczytać wartość kąta $α$ z tablic funkcji trygonometrycznych i otrzymujemy, że kąt opadania powinien wynosić niecałe $7 °$ .

Długości odcinków w wielokątach są potrzebne m.in. do wyznaczania pola. Problem ten można jednak odwrócić, jak w poniższym przykładzie.

Przykład 5

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę $45 °$ , a pole wynosi $x \sqrt{2}$ . Obliczymy wysokość tego rombu.

Rozwiązanie:

Z jednej strony wiemy, że $P = a h$ , z drugiej natomiast $\sin 45 ° = \frac{h}{a}$ ( $a$ – długość boku rombu; $h$ - długość jego wysokości).

Rozwiązujemy układ równań

$\{\begin{cases} a h = x \sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{a} \end{cases}$

i dalej

$\{\begin{cases} a = \frac{x \sqrt{2}}{h} \\ a = h \sqrt{2} \end{cases}$ ,

skąd

$\frac{x \sqrt{2}}{h} = h \sqrt{2}$ .

Przekształcając równanie otrzymujemy

$h^{2} \sqrt{2} = x \sqrt{2}$ ,

i ostatecznie, wiedząc, że $x > 0$ mamy

$h = \sqrt{x}$ .

Na koniec rozwiążemy jeszcze jeden przykład, tym razem z trapezem prostokątnym. Zwróćmy uwagę, że funkcje trygonometryczne często ułatwiają rozwiązać problem, ale nie są jedyną drogą do prawidłowego rozwiązania.

Przykład 6

Dany jest trapez prostokątny $A B C D$ , gdzie $A B$ jest dłuższą podstawą, $|A B| = 8 cm$ , $|A C| = 6 cm$ i $|∢ A C D| = 30 °$ . Obliczymy długość przekątnej $B D$ .

R1Qt228luevTV

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o dłuższej podstawie równej 8 i przekątnej AC równej 6 . Kąt ACD wynosi 30°.

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny $A C D$ . Wtedy

$\sin 30 ° = \frac{|A D|}{6}$ ,

a dalej otrzymujemy

$\frac{1}{2} = \frac{|A D|}{6}$

i ostatecznie

$|A D| = 3 cm$ .

Zastosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $A B D$ .

R18GQO9i2oqHI

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o dłuższej podstawie równej 8 i boku DA równym 3. Przekątna DB jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta ABD.

3^{2} + 8^{2} = {|D B|}^{2}

Oczywiście $|D B| > 0$ i otrzymujemy $|D B| = \sqrt{73} cm$ .

Uwaga:
Zadanie można rozwiązać inaczej, nie używając funkcji trygonometrycznych, a zauważając jedynie, że trójkąt $A C D$ jest połową trójkąta równobocznego $A C E$ , jak na poniższym rysunku.

R6HV32PlvU5px

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o dłuższej podstawie równej 8 i przekątnej AC równej 6. Kąt ACD wynosi 30°. Trójkąt ACD jest połową większego trójkąta dla AEC dla którego podstawa trapezu DC jest osią symetrii.

Wtedy $|A D| = \frac{1}{2} |A C|$ skąd wynika, że $|A D| = 3 cm$ . Dalej postępujemy tak samo jak wyżej, stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $A B D$ .

Prezentacja dotyka kolejnego problemu dotyczącego pomiaru odległości. Wyobraźmy sobie szeroką rzekę, trudną do przepłynięcia, zbyt szeroką lub niebezpieczną. Zadanie polega na tym, aby wykorzystując funkcje trygonometryczne spróbować wyznaczyć jej szerokość z możliwie dużą dokładnością.

Polecenie 1

Prześledź kolejne kroki prezentacji.

RlHwFqRFnZgPM

Polecenie 2

Otwórz mapę, np. Szczecina i oblicz szerokość rzeki w ten sam sposób. Porównaj otrzymany wynik z rzeczywistą szerokością rzeki wynikającą z mapy i jej skali.

Na mapie Wrocławia w skali $1 : 20000$ szerokość Odry wynosi $0, 8 mm$ . Na tej samej mapie wzdłuż jednego brzegu rzeki zaznaczono dwa punkty $A$ oraz $B$ tak, że są one oddalone od siebie o $400 m$ . Pierwszym punktem jest dawna przystań parowców i oznaczymy go jako $A$ . Na drugim brzegu rzeki dobrano taki punkt $C$ , aby był prostopadły do punkt $A$ . Z punktu $B$ wyznaczono azymut na punkt $A$ oraz $C$ tak, że ich równica wynosi w przybliżeniu kąt $20 °$ . Porównaj szerokość rzeki otrzymaną z dwóch sposobów.

R1NOiSCIrIBFt1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Wiedząc, że w trójkącie $A B C$ : $\sin α = 0, 48$ oraz $h = 3, 12$ , wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

RcH12GUhAViFk

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, gdzie kąt ABC podpisano literą alfa. Z wierzchołka C na bok AB opuszczono wysokość h, jej spodek podpisano literą D.

RzgZmbzSfJ8xp

Ćwiczenie 3

Dany jest romb $A B C D$ o bokach długości $a$ jak na rysunku. Uzupełnij „ $?$ ” odpowiednimi funkcjami trygonometrycznymi.

RaZ5Ko1vawSNR

Ilustracja przedstawi romb A B C D, w którym kąt CDA ma miarę α=50°.W rombie liniami przerywanymi zaznaczono obie jego przekątne. Z wierzchołka A na ramię CD opuszczono wysokość h, jej spodek podpisano literą E.

a) Wysokość rombu możemy obliczyć stosując wzór $h = a \cdot ?$ lub $h = a \cdot ?$

b) $\frac{| A E |}{| D E |} =$ $?$ lub $\frac{|A E|}{|D E|} =$ $?$

c) $\frac{|C E|}{|A E|} =$ $?$ lub $\frac{|C E|}{|A E|} =$ $?$

d) $\frac{\frac{1}{2} |B D|}{|A B|} =$ $?$ lub $\frac{\frac{1}{2} |B D|}{|A B|} =$ $?$

Zauważmy, że skoro $|∢ A D C| = 50 °$ , to $|∢ B C D| = 180 ° - 50 ° = 130 °$ i co za tym idzie np. $|∢ D C A| = \frac{130 °}{2} = 65 °$ .

a) Wysokość rombu możemy obliczyć stosując wzór $h = a \cdot \sin 50 °$ lub $h = a \cdot \cos 40 °$ .

b) $\frac{|A E|}{|D E|} = tg 50 °$ lub $\frac{|A E|}{|D E|} = ctg 40 °$ .

c) $\frac{|C E|}{|A E|} = tg 25 °$ lub $\frac{|C E|}{|A E|} = ctg 65 °$ .

d) $\frac{\frac{1}{2} |B D|}{|A B|} = \sin 65 °$ lub $\frac{\frac{1}{2} |B D|}{|A B|} = \cos 25 °$ .

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono trójkąt $A B C$ .

R135ZuAUYDo7y

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, gdzie kąt ABC podpisano α=40°, a kąt BAC podpisano β=50°, a kąt ACB jest kątem prostym. Z wierzchołka C na bok AB opuszczono wysokość h, jej spodek podpisano literą D.

RwGH2oJ1P6Dy5

Połącz w pary funkcje trygonometryczne podanych kątów z odpowiadającymi im wartościami. tangens czterdzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, koniec ułamka sinus pięćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, koniec ułamka kotangens czterdzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, koniec ułamka kosinus pięćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, koniec ułamka

Ćwiczenie 5

RnyoxL98y3Ieq

Ćwiczenie 6

Wierzchołek masztu widać z punktu $A$ pod kątem $32 °$ , a z punktu $B$ pod kątem $48 °$ . Podstawa masztu oraz punkty $A$ i $B$ leżą na jednej prostej. Maszt ma wysokość $25 m$ . Jaka jest odległość (z dokładnością do $1 m$ ) między punktami $A$ i $B$ , jeśli leżą one po tej samej stronie masztu?

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku ( $y$ – odległość punktu $A$ od podstawy masztu).

RB5EWSHpylUgS

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość y, a druga przyprostokątna ma długość 25 metrów. Wierzchołek łączący przeciwprostokątną i przyprostokątną o długości y podpisano literą A. Kąt przy wierzchołku A podpisano α=32°. Z wierzchołka leżącego przy przeciwprostokątnej i przyprostokątnej o długości 25 metrów poprowadzono odcinek, do punktu B leżącego na przyprostokątnej o długości y. Kąt ostry przy tym punkcie ma miarę β=48°. Odległość od punktu B do drugiej przyprostokątnej podpisano literą x.

Zauważmy, że:

$tg 32 ° = \frac{25}{y}$ , zatem $y \approx \frac{25}{0,6249} \approx 40,01 [m]$ ,

$tg 48 ° = \frac{25}{x}$ , $x \approx \frac{25}{1, 1106} \approx 22, 51 [m]$ .

Stąd: $|A B| = 17, 5 \approx 18 [m]$ .

Ćwiczenie 7

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest o $6$ dłuższa od dłuższej przyprostokątnej. Sinus mniejszego kąta ostrego tego trójkąta wynosi $\frac{8}{17}$ . Wyznacz obwód tego trójkąta.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

RdS600uNXh9z4

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość y, a druga przyprostokątna ma długość x. Przeciwprostokątna ma długość x+6. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną o długości x podpisano literą x.

Do wyznaczenia wartości $x$ wykorzystamy funkcję cosinus. Obliczmy $\cos α$ :

${(\frac{8}{17})}^{2} + \cos^{2} α = 1$ ,

$\cos^{2} α = \frac{225}{289}$ ,

$\cos α = \frac{15}{17}$ , bo $α$ jest kątem ostrym.

Zatem: $\frac{15}{17} = \frac{x}{x + 6}$ , stąd: $x = 45$ i $x + 6 = 51$ .

Z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: $\frac{y}{51} = \frac{8}{17}$ , co daje $y = 24$ .

Ostatecznie obwód trójkąta wynosi: $L = 24 + 45 + 51 = 120$ .

Ćwiczenie 8

Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu o promieniu $6$ , a krótsza – równoległą do niej cięciwą. Oblicz pole powstałego trapezu, jeżeli kąt ostry tego trapezu ma miarę $60 °$ .

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

R1PLnWhBoEcdY

Ilustracja przedstawia trapez A B C D wpisany w okrąg. Podstawa AB ma długość 12, podstawa DC ma długość a. Kąt DAB podpisano literą alfa. W trapezie zaznaczono jego przekątną BD oraz wysokość h. Odległość od spodka wysokości do wierzchołka A jest podpisana literą x.

Skoro $α = 60 °$ , to $\frac{h}{|A D|} = \sin 60 °$ i $\frac{x}{|A D|} = \cos 60 °$ .

Ponieważ $A B$ jest średnicą okręgu, to kąt $A D B$ jest prosty. Zatem: $\frac{|A D|}{12} = \cos 60 °$ , czyli: $|A D| = 6$ .

Stąd: $h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ i $x = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ .

Obliczamy długość krótszej podstawy trapezu: $a = 12 - 3 - 3 = 6$ .

Ostatecznie pole trapezu wynosi: $P = \frac{6 + 12}{2} \cdot 3 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$ .

Słownik

wysokość trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta z jego przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) i prostopadły do tego boku; przez wysokość trójkąta rozumie się również długość tego odcinka

przekątna

odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta, który nie jest bokiem

7. Okrąg wpisany w czworokąt

M_R_W18_M1 Własności czworokątów

8 Własności czworokątów - zadania różne

Słownik