1. Pole prostokąta. Pole kwadratu

R1E8ZVjCZN3x0

Na rysunku przedstawiony jest typowy plan mieszkania, w którym pokoje mają kształt prostokątny. Na brzegach rysunku podane są długości boków prostokątów z rysunku. Na postawie takiego planu możemy policzyć powierzchnię każdego pomieszczenia i całego mieszkania. Możemy na podstawie planu wyznaczyć ile płytek kupić do wyłożenia podłogi w łazience, ile zakupić desek na podłogę w salonie itp. Można też określić ile farby potrzebujemy na pomalowanie ścian, pod warunkiem, że znamy wysokość mieszkania, bo przecież ściany, okna i drzwi są też prostokątami.

RMT1INtMDK3rB

Ilustracja przedstawia plan mieszkania w kształcie prostokąta. Mieszkanie składa się z dwóch dużych prostokątnych pokojów zajmujących połowę powierzchni oraz pięciu mniejszych prostokątnych pomieszczeń.

W tym materiale przedstawimy metody wyznaczania pól prostokątów.

Twoje cele

Poznasz i udowodnisz wzór na pole prostokąta o danych długościach boków.
Zobaczysz, że informacja o długości przekątnej nie wystarcza do jednoznacznego wyznaczenia prostokąta.
Poznasz i udowodnisz wzór na pole prostokąta o danej długości przekątnej i danym kącie między przekątnym.
Zastosujesz wzory na pole prostokąta w zastosowaniach praktycznych i zadaniach matematycznych.

Na początek zajmiemy się problemem mierzenia. Przy mierzeniu różnych wielkości fizycznych stosuje się jednostkę tej wielkości. Przy mierzeniu pola stosuje się jako jednostkę podstawową metr kwadratowy, a dla ułatwienia wykorzystuje się inne jednostki kwadratowe: centymetr kwadratowy, ar, kilometr kwadratowy lub ogólnie kwadratkwadratkwadrat o boku $1 j$ , gdzie $j$ jest jednostką długości.

Na opakowaniu puszki z farbą stosuje się pojęcie wydajności tzn., ile farby zużywa się na metr kwadratowy powierzchni, panele podłogowe kupuje się w metrach kwadratowych itp.

Gdybyśmy nie znali wzoru na pole prostokąta to musielibyśmy przykładać wzorzec w postaci kwadratu o bokach $1 j \times 1 j$ do mierzonej powierzchni i policzyć. Jest to dość łatwe do zastosowania w przypadku prostokątów o bokach całkowitych.

Przykład 1

Stosując powyższą metodę wyznaczymy pole prostokąta o bokach $3$ i $5$ .

Rozwiązanie

R1OSn6wbqSIBY

Ilustracja przedstawia prostokąt składający się z małych kwadratów o boku równym jeden. Prostokąt jest szeroki na pięć kwadratów oraz długi na trzy kwadraty.

Na rysunku widzimy, że powstały trzy warstwy po $5$ jednostek kwadratowych w warstwie lub równoważnie pięć warstw po $3$ jednostki kwadratowe.

Stąd pole prostokąta jest równe $3 \cdot 5 = 15$ jednostek kwadratowych.

Dowody dotyczące pola figur opierają się na następujących własnościach pola:

pola

Własność: pola

Niech $P_{F}$ oznacza pole figury $F$ . Wtedy:

figury przystające mają równe pola;

jeżeli figura $F_{1}$ jest zawarta w figurze $F_{2}$ to $P_{F_{1}} \leq P_{F_{2}}$ ;

jeżeli $F_{1}$ , $F_{2}$ są rozłączne, to pole ich sumy jest równe sumie pól. Prawdziwa jest też ogólniejsza własność, że pole sumy figur jest równe sumie ich pól odjąć pole ich części wspólnej.

Aby wyprowadzić uniwersalny wzór na obliczanie pola prostokąta przyjmujemy, że znamy wzór na pole kwadratu $P = a^{2}$ , gdzie $a$ jest bokiem kwadratu.

wzór na pole prostokąta, gdy znane są długości boków

Twierdzenie: wzór na pole prostokąta, gdy znane są długości boków

Pole prostokąta o bokach $a$ , $b$ jest równe $P = a b$ .

Dowód

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że $a < b$ . Popatrzmy na rysunek. Chcemy wyznaczyć pole prostokąta $A B C D$ .

R8yE6YGPQKoN8

Ilustracja przedstawia kwadrat A E F B zbudowany z dwóch kwadratów oraz dwóch takich samych prostokątów. Pierwszy mały kwadrat A D H G ma bok o długości a i znajduje się w lewym rogu kwadratu A E F B, natomiast drugi kwadrat H I F C ma bok o długości b odjąć a i znajduje się w prawym dolnym rogu kwadratu A E F B. Prostokąty D E I H oraz G H C B mają długość dłuższego boku równą b odjąć a, natomiast krótszego równą a.

Budujemy kwadrat o boku $b$ , a w nim zaznaczamy prostokątprostokątprostokąt $A E I G$ o bokach $a$ , $b$ . Wtedy pole kwadratu składa się z kwadratu o polu ${(b - a)}^{2}$ , dwóch prostokątów o polu $P$ , które mają część wspólną o polu $a^{2}$ .

Wtedy $b^{2} = {(b - a)}^{2} + 2 P - a^{2}$ ,

$2 P = b^{2} - {(b - a)}^{2} + a^{2} = b^{2} - b^{2} + 2 a b - a^{2} + a^{2} = 2 a b$ .

Stąd $P = a b$ .

Przykład 2

Obliczymy pole figury przedstawionej na rysunku.

R1dxtJDmzsZBu

Ilustracja przedstawia figurę w kształcie litery L, zbudowaną z dwóch prostokątów i jednego kwadratu. Podstawą figury jest prostokąt leżący na krótszym boku i kwadrat o boku równym c. Dolna podstawa figury ma długość d. Nad prostokątem zamieszczono drugi prostokąt. Jego krótszy bok także ma długość a, natomiast lewy bok całej figury zbudowany z dłuższych ścian obu prostokątów wynosi b.

Rozwiązanie

$P = a b + d c - a c$

Przykład 3

Prostokąty $F_{1}$ o bokach $a_{1}$ , $b_{1}$ i $F_{2}$ o bokach $a_{2}$ , $b_{2}$ są podobne w skali $k$ . Wyznaczymy pole prostokąta $F_{2}$ w zależności od pola prostokąta $F_{1}$ .

Rozwiązanie

$P_{F_{2}} = a_{2} \cdot b_{2} = k a_{1} \cdot k b_{1} = k^{2} \cdot P_{F_{1}}$

Warto zauważyć, że pokazana w powyższym przykładzie zależność jest ogólną własnością pól figur podobnych.

Przykład 4

Korzystając z wzoru na pole prostokąta wyznaczymy wzór na pole trójkąta.

Rozwiązanie

Weźmy dowolny trójkąt $A B C$ i poprowadźmy wysokość $h$ oraz linię łączącą środki dwóch boków jak na rysunku.

R1VIlvV2a5XPN

Ilustracja przedstawia prostokąt A B J I. Nad odcinkiem I J zaznaczono punkt C w odległości h przez dwa od odcinka I J oraz w odległości h od odcinka A B. Punkt C połączono z punktem A i B. Miejsca przecięcia prostej I J oznaczono punktami kolejno G i H. Z punktu C poprowadzono również prostą prostopadła do odcinka A B. Powstały cztery trójkąty. Trójkąt A G I, trójkąt G H C, trójkąt A B C oraz trójkąt B J H. Odcinek A B ma długość a, natomiast odcinek B J ma długość h przez dwa.

Linia ta jest równoległa do boku $A B$ trójkąta i dzieli wysokość trójkąta na połowy. Z wierzchołków $A$ i $B$ prowadzimy proste prostopadłe do podstawy, które przecinają się z linią środkową w punktach $I$ , $J$ tak, że czworokąt $A B J I$ jest prostokątem o bokach długości $a$ i $\frac{h}{2}$ .

Wtedy trójkąty niebieskie są przystające, podobnie trójkąty czerwone są przystające. Stąd pole trójkąta $A B C$ jest równe polu prostokąta $A B J I$ , czyli $P = \frac{a h}{2}$ .

Teraz odpowiemy na pytanie czy znając długość przekątnej można wyliczyć pole prostokąta.

Wpierw załóżmy, że przekątne prostokąta mają równą długość $d$ , i dzielą się w połowie. Wtedy wierzchołki prostokąta będą leżały na okręgu o promieniu $\frac{d}{2}$ jak na rysunku.

RCyPJHvieYaHR

Ilustracja przedstawia prostokąt oraz kwadrat wpisany w ten sam okrąg o środku w punkcie O. Przekątne prostokąta A B C D przecinają się w punkcie O, tak samo jak przekątne kwadratu A G C H.

Prostokąt $A B C D$ i kwadrat $A H C G$ mają równe przekątne. To świadczy o tym, że istnieją różne prostokąty mające równe przekątne.

Ponadto, prostokąt $A B C D$ i kwadratkwadratkwadrat $A H C G$ maja różne pola.

Aby to pokazać, zauważmy, że w trójkącie $A C G$ (którego pole jest równe połowie pola kwadratu) podstawą jest średnica okręgu $d$ a wysokością jest promień okręgu $\frac{d}{2}$ .

Natomiast w trójkącie $A D C$ (którego pole jest równe połowie pola prostokąta) podstawą jest średnica okręgu $d$ a długością wysokości jest odległość punktu $D$ od średnicy okręgu. Z własności okręgu odległość ta jest mniejsza od promienia i stąd pole prostokąta jest mniejsze od pola kwadratu.

Powyższe obserwacje wskazują na to, że aby wykorzystać przekątną do wyznaczenia pola prostokąta należy dodać jeszcze jakiś warunek.

wzór na pole prostokąta, gdy znana jest długość przekątnej i kąt między przekątnymi

Twierdzenie: wzór na pole prostokąta, gdy znana jest długość przekątnej i kąt między przekątnymi

Pole prostokąta jest równe $P = \frac{d^{2} \sin α}{2}$ , gdzie $d$ jest długością przekątnej a $α$ jest jednym z kątów między przekątnymi prostokąta.

Dowód

Na rysunku przedstawiony jest prostokąt z zaznaczonymi kątami między przekątnymi.

R82QfRbUP66Ms

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi A C i B D. Obie przekątne przecinają się w punkcie S. Wewnątrz prostokąta zaznaczono dwa kąty, kąt alfa pomiędzy odcinkiem S A i S D oraz kąt beta pomiędzy odcinkiem S D i S C.

Zastosujemy:

Fakt, że pole trójkąta jest równe $\frac{a b \sin α}{2}$ , gdzie $a$ , $b$ są bokami trójkąta a $α$ kątem między tymi bokami.
Fakt, że $\sin α = \sin (180 ° - α)$ .

Pole prostokąta jest równe:

$P = 2 P_{A S D} + 2 P_{A S B} = \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \sin α + \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \sin β = \frac{d^{2}}{4} (\sin α + \sin (180 ° - α)) =$

$= \frac{d^{2} \sin α}{2}$

Przykład 5

Wyznaczymy pole prostokąta, którego przekątna ma długość $20$ , a kąt między przekątną i jednym z jego boków jest równy $30 °$ .

RKtrYmFTKnago

Rozwiązanie

Załóżmy, że $α = 30 °$ .

Wtedy kąt $D S A$ jest równy $180 ° - 2 α = 120 °$ i stąd $P = \frac{20^{2} \sin 120 °}{2} = 100 \sqrt{3}$ .

Gdyby $β = 30 °$ . To wtedy kąt $C S D$ jest równy $180 ° - 2 β = 120 °$ .

Wynika stąd, że do rozwiązania zadania wystarczy informacja o mierze jednego kąta niezależnie czy to jest $α$ czy $β$ .

Kolejny przykład pokazuje, że informacja o długości przekątnej i zależności między bokami również pozwala na wyznaczenie pola prostokąta.

Przykład 6

Długość jednego z boków prostokąta jest dwa razy większa od długości drugiego boku prostokąta. Przekątna prostokąta ma długość równą $3$ . Obliczymy pole tego prostokąta.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że jeśli jeden bok ma długość $a$ , to drugi ma długość $2 a$ .

Wtedy $P = a \cdot 2 a = 2 a^{2}$ . Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. $a^{2} + {(2 a)}^{2} = 5 a^{2} = 9$ . Stąd $a^{2} = \frac{9}{5}$ . Zatem $P = \frac{18}{5}$ .

Przykład 7

Obwód prostokąta jest równy $14$ , a jego pole jest równe $12$ . Obliczymy długości boków tego prostokątaprostokątprostokąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta symbolami $a$ i $b$ . Obwód jest równy $2 a + 2 b = 14$ . Pole jest równe $a b = 12$ .

Trzeba rozwiązać układ równań.

${\begin{matrix} a + b = 7 \\ a b = 12 \end{matrix}$

$a = 7 - b$

$(7 - b) b = 12$

$- b^{2} + 7 b - 12 = 0$

$Δ = 49 - 48 = 1$

$b_{1} = \frac{- 7 - 1}{- 2} = 4$ , $b_{2} = \frac{- 7 + 1}{- 2} = 3$

Zatem jeden z boków ma długość $3$ a drugi - długość $4$ .

Przykład 8

Załóżmy, że w prostokącie podany jest kąt $α$ jaki tworzy przekątna prostokąta z bokiem $a$ oraz długość tego boku. Wyznaczymy pole tego prostokąta, długość drugiego boku, długość przekątnej i kąt między przekątnymi.

R1NTd8jC1ATSL

Rozwiązanie

$tg α = \frac{b}{a}$ , więc $b = a \cdot tg α$ .

Stąd $P = a b = a^{2} \cdot tg α$ .

$\cos α = \frac{a}{d}$ , więc $d = \frac{a}{\cos α}$ .

Kąt $γ$ na rysunku wynosi $γ = 180 ° - 2 α$ a drugi kąt między przekątnymi wynosi $180 ° - γ = 2 α$ .

Przykład 9

Wyznaczymy zależności między długościami boków prostokąta $a$ , $b$ i długością przekątnej $d$ .

Rozwiązanie

Z twierdzenia Pitagorasa $a^{2} + b^{2} = d^{2}$ . Stąd

$a = \sqrt{d^{2} - b^{2}}$ , $b = \sqrt{d^{2} - a^{2}}$ , $d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Polecenie 1

W schemacie interaktywnym są pola do wpisania długości boków, długości przekątnej oraz miary kąta między przekątną i bokiem prostokąta. Możesz wpisać wartości w wybrane dwa pola na ekranie. Wtedy wyliczone zostaną wartości pozostałych parametrów oraz kąty między przekątnymi, pole i obwód prostokąta.

1. Jeżeli wybierzesz bok i kąt między przekątną i bokiem, to w obliczeniach kąt ten będzie traktowany jak kąt między przekątną i wybranym bokiem.

2. Jeżeli wybierzesz przekątną i kąt między przekątną i bokiem, to boki prostokąta zostaną wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do kolejności.

3. Jeżeli wybierzesz dwa boki, to zostaną wyliczone dwa kąty między przekątną i bokiem.

4. Pamiętaj, że przekątna musi być dłuższa od obu boków oraz że kąt musi być większy od zera i mniejszy od kąta prostego.

5. Zwróć uwagę, że wyniki mogą być podane w przybliżeniu.

Zapoznaj się z poniższym opisem schematu.

R1VXoHl5kVcAq1

Ćwiczenie 1

Rozwiąż test. Zaznacz poprawną odpowiedź.

R1IVh6g5wnbyM

R7bLh8FFUfsYF

RWlsfLBTV2CJ1

RkRAZPQdGpYA5

RBtg2eQjFBBFF

R19WI1v6gEWbJ

R1ZyU5A7QdfOx

Rqpl5vBPHDvXX

RzAKyEw4oln6q

Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi w teście składającym się z dziewięciu pytań jednokrotnego wyboru. Stosowna informacja zawarta jest w poleceniu.

R1IVh6g5wnbyM
Jeżeli dane są długości boków prostokąta a, b to pole prostokąta wyznaczamy ze wzoru: Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a b., 2. a b., 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 4. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
R7bLh8FFUfsYF
Jeśli a, równa się, sześć, b, równa się, osiem, to pole prostokąta jest równe: Możliwe odpowiedzi: 1. dziesięć., 2. dwadzieścia cztery., 3. czterdzieści osiem., 4. sto.
RWlsfLBTV2CJ1
Jeżeli pole jest równe sześćdziesiąt trzy i a, równa się, siedem, to przekątna tego prostokąta ma długość: Możliwe odpowiedzi: 1. dziewięć., 2. osiem., 3. pierwiastek kwadratowy z sto trzydzieści.
RkRAZPQdGpYA5
Jeżeli dane są długości: boku prostokąta a i przekątnej d, to pole prostokąta wyznaczamy ze wzoru: Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a d., 2. a d., 3. a pierwiastek kwadratowy z d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 4. a pierwiastek kwadratowy z d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
RBtg2eQjFBBFF
Jeśli a, równa się, sześć, d, równa się, dziesięć, to pole prostokąta jest równe: Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć., 2. czterdzieści osiem., 3. sześćdziesiąt., 4. osiemdziesiąt.
R19WI1v6gEWbJ
Jeżeli pole jest równe sześćdziesiąt i a, równa się, dwanaście, to sinus kąta między bokiem a i przekątną tego prostokąta wynosi: Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka., 2. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka., 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka., 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka.
R1ZyU5A7QdfOx
Jeżeli dane są: długość boku prostokąta a i kąt alfa między bokiem a i przekątną tego prostokąta, to pole prostokąta wyznaczamy ze wzoru: Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus alfa., 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, kosinus alfa., 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, tangens alfa.
Rqpl5vBPHDvXX
Jeśli a, równa się, jedenaście, alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni, to pole prostokąta jest równe: Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia jeden pierwiastek kwadratowy z trzy., 2. sto dwadzieścia jeden., 3. sześćdziesiąt przecinek pięć., 4. sześćdziesiąt przecinek pięć pierwiastek kwadratowy z trzy.
RzAKyEw4oln6q
Jeżeli pole jest równe trzysta sześćdziesiąt i tangens kąta między bokiem a i przekątną tego prostokąta wynosi początek ułamka, czterdzieści, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, to długość tego boku wynosi: Możliwe odpowiedzi: 1. dziewięć., 2. trzydzieści sześć., 3. sześćdziesiąt., 4. osiemdziesiąt jeden.

Polecenie 2

Zbuduj algorytm obliczający parametry prostokąta, zawierający pola do wpisania długości boków, długości przekątnej oraz miary kąta między przekątną i bokiem prostokąta. Powienin mieć możliwość wyboru dwóch parametrów. Z podanych parametrów wyliczone zostaną wartości pozostałych parametrów oraz kąty między przekątnymi, pole i obwód prostokąta.

R16oOSpeMut3g

Przygotuj w języku PHP algorytm obliczający parametry prostokąta, zawierający pola do wpisania długości boków, długości przekątnej oraz miary kąta między przekątną i bokiem prostokąta. Powienin mieć możliwość wyboru dwóch parametrów. Z podanych parametrów wyliczone zostaną wartości pozostałych parametrów oraz kąty między przekątnymi, pole i obwód prostokąta.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

R96ZctGM9wFu3

Linia 1. $lista podkreślnik a średnik. Linia 2. $a średnik. Linia 3. $b średnik. Linia 4. $d średnik. Linia 5. $alfa średnik. Linia 7. prawy ukośnik prawy ukośnik Wyznaczanie parametrów prostokąta kropka. Linia 8. function Parametry podkreślnik prostok podkreślnik C4 podkreślnik 85ta otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 9. global $lista podkreślnik a przecinek $a przecinek $b przecinek $d przecinek $alfa średnik. Linia 10. $lista podkreślnik a znak równości array otwórz nawias okrągły apostrof 1 apostrof przecinek apostrof 2 apostrof przecinek apostrof 3 apostrof przecinek apostrof 4 apostrof przecinek apostrof 5 apostrof przecinek apostrof 6 apostrof zamknij nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy 5 zamknij nawias kwadratowy średnik. Linia 11. if otwórz nawias okrągły $lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof 1 apostrof zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 12. $a znak równości 3 średnik. Linia 13. $b znak równości 1 średnik. Linia 14. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Przekątna dwukropek d ≈ apostrof przecinek sqrt otwórz nawias okrągły $a asterysk $a plus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny α otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny alfa otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek asin otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik sqrt otwórz nawias okrągły $a asterysk $a plus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły prawy ukośnik pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk 180 przecinek apostrof ° kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny β otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny beta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek 90 minus asin otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik sqrt otwórz nawias okrągły $a asterysk $a plus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły prawy ukośnik pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk 180 przecinek apostrof ° kropka Obwód dwukropek L ≈ apostrof przecinek 2 asterysk $a plus 2 asterysk $b przecinek apostrof kropka Pole dwukropek P ≈ apostrof przecinek $a asterysk $b przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 15. zamknij nawias klamrowy else if otwórz nawias okrągły $lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof 2 apostrof zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 16. $a znak równości 3 średnik. Linia 17. $alfa znak równości 30 średnik. Linia 18. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Przekątna dwukropek d ≈ apostrof przecinek $a prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Bok dwukropek b ≈ apostrof przecinek sqrt otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły minus $a asterysk $a zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny β otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny beta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek 90 minus $alfa przecinek apostrof ° kropka Obwód dwukropek L ≈ apostrof przecinek 2 asterysk $a plus 2 asterysk sqrt otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły minus $a asterysk $a zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Pole dwukropek P ≈ apostrof przecinek $a asterysk sqrt otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły minus $a asterysk $a zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 19. zamknij nawias klamrowy else if otwórz nawias okrągły $lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof 3 apostrof zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 20. $b znak równości 1 średnik. Linia 21. $alfa znak równości 30 średnik. Linia 22. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Przekątna dwukropek d ≈ apostrof przecinek $b prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Bok dwukropek a ≈ apostrof przecinek sqrt otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły $b prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły $b prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły minus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny β otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny beta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek 90 minus $alfa przecinek apostrof ° kropka Obwód dwukropek L ≈ apostrof przecinek 2 asterysk $b plus 2 asterysk sqrt otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły $b prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły $b prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły minus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Pole dwukropek P ≈ apostrof przecinek $b asterysk sqrt otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły $b prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły $b prawy ukośnik sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły minus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 23. zamknij nawias klamrowy else if otwórz nawias okrągły $lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof 4 apostrof zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 24. $d znak równości 5 średnik. Linia 25. $alfa znak równości 30 średnik. Linia 26. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Bok dwukropek a ≈ apostrof przecinek $d asterysk sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Bok dwukropek b ≈ apostrof przecinek $d asterysk cos otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny β otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny beta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek 90 minus $alfa przecinek apostrof ° kropka Obwód dwukropek L ≈ apostrof przecinek 2 asterysk $d asterysk sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły plus 2 asterysk $d asterysk cos otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Pole dwukropek P ≈ apostrof przecinek $d asterysk sin otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk $d asterysk cos otwórz nawias okrągły $alfa prawy ukośnik 180 asterysk pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 27. zamknij nawias klamrowy else if otwórz nawias okrągły $lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof 5 apostrof zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 28. $a znak równości 3 średnik. Linia 29. $d znak równości 5 średnik. Linia 30. if otwórz nawias okrągły $a otwórz nawias ostrokątny $d zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 31. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Bok dwukropek b ≈ apostrof przecinek sqrt otwórz nawias okrągły $d asterysk $d minus $a asterysk $a zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny α otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny alfa otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek asin otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik $d zamknij nawias okrągły prawy ukośnik pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk 180 przecinek apostrof ° kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny β otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny beta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek 90 minus asin otwórz nawias okrągły $a prawy ukośnik $d zamknij nawias okrągły prawy ukośnik pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk 180 przecinek apostrof ° kropka Obwód dwukropek L ≈ apostrof przecinek 2 asterysk $a plus 2 asterysk sqrt otwórz nawias okrągły $d asterysk $d minus $a asterysk $a zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Pole dwukropek P ≈ apostrof przecinek $a asterysk sqrt otwórz nawias okrągły $d asterysk $d minus $a asterysk $a zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 32. zamknij nawias klamrowy else otwórz nawias klamrowy. Linia 33. print otwórz nawias okrągły apostrof Bok a musi być krótszy od przekątnej d kropka apostrof zamknij nawias okrągły średnik. Linia 34. zamknij nawias klamrowy. Linia 35. zamknij nawias klamrowy else otwórz nawias klamrowy. Linia 36. $b znak równości 1 średnik. Linia 37. $d znak równości 5 średnik. Linia 38. if otwórz nawias okrągły $b otwórz nawias ostrokątny $d zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 39. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Bok dwukropek a ≈ apostrof przecinek sqrt otwórz nawias okrągły $d asterysk $d minus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny α otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny alfa otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek asin otwórz nawias okrągły sqrt otwórz nawias okrągły $d asterysk $d minus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik $d zamknij nawias okrągły prawy ukośnik pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk 180 przecinek apostrof ° kropka Kąt między przekątną i bokiem dwukropek otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny β otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny beta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny ≈ apostrof przecinek 90 minus asin otwórz nawias okrągły sqrt otwórz nawias okrągły $d asterysk $d minus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik $d zamknij nawias okrągły prawy ukośnik pi otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk 180 przecinek apostrof ° kropka Obwód dwukropek L ≈ apostrof przecinek 2 asterysk $b plus 2 asterysk sqrt otwórz nawias okrągły $d asterysk $d minus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Pole dwukropek P ≈ apostrof przecinek $b asterysk sqrt otwórz nawias okrągły $d asterysk $d minus $b asterysk $b zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 40. zamknij nawias klamrowy else otwórz nawias klamrowy. Linia 41. print otwórz nawias okrągły apostrof Bok b musi być krótszy od przekątnej d kropka apostrof zamknij nawias okrągły średnik. Linia 42. zamknij nawias klamrowy. Linia 43. zamknij nawias klamrowy. Linia 44. zamknij nawias klamrowy. Linia 47. Parametry podkreślnik prostok podkreślnik C4 podkreślnik 85ta otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik.

$lista_a;
$a;
$b;
$d;
$alfa;

// Wyznaczanie parametrów prostokąta.
function Parametry_prostok_C4_85ta() {
  global $lista_a, $a, $b, $d, $alfa;
  $lista_a = array('1', '2', '3', '4', '5', '6')[5];
  if ($lista_a == '1') {
    $a = 3;
    $b = 1;
    print(implode('', array('Przekątna: d ≈ ',sqrt($a * $a + $b * $b),'. Kąt między przekątną i bokiem: αalfa ≈ ',asin($a / sqrt($a * $a + $b * $b)) / pi() * 180,'°. Kąt między przekątną i bokiem: βbeta ≈ ',90 - asin($a / sqrt($a * $a + $b * $b)) / pi() * 180,'°. Obwód: L ≈ ',2 * $a + 2 * $b,'. Pole: P ≈ ',$a * $b,'.')));
  } else if ($lista_a == '2') {
    $a = 3;
    $alfa = 30;
    print(implode('', array('Przekątna: d ≈ ',$a / sin($alfa / 180 * pi()),'. Bok: b ≈ ',sqrt(($a / sin($alfa / 180 * pi())) * ($a / sin($alfa / 180 * pi())) - $a * $a),'. Kąt między przekątną i bokiem: βbeta ≈ ',90 - $alfa,'°. Obwód: L ≈ ',2 * $a + 2 * sqrt(($a / sin($alfa / 180 * pi())) * ($a / sin($alfa / 180 * pi())) - $a * $a),'. Pole: P ≈ ',$a * sqrt(($a / sin($alfa / 180 * pi())) * ($a / sin($alfa / 180 * pi())) - $a * $a),'.')));
  } else if ($lista_a == '3') {
    $b = 1;
    $alfa = 30;
    print(implode('', array('Przekątna: d ≈ ',$b / sin($alfa / 180 * pi()),'. Bok: a ≈ ',sqrt(($b / sin($alfa / 180 * pi())) * ($b / sin($alfa / 180 * pi())) - $b * $b),'. Kąt między przekątną i bokiem: βbeta ≈ ',90 - $alfa,'°. Obwód: L ≈ ',2 * $b + 2 * sqrt(($b / sin($alfa / 180 * pi())) * ($b / sin($alfa / 180 * pi())) - $b * $b),'. Pole: P ≈ ',$b * sqrt(($b / sin($alfa / 180 * pi())) * ($b / sin($alfa / 180 * pi())) - $b * $b),'.')));
  } else if ($lista_a == '4') {
    $d = 5;
    $alfa = 30;
    print(implode('', array('Bok: a ≈ ',$d * sin($alfa / 180 * pi()),'. Bok: b ≈ ',$d * cos($alfa / 180 * pi()),'. Kąt między przekątną i bokiem: βbeta ≈ ',90 - $alfa,'°. Obwód: L ≈ ',2 * $d * sin($alfa / 180 * pi()) + 2 * $d * cos($alfa / 180 * pi()),'. Pole: P ≈ ',$d * sin($alfa / 180 * pi()) * $d * cos($alfa / 180 * pi()),'.')));
  } else if ($lista_a == '5') {
    $a = 3;
    $d = 5;
    if ($a < $d) {
      print(implode('', array('Bok: b ≈ ',sqrt($d * $d - $a * $a),'. Kąt między przekątną i bokiem: αalfa ≈ ',asin($a / $d) / pi() * 180,'°. Kąt między przekątną i bokiem: βbeta ≈ ',90 - asin($a / $d) / pi() * 180,'°. Obwód: L ≈ ',2 * $a + 2 * sqrt($d * $d - $a * $a),'. Pole: P ≈ ',$a * sqrt($d * $d - $a * $a),'.')));
    } else {
      print('Bok a musi być krótszy od przekątnej d.');
    }
  } else {
    $b = 1;
    $d = 5;
    if ($b < $d) {
      print(implode('', array('Bok: a ≈ ',sqrt($d * $d - $b * $b),'. Kąt między przekątną i bokiem: αalfa ≈ ',asin(sqrt($d * $d - $b * $b) / $d) / pi() * 180,'°. Kąt między przekątną i bokiem: βbeta ≈ ',90 - asin(sqrt($d * $d - $b * $b) / $d) / pi() * 180,'°. Obwód: L ≈ ',2 * $b + 2 * sqrt($d * $d - $b * $b),'. Pole: P ≈ ',$b * sqrt($d * $d - $b * $b),'.')));
    } else {
      print('Bok b musi być krótszy od przekątnej d.');
    }
  }
}


Parametry_prostok_C4_85ta();

Kwadrat jest najbardziej regularnym czworokątem. Stykamy się z pojęciem kwadratu już na wczesnoszkolnym etapie nauczania i „wszyscy wiedzą”, że

pole kwadratu jest kwadratem długości boku kwadratu.

Warto jednak spytać, dlaczego tak właśnie wyznacza się pole kwadratu.

Kwadrat jest czworokątem, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste. Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w połowie. W naszych rozważaniach będziemy stosowali oznaczenia przedstawione na rysunku.

R1J3S3LNk8f6u

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD o boku a. Przekątne o długości d przecinają się w punkcie S.

Bok kwadratu $A B C D$ oznaczony jest symbolem $a$ , który oznacza też długość tego boku. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych, $d$ oznacza przekątną (i jej długość). Symbolem $P$ oznaczamy pole kwadratu $A B C D$ .

Na początek zajmiemy się problemem mierzenia. Problem mierzenia w starożytności był bardzo trudnym zadaniem, gdyż nie znano pojęcia liczb rzeczywistych, a co za tym idzie nie stosowano wzorów takich jak $P = a^{2}$ . Problem zmierzenia pola figury sprowadzano do porównywania z figurami, których pole było znane.

Spróbujmy zastosować sposób myślenia starożytnych do wyznaczenia pola kwadratu. Przyjmujemy założenie, że pole kwadratu o boku długości równej jednej jednostce (czyli $1 j$ ) jest równe $1 j^{2}$ , czyli jedna jednostka kwadratowa. Pole to będziemy nazywali polem jednostkowym i będzie to wzorzec, do którego będziemy odnosić pozostałe wyliczenia.

Pokażemy, jak wyznaczać pole kwadratu w zależności od tego jaką liczbą jest długość boku kwadratu, począwszy od liczb naturalnych, potem odwrotności liczb naturalnych, następnie liczb wymiernych, by ostatecznie wyprowadzić wzór na pole kwadratu o boku długości rzeczywistej.

Dowody dotyczące pola figur opierają się na następujących własnościach pola.

Własności pola

Własność: Własności pola

Niech $P_{F}$ oznacza pole figury $F$ . Wtedy:

figury przystające mają równe pola;

jeżeli figura $F_{1}$ jest zawarta w figurze $F_{2}$ to $P_{F_{1}} \leq P_{F_{2}}$ ;

jeżeli $F_{1}$ , $F_{2}$ są rozłączne, to pole ich sumy jest równe sumie pól. Prawdziwa jest też ogólniejsza własność, że pole sumy figur jest równe sumie ich pól odjąć pole ich części wspólnej.

Pole kwadratu o boku długości $n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną

Weźmy kwadrat o boku $a = n$ jednostek. Podzielmy dwa sąsiednie boki kwadratu na $n$ równych odcinków. Zadanie to można wykonać konstrukcyjnie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki. Łączymy punkty podziału boków odcinkami równoległymi do boków, tak jak na przykładowym rysunku dla $n = 5$ .

R1e1vEjehydLr

Ilustracja przedstawia kwadrat podzielony na 25 małych kwadratów.

Ponieważ odcinki poprowadzono równolegle do boków, to czworokąty otrzymane w ten sposób mają wszystkie kąty proste. Poza tym boki zostały podzielone na $n$ równych odcinków to każdy z otrzymanych czworokątów ma wszystkie boki równe o długości $1 j$ . To oznacza, że kwadrat o boku $n$ został podzielony na kwadraty o polu jednostkowym.

Do wyznaczenia pola $P$ wystarczy policzyć, ile jest kwadratów jednostkowych.

Zauważamy, że w wyniku podziału jednego z boków kwadratu na $n$ części otrzymujemy $n$ rzędów, a w wyniku podziału drugiego boku na $n$ równych części dostajemy $n$ kwadratów jednostkowych w każdym rzędzie. Ostatecznie kwadrat został podzielony na $n \cdot n = n^{2}$ kwadratów jednostkowych, więc jego pole $P$ jest sumą pól tych kwadratów i w efekcie $P = n^{2}$ jednostek kwadratowych.

Uwaga!

W dalszej części tego materiału będziemy zakładać, że jednostka jest ustalona i będziemy pomijać odniesienie jednostki tam, gdzie to nie prowadzi do nieporozumień.

Przykład 10

Wyznaczymy pole kwadratu o boku $8$ .

Rozwiązanie

Dzielimy kwadrat jak na poniższym rysunku.

RM0LvwoMega2n

Ilustracja przedstawia kwadrat podzielony na 64 małych kwadratów.

Dostajemy $8$ rzędów po $8$ kwadratów w każdym, więc pole kwadratu o boku $8$ jest równe $64$ jednostki kwadratowe.

Zauważmy, że wzór na pole został już wyprowadzony, więc $P = 8^{2} = 64$ .

Pole kwadratu o boku długości $\frac{1}{n}$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną

Chcemy wyznaczyć pole kwadratu o boku $a = \frac{1}{n}$ .

Podzielmy każdy bok kwadratu jednostkowego na $n$ równych części, a następnie metodą opisaną wyżej na $n^{2}$ przystających kwadratów o boku $a = \frac{1}{n}$ . Ponieważ pole kwadratu jednostkowego jest równe $1$ , to pole każdego z tak uzyskanych kwadratów jest równe $a = \frac{1}{n^{2}}$ .

Ostatecznie wzór na pole kwadratu o boku $a = \frac{1}{n}$ jest następujący:

P = \frac{1}{n^{2}} = {(\frac{1}{n})}^{2}

Przykład 11

Wyznaczymy pole kwadratu o boku $\frac{1}{3}$ .

Rozwiązanie

Po zastosowaniu wzoru pole kwadratu o boku $a = \frac{1}{n}$ mamy $P = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}$ .

Gdybyśmy chcieli sami wyznaczyć pole tego kwadratu bez odwoływania się do wzoru, to kwadrat jednostkowy należy podzielić na $9$ przystających kwadratów metodą opisaną wyżej. Pole kwadratu o boku $\frac{1}{3}$ jest polem jednego z tych dziewięciu kwadratów, więc jest równe $\frac{1}{9}$ .

Pole kwadratu o boku długości wymiernej

Chcemy wyznaczyć pole kwadratu o boku wymiernym, czyli $a = \frac{m}{n}$ , gdzie $m$ , $n$ są liczbami naturalnymi.

Metodą opisaną wyżej konstruujemy kwadrat o boku $\frac{1}{n}$ . Jego pole jest równe $\frac{1}{n^{2}}$ .

Układamy kwadraty o boku $\frac{1}{n}$ w $m$ rzędach, po $m$ kwadratów w każdym rzędzie.

W ten sposób powstał kwadrat o boku $\frac{m}{n}$ . Składa się on z $m^{2}$ kwadratów o polu $\frac{1}{n^{2}}$ .

Ostatecznie $P = \frac{m^{2}}{n^{2}} = {(\frac{m}{n})}^{2}$ .

Pole kwadratu o boku długości niewymiernej – dla zainteresowanych

Chcemy wyznaczyć pole kwadratu o boku $a$ , gdzie $a$ jest liczbą niewymierną.

Każda liczba niewymierna ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne $a = c_{0}, c_{1} c_{2} c_{3}$ ...

Jeżeli utniemy tę liczbę na $n$ -tym miejscu po przecinku to dostaniemy $a_{n} = \frac{c_{0} c_{1} . . . c_{n}}{10^{n}}$ .

Liczbę $a_{n}$ nazywamy $n$ -tym reduktem liczby $a$ . Licznik $n$ -tego reduktu $c_{0} c_{1} . . . c_{n}$ oznaczamy symbolem $l_{n}$ .

Przykład 12

Wyznaczymy kilka początkowych reduktów liczby $a = \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Rozwinięcie dziesiętne tej liczby jest postaci $1, 7320508$ .

Wtedy

$a_{0} = 1$ , $a_{1} = \frac{17}{10}$ , $a_{2} = \frac{173}{100} = \frac{173}{10^{2}}$ , $a_{3} = \frac{1732}{10^{3}}$ , $a_{4} = \frac{17320}{10^{4}}$ , $a_{5} = \frac{173205}{10^{5}}$ , $a_{6} = \frac{1732050}{10^{3}}$ ,...

$l_{0} = 1$ , $l_{1} = 17$ , $l_{2} = 173$ , $l_{3} = 1732$ , $l_{4} = 17320$ , $l_{5} = 173205$ , $l_{6} = 1732050$ ,...

Ograniczenie liczby

a

przez jej redukt

Własność: Ograniczenie liczby

a

przez jej redukt

Jeśli liczba $a$ ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, to dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność $a_{n} < a < \frac{l_{n} + 1}{10^{n}} = a_{n} + \frac{1}{10^{n}}$ .

Wróćmy teraz do problemu wyznaczenia pola kwadratu o boku $a$ .

RyqPd5E38ogzk

Ilustracja przedstawia kwadrat składający się z czterech figur. Niebieskiego kwadratu o boku an=ln10n. Dwóch różowych prostokątów o boku an=ln10n oraz 110n. I z zielonego kwadratu o boku 110n.

Dla dowolnego $n$ pole $P$ kwadratu $A B C D$ jest większe od pola kwadratu o boku $a_{n}$ oraz jest mniejsze od pola kwadratu o boku $a_{n} + \frac{1}{10^{n}}$ .

Boki tych kwadratów są liczbami wymiernymi.

W ten sposób pole $P$ wyznaczone jest w przybliżeniu. Dokładność tego przybliżenia jest różnicą między polami kwadratów ograniczających kwadrat $A B C D$ .

Na rysunku widać, że różnica ta, to suma pól dwóch czerwonych (przystających) prostokątów o bokach $a_{n}$ i $\frac{1}{10^{n}}$ oraz kwadratu o boku $\frac{1}{10^{n}}$ .

Różowy prostokąt składa się z $l_{n}$ kwadratów o boku $\frac{1}{10^{n}}$ , więc pole różowego prostokąta jest równe $\frac{l_{n}}{10^{2 n}}$ .

Stąd dokładność przybliżenia wynosi $r_{n} = \frac{2 l_{n}}{10^{2 n}} + \frac{1}{10^{2 n}} = \frac{2 a_{n}}{10^{n}} + \frac{1}{10^{2 n}}$ .

Stąd w przybliżeniu pole $P$ jest równe $P \approx a_{n}^{2} + r_{n}$ .

Teraz zauważmy, że przy $n$ dążącym do nieskończoności $a_{n}^{2}$ zbiega do $a^{2}$ a $r_{n}$ zbiega do zera.

Zatem w granicy dostajemy $P = a^{2}$ .

o polu kwadratu

Twierdzenie: o polu kwadratu

Pole kwadratu o boku $a$ jest równe $P = a^{2}$ .

Wykorzystanie podobieństwa kwadratów do wyznaczenia pola kwadratu o boku $a$

Innym sposobem wyznaczenia wzoru na pole kwadratu jest zastosowanie podobieństwa kwadratów. Ponieważ wszystkie kwadraty są do siebie podobne, to kwadrat o boku $a$ jest podobny do kwadratu jednostkowego w skali $k = a$ . Z własności pola figur podobnych wynika, że jego pole $P$ jest równe $P = k^{2} \cdot 1 = a^{2}$ .

Przykład 13

Kwadrat $K$ jest podobny do kwadratu jednostkowego w skali $k = \frac{3}{4}$ a kwadrat $L$ jest podobny do kwadratu $K$ w skali $l = 6$ . Wyznaczymy bok i pole kwadratu $K$ i kwadratu $L$ .

Rozwiązanie

Z podobieństwa wynika, że bok kwadratu $K$ jest równy $a = \frac{3}{4}$ a pole kwadratu $K$ jest równe $k^{2} \cdot 1 = \frac{9}{16}$ .

Podobnie, bok kwadratu $L$ jest równy $l \cdot a = \frac{6 \cdot 3}{4} = \frac{9}{2}$ . Po zastosowaniu wzoru na pole kwadratu dostajemy, że pole kwadratu $L$ jest równe ${(\frac{9}{2})}^{2} = \frac{81}{4}$ .

Sprawdzimy teraz, czy nie popełniliśmy błędu w wyliczeniach wyznaczając pole kwadratu $L$ w inny sposób – wykorzystując skalę podobieństwa.

Pole kwadratu $L$ jest równe $l^{2} \cdot P = 6^{2} \cdot \frac{9}{16} = \frac{36 \cdot 9}{16} = \frac{81}{4}$ .

Dwa sposoby wyliczenia pola doprowadziły do tego samego wyniku.

Wzory skróconego mnożenia

Udowodnimy wzory na kwadrat sumy i różnicy wykorzystując pole kwadratu.

Wzory skróconego mnożenia

Twierdzenie: Wzory skróconego mnożenia

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Dowód

1. Popatrzmy na rysunek, na którym przedstawiono kwadrat o boku $a + b$ .

R11nnJLNOTvos

Ilustracja przedstawia kwadrat składający się z czterech figur. Niebieskiego kwadratu o boku a, dwóch różowych prostokątach o boku a i b oraz z zielonego kwadratu o boku b.

Prowadzimy linie równoległe do boków tego kwadratu, tak, żeby odciąć kwadrat o boku $A$ .

Wtedy pole kwadratu $P$ o boku $a + b$ jest równe sumie pól następujących czworokątów: niebieski kwadrat o boku $a$ , zielony kwadrat o boku $b$ i dwa różowe prostokąty o bokach $a$ i $b$ .

Stąd $P = {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

2. Do dowodu wzoru na kwadrat różnicy zakładamy, że $a > b$ i wykonujemy rysunek analogiczny do poprzedniego. Duży kwadrat ma bok $a$ , niebieski kwadrat ma bok $a - b$ , a zielony ma bok $b$ . Bierzemy jeszcze pod uwagę dwa prostokąty o bokach $a$ i $b$ .

R1SCSXjSEqvvO

Ilustracja przedstawia kwadrat składający się z czterech figur. Niebieskiego kwadratu o boku a minus b, dwóch różowych prostokątach o bokach a minus b oraz b i z zielonego kwadratu o boku a.

Aby dostać pole $P$ kwadratu o boku $a - b$ odejmujemy od pola kwadratu o boku $a$ pola dwóch prostokątów o bokach $a$ i $b$ , ale te prostokąty mają część wspólną – kwadrat o boku $b$ , którego pole musimy dodać.

Stąd $P = {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

Pole kwadratu, którego wierzchołki mają całkowite współrzędne

Jeśli podane są współrzędne dwóch sąsiednich wierzchołków kwadratu $A = (a_{x}, a_{y})$ , $B = (b_{x}, b_{y})$ to długość boku $A B$ jest równa $a = \sqrt{{(a_{x} - b_{x})}^{2} + {(a_{y} - b_{y})}^{2}}$ .

Jeśli podane są współrzędne dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu $A = (a_{x}, a_{y})$ , $C = (c_{x}, c_{y})$ , to długość przekątnej $A C$ jest równa $c = \sqrt{{(a_{x} - c_{x})}^{2} + {(a_{y} - c_{y})}^{2}}$ .

Pole kwadratu, którego dwa wierzchołki mają współrzędne $(a_{x}, a_{y})$ i $(b_{x}, b_{y})$ jest równe:

$P = {(a_{x} - b_{x})}^{2} + {(a_{y} - b_{y})}^{2}$ jeśli wierzchołki te są wierzchołkami sąsiednimi;

$P = \frac{{(a_{x} - b_{x})}^{2} + {(a_{y} - b_{y})}^{2}}{2}$ jeśli wierzchołki te są wierzchołkami przeciwległymi.

Przykład 14

Dane są $3$ wierzchołki kwadratu $K = (4, 6)$ , $L = (- 1, 5)$ , $M = (0, 0)$ . Wyznaczymy jego pole.

Rozwiązanie

Wystarczy wybrać parę wierzchołków, które są sąsiednie lub parę wierzchołków, które są przeciwległe i zastosować powyższe twierdzenie.

W tym celu wyznaczamy długości odcinków $K L$ i $L M$ . Jeśli długości są równe, to $K$ , $L$ są wierzchołkami sąsiednimi. Jeśli długości nie są równe, to wierzchołki krótszego są sąsiednie.

$|K L| = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {(6 - 5)}^{2}} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$

$|L M| = \sqrt{{(- 1 - 0)}^{2} + {(5 - 0)}^{2}} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$

Stąd pole kwadratu jest równe ${(\sqrt{26})}^{2} = 26$ .

o polu kwadratu, którego dwa sąsiednie wierzchołki mają współrzędne całkowite

Twierdzenie: o polu kwadratu, którego dwa sąsiednie wierzchołki mają współrzędne całkowite

Jeśli współrzędne $A = (a_{x}, a_{y})$ , $B = (b_{x}, b_{y})$ dwóch sąsiednich wierzchołków kwadratu są liczbami całkowitymi, to pole kwadratu jest też liczbą całkowitą. Własność ta nie zachodzi dla wierzchołków przeciwległych.

Dowód

$P = {(a_{x} - b_{x})}^{2} + {(a_{y} - b_{y})}^{2}$ jeśli wierzchołki te są wierzchołkami sąsiednimi. Korzystając z faktu, że suma i różnica oraz kwadrat liczb całkowitych są liczbami całkowitymi dostajemy, że $P$ jest liczbą całkowitą.

Przykład 15

Pokażemy przykład dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu, które mają współrzędne całkowite, ale pole kwadratu nie jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Weźmy punkty $A = (2, 4)$ i $C = (5, 4)$ , które są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Wtedy $P = \frac{{(2 - 5)}^{2} + {(4 - 4)}^{2}}{2} = \frac{9}{2}$ .

Punktami kratowymipunkty kratowePunktami kratowymi nazywamy punkty o współrzędnych całkowitych.

Prawdziwe jest twierdzenie Picka, które mówi o polu wielokąta, którego wierzchołkami są punkty kratowe.

Picka

Twierdzenie: Picka

Pole wielokąta, którego wierzchołkami są punkty kratowe jest równe $P = ω + \frac{δ}{2} - 1$ , gdzie $ω$ jest liczbą punktów kratowych należących do wnętrza wielokąta a $δ$ jest liczbą punktów kratowych należących do brzegu wielokąta.

Przykład 16

Obliczymy pole kwadratu $K$ przedstawionego na rysunku, stosując twierdzenie Picka oraz wyznaczając pole kwadratu z użyciem twierdzenia Pitagorasa potwierdzimy wynik.

RWImcC5LyyoZt

Ilustracja przedstawia 49 punktów. W jego środku umieszczono kwadrat o boku 4 kropek.

Rozwiązanie

Wewnątrz kwadratu jest $13$ punktów kratowych, a na brzegu jest $12$ punktów kratowych. Stąd $P = 13 + \frac{12}{2} - 1 = 18$ .

Policzymy teraz długość boku kwadratu $K$ patrząc na punkty kratowe. Dla dowolnego boku kwadratu budujemy kwadrat, dla którego ten bok jest przekątną. Ten nowy kwadrat ma bok długości $3$ , więc jego przekątna ma długość $3 \sqrt{2}$ .

Stad pole kwadratu $P = {(3 \sqrt{2})}^{2} = 18$ . Obydwie metody doprowadziły do tego samego wyniku.

Wykorzystanie przekątnej do wyznaczania pola kwadratu

Długość $d$ przekątnej kwadratu o boku $a$ można wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa w następujący sposób:

R1ZJzXRabasoP

{(\frac{d}{2})}^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} = a^{2}

\frac{2 \cdot d^{2}}{4} = a^{2}

2 d^{2} = 4 a^{2}

d = a \sqrt{2}

Stąd też można wyznaczyć długość boku z długości przekątnej $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$ .

o polu kwadratu z wykorzystaniem przekątnej

Twierdzenie: o polu kwadratu z wykorzystaniem przekątnej

Pole kwadratu o przekątnej $d$ jest równe $P = \frac{d^{2}}{2}$ .

Dowód

$P = a^{2} = {(\frac{d}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{d^{2}}{2}$

Przykład 17

Na rysunku przekątna kwadratu $I J F G$ ma długość $8$ .

R1ajM2gVncZps

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD. Do boku DC przyłączono kwadrat CGHF. Do wierzchołka F dołączono dwa kwadraty. Jeden kwadrat ACEF o środku D oraz FGIJ o środku H.

Wyznaczymy pola i długości boków wszystkich kwadratów na rysunku.

Rozwiązanie

$P_{I J F G} = \frac{8^{2}}{2} = 32$ , $|I J| = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$

Bok kwadratu $I J F G$ jest przekątną kwadratu $C F H G$ , więc $P_{C F H G} = \frac{{(4 \sqrt{2})}^{2}}{2} = 16$ , $|H F| = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ .

$P_{A C E F} = \frac{4^{2}}{2} = 8$ , $|F E| = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$

$P_{A B C D} = \frac{{(2 \sqrt{2})}^{2}}{2} = 4$ , $|A B| = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$

Zauważmy, że pole kolejnego kwadratu jest połową pola kwadratu poprzedniego. Stąd można wyznaczyć skalę podobieństwa kolejnego kwadratu do kwadratu poprzedniego

$k = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Przykład 18

Wyznaczymy pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu $r$ .

RZINg9ItRYpFf

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD wpisany w okrąg o promieniu r. Przekątne kwadratu przecinają się w punkcie O.

Rozwiązanie

Średnica okręgu jest przekątną kwadratu, bo w okręgu kąt oparty na średnicy jest kątem prostym. Stąd średnica kwadratu ma długość $d = 2 r$ . I stąd $P = \frac{d^{2}}{2} = \frac{4 r^{2}}{2} = 2 r^{2}$ .

Przykład 19

Wyznaczymy pole kwadratu opisanego na okręgu o promieniu $r$ .

RVq4d3dRDUq1d

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD opisany na okręgu o promieniu r. Na kwadracie zaznaczono środki boków KLMN połączono je odcinkami przecinającymi się w punkcie O.

Rozwiązanie

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z kwadratem jest prostopadły do boków kwadratu. Stąd mamy, że kąt $K O N$ jest prosty i odcinki $K O$ i $O N$ są równe. Stąd $A K O N$ jest kwadratem.

To samo zachodzi dla pozostałych wierzchołków kwadratu $A B C D$ , więc średnica okręgu ma długość równą długości boku kwadratu. Stąd $d = 2 r$ i pole $P = {(2 r)}^{2} = 4 r^{2}$ .

Ćwiczenie 2

Pole niebieskiego obszaru na rysunku jest równe:

Ry7AjGhdxkOph

Ilustracja przedstawia figurę zbudowaną z prostokąta z wyciętymi dwoma prostokątami. Cały prostokąt miał wymiary dziesięć na siedemnaście. Odcięto z niego dwa prostokąty, pierwszy o wymiarach trzy na jedenaście oraz drugi dwa na osiem.

RuGYsRq1h42lF

Ćwiczenie 3

Pole niebieskiego obszaru na rysunku jest równe:

R9oqiIh5cYTrJ

Ilustracja przedstawia figurę przypominającą domek z kominem. Podstawą figury jest prostokąt o wymiarach pięć na osiem. Na jego górnej podstawie znajduje się trójkąt równoramienny w którym ramiona mają długość pięć, zaraz na prawo od trójkąta znajduje się prostokąt o wymiarach cztery na jeden, następnie znajduje się koniec górnej podstawy prostokąta o długości jeden.

RzQ7pA0iezvej

Ćwiczenie 4

Pole niebieskiego obszaru na rysunku jest równe:

R15uHiGAnDtMs

Ilustracja przedstawia figurę przypominającą domek. Dach domu składa się z trójkąta prostokątnego w który, przyprostokątna ma długość pięć, natomiast przeciwprostokątna ma długość trzynaście. Pod dachem znajduje się prostokąt o wymiarach osiem na jedenaście. Wewnątrz prostokąta wycięte zostały dwa okna o wymiarach dwa na trzy oraz jeden drzwi będące kwadratem o boku równym trzy.

R16yyTTnDfjY5

R1ULcfapx8VJ72

Ćwiczenie 5

RifIjAJjeW9pe

Ćwiczenie 5

RQsQjT74oyz142

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Obwód prostokąta jest równy $10$ , długość jego przekątnej $\sqrt{13}$ . Oblicz pole tego prostokąta.

Obwód prostokąta jest równy $O = 2 a + 2 b = 10$ , długość przekątnej $d = \sqrt{13}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa $d^{2} = a^{2} + b^{2} = 13$ .

Otrzymujemy układ równań:

${\begin{cases} a + b = 5 \\ a^{2} + b^{2} = 13 \end{cases}$

$a = 5 - b$

${(5 - b)}^{2} + b^{2} = 13$

$25 - 10 b + 2 b^{2} = 13$

$2 b^{2} - 10 b + 12 = 0$

$Δ = 100 - 96 = 4$ , $\sqrt{Δ} = 2$

$b_{1} = \frac{10 - 2}{4} = 2$ i wtedy $a_{1} = 3$

$b_{2} = \frac{10 + 2}{4} = 3$ i wtedy $a_{2} = 2$ .

Pole prostokąta jest równe $2 \cdot 3 = 6$ .

Ćwiczenie 8

Jeżeli każdy z boków prostokąta zwiększymy o $2 cm$ to pole zwiększy się o $20 {cm}^{2}$ . Oblicz o ile zwiększy się pole tego prostokąta, jeśli każdy z boków zwiększymy o $3 cm$ .

Niech pole tego prostokąta będzie $P = a b$ , po zwiększeniu boków prostokąta o $2 cm$ otrzymamy pole $(a + 2) (b + 2) = a b + 2 a + 2 b + 4$ .

Różnica między tymi polami wynosi:

$20 = (a b + 2 a + 2 b + 4) - a b = 2 (a + b) + 4$

Stąd $2 (a + b) = 20 - 4 = 16$ i $a + b = 8$ .

Jeżeli boki zwiększymy o $3$ to otrzymamy pole $(a + 3) (b + 3) = a b + 3 a + 3 b + 9$ .

Wtedy różnica wynosi:

$a b + 3 a + 3 b + 9 - P = a b + 3 a + 3 b + 9 - a b = 3 (a + b) + 9 = 3 \cdot 8 + 9 = 33$ .

Ćwiczenie 9

Na działce o powierzchni $6$ arów stoi dom zbudowany na planie prostokąta o wymiarach $12 m \times 15 m$ . Jaką część działki zajmuje ten dom?

$1$ ar to $100 m^{2}$ , więc działka ma powierzchnię $600 m^{2}$ .

Dom ma powierzchnię $12 \cdot 15 = 180 m^{2}$ .

Ostatecznie dom zajmuje $\frac{180}{600} = 0, 3$ , czyli trzy dziesiąte powierzchni działki.

Słownik

prostokąt

czworokąt, który ma wszystkie kąty proste

kwadrat

prostokąt, który ma wszystkie boki równe

punkty kratowe

punkty o współrzędnych całkowitych

2. Pole równoległoboku. Pole rombu

M_R_W18_M2 Pola czworokątów