2. Pole równoległoboku. Pole rombu

RNXiWVxsiQZDX

Rrnv14LNXNJJr

Ilustracja przedstawia szklany budynek w kształcie równoległoboku. — Źródło: KarstenBergmann, dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Na zdjęciu przedstawiony jest biurowiec w porcie w Hamburgu. Jest to sześciokondygnacyjny budynek o charakterystycznym przekroju w postaci równoległoboku i wystaje nad wodę jak burta statku. Główna ściana tego budynku to równoległobok o długości $134$ metrów i wysokości $25$ metrów. Kąt rozwarty jaki tworzy ta ściana z poziomym dachem wynosi $136$ stopni. Czy potrafisz wyznaczyć pole powierzchni ściany głównej?

W tym materiale omówimy różne sposoby wyznaczania pola równoległoboku i ich zastosowania.

Twoje cele

Wyliczysz pole równoległoboku i rombu na podstawie informacji o niektórych elementach tego czworokąta takich jak długości boków, przekątnych, wysokości, miary kątów.
Zobaczysz powiązanie pól równoległoboków i rombu z polami trójkątów i innych wielokątów.
Zastosujesz własności pola równoległoboku i rombu w zadaniach matematycznych i praktycznych.

Na początek omówimy własności równoległoboku.

Na rysunku przedstawiony jest równoległobokrównoległobokrównoległobok $A B C D$ z zaznaczonymi przekątnymi i kątami. Oznaczenia z tego rysunku wykorzystamy do opisu własności.

Zastosujemy oznaczenie $d_{1}$ na przekątną $A C$ oraz $d_{2}$ na przekątną $B D$ . Ponadto, niech $h_{a}$ oznacza wysokość równoległoboku opuszczoną na bok $a$ i niech $h_{b}$ oznacza wysokość równoległoboku opuszczoną na bok $b$ .

R1MoU4CoR3svu

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono przekątne równoległoboku AC o długości d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz BD o długości d indeks dolny 2 koniec indeksu. Punkt przecięcia przekątnych to S, a kąt pomiędzy nimi to gamma. Kąt przy wierzchołkach A i C wynosi alfa, a przy wierzchołkach B i D wynosi beta. Zaznaczono wysokość CE o długości h indeks dolny a koniec indeksu. Przedłużono bok BC otrzymując wysokość DF o długości h indeks dolny b koniec indeksu.

Równoległobok ma dwie pary boków równoległych: $D C ∥ A B$ , $B C ∥ A D$ .

Boki równoległe mają równe długości: $|D C| = |A B| = a$ , $|A D| = |B C| = b$ .

Kąty przeciwległe mają równe miary: $∢ B A D = ∢ B C D = α$ , $∢ A B C = ∢ A D C = β$ .

Suma kątów sąsiednich jest równa $180 °$ : $α + β = 180^{\circ}$ .

Przekątne przecinają się w połowie: $|A S| = |S C| = \frac{|A C|}{2} = \frac{d_{1}}{2}$ , $|B S| = |S D| = \frac{|B D|}{2} = \frac{d_{2}}{2}$ .

Własności kątów pod jakimi przecinają się przekątne: $∢ C S D = ∢ A S B = γ$ , $∢ A S D = ∢ B S C = 180^{\circ} - γ$ .

Z własności funkcji sinussinus wnioskujemy: $\sin γ = \sin (180 ° - γ)$ oraz $\sin α = \sin β$ .

Załóżmy, że potrafimy wyliczyć pole trójkąta. Pokażemy jak wtedy wyznaczyć pole równoległoboku.

Każda przekątna dzieli równoległobok $A B C D$ na dwa przystające trójkąty na mocy cechy $b - k - b$ : $A B C$ przystaje do $C D A$ oraz $B A D$ do $B C D$ .

Stąd pole równoległoboku jest dwa razy większe niż pole jednego z tych trójkątów.

Z powyższych rozważań wyciągniemy wniosek, że dwa trójkąty, które mają boki $a$ i $b$ , gdzie w pierwszym trójkacie kąt między bokami wynosi $α$ , w drugim $β$ spełniają zależność $α = 180 ° - β$ mają równe pola.

Rzeczywiście, pole trójkąta $A B C$ jest równe połowie pola równoległoboku, podobnie pole trójkąta $B C D$ jest równe połowie pola równoległoboku.

Trójkąt $A B C$ ma boki $a$ , $b$ i kąt między tymi bokami równy $β$ , natomiast trójkąt $B C D$ ma również boki $a$ , $b$ a kąt między tymi bokami równy $α$ . Z własności $4$ , $α + β = 180 °$ .

pole równoległoboku 1

Twierdzenie: pole równoległoboku 1

Pole równoległoboku jest równe

P = a \cdot h_{a}

gdzie $a$ jest dowolnym bokiem równoległoboku, a $h_{a}$ jest wysokością spuszczoną na ten bok.

Dowód

Niech $E^{'}$ będzie punktem przecięcia prostej poprowadzonej z wierzchołka $D$ równoległej do wysokości z prostą zawierająca bok $A B$ . Wtedy czworokąt $D C E E^{'}$ jest prostokątem o polu równym $|D C| \cdot |C E| = a \cdot h_{a}$ .

RFzvgGWTSzarS

Ilustracja przedstawia prostą na której umieszczono równoległobok ABCD. Zaznaczono wysokość h indeks dolny a koniec indeksu. Na prostej umieszczono punkt E prim będący końcem wysokości równoległoboku D E prim. Powstały dwa trójkąty ADE prim oraz BEC.

Trójkąty $B C E$ i $A D E^{'}$ są przystające na mocy cechy przystawania $b - k - b$ .

Stąd pole równoległoboku $P = P_{A E C D} + P_{B C E} = P_{A E C D} + P_{A D E^{'}} = a \cdot h_{a}$ .

Przykład 1

Jedna z wysokości w równoległoboku o polu $10$ ma długość $2$ , druga z wysokości ma długość $4$ . Wyznaczymy długości boków.

Rozwiązanie

$a \cdot h_{a} = a \cdot 2 = 10$ , więc $a = 5$

$b \cdot h_{b} = b \cdot 4 = 10$ , więc $b = 2, 5$

Zatem równoległobok ma boki długości $5$ i $2, 5$ .

W dowodzie twierdzenia sprowadziliśmy zadanie policzenia pola równoległoboku do wyznaczenia pola prostokąta. Pokażemy jeden ze sposobów sprowadzenia zadania policzenia pola równoległoboku do wyznaczenia pola trójkąta.

Przykład 2

Niech $A B C D$ będzie równoległobokiem. Na prostej $B C$ zaznaczamy punkt $B^{'}$ taki, że $|B C| = |C B^{'}|$ . Wykażemy, że pole równoległoboku $A B C D$ jest równe polu trójkąta $A B B^{'}$ .

R14aoGkHhpV79

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD o wymiarach a i b. Przedłużono bok BC i zaznaczono na nim punkt B prim. Z punktu A poprowadzono prostą do punktu B prim. Na przecięciu z bokiem DC utworzono punkt F.

Rozwiązanie

Prowadzimy odcinek $B^{'} A$ . Niech punkt $F$ będzie punktem przecięcia odcinka $A B^{'}$ z bokiem $D C$ .

Wtedy, z twierdzenia Talesa wynika, że $|C F| = \frac{|A B|}{2}$ oraz z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy, że trójkąty $C F B^{'}$ i $D F A$ są przystające.

Stąd wynika, że pole równoległoboku $A B C D$ jest równe polu trójkąta $A B B^{'}$ .

pole równoległoboku 2

Twierdzenie: pole równoległoboku 2

Pole równoległoboku o bokach $a$ , $b$ i kącie $α$ między tymi bokami jest równe

P = a b \sin α

Dowód

Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe $P = 2 P_{B A D} = 2 \cdot \frac{a b \sin α}{2} = a b \sin α$ .

Prostokąt jest równoległobokiem, więc jego pole jest równe $P = a b \sin α = a b \sin 90^{\circ} = a b$ .

Przykład 3

Kąt między dwoma bokami równoległoboku o długościach $5 cm$ i $6 cm$ ma miarę równą $30 °$ . Wyznaczymy pole tego równoległoboku.

Rozwiązanie

Obliczymy pole tego równoległoboku podstawiając bezpośrednio do wzoru:

$P = 5 \cdot 6 \cdot \sin 30 ° = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$

pole równoległoboku 3

Twierdzenie: pole równoległoboku 3

Pole równoległoboku o przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ i kącie $γ$ między przekątnymi jest równe

P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin γ

Dowód

Ry1pqN3Qe9Pav

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu. Punktem przecięcia przekątnych jest punkt S o kącie przy wierzchołku o mierze gamma.

Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe:

$P = P_{A S B} + P_{C S D} + P_{A S D} + P_{C S B} = 2 P_{A S B} + 2 P_{A S D} =$

$= 2 \cdot \frac{\frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2}}{2} \sin γ + 2 \frac{\frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2}}{2} \sin (180 ° - γ) = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{4} (\sin γ + \sin (180 ° - γ)) =$

$= \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{4} \cdot 2 \cdot \sin γ = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin γ$

Przykład 4

Przekątne równoległoboku mają długości $14$ i $18$ , a kąt rozwarty między przekątnymi jest $5$ razy większy niż kąt ostry. Wyznaczymy pole tego równoległoboku.

Rozwiązanie

Niech $α$ będzie miarą kąta ostrego. Wtedy $α + 5 α = 180 °$ , więc $α = \frac{180 °}{6} = 30 °$ .

Zatem $P = \frac{14 \cdot 18}{2} \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{14 \cdot 18}{2 \cdot 2} = 63$ .

Zanim podamy kolejny wzór na pole równoległoboku przypomnimy, że dwa niezerowe wektory $[a_{x}, a_{y}]$ , $[b_{x}, b_{y}]$ zaczepione we wspólnym początku wyznaczają równoległobok oraz że niezależnie od punktu zaczepienia, równoległoboki rozpięte na danych wektorach są przystające. Stąd wynika, że do obliczenia pola równoległoboku można zaczepić wektory w początku układu współrzędnych.

pole równoległoboku 4

Twierdzenie: pole równoległoboku 4

Pole P równoległoboku wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory $[a_{x}, a_{y}]$ , $[b_{x}, b_{y}]$ zaczepione we wspólnym początku jest równe

P = |a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}|

Zamiast dowodu popatrzmy na rysunek:

Na rysunku przedstawiony jest równoległobok $A B D C$ rozpięty na wektorach $A C = [a_{x}, a_{y}]$ , i $A B = [b_{x}, b_{y}]$ .

RZBpizqR8YMeV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych o osi pionowej od minus 1 do 6 oraz osi poziomej od minus 1 do dziewięciu. Zaznaczono na nim punkty A, równa się, nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, siedem, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias, dwa, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, D, równa się, nawias, dziewięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, E, równa się, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, F, równa się, nawias, siedem, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, G, równa się, nawias, siedem, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, F, równa się, nawias, siedem, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, H, równa się, nawias, dziewięć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu oraz H, równa się, nawias, siedem, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Punkty A, C, B oraz D tworzą równoległobok.

Wtedy pole równoległoboku jest równe polu prostokątaprostokątprostokąta $A E F G$ pomniejszonego o pole prostokąta $F H D I$ , co widać na rysunku.

$P_{A E F G} = |A G| \cdot |A E| = a_{x} \cdot b_{y}$ , $P_{F H D I} = |F I| \cdot |F H| = a_{y} \cdot b_{x}$

Zatem pole równoległoboku jest równe $P = a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$ .

Może się też zdarzyć, że $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$ będzie liczbą ujemną i wtedy $P = |a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}|$ .

Przykład 5

Na wcześniejszym rysunku wektor $A C$ ma współrzędne $[2, 3]$ , a wektor $A B$ ma współrzędne $[7, 2]$ . Obliczymy, ile wynosi pole równoległoboku rozpiętego na tych wektorach.

Rozwiązanie

Pole równoległoboku rozpiętego na tych wektorach wynosi $P = 3 \cdot 7 - 2 \cdot 2 = 17$ .

Przykład 6

Pokażemy, jak wyznaczyć pole trapezu znając pole równoległoboku.

Na rysunku mamy trapez $A B C D$ o podstawach $a$ i $b$ oraz wysokości $h$ , dla którego przedstawimy dwie metody obliczenia pola.

R1Dc6whiMN6Tu

Trapez ABCD ma dłuższą podstawę o długości a, a krótszą o długości b. Trapez CDEF posiada krótszą podstawę o długości b, a dłuższą o długości a. Przez punkty B i G przechodzi prosta dzieląc trapez na odcinki, odcinek AG o długości a minus b.

Rozwiązanie

Metoda pierwsza polega na dorysowaniu do trapezu drugiego przystającego do niego trapezu (różowy). Wtedy powstaje równoległobok o tej samej wysokości co wysokość trapezu i o boku równym $a + b$ . Pole trapezu jest dwa razy mniejsze od pola tego równoległoboku, czyli pole trapezu wynosi:

P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

W metodzie drugiej prowadzimy z dowolnego wierzchołka przy krótszej podstawie prostą równoległą do drugiego ramienia. Prosta ta dzieli trapez na równoległobok o wysokości $h$ i boku $b$ oraz trójkąt o wysokości $h$ i podstawie $a - b$ . Wtedy pole trapezu wynosi:

P = \frac{1}{2} (a - b) \cdot h + b \cdot h = h (\frac{a}{2} - \frac{b}{2} + b) = h (\frac{a}{2} + \frac{b}{2}) = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

Przykład 7

Znane jest twierdzenie, że w dowolnym czworokącie wypukłym czworokąt, którego wierzchołkami są środki jego boków jest równoległobokiem. Pokażemy, że pole tego równoległoboku jest połową pola $P$ tego czworokąta.

Rozwiązanie

Na rysunku widać czworokąt $A B C D$ i czworokąt $E F G H$ , który łączy środki boków.

RxXymPJKkUz0N

Ilustracja przedstawia trapez ABCD. W środku trapezu widać czworokąt EFGH łączący środki boków. Na trapezie zaznaczono przekątne AC oraz BD.

Z własności linii środkowej w trójkątach $B C D$ i $B A D$ wynika, że boki $F G$ i $E H$ są równoległe do przekątnej $B D$ i mają długość równą połowie długości tej przekątnej.

Stąd też wynika, że $P_{H A E} = \frac{1}{4} P_{B A D}$ i $P_{G C F} = \frac{1}{4} P_{B C D}$ .

Analogiczne rozważania prowadzą do wniosku, że $P_{E D F} = \frac{1}{4} P_{A D C}$ i $P_{H B G} = \frac{1}{4} P_{A B C}$

Teraz zauważamy, że pole równoległoboku wynosi $P_{E F G H} = P - (P_{H A E} + P_{G C F} + P_{E D F} + P_{H B G})$

Z drugiej strony wiemy, że $P = P_{B A D} + P_{B C D} = P_{A D C} + P_{A B C}$ , więc:

$2 P = P_{B A D} + P_{B C D} + P_{A D C} + P_{A B C} = 4 P_{H A E} + 4 P_{G C F} + 4 P_{E D F} + 4 P_{H B G}$

Stąd $P_{H A E} + P_{G C F} + P_{E D F} + P_{H B G} = \frac{P}{2}$

Ostatecznie, $P_{E F G H} = P - \frac{P}{2} = \frac{P}{2}$

Zatem pole równoległoboku $E F G H$ jest połową pola czworokąta $A B C D$ .

Polecenie 1

Na ekranie są trzy przyciski, każdy z nich odpowiada za inny sposób liczenia pola równoległoboku (pole wyznaczane jest z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku).

1. Przycisk „Bok i wysokość”.

przy pomocy suwaków wybierz długość boku $a$ i wysokości $h$ .
zmieniając ustawienia suwaków dostajesz różne równoległoboki, które mają bok długości $a$ i wysokość długości $h$
obserwuj wartość pola tego równoległoboku

2. Przycisk „Dwa boki i kąt między nimi”.

przy pomocy suwaków wybierz długości boków $a$ i $b$ oraz miarę kąta $α$ między bokami
powstaje równoległobok o podanych długościach boków i kącie między bokami
obserwuj wartość pola tego równoległoboku

3. Przycisk „Przekątne i kąt między nimi”.

przy pomocy suwaków wybierz długości przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ oraz miarę kąta $α$ między bokami
powstaje równoległobok o podanych długościach przekątnych i kącie między nimi
obserwuj wartość pola tego równoległoboku

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji. Wyciągnij wnioski, na podstawie których rozwiążesz Polecenie 2.

R14BbNHxTHE5x

Polecenie 2

Rka45GffnfC5N

Pole rombu

Na rysunkach poniżej, pierwszy od lewej przedstawia fragment posadzki, drugi – fragment mozaiki z oferty sprzedażowej kafelków do łazienek, a na trzecim obrazku jest fragment dywanu. Co łączy te obrazki?

RTDPcV2aOrIqd

Ilustracja przedstawia mozaiki z płytkami w kształcie rombu. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Otóż wzory na wszystkich tych obrazkach powstały z ułożenia rombów i odpowiedniego ich pokolorowania.

Z definicji romb jest czworokątem, który ma wszystkie boki równe.

Przypomnimy pojęcia deltoidudeltoiddeltoidu i równoległobokurównoległobokrównoległoboku, które są powiązane z rombemrombrombem.

Deltoidem nazywamy wypukły czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równych. Deltoid jest sumą dwóch trójkątów równoramiennych o wspólnej podstawie. Przekątne w deltoidzie przecinają się pod kątem prostym, przy czym punkt przecięcia przekątnych dzieli jedną z nich na połowy.

Równoległobokiem nazywamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Boki równoległe w równoległoboku są równe. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Jeśli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to czworokąt jest równoległobokiem.

Stąd od razu dostajemy:

Romb jako deltoid i równoległobok

Własność: Romb jako deltoid i równoległobok

Romb jest deltoidem i równoległobokiem jednocześnie.

Dowód

Romb jest deltoidem, bo ma wszystkie boki równe, a w szczególności ma dwie pary sąsiednich boków równych.

W deltoidzie przekątna, która jest podstawą trójkątów równoramiennych dzieli się w połowie. Ponieważ romb ma wszystkie boki równe, to punkt przecięcia przekątnych dzieli obie przekątne w połowie. Stąd wynika, że romb jest równoległobokiem.

Przykład 8

Każdy kwadratkwadratkwadrat jest rombem. Prostokąt, który nie jest kwadratem nie jest rombem.

Rozwiązanie

Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to ma, między innymi, wszystkie boki równe, więc na mocy definicji jest rombem. Jeżeli prostokąt nie jest kwadratem, to ma nierówne sąsiednie boki, więc nie można powiedzieć, że ma wszystkie boki równe i stąd nie jest rombem.

Poniżej wypisane są własności rombu, które będą przydatne dalej.

Własności rombu

Własność: Własności rombu

Własności rombu:

Romb ma wszystkie boki równe.

Boki przeciwległe rombu są równoległe.

Przeciwległe kąty w rombie mają równe miary.

Suma miar dwóch sąsiednich kątów wynosi $180$ stopni.

Przekątne rombu dzielą się w połowie i pod kątem prostym.

Przekątne dzielą romb na cztery przystające trójkąty prostokątne.

Przekątne są dwusiecznymi kątów rombu.

Przykład 9

Pokażemy, że deltoid jest rombem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne przecinają się w połowie.

Rozwiązanie

Rzeczywiście, jeśli deltoid jest rombem to jego przekątne przecinają się w połowie.

Załóżmy, że w deltoidzie przekątne przecinają się w połowie. Wtedy jedna z nich jest podstawą trójkątów równoramiennych, na które dzieli ten deltoid. Zatem boki takiego deltoidu są równe, więc jest on rombem.

Na rysunku przedstawiony jest romb $A B C D$ z zaznaczonymi przekątnymi, kątami i wysokością. Zastosujemy oznaczenie $d_{1}$ na przekątną $A C$ oraz $d_{2}$ na przekątną $B D$ .

RiyaWcg2pllXq

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku o długości a, zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu przecinające się w punkcie E pod kątem prostym. Kąt przy wierzchołku A wynosi alfa, a przy wierzchołku B wynosi beta. Zaznaczono wysokość BF o długości h.

Oznaczenia z tego rysunku będą wykorzystywane dalej.

o polu rombu

Twierdzenie: o polu rombu

Pole rombu jest równe $P = a \cdot h$ , gdzie $a$ jest bokiem rombu, a $h$ jego wysokością.
Pole rombu o boku $a$ i kącie $α$ między tymi bokami jest równe $P = a^{2} \cdot \sin α$ .
Pole rombu o przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$ jest równe $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ .

Dowód

Wzór $1$ jest wzorem na pole równoległoboku.

Wzór $2$ . Wynika ze wzoru na pole równoległoboku $P = a b \cdot \sin α$ , ale w rombie $a = b$ , więc $P = a^{2} \cdot \sin α$ .

Wzór $3$ jest wzorem na pole deltoidu.

Przykład 10

Pokażemy, że wzór $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ wynika ze wzoru na pole równoległoboku $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \cdot \sin γ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, to $γ = 90 °$ , a stąd $\sin γ = 1$ , więc $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}$ .

Przykład 11

Bok rombu o polu $15$ ma długość $5$ .

RCuAUdMEC97WY

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku o długości a. Kąty wewnętrzne przy wierzchołkach A i C wynoszą alfa, a przy wierzchołkach BD wynoszą beta. Na bok DC upuszczono wysokość o długości h.

Wyznaczymy wysokość rombu oraz sinussinus kątasinus kątów rombu.

Rozwiązanie

$a \cdot h = 5 \cdot h = 15$ , więc $h = 3$ .

Wtedy trójkąt $B F C$ jest trójkątem prostokątnym, więc $\sin α = \frac{h}{a} = \frac{3}{5}$ .

Ponieważ $α + β = 180 °$ to $\sin β = \sin (180 ° - α) = \sin α$ .

Przykład 12

Kąt ostry w rombie o boku $a$ ma miarę $60 °$ . Obliczymy pole tego rombu oraz określimy związek z polem trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie

Stosujemy wzór na pole rombu $P = a^{2} \cdot \sin α = a^{2} \cdot \sin 60 ° = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2}$ .

Pole trójkąta równobocznego o boku $2 a$ jest równe $a^{2} \cdot \sqrt{3}$ , więc pole rombu o boku $a$ i kącie ostrym $60 °$ jest połową pola trójkąta równobocznego o boku $2 a$ .

Dla utrwalenia tej własności popatrzmy na rysunek, gdzie punkty $A'$ , $C'$ są obrazami punktu $A$ w odbiciu symetrycznym względem punktów $B$ i $D$ , odpowiednio.

RV6mCXjV2ZSmy

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Kąt przy wierzchołku A wynosi 60 stopni. Do boku BC dołączono trójkąt równoboczny BCA prim o boku a. Do boku DC dołączono trójkąt równoboczny

Wtedy bok $D C$ łączy środki odcinków $A C'$ i $A' C'$ , więc jego długość jest równa połowie długości boku $A A'$ . Zastosowanie tej obserwacji również do $B C$ prowadzi do wniosku, że trójkąt $A A' C'$ jest trójkątem równobocznym o boku $2 a$ i pole rombu $A B C D$ jest równe połowie pola tego trójkąta.

Przykład 13

Punkty $F$ , $G$ , $H$ , $I$ dzielą przekątne rombu $A B C D$ w stosunku $1 : 3$ .

R3yYmAquFY7A5

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Zaznaczono przekątne AC i DC przecinające się w punkcie S. Zaznaczone punkty F, G, H, I dzielące przekątne w stosunku 1 do trzech. Punkty tworzą romb FGHI o środku S.

Pokażemy, że czworokąt $F G H I$ jest rombem i wyznaczymy stosunek pól rombów $A B C D$ i $F G H I$ .

Rozwiązanie

Z podanej proporcji $1 : 3$ wynika, że punkty $F$ , $G$ , $H$ , $I$ są środkami połówek przekątnych $D S$ , $C S$ , $B S$ , $A S$ , odpowiednio. Wtedy odcinki $F G$ , $G H$ , $H I$ , $I F$ są równoległe do odpowiednich boków rombu $A B C D$ i mają długość równą połowie długości boku tego rombu. Poza tym $|I G| = \frac{|A C|}{2}$ , $|F H| = \frac{|B D|}{2}$ .

Zatem $F G H I$ jest rombem, a jego pole jest równe $\frac{|I G| \cdot |F H|}{2} = \frac{\frac{|A C|}{2} \cdot \frac{|B D|}{2}}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{|A C| \cdot |B D|}{2}$ .

Stąd stosunek pól rombów $A B C D$ i $F G H I$ jest równy $4 : 1$ .

Przykład 14

Wyznaczymy wzór na pole rombu, gdy podana jest długość boku $a$ i długość jednej z przekątnych $d$ .

Rozwiązanie

Zauważamy, że w rombie bok i połowy przekątnych tworzą trójkąt prostokątny, w którym bok $a$ jest przeciwprostokątną. Niech $x$ oznacza długość drugiej przekątnej. Wtedy z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^{2} = {(\frac{d}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{d^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4}$ . Stąd $x^{2} = 4 a^{2} - d^{2}$ i stąd $x = \sqrt{4 a^{2} - d^{2}}$ .

Teraz możemy wyznaczyć pole rombu $P = \frac{d \cdot x}{2} = \frac{d \sqrt{4 a^{2} - d^{2}}}{2}$ .

Romby w mozaikach

1. Popatrzmy na ośmiokąt foremnywielokąt foremnyośmiokąt foremny zaznaczony na mozaice na rysunku.

RC21EA9TQKbDx

Ilustracja przedstawia mozaikę w kształcie ośmiokąta foremnego. Składa się z 8 kwadratów oraz 16 rombów. Boki figur są równe.

Składa się on z kwadratów i rombów, których kąt ostry jest równy $\frac{360 °}{8} = 45 °$ . Boki kwadratów i rombów są równe.

2. Na rysunku poniżej zaznaczony jest sześciokąt foremny.

RB2nVbDKPXhN1

Ilustracja przedstawia mozaikę w kształcie sześciokąta foremnego. Składa się z 12 rombów.

Składa się on z rombów, których kąt ostry jest równy $\frac{360 °}{6} = 60 °$ .

Problem 1

Ćwiczenie praktyczne w grupach 2–3 osobowych.

Przygotujcie (można wyciąć z papieru) romby i kwadraty o boku $5$ w ilościach jak poniżej i zapiszcie jakie mają pola:
- $10$ kwadratów,
- $20$ rombów o kącie ostrym $45 °$ ,
- $16$ rombów o kącie ostrym $60 °$ .

Ułóżcie z tych rombów ośmiokąt i sześciokąt przedstawione na powyższych rysunkach.

Wyznaczcie pola i długość boku ośmiokąta i sześciokąta.

Jak się zmienią pola i długości boków tych wielokątów, jeśli zbudujemy je z rombów o boku $3$ , $10$ , $256$ ?

Polecenie 3

Na ekranie są trzy przyciski, każdy z nich odpowiada za inny sposób liczenia pola równoległoboku.

Przycisk „Dane bok i przekątna”
2.1 przy pomocy suwaków wybierz długość boku $a$ i przekątnej $d$
2.2 otrzymasz jeden romb z dokładnością do relacji przystawania, który ma bok długości $a$ i przekątną długości $d$
2.3 obserwuj długości wysokości i drugiej przekątnej oraz kąt między bokami i wartość pola tego rombu

Przycisk „Dany bok i kąt między bokami”
3.1 przy pomocy suwaka wybierz długość boku $a$
3.2 poruszając punktem $K$ ustawiasz miarę kąta $α$ między bokami
3.3 powstaje jeden romb z dokładnością do relacji przystawania o podanej długości boku i kącie między bokami
3.4 obserwuj długości przekątnych, wysokości oraz wartość pola tego rombu

Przycisk „Dane przekątne”
4.1 przy pomocy suwaków wybierz długości przekątnych $d_{1}$ , $d_{2}$
4.2 powstaje jeden romb z dokładnością do relacji przystawania o podanych długościach przekątnych
4.3 obserwuj długości wysokości i boków oraz kąt między bokami i wartość pola tego rombu

Rezultaty działań podane są z dokładnością do części setnych.

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji. Na podstawie uzyskanych informacji, rozwiąż Polecenie 2.

R1XBiPyrkIaCL

Polecenie 4

RFzKPef6i0JxD

Ćwiczenie 1

Wskaż poprawną odpowiedź.

RBbR1s184WRWp

R1MgOje5H5Abg

RMOQECNJIlIX9

R11W4Oa3XdXTB

Ćwiczenie 2

Rg9bwmWe9TFCj

RWeaTAmpUBiYi

RJdeJtNtbIrHt

RuU6P2zcUdQwm

R1XahBtpWgPQb

Rm8kfBBuE5KD6

Ćwiczenie 3

Stosując oznaczenia z rysunku wskaż zdania prawdziwe.

RwdEXbOBY7kEx

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono przekątne przecinające się w punkcie S.

Rk6cX3bBpKFUZ

Ćwiczenie 4

Główna ściana biurowca w porcie w Hamburgu to równoległobok o długości $134$ metrów i wysokości $25$ metrów. Kąt rozwarty jaki tworzy ta ściana z poziomym dachem wynosi $136$ stopni. Wyznacz pole powierzchni ściany głównej oraz drugi bok tego równoległoboku.

$P = 134 \cdot 25 = 3350 m^{2}$

Aby wyznaczyć bok korzystamy z wzoru na pole równoległoboku $P = a \cdot b \cdot \sin α$ .

Stąd $b = \frac{3350}{134 \sin 136^{\circ}} \approx \frac{3350}{134 \cdot 0, 695} \approx 36 m$ .

Ćwiczenie 5

Długość krótszego boku równoległoboku oraz jednej z jego przekątnych jest równa $8$ . Oblicz pole tego równoległoboku, jeżeli wiadomo, że drugi z boków jest $1, 5$ razy dłuższy od pierwszego.

Krótszy bok i przekątna są ramionami trójkąta równoramiennego o podstawie równej długości dłuższego boku, czyli $1, 5 \cdot 8 = 12$ .

Wtedy $h = \sqrt{8^{2} - 6^{2}} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ , a stąd pole jest równe $P = 12 \cdot 2 \sqrt{7} = 24 \sqrt{7}$ .

Ćwiczenie 6

R1KltcCPaI2hk

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach x, minus, sześć i x, minus, piętnaście. Obok znajduję się równoległobok o wymiarach x, minus, cztery i x, minus, trzynaście oraz wysokości x, minus, szesnaście.

Prostokąt i równoległobok na rysunku mają równe pola. Oblicz ich obwody.

$(x - 6) (x - 15) = (x - 16) (x - 4)$

$x^{2} - 6 x - 15 x + 90 = x^{2} - 16 x - 4 x + 64$

$x = 26$ .

Stąd obwód prostokąta wynosi $2 (26 - 6) + 2 (26 - 15) = 62$ .

A obwód równoległoboku wynosi $2 (26 - 4) + 2 (26 - 13) = 70$ .

Ćwiczenie 7

Pokaż, że jeżeli punkt $E$ leży na boku $A B$ równoległoboku $A B C D$ , to pole trójkąta $C D E$ jest połową pola równoległoboku $A B C D$ .

Trójkąt i równoległobok mają wspólną wysokość i podstawę, więc pole trójkąta jest połową pola równoległoboku $A B C D$ .

RM4rKv20Of5ri

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono na nim wysokość EF. Z wierzchołków C i D poprowadzono prostą do punktu E. Utworzono trójkąt CED.

Ćwiczenie 8

Punkt $E$ leży na boku $B C$ równoległoboku $A B C D$ . Budujemy równoległobok $A E G F$ taki, że $A E$ jest jego bokiem, a punkt $D$ leży na boku równoległym do $A E$ . Udowodnij, że równoległoboki $A B C D$ i $A E G F$ maja równe pola.

Warunki zadania przedstawione są na rysunku.

RH3wb2Uw5sByq

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Punkt E leży na boku BC równoległoboku. Zbudowano równoległobok AEGF taki, że AE jest jego bokiem. Punkt D leży na boku równoległym do AE.

Pole trójkąta $A E D$ jest połową pola równoległoboku $A B C D$ , bo obie figury mają wspólną podstawę $D A$ oraz wysokość, a punkt $E$ leży na boku $B C$ . Pole trójkąta $A E D$ jest również równe połowie pola równoległoboku $A E G F$ , bo $D$ leży na boku $G F$ i $A E$ jest wspólną podstawą trójkąta $A E D$ i równoległoboku $A E G F$ .

R1BIKreilGxIW1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiony jest romb o boku $a$ , z kątem $α$ między jego bokami, przekątnymi $d_{1}$ i $d_{2}$ oraz wysokością $h$ . Pole tego rombu oznaczymy literą $P$ .

R6CrCQJeicGWS

Ilustracja przedstawia romb o boku a. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu. Kąt przy przekątnej d indeks dolny 1 koniec indeksu wynosi alfa. Kąt między przekątnymi wynosi 90 stopni. Zaznaczono wysokość rombu.

Ra87k8l5YuCx01

Ćwiczenie 11

R1aLAXu7OxX8Q

R1NbPpVVNGq8M

RzYTMXIdS5H7j

Re6OnKrFEJZ99

R1aLAXu7OxX8Q

R1NbPpVVNGq8M

RzYTMXIdS5H7j

Re6OnKrFEJZ99

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawione są trzy przystające romby wpisane w trójkąt równoboczny. Wyznacz pole jednego z tych rombów, jeśli wiadomo, że długość boku trójkąta wynosi $15$ .

R13oxRz2SP6Kk

Ilustracja przedstawia trzy romby połączone w jednym wierzchołku.

R1Npzce3oTm06

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Środek okręgu oznaczono literą O. W środku trójkąta znajdują się trzy romby CLMNO, CNOP, BKOQ połączone w punkcie O.

Na powyższym rysunku przedstawione są romby wpisane w trójkąt równoboczny wraz z oznaczonymi wierzchołkami. Kąty przy wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ mają miarę $60 °$ , więc kąty w rombach mają miary $60 °$ i $120 °$ .

Na początku pokażemy, że długość boków tych rombów wynosi $5$ . Trójkąty $M N O$ , $K L O$ i $P Q O$ są przystającymi trójkątami równobocznymi o boku długości równej długości boków rombu, bo ich kąty są kątami dopełniającymi kąta $120 °$ czyli mają miary $60 °$ oraz w każdym z tych trójkątów przynajmniej jeden z boków jest bokiem rombu. Stąd długość boków tych rombów wynosi $\frac{15}{3} = 5$ .

Ostatecznie pole każdego z tych rombów wynosi $P = 5^{2} \cdot \sin 60 ° = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 13

Oblicz pole rozety przedstawionej na rysunku przyjmując, że bok rombu ma długość $a$ . Skorzystaj z tablic wartości sinusów w celu uzyskania przybliżonej wartości sinusa kąta.

RZ7LPIt6i6dbA

Ilustracja przedstawia 12 rombów połączonych w jednym wierzchołku. Przypominają kwiat.

Zauważamy, że rombów jest $12$ . Krótsze przekątne tych rombów są bokami dwunastokąta foremnego, a środek okręgu opisanego na tym dwunastokącie jest wierzchołkiem wspólnym wszystkich rombów. Suma kątów rombów przy ich wspólnym wierzchołku jest $360 °$ . Zatem kąt ostry w każdym z rombów jest równy $\frac{360 °}{12} = 30 °$ . Wyznaczamy $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ . Stąd pole rozety jest równe $12 \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 6 a^{2}$ .

Ćwiczenie 14

Oblicz pole rozety, która powstaje z przystających rombów o boku $a$ , takich, że ich krótsze przekątne tworzą dwudziestokąt foremny. Skorzystaj z tablic wartości sinusów w celu uzyskania przybliżonej wartości sinusa kąta.

Przeprowadzamy rozumowanie jak w poprzednim zadaniu i obliczamy kąt ostry rombu $\frac{360 °}{20} = 18 °$ .

Z tablic sinusów odczytujemy $\sin 18 ° \approx 0, 309$ . Stąd pole rozety jest w przybliżeniu równe $20 \cdot a^{2} \cdot 0, 309 = 6, 18 a^{2}$ .

Ćwiczenie 15

Przekątna kwadratu o boku $1$ oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz obwód rombu.

Ponieważ przekątne rombu dzielą się w połowie, to „połowa drugiej przekątnej kwadratu” jest odcinkiem $G H$ , gdzie $E$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, a $G$ i $H$ środkami odcinków $A E$ i $D E$ , odpowiednio.

R1XkWLjYXGkqp

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD o boku jeden. Zaznaczono przekątną AD. W środku kwadratu wpisano romb BHCG o środku E. Punkty GH i E znajdują się na przekątnej AD.

Musimy policzyć długość boku rombu $a = |B H|$ , wtedy jego obwód będzie równy $4 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa $a^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{5}{8}$ .

Stąd $a = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Obwód rombu jest równy $4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \sqrt{10}$ .

Ćwiczenie 16

Jak wyznaczyć $a$ i kąty wewnętrzne rombu, jeśli dane są długości jego przekątnych $d_{1}$ i $d_{2}$ .

Czerwony trójkąt na rysunku jest trójkątem prostokątnym. Bok rombu jest przeciwprostokątną, a połowy przekątnych są przyprostokątnymi tego trójkąta.

RZP2TuKp3cSjT

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu przecinające się w kącie prostym. Utworzono trójkąt w miejscu przecięcia przekątnych oraz boku DC.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

$a^{2} = {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})$

Stąd $a = \frac{1}{2} \sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$ .

Mamy też $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} = a^{2} \cdot \sin α$ .

Stąd $\sin α = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2 \cdot \frac{1}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})} = \frac{2 d_{1} \cdot d_{2}}{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$

Teraz należy odczytać wartość kąta $α$ z tablic sinusów.

Kąt $β$ jest równy $β = 180 ° - α$ .

Słownik

prostokąt

czworokąt, który ma wszystkie kąty proste

sinus kąta w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i długości przeciwprostokątnej

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

kwadrat

czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste

romb

czworokąt, który ma wszystkie boki równe

deltoid

czworokąt wypukły, który ma dwie pary równych boków sąsiednich

sinus kąta

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym

wielokąt foremny

wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości

1. Pole prostokąta. Pole kwadratu

3. Pole trapezu