RDJdBRJZTKstX

3. Pole trapezu

Jak zaplanować ilość dachówek lub blachy na pokrycie powierzchni dachu w kształcie trapezu? Jak zmierzyć powierzchnię działki czy ogrodu o tym samym kształcie?

R1MOoXQYiFD7m

Ilustracja przedstawia dom na wzgórzu. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Do rozwiązania tych zagadnień i innych zastosowań wykorzystać możemy wzór na pole trapezu.

Twoje cele

Wyznaczysz wzór na pole trapezu.
Dokonasz analizy zadań tekstowych.
Zaplanujesz rozwiązanie zadania.
Zastosujesz wzór na pole trapezu w zadaniach tekstowych.

Trapez

Definicja: Trapez

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe nazywamy podstawami.

R14c1edD366H5

Ilustracja przedstawia trapez ABCD z zaznaczoną wysokością upuszczoną z punktu D. Podstawa górna C D oraz dolna A B są równoległe. Ramiona A D oraz B C są nachylone do postaw pod pewnymi kątami.

Warto zaznaczyć, że wszystkie równoległoboki, czyli także prostokąty, romby i kwadraty, są również trapezami.

Wyróżniamy dwa rodzaje charakterystycznych trapezów:

prostokątne,

równoramienne.

RWljc7m9455F1

Ilustracja przedstawia dwa różne trapezy. Po lewej stronie znajduje się trapez prostokątny A B C D, którego ramię B C nachylone jest pod kątem ostrym do podstawy A B, natomiast ramię A D jest prostopadłe do obu podstaw. Jest ono jednocześnie wysokością figury. Po prawej stronie przedstawiono trapez równoramienny E F G H, którego ramiona E H oraz F G są równej długości. W trapezie tym upuszczono wysokość z wierzchołka H.

Pole trapezu jest połową iloczynu sumy podstaw i wysokości.

R1FL6BgpVYScg

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach długości a (górna) i b (dolna), gdzie a jest mniejsze od b. Z lewego górnego wierzchołka upuszczono wysokość h.

P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Przykład 1

Udowodnimy wzór na pole trapezu.

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy dwa przystające trapezy.

R2PtAjav6IMTF

Ilustracja przedstawia dwa przystające trapezy o podstawach długości a i b oraz wysokości h. Trapez po lewej stronie ma górną podstawę a i dolną b, trapez po prawej stronie ma górną podstawę b i dolną a. Wysokość obu trapezów jest taka sama.

Zauważmy, że suma pól tych dwóch trapezów jest równa polu równoległoboku o podstawie $a + b$ i wysokości $h$ .

R1NNGWenK6ewl

Ilustracja przedstawia dwa przystające trapezy o podstawach długości a i b oraz wysokości h. Figury połączone są dłuższym ramieniem, tworząc równoległobok. Trapez po lewej stronie ma górną podstawę a i dolną b, trapez po prawej stronie ma górną podstawę b i dolną a. Wysokość obu trapezów jest taka sama.

Zatem pole jednego trapezu jest połową pola równoległoboku o podstawie $a + b$ i wysokości $h$ , co należało udowodnić.

Przykład 2

Rozpatrzmy fragment dachu, który potrzebujemy pokryć dachówką. Przed zamówieniem materiału musimy obliczyć jego powierzchnię. Obliczymy pole powierzchni zaznaczonego fragmentu dachu.

RSrRSI3aes7rW

Ilustracja przedstawia dom, jego dach jest w kształcie trapezu prostokątnego o podstawach długości 8 i 6 i pół. Ramię prostopadłe do podstaw ma długość sześć. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Rozwiązanie:

Fotografia jest oczywiście przekształceniem trójwymiarowego świata na dwuwymiarowy obraz i dlatego trzeba wyobraźni, aby zauważyć, w którym miejscu najlepiej zaznaczyć/zmierzyć wysokość tego trapezu.

Wykorzystując informacje zaznaczone na zdjęciu obliczamy

$P = \frac{(8 + 6, 5) \cdot 6}{2} = 14, 5 \cdot 3 = 43, 5 m^{2}$ .

Przykład 3

Działka w kształcie trapezu o powierzchni $0, 8 ha$ ma dwa równoległe do siebie fragmenty ogrodzenia o długościach $420 m$ i $320 m$ . Przyjmując, że ogrodzenie umiejscowione jest na granicy działki, obliczymy długość najkrótszej drogi między tymi fragmentami ogrodzenia.

RGc3HzdEtVDPp

Ilustracja przedstawia trapez, którego lewe ramię jest nachylone do dolnej podstawy pod kątem rozwartym, a prawe pod kątem ostrym. Wykreślono wysokość figury.

Rozwiązanie:

Najkrótsza droga między równoległymi fragmentami ogrodzenia działki jest wysokością trapezuwysokość trapezuwysokością trapezu będącego jej kształtem.

Przekształcamy zatem wzór na pole: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ , wyznaczając z niego wysokość.

Mnożymy obustronnie przez $2$ oraz dzielimy przez $(a + b)$ i otrzymujemy

$h = \frac{2 P}{a + b}$ .

Stąd:

$h = \frac{2 \cdot 8000}{420 + 320} = 200 m$ .

Zatem najkrótsza droga między równoległymi fragmentami ogrodzenia działki ma długość $200$ metrów.

Rozpatrzmy jeszcze przykład, w którym dana jest miara kąta przy podstawie trapezu.

Przykład 4

Niech dany będzie trapez prostokątny o podstawach długości $2 \sqrt{5}$ i $3 \sqrt{5}$ oraz kącie ostrym $α$ takim, że $tg α = \frac{3}{2}$ . Obliczymy pole tego trapezu.

Rozwiązanie:

Sporządzamy rysunek.

R1EsS7bBnPq1O

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny, przy czym prawe ramię nachylone jest do dolnej podstawy pod ostrym kątem alfa. Górna podstawa ma długość 25, a dolna 35.

Poprowadzimy wysokość tak, żeby trapez podzielić na prostokąt o bokach $2 \sqrt{5}$ i $h$ oraz trójkąt prostokąty.

Ryi4meay7XuW7

Skoro $tg α = \frac{3}{2}$ , to:

$\frac{3}{2} = \frac{h}{\sqrt{5}}$

z czego wynika, że:

$h = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ .

Ostatecznie pole trapezu wynosi

$P = \frac{(2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5})}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{5}}{4} = \frac{75}{4}$ .

Przykład 5

Obliczymy pole trapezu o podstawach długości $8$ i $13$ oraz ramionach długości $4$ i $6$ .

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R1Ud9knbTW0iU

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach długości 8 (górna) i 13 (dolna) oraz ramionach długości 4 (lewe) i sześć (prawe). Zaznaczono wysokości z obu górnych wierzchołków, które dzielą dłuższą podstawę na trzy części. X, 8 i 5-x. Mamy więc trapez podzielony na trzy figury. Od lewej: trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 4, poziomej przyprostokątnej o długości x oraz pionowej przyprostokątnej o długości h, druga figura to prostokąt o wymiarach 8 na h, trzecia figura to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 6, poziomej przyprostokątnej o długości 5 odjąć x oraz pionowej przyprostokątnej o długości h,

Zastosujemy dwa razy twierdzenie Pitagorasa:

(1)

h^{2} + x^{2} = 4^{2}

(2)

h^{2} + {(5 - x)}^{2} = 6^{2}

Z obydwu równań wyznaczamy $h^{2}$ :

$h^{2} = 16 - x^{2}$

$h^{2} = 36 - 25 + 10 x - x^{2}$

Wyznaczamy $x$ :

$16 - x^{2} = 11 + 10 x - x^{2}$

$10 x = 5$

$x = \frac{1}{2}$

Wyznaczamy $h$ :

$h^{2} = 16 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

$h^{2} = \frac{63}{4}$

$h = \frac{3 \sqrt{7}}{2}$

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{8 + 13}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{7}}{2} = \frac{63 \sqrt{7}}{4}$ .

Przykład 6

Obliczymy pole trapezu równoramiennego o wysokości długości $8$ i przekątnej długości $17$ .

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R9ibGTNNZ63Od

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny o podstawach długości a (górna) i a+2x (dolna). Z obu górnych wierzchołków upuszczono wysokości h równe 8 i poprowadzono jedną z przekątnych d o długości siedemnaście. Wysokości podzieliły trapez na trzy części. Po bokach mamy dwa trójkąty prostokątne o poziomej przyprostokątnej o długości x, pionowej przyprostokątnej h oraz przeciwprostokątnej będącej ramieniem trapezu. Pomiędzy trójkątami wysokości oddzieliły w figurze prostokąta o wymiarach h na a.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + {(a + x)}^{2} = d^{2}$

$8^{2} + {(a + x)}^{2} = 17^{2}$

${(a + x)}^{2} = 289 - 64$

${(a + x)}^{2} = 225$

$a + x = 15$

Zauważamy, że suma podstaw trapezu jest równa podwojonej długości odcinka $a + x$ . Obliczamy zatem pole trapezu:

$P = \frac{2 (a + x)}{2} \cdot h = (a + x) \cdot h$

$P = 15 \cdot 8 = 120$ .

Przykład 7

Stosunek długości podstaw trapezu równoramiennego wynosi $1 : 2$ . Kąt jaki tworzy ramię tego trapezu z dłuższą podstawą ma miarę $60 °$ . Obliczymy długość wysokościwysokość trapezuwysokości tego trapezu, jeżeli jego pole wynosi $27 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku.

R1NzdHe1Rwa6X

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach długości 2 a (dolna) oraz a (górna) o wysokości h upuszczonej z prawego górnego wierzchołka, która z ramieniem tworzy trójkąt o przyprostokątnych h i x. Kąt przy podstawie wynosi 60 stopni.

Ponieważ trapez jest równoramienny, to $x = \frac{1}{2} a$ . Zatem: $h = \frac{1}{2} a \cdot tg α$ , stąd: $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Korzystamy ze wzoru na pole trapezu:

$27 \sqrt{3} = \frac{a + 2 a}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$3 a^{2} = 108$

$a^{2} = 36$

$a = 6$

Zatem: $h = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ .

Przykład 8

W trapezie $A B C D$ dłuższa podstawa $A B$ ma długość $7 \sqrt{3}$ , a kąt $B A D$ ma miarę $60 °$ . Przekątna $A C$ ma długość $9$ i zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ . Obliczymy pole tego trapezu.

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

RGD0Tzv9pQbpp

Ilustracja przedstawia trapez A B C D o dłuższej dolnej podstawie długości 73 , krótszej długości a oraz o ramionach c i d. Ramię c będące odcinkiem A D nachylone jest do dolnej podstawy A B pod kątem sześćdziesięciu stopni. Przekątna A C ma długość 9 i dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty po 30 stopni.

Kąt $A D C$ ma miarę $120 °$ , zatem $|∢ A C D| = 30 °$ , co oznacza, że $a = c$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A C D$ :

$9^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 120 °$

$81 = 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \cos 60 °$

$2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 81$

$3 a^{2} = 81$

$a^{2} = 27$

$a = 3 \sqrt{3}$

Narysujemy wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ :

RXdSN3vVOX43z

Ilustracja przedstawia trapez A B C D o dłuższej podstawie długości 73 (dolna podstawa) i krótszej długości 33 (górna podstawa) oraz o ramionach c i d. Ramię c, czyli odcinek A D, nachylone jest pod kątem sześćdziesięciu stopni do dolnej podstawy A B. Przekątna A C ma długość 9 i dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty po 30 stopni. Z wierzchołka C upuszczono wysokość C E i podpisano ją literą h.

Zauważmy, że kąty w trójkącie $A E C$ , to $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Skorzystajmy zatem z zależności w tym trójkącie. Skoro $|A C| = 9$ , to $|E C| = 4, 5$ i $|A E| = 4, 5 \sqrt{3}$ .

Stąd otrzymujemy, że wysokośc trapezu $h = 4, 5$ .

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{7 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4, 5 = \frac{45 \sqrt{3}}{2}$ .

Przykład 9

Przekątna trapezu o długości $6$ tworzy z dłuższą podstawą kąt $30 °$ i jest prostopadła do ramienia. Obliczymy pole tego trapezu z dokładnością do $0, 01$ , jeśli krótsza podstawa ma długość $4$ .

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R8MttaRPc5ZxM

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach 4 (górna) i a (dolna) oraz o przekątnej poprowadzonej z dolnego lewego wierzchołka o długości sześć, która nachylona jest do dolnej podstawy pod kątem trzydziestu stopni. Między przekątną a prawym ramieniem zaznaczono kąt prosty.

Korzystając z zależności w trójkącie $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ otrzymujemy, że:

$\frac{1}{2} a \sqrt{3} = 6$

$a = 4 \sqrt{3}$ .

Wyznaczamy długość wysokości korzystając z funckji trygonometrycznych:

R1SIndjAETPqL

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach 4 (górna) i 4 pierwiastki kwadratowe z 3 (dolna) oraz o przekątnej poprowadzonej z dolnego lewego wierzchołka o długości sześć, która nachylona jest do dolnej podstawy pod kątem trzydziestu stopni. Między przekątną a prawym ramieniem zaznaczono kąt prosty. Z górnego prawego wierzchołka upuszczono wysokość h.

$\frac{h}{6} = \sin 30 °$

$h = 6 \cdot \sin 30 ° = 3$

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{2} \cdot 3 \approx 16, 39$ .

Przykład 10

W trapezie $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $O$ takim, że: $|A O| : |O C| = 3 : 1$ . Pole trójkąta $B O C$ jest równe $12$ . Uzasadnij, że pole trapezu $A B C D$ jest równe $60$ .

Rozwiązanie:

Trójkąty $A B O$ i $C D O$ są podobne. Zatem wysokości w tych trójkątach są w stosunku $3 : 1$ . Ponadto $|A B| = 3 |C D|$ .

RiYXZnOyeEdhd

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Zaznaczono przekątne oraz upuszczono wysokość ze środka górnej podstawy. Wysokość przecina się w punkcie O razem z przekątnymi. Część wysokości nad punktem O opisano literą h, część pod punktem O opisano jako 3 h.

Zauważmy, że

$P_{△ B C D} = P_{△ B O C} + P_{△ C D O} = 12 + P_{△ C D O}$

oraz

$P_{△ C D O} = \frac{1}{2} \cdot |C D| \cdot h$

$P_{△ B C D} = \frac{1}{2} \cdot |C D| \cdot (h + 3 h) = \frac{1}{2} \cdot |C D| \cdot 4 h = 4 \cdot P_{△ C D O}$ .

Przyrównując obie równości

$12 + P_{△ C D O} = 4 \cdot P_{△ C D O}$

$12 = 3 \cdot P_{△ C D O}$

$P_{△ C D O} = 4$ ,

stąd

$P_{△ B C D} = 12 + 4 = 16$ .

Zauważmy również, że

$P_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot (h + 3 h) = 2 h \cdot |A B|$ .

Ponieważ $|A B| = 3 |C D|$ , to

$P_{△ A B D} = 3 |C D| \cdot 2 h = 6 |C D| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot |C D| \cdot h = 12 \cdot P_{△ C D O} = 12 \cdot 4 = 48$ .

Zatem pole trapezu $A B C D$ , to $48 + 16 = 64$ .

Polecenie 1

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

1Pole trapezu151055Brawo!Niestety, nie udało się.

Test

Pole trapezu

Sprawdzisz:

swoje umiejętności z zakresu obliczania pola trapezu.

Liczba pytań:

Limit czasu:

10 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Pole trapezu

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

RamkNE3jrZSV7

R1DgUoAYd89K3

R12zCglQfh7b9

R137hacU0TgQO

RBoaxwaU0bhBd

R1El73SNA5TLv

R1SLaoLwjJRzO

RRi3ejmWtYI0N

RItjZxzKu6NPT

RlJdo1BxK0Atw

RJ1D3pszzbKUg

RGHgmEHmiNCfc

R1HOjleoM3C28

RbVlkEKRnpLKK

RWzic0Xafzdlt

Polecenie 2

Ułóż test złożony z pięciu pytań, każde z trzema odpowiedziami. Ułożony test daj do rozwiązania koledze lub koleżance z klasy.

Pokaż ćwiczenia:

RY3Cwydxd0iTO1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1JAbz4FIWMok

R1PhPqVPJdSVo

Ćwiczenie 3

Jakie jest pole trapezu równoramiennego $A B C D$ o wymiarach jak na poniższym rysunku?

R14WvZOnryupo

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D, w którym górna podstawa C D ma długość 5, dolna A B ma długość dwadzieścia. Przekątne przecinają się w punkcie O w taki sposób, że odcinek B O ma długość 12, a O D ma długość trzy.

RpOQZxbFeT7QL

RM2TXf4AWaild2

Ćwiczenie 4

RajCHoUmzB9UC2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Oblicz pole trapezu równoramiennego $A B C D$ , którego krótsza podstawa $C D$ ma długość $8 cm$ , ramiona mają długość $6 cm$ , a kąt ostry tego trapezu ma miarę $45 °$ .

Oznaczmy przez $D_{1}$ i $C_{1}$ spodki wysokości opuszczonych odpowiednio z wierzchołków $D$ i $C$ .

R1aj6w4JoPFBp

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD o krótszej podstawie CD o długości 8 oraz ramionach AD i CB o długości sześć. Kąt przy podstawie ma miarę 45 stopni. Wysokości to odcinki D D indeks dolny 1 koniec indeksu oraz C indeks dolny 1 koniec indeksu.

Zauważmy, że trójkąty $A D D_{1}$ i $B C C_{1}$ są równoramienne, ponieważ

$|∢ D A B| = |∢ A D D_{1}| = |∢ A B C| = |∢ B C C_{1}| = 45 °$ ,

a zatem $|A D_{1}| = |D D_{1}| = |B C_{1}|$ . Wykorzystując wzór na długość przekątnej kwadratu mamy

$|D D_{1}| \sqrt{2} = 6$ ,

skąd otrzymujemy $|D D_{1}| = 3 \sqrt{2}$ .

Aby obliczyć pole potrzebujemy jeszcze znać długość dłuższej podstawy,

$|A B| = |A D_{1}| + |D_{1} C_{1}| + |C_{1} B| = 3 \sqrt{2} + 8 + 3 \sqrt{2} = 8 + 6 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie, pole trapezu wynosi

$P = \frac{(|A B| + |C D|) \cdot |D D_{1}|}{2} = \frac{(8 + 8 + 6 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = (24 \sqrt{2} + 18) {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

W trapezie $A B C D$ dłuższa podstawa $A B$ ma długość $9 \sqrt{3}$ . Przekątna $A C$ ma długość $12$ i zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ . Kąt $C A D$ ma miarę $30 °$ Oblicz pole tego trapezu.

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

RDieBrITwjXYG

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach AB 93 oraz CD o długości a. Ramiona mają długości c i d. Przekątna AC dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty o mierze 30 stopni. Przekątna ma długość dwanaście.

Przekątna $A C$ zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ , zatem kąt $D A B$ ma miarę $60 °$ oraz kąt $A D C$ ma miarę $120 °$ .

Stąd $|∢ A C D| = 30 °$ , co oznacza, że $a = c$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A C D$ :

$12^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 120 °$

$144 = 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \cos 60 °$

$2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 144$

$3 a^{2} = 144$

$a^{2} = 48$

$a = 4 \sqrt{3}$

Narysujemy wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ :

R1Rw98ROzpGcS

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach AB 93 oraz CD o długości 43. Ramiona mają długości c i d. Przekątna AC dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty o mierze 30 stopni. Przekątna ma długość dwanaście. Zaznaczono wysokość CE o długości h.

Zauważmy, że kąty w trójkącie $A E C$ , to $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Skorzystajmy zatem z zależności w tym trójkącie. Skoro $|A C| = 12$ , to $|E C| = 6$ i $|A E| = 6 \sqrt{3}$ .

Stąd otrzymujemy, że wysokośc trapezu $h = 6$ .

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{9 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 39 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz pole trapezu prostokątnego $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ , gdzie przekątna $A C$ jest prostopadła do ramienia $B C$ , dłuższa podstawa $A B$ ma długość $8$ , a sinus kąta $C A D$ jest równy $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

RWkNKcEKvws1O

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o podstawie długości osiem. Przekątna tworzy z wierzchołkiem C, kąt prosty.

Z własności kątów naprzemianległych otrzymujemy, że w trapezie $A B C D$ , kąty $C A B$ i $D C A$ mają tę samą miarę, a więc kąty $A B C$ oraz $C A D$ także mają tę samą miarę.

R1eEeW2wqF36u

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o podstawie długości osiem. Przekątna tworzy z wierzchołkiem C, kąt prosty oraz kąt o mierze alfa. Przekątna dzieli kąt przy wierzchołku a na dwa kąty alfa oraz beta. Kąt przy wierzchołku B ma miarę beta.

Z definicji funkcji sinus wyznaczymy długość przekątnej $A C$ .

$\sin β = \frac{|A C|}{|A B|}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|A C|}{8}$

$|A C| = 4 \sqrt{2}$ .

Następnie z definicji funkcji sinus wyznaczymy długość podstawy $C D$ .

$\sin β = \frac{|C D|}{|A C|}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|C D|}{4 \sqrt{2}}$

$|C D| = 4$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długość wysokości trapezu.

$4^{2} + h^{2} = {(4 \sqrt{2})}^{2}$

$h^{2} = 32 - 16$

$h^{2} = 16$

$h = 4$ .

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = 24$ .

Słownik

wysokość trapezu

odcinek łączący podstawy lub ich przedłużenia i będący prostopadły do tych podstaw (również odległość między podstawami)

2. Pole równoległoboku. Pole rombu

4. Pole czworokąta – zadania różne

3. Pole trapezu

Pole trapezu

Słownik

2. Pole równoległoboku. Pole rombu

4. Pole czworokąta – zadania różne

M_R_W18_M2 Pola czworokątów

3. Pole trapezu

Pole trapezu

Słownik