3. Granica jednostronna funkcji w punkcie

RvjGozlwhFz5C

Znamy już pojęcie granicy funkcji w punkcie. Zauważmy, że w poznanych definicjach nie miało znaczenia z której strony tego punktu się znajdujemy. Co w przypadku gdy np. chcielibyśmy policzyć granicę funkcji na skończonym krańcu jej dziedziny? W takiej sytuacji z pomocą przychodzą granice jednostronne funkcji, czyli granica lewo- oraz prawostronna, o których powiemy w tym temacie.

Granice jednostronne funkcji w punkcie (tj. granica lewostronna oraz granica prawostronna) mogą posłużyć do sformułowania warunku równoważnego definicji granicy funkcji w punkcie.

Twoje cele

Dowiesz się czym są granice jednostronne funkcji w punkcie.
Obliczysz granicę lewo- i prawostronną wybranych funkcji.
Obliczysz granicę funkcji na skończonych krańcach jej dziedziny.
Dowiesz się o związku granic jednostronnych funkcji z granicą funkcji w punkcie.
Sprawdzisz, wykorzystując granice jednostronne, czy funkcja posiada granicę w punkcie.

Granice jednostronne według Heinego

Aby zobrazować ideę granic jednostronnych, spójrzmy na następujący przykład.

Przykład 1

Rozważmy funkcję daną wzorem

$f(x)=\frac{|2x-6|}{x-3}.$

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathbb{R}\setminus\lbrace 3\rbrace$ . Dziedzinę możemy też zapisać jako sumę przedziałów $D_f=(-\infty , 3)\cup (3,+\infty )$ . Sprawdzimy czy funkcja posiada granicę w punkcie $x_0=3$ . Na początek zapiszemy wzór funkcji w innej postaci. Wykorzystamy w tym celu definicję wartości bezwzględnejwartość bezwględna liczbywartości bezwzględnej. Rozważmy przypadki

Jeśli $2x-6 \gt 0$ , to wówczas $x\gt 3$ oraz
$f(x)=\frac{2x-6}{x-3}=\frac{2(x-3)}{x-3}=2.$
Jeśli $2x-6 \lt 0$ , to wówczas $x\lt 3$ oraz
$f(x)=\frac{-(2x-6)}{x-3}=\frac{-2(x-3)}{x-3}=-2.$

Zatem wzór funkcji możemy zapisać następująco

f (x) = {\begin{cases} 2 dla x > 3 \\ - 2 dla x < 3 \end{cases}

Zauważmy, że funkcja przyjmuje inną wartość na lewo oraz inną na prawo od punktu $x_0=2$ . Poniżej znajduje się wykres funkcji $f$ .

RwWIsmC5QnIrw

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 3 do 3 i poziomej osi x od minus 5 do pięć. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa przedziały w formie prostych równoległych to osi x. Pierwszy z nich sięga od minus nieskończoności do 3, przy czym w punkcie nawias, 3, minus 2, zamknięcie nawiasu znajduje się niezamalowany punkt. Prosta ta jest na wysokości minus dwa. Druga prosta znajduje się na wysokości dwa. Rozpoczyna się w punkcie nawias 3, 2, zamknięcie nawiasu i biegnie do nieskończoności. Przy czym punkt nawias, 3, 2, zamknięcie nawiasu jest niezamalowany.

Chcąc wykorzystać definicję Heinego definicji funkcji w punkcie, rozsądne wydaje się rozważyć oddzielnie ciągi, których wszystkie wyrazy leżą tylko na lewo lub tylko na prawo od punktu $x_0=3$ , tzn. takie, które zawierają się w lewo- lub prawostronnym sąsiedztwie tego punktu. Rozważmy zatem przypadki.

Niech $(x_n)$ będzie ciągiem argumentów funkcji $f$ zawartym w lewostronnym sąsiedztwie punktu $x_0=3$ , tzn. $x_n\in (-\infty , 3)$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz zbieżnym do liczby $3$ . Wówczas ciąg wartości funkcji $f$ jest ciągiem stałym równym $-2$ , tzn. $f(x_n)=-2$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ . Zatem jego granica jest też równa $-2$ .
Niech $(x_n)$ będzie ciągiem argumentów funkcji $f$ zawartym w prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0=3$ , tzn. $x_n\in ( 3, +\infty)$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz zbieżnym do liczby $3$ . Wówczas ciąg wartości funkcji $f$ jest ciągiem stałym równym $2$ , tzn. $f(x_n)=2$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ . Zatem jego granica jest też równa $2$ .

Powyższy przykład pokazuje, że ciąg wartości funkcji $f$ może mieć inną granicę gdy ciąg argumentów zawarty jest lewostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$ a inną, gdy ciąg argumentów zawarty jest prawostronnym sąsiedztwie tego punktu. Obserwacja ta daje motywację do wprowadzenia pojęcia granic jednostronnych funkcji $f$ w punkcie. Rozróżniamy dwa rodzaje granic jednostronnych: lewostronną oraz prawostronną. Formalna definicja, oparta o definicję granicy funkcji w punkcie według Heinego, jest następująca

Granica lewostronna funkcji w punkcie według Heinego

Definicja: Granica lewostronna funkcji w punkcie według Heinego

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f:D_f\to\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$ , jeśli dla dowolnego ciągu $(x_n)$ argumentów funkcji $f$ , który jest zwarty w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$ (tzn. $x_n\in (x_0-\delta,x_0 )$ dla pewnej liczby $\delta \gt 0$ oraz dla każdego $n\in\mathbb{N}$ ) ciąg wartości $f(x_n)$ jest zbieżny do liczby $g$ . Fakt ten zapisujemy następująco

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=g.$

Analogicznie możemy zdefiniować granicę prawostronną.

Granica prawostronna funkcji w punkcie według Heinego

Definicja: Granica prawostronna funkcji w punkcie według Heinego

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f:D_f\to\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$ , jeśli dla dowolnego ciągu $(x_n)$ argumentów funkcji $f$ , który jest zwarty w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$ (tzn. $x_n\in (x_0,x_0+\delta )$ dla pewnej liczby $\delta \gt 0$ oraz dla każdego $n\in\mathbb{N}$ ) ciąg wartości $f(x_n)$ jest zbieżny do liczby $g$ . Fakt ten zapisujemy następująco

$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=g.$

Powracając do pierwszego przykładu widzimy, że zdefiniowana tam funkcja posiada granice jednostronne w punkcie $x_0=3$ oraz

$\lim_{x\to 3^-}f(x)=-2\quad , \quad \lim_{x\to 3^+}f(x)=2.$

Spójrzmy na kolejny przykład.

Przykład 2

Obliczymy granice jednostronne w punkcie $x_0=0$ funkcji danej wzorem

$f(x)=\frac{x^3+x}{|x|}.$

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ . Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwględna liczbywartości bezwzględnej aby pozbyć się modułu z mianownika. Rozważmy przypadki

Jeśli $x \gt 0$ , to

$f(x)=\frac{x^3+x}{|x|}=\frac{x^3+x}{x}=x^2+1.$

Jeśli $x \lt 0$ , to

$f(x)=\frac{x^3+x}{|x|}=\frac{x^3+x}{-x}=-x^2-1.$

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w następujący sposób.

f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 dla x > 0 \\ - x^{2} - 1 dla x < 0 \end{cases}

Biorąc teraz dowolny ciąg $(x_n)$ argumentów funkcji $f$ taki, że $x_n \gt 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz $\lim_{n\to +\infty}x_n=0$ widzimy, że $f(x_n)=x_n^2+1$ oraz

$\lim_{n\to +\infty}f(x_n)=1.$

Zatem

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=1.$

Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg $(x_n)$ argumentów funkcji $f$ taki, że $x_n \lt 0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ oraz $\lim_{n\to +\infty}x_n=0$ widzimy, że $f(x_n)=-x_n^2-1$ oraz

$\lim_{n\to +\infty}f(x_n)=-1.$

Zatem

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=-1.$

Powyższy przykład ma następującą interpretację graficzną.

RJ8Hq3q84vOnA

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 5 do 5 i poziomej osi x od minus 4 do cztery. Na osi y zaznaczone zostały punkty: minus 1,5, minus 2, minus 5, natomiast na osi x zaznaczone zostały punkty : minus 0,5, minus 1, minus dwa. Wszystkie wymienione punkty zamalowane są na kolor zielony i zostały z nich poprowadzone odcinki równoległe do osi. Przez punkty przecięcia się utworzonych prostych została poprowadzona krzywa, która rozpoczyna się w punkcie nawias, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu i biegnie do minus nieskończoności. Punkt nawias, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu jest niezamalowany. Kolorem różowym na osi y zaznaczone zostały punkty: 1,5, 2, 5, natomiast na osi x: 0,5, 1, dwa. Punty te są zamalowane i zostały z nich poprowadzone odcinki równoległe do osi. Przez punkty przecięcia się utworzonych prostych została poprowadzona krzywa, która rozpoczyna się w punkcie nawias, 0, 1, zamknięcie nawiasu i biegnie do nieskończoności. Punkt nawias, 0, 1, zamknięcie nawiasu jest niezamalowany.

Granice jednostronne według Cauchy'ego

Granice jednostronne możemy też zdefiniować w oparciu o definicję Cauchy'ego.

Granica lewostronna funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Definicja: Granica lewostronna funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f:D_f\to\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$ , jeśli dla dowolnej liczby $\varepsilon \gt 0$ istnieje liczba $\delta \gt 0$ taka, że dla każdego $x\in D_f$ jeśli $x_0 - \delta\lt x \lt x_0$ , to $|f(x)-g|\lt \varepsilon$ .

Granica prawoostronna funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Definicja: Granica prawoostronna funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Powiemy, że liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f:D_f\to\mathbb{R}$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$ , jeśli dla dowolnej liczby $\varepsilon \gt 0$ istnieje liczba $\delta \gt 0$ taka, że dla każdego $x\in D_f$ jeśli $x_0 \lt x \lt x_0+\delta$ , to $|f(x)-g|\lt \varepsilon$ .

Przykład 3

Wyznaczymy granice jednostronne funkcji $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ na krańcach jej dziedziny.

Ponieważ pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc funkcja $f$ jest poprawnie określona jeśli $4-x^2 \ge 0$ . Zatem $D_f=\langle -2,2\rangle$ .

Ze względu na dziedzinę funkcji $f$ w punkcie $x_0=-2$ istnieje jedynie granica prawostronna (funkcja jest określona tylko na prawo od $-2$ ). Wykażemy, że granica ta jest równa $0$ . Wykorzystamy definicję Cauchy'ego. Weźmy w tym celu dowolną liczbę $\varepsilon \gt 0$ . Niech $\delta = \frac{\varepsilon^2}{4}$ . Weźmy dowolny $x\in D_f$ taki, że $-2\lt x\lt -2+\delta$ . Wynika stąd, że

$-2\lt x \quad\Rightarrow\quad -x\lt 2 \quad\Rightarrow\quad 2-x\lt 4$

oraz

$x\lt -2+\delta \quad\Rightarrow\quad 2+x \lt \delta$

Stąd otrzymujemy

$|f(x)-0|=\sqrt{4-x^2}=\sqrt{2-x}\cdot \sqrt{2+x} \lt \sqrt{4}\cdot \sqrt\delta = 2\cdot\sqrt{\frac{\varepsilon^2}{4}}=\varepsilon$

Z definicji Cauchy'ego granicy prawostronnej wynika zatem, że

$\lim_{x\to -2^+}f(x)=0.$

W punkcie $x_0=2$ z kolei istnieje jedynie granica lewostronna, gdyż funkcja jest określona tylko na lewo od $2$ . Analogicznie jak powyżej można wykazać, że

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=0.$

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami obliczania granic jednostronnych zawartych w poniższej animacji a następnie wykonaj zamieszczone poniżej polecenia.

RmJXSItVq7DUr

Dana jest funkcja

$f(x)=\frac{x}{2x+4}$

o dziedzinie

$D_f=(-4,-2)\cup(-2,2).$

Polecenie 2

Oblicz

$\lim_{x\to-4^+}f(x).$

$\lim_{x\to-4^+}f(x)=1$

Polecenie 3

Oblicz

$\lim_{x\to2^-}f(x).$

$\lim_{x\to2^-}f(x)=\frac{1}{4}$

Związek granic jednostronnych z granicą funkcji w punkcie

Poniższe twierdzenie podaje związek pomiędzy granicami jednostronnymi funkcji w punkcie oraz granicą funkcji w punkcie.

o istnieniu granicy funkcji w punkcie

Twierdzenie: o istnieniu granicy funkcji w punkcie

Jeśli $f$ : $D_{f} \to ℝ$ posiada w punkcie $x_{0} \in ℝ$ granicę lewo – oraz prawostronną oraz granice te są równe, to wówczas posiada ona także granicę w tym punkcie oraz

\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}} f (x)

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne, tzn. jeśli funkcja posiada granicę w pewnym punkcie, to posiada w tym punkcie również granice jednostronne. Ponadto granice te są sobie równe i dodatkowo równe wartości granicy funkcji w tym punkcie.

Przykład 4

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 4 & dla x ⩽ - 1 \\ 2 - x^{2} & dla x > - 1 \end{cases}

posiada granicę w punkcie $x_{0} = - 1$ . Obliczymy w tym celu granice jednostronne funkcji $f$ w tym punkcie. Weźmy najpierw dowolny ciąg argumentów funkcji $f$ taki, że $x_{n} < - 1$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - 1$ . Wówczas $f (x_{n}) = 3 x_{n} + 4$ . Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 3 \cdot \lim_{n \to + \infty} x_{n} + 4 = 3 \cdot (- 1) + 4 = 1

Zatem

\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = 1

Niech teraz ciąg argumentów $(x_{n})$ będzie taki, że $x_{n} > - 1$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - 1$ . Wówczas $f (x_{n}) = 2 - x_{n}^{2}$ . Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 2 - {(\lim_{n \to + \infty} x_{n})}^{2} = 2 - {(- 1)}^{2} = 2 - 1 = 1

Zatem również w tym przypadku

\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = 1

Ponieważ granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = - 1$ są takie same i równe $1$ , więc funkcja $f$ posiada granicę w tym punkcie oraz

\lim_{x \to - 1} f (x) = 1

Przykład 5

Niech funkcja $f$ : $ℝ \to ℝ$ dana będzie wzorem

f (x) = \{\begin{cases} \frac{4}{2 x + 1} & dla x ⩾ \frac{1}{2} \\ 3 - 4 x & dla x < \frac{1}{2} \end{cases}

Sprawdzimy czy dana funkcja posiada granicę w punkcie $x_{0} = \frac{1}{2}$ . W tym celu weźmy ciąg $(x_{n})$ argumentów funkcji $f$ taki, że $x_{n} > \frac{1}{2}$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = \frac{1}{2}$ . Wówczas $f (x_{n}) = \frac{4}{2 x_{n} + 1}$ i z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych dostajemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2

Wynika stąd, że

\lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} f (x) = 2

Niech teraz ciąg $(x_{n})$ argumentów funkcji $f$ będzie taki, że $x_{n} < \frac{1}{2}$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = \frac{1}{2}$ . Wówczas $f (x_{n}) = 3 - 4 x_{n}$ . Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych dostajemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1

Oznacza to, że

\lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} f (x) = 1

Jak widzimy granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = \frac{1}{2}$ są różne. Wnioskujemy stąd, że funkcja $f$ nie posiada w tym punkcie granicy.

Przykład 6

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6}{|x - 1|}

posiada granicę w punkcie $x_{0} = 1$ . Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczbywartości bezwzględnej możemy rozpatrzeć przypadki

Jeśli $x > 1$ , to wówczas $x - 1 > 0$ oraz

f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6}{|x - 1|} = \frac{(x - 1) (x - 6)}{x - 1} = x - 6

Jeśli $x < 1$ , to wówczas $x - 1 < 0$ oraz

f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6}{|x - 1|} = \frac{(x - 1) (x - 6)}{- (x - 1)} = 6 - x

Wzór funkcji możemy zatem zapisać w postaci

f (x) = \{\begin{cases} x - 6 & dla x > 1 \\ 6 - x & dla x < 1 \end{cases}

Weźmy teraz dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ taki, że $x_{n} > 1$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 1$ . Wówczas $f (x_{n}) = x_{n} - 6$ . Z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych wynika zatem, że

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 1 - 6 = - 5

Stąd $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - 5$ . Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ taki, że $x_{n} < 1$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 1$ , otrzymujemy $f (x_{n}) = 6 - x_{n}$ . Z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych wynika tym razem, że

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 6 - 1 = 5

Stąd $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 5$ . Ponieważ granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 1$ są różne, więc funkcja ta nie posiada granicy w tym punkcie.

Przykład 7

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

f (x) = \frac{6}{|x| + 2}

posiada granicę w punkcie $x_{0} = 0$ . Zauważmy, że dziedziną funkcji $f$ jest cały zbiór liczb rzeczywistych, tzn. $D_{f} = ℝ$ . Na początek zapiszemy powyższy wzór bez użycia wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczbywartości bezwzględnej. Rozważmy przypadki

Jeśli $x ⩾ 0$ , to wówczas

f (x) = \frac{6}{x + 2}

Jeśli $x < 0$ , to wówczas

f (x) = \frac{6}{2 - x}

Zatem wzór funkcji możemy zapisać w postaci

f (x) = \{\begin{cases} \frac{6}{x + 2} & dla x ⩾ 0 \\ \frac{6}{2 - x} & dla x < 0 \end{cases}

Wyznaczymy granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 0$ . Niech najpierw $(x_{n})$ będzie dowolnym ciągiem argumentówciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ takim, że $x_{n} > 0$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0$ . Wówczas korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{6}{x_{n} + 2} = \frac{6}{0 + 2} = 3

Stąd $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 3$ .

Niech teraz $(x_{n})$ będzie dowolnym ciągiem argumentówciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów $(x_{n})$ funkcji $f$ takim, że $x_{n} < 0$ dla każdego $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0$ . Wówczas korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{6}{2 - x_{n}} = \frac{6}{2 - 0} = 3

Stąd $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 3$ . Ponieważ granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 0$ jest równa granicy prawostronnej funkcji w tym punkcie więc funkcja ta posiada granicę w punkcie $x_{0} = 0$ oraz

\lim_{x \to 0} f (x) = 3

Polecenie 4

W poniższej galerii przedstawiono sposób na sprawdzenie, czy funkcja dana dwoma różnymi wzorami na dwóch różnych przedziałach posiada w danym punkcie granicę. Zapoznaj się z przedstawioną metodą, a następnie wykonaj zamieszczone poniżej polecenia.

R19OuAz8lmwtR

R1czreFOxVGOX

RN5Kd8xOhUl5C

R1BUwQs06OVA3

R19WbxlPkrLvx

Dana jest funkcja

f (x) = \{\begin{cases} 3 x - 1 & dla x ⩾ 1 \\ 2 x + 1 & dla x < 1 \end{cases}

Polecenie 5

Oblicz granicę lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 1$ .

\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 3

Polecenie 6

Oblicz granicę prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 1$ . Czy funkcja $f$ posiada granicę w tym punkcie?

\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 2

Funkcja $f$ nie posiada granicy w punkcie $x_{0} = 1$ .

R1RJWX6oy8zJZ1

Ćwiczenie 1

R1RIVBRrxSPoc1

Ćwiczenie 2

R1H6DZ87Mfbie2

Ćwiczenie 3

RGAoWTshMTp612

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tekst, przeciągając w puste pola odpowiednie wyrażenia. Dana jest funkcja f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, wartość bezwzględna z, cztery x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, dwa x, minus, jeden, koniec ułamka. Obliczymy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Weźmy w tym celu dowolny ciąg argumentów nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu funkcji f zbieżny do 1. f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa, 2. jeden, 3. limes, x, strzałka w prawo, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa, 4. minus, dwa, 5. f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, 6. limes, x, strzałka w prawo, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, DELTA, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 9. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, DELTA, zamknięcie nawiasu oraz taki, że 1. f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa, 2. jeden, 3. limes, x, strzałka w prawo, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa, 4. minus, dwa, 5. f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, 6. limes, x, strzałka w prawo, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, DELTA, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 9. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, DELTA, zamknięcie nawiasu dla każdego n, należy do, liczby naturalne. Wówczas 1. f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa, 2. jeden, 3. limes, x, strzałka w prawo, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa, 4. minus, dwa, 5. f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, 6. limes, x, strzałka w prawo, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, DELTA, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 9. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, DELTA, zamknięcie nawiasu. Zatem 1. f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa, 2. jeden, 3. limes, x, strzałka w prawo, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa, 4. minus, dwa, 5. f nawias x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, 6. limes, x, strzałka w prawo, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, DELTA, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 9. x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, należy do, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, DELTA, zamknięcie nawiasu

RUT6CDiQ2ZLrp2

Ćwiczenie 5

R14EWPcj3Q2mu2

Ćwiczenie 6

R1KeyTZDzl0bD3

Ćwiczenie 7

RnQAYnHzjTV9I3

Ćwiczenie 8

Przenieś podane funkcje do odpowiednich obszarów. limes, x, strzałka w prawo, jeden indeks górny, plus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, wartość bezwzględna z, jeden, minus, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięjeden, plus, pierwiastek kwadratowy z jeden, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 4. limes, x, strzałka w prawo, jeden indeks górny, minus, koniec indeksu górnegojeden, minus, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden koniec pierwiastka, 5. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa x, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, jeden, minus, x, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka limes, x, strzałka w prawo, jeden indeks górny, minus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, wartość bezwzględna z, jeden, minus, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięjeden, plus, pierwiastek kwadratowy z jeden, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 4. limes, x, strzałka w prawo, jeden indeks górny, minus, koniec indeksu górnegojeden, minus, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden koniec pierwiastka, 5. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa x, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, jeden, minus, x, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka limes, x, strzałka w prawo, jeden indeks górny, minus, koniec indeksu górnegof nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, wartość bezwzględna z, jeden, minus, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięjeden, plus, pierwiastek kwadratowy z jeden, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 4. limes, x, strzałka w prawo, jeden indeks górny, minus, koniec indeksu górnegojeden, minus, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden koniec pierwiastka, 5. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa x, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, 6. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, jeden, minus, x, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka

RoNvrfgIbiDKk1

Ćwiczenie 9

RwhWZSYCU6Gfm1

Ćwiczenie 10

R1E5JPlgr2Av31

Ćwiczenie 11

RF0EfmrbFZ2cG

Ćwiczenie 12

Ry44ZVLPCboDD2

Ćwiczenie 13

R19j1yFk45oPd2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Rr80ZjEPFpIHl

RLV0NTddNYWLk

Rv2bsu1iPAROR2

Ćwiczenie 16

Połącz w pary funkcje ze zdaniami dla nich prawdziwymi. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, x, mianownik, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden równą minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden równą dwa. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa siępoczątek ułamka, wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, dwa x, plus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden równą minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden równą dwa. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięnawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, jeden, koniec równania, pierwsze równanie, dla x, mniejszy równy, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy, minus, x, koniec równania, drugie równanie, dla x, większy niż, jeden, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja nie posiada granicy w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden., 2. Funkcja posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden równą minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., 3. Funkcja posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden równą dwa.

Rbv8xEV6la6u23

Ćwiczenie 17

Przenieś podane funkcje do odpowiednich obszarów. Posiada granicę w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, jeden, mianownik, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec równania, pierwsze równanie, dla x ⩽ jeden, koniec równania, drugie równanie, pierwiastek kwadratowy z x, plus, trzy, koniec równania, drugie równanie, dla x, większy niż, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec równania, pierwsze równanie, dla x ⩽ jeden, koniec równania, drugie równanie, minus, x, koniec równania, drugie równanie, dla x, większy niż, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy x, minus, trzy, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka Nie posiada granicy w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, jeden, mianownik, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, plus, jeden, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec równania, pierwsze równanie, dla x ⩽ jeden, koniec równania, drugie równanie, pierwiastek kwadratowy z x, plus, trzy, koniec równania, drugie równanie, dla x, większy niż, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec równania, pierwsze równanie, dla x ⩽ jeden, koniec równania, drugie równanie, minus, x, koniec równania, drugie równanie, dla x, większy niż, jeden, koniec równania, koniec układu równań, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy x, minus, trzy, mianownik, wartość bezwzględna z, x, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka

Słownik

wartość bezwględna liczby

wartość bezwzględną (moduł) liczby $x$ definiujemy następująco

|x| = \{\begin{cases} x dla x \geq 0 \\ - x dla x < 0 \end{cases}

wartość bezwzględna liczby

wartość bezwzględną (moduł) liczby $x$ definiujemy następująco

|x| = \{\begin{cases} x & dla x ⩾ 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

ciąg argumentów funkcji

ciąg $(x_{n})$ którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji $f$ , tzn. ciąg spełniający warunek

\forall_{n \in ℕ} x_{n} \in D_{f}

2. Granica funkcji w punkcie w Heinego i Cauchy'ego

4. Granica niewłaściwa funkcji