4. Granica niewłaściwa funkcji - M_R_W19_M1 Granica funkcji

R9fJ51vfi5Ndo

4. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

Pojęcie granicy funkcji w punkcie było znane intuicyjnie już w czasach starożytnych. Stosowano je do obliczania pól figur za pomocą tzw. „metody wyczerpywania”. Metoda polega na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu wzajemnie rozłącznych wielokątów o znanych polach, których suma zbliża się do pola badanej figury.

Granic funkcji używamy w wielu zastosowaniach matematyki i właśnie w niektórych sytuacjach w naukach stosowanych pojawiają się sytuacje nietypowe. Jedną z takich sytuacji przedstawimy Ci w tym materiale.

Twoje cele

Poznasz pojęcie granicy niewłaściwej w punkcie.
Wyznaczysz granicę funkcji w punkcie z definicji.
Wymienisz przykłady funkcji, które nie mają granicy w punkcie.
Wyznaczysz parametry funkcji wymiernej, aby miała granicę niewłaściwą w punkcie.

Granicę funkcji w punkcie nazywamy właściwą, gdy jest liczbą (skończoną), natomiast niewłaściwą, jeżeli jest równa nieskończoności. Wydawałoby się, że poza abstrakcyjną częścią matematyki, w jej zastosowaniach nie powinniśmy otrzymywać w wyniku granic nieskończonych.

Przyjrzyjmy się zatem, odkrytemu przez Alberta Einsteina, zjawisku dylatacji czasu. Nie wchodząc w szczegóły z zakresu fizyki, dylatacja czasu oznacza, że jeżeli ktoś porusza się z dużą prędkością, porównywalną z prędkością światła, to w porównaniu z osobą, która się nie porusza, dla podróżnika czas będzie płynął znacznie wolniej. Możemy na odwrót powiedzieć, że dla osoby, która pozostała nieruchomo, czas będzie płynął znacznie szybciej, niż dla tej, która się porusza.
Zależność tę można przedstawić w postaci funkcji $d (v)$ ,

d (v) = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

Tutaj $v$ oznacza prędkość rakiety, mierzoną w częściach prędkości światła. Gdy na przykład poruszamy się z połową prędkości światła, to $v = 0, 5$ .

Wartości funkcji $d$ , oznaczają czas w sekundach, który upłynie dla obserwatora z Ziemi, gdy w rakiecie podróżnika upłynie jedna sekunda. Jeżeli obejrzymy wykres zależności dylatacji $d$ od $v$ , zauważymy coś dziwnego.

RmxvR0tf0N5Td

Na ilustracji przedstawiono wykres zależności funkcji prędkości od czasu, v nawias d nawias. Na osi poziomej przedstawiono wartości czasu, od zera do sześciu, z odcinkiem jednostkowym równym jeden. Na poziomej osi przedstawiono wartości prędkości, od zera do jeden i dwie dziesiąte, z odcinkiem jednostkowym równym dwie dziesiąte. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji. Dla prędkości znajdującej się w przedziale od zera do osiem dziesiątych, czas przyjmuje wartość znajdującą się w przedziale od zera do jeden. Natomiast gdy prędkość osiągnie wartość powyżej osiem dziesiątych, czas zaczyna gwałtownie rosnąć, osiągając wartości powyżej sześciu.

Gdy prędkości są małe, bliskie zera, wartość $d$ jest prawie równa jedności, czyli czas upływa w rakiecie i na Ziemi praktycznie tak samo. Gdy wartości prędkości $v$ są coraz bliższe jedynce, czyli prędkość rakiety zbliża się do prędkości światła, wartość dylatacji nie tylko rośnie gwałtownie, ale rośnie nieograniczenie! Zatem, gdyby rakieta pędziła z prędkością bliską prędkości światła, na przykład $v = 0, 999999999999999$ prędkości światła, to gdy w rakiecie upłynie sekunda, na Ziemi upłynie cały rok! Nie jesteśmy ponadto w stanie nigdy przekroczyć prędkości światła, gdyż wówczas czas w rakiecie musiałby płynąć nieskończenie wolno...

Granice niewłaściwegranica niewłaściwaGranice niewłaściwe występują wielokrotnie w fizyce, chociażby w zjawisku rezonansu – warto o tym przeczytać w wolnym czasie.

Podobnie, jak w przypadku granic właściwychgranica właściwagranic właściwych, granice niewłaściwe możemy zdefiniować na dwa równoważne sposoby, według Heinego i Cauchy’ego.

według Heinego

Definicja: według Heinego

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę niewłaściwą równą $+ \infty$ , gdy poza samym punktem $x_{0}$ pewne jego otoczenie należy do dziedziny tej funkcji oraz dla dowolnego ciągu argumentów $x_{n}$ z dziedziny, dążącego do $x_{0}$ , wartości $f (x_{n})$ dążą do $+ \infty$ .

według Cauchy’ego

Definicja: według Cauchy’ego

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_{0}$ granicę niewłaściwą równą $+ \infty$ , gdy poza samym punktem $x_{0}$ pewne jego otoczenie należy do dziedziny tej funkcji oraz dla dowolnie dużej wartości dodatniej liczby $M$ istnieje taka liczba dodatnia $δ$ , że dla wszystkich argumentów $x$ z dziedziny pomiędzy $x_{0} - δ$ i $x_{0} + δ$ wartości $f (x)$ są większe od $M$ .

Symbolicznie zapisujemy to jako

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty

Podobnie definiujemy granicę niewłaściwą równą $(- \infty)$ .

Przykład 1

Sprawdzimy, używając definicji Heinego, czy funkcja $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $x \neq 0$ , ma w punkcie $x_{0} = 0$ granicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_{n}$ dążący do zera. Wówczas wiemy, że ciąg kwadratów tych argumentów, $x_{n}^{2}$ , również dąży do zera, przyjmując tylko wartości dodatnie. Zatem ciąg odwrotności kwadratów, $\frac{1}{x_{n}^{2}}$ , dąży do $+ \infty$ , czyli granicą funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = 0$ jest $+ \infty$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = + \infty$ .

Przykład 2

Sprawdzimy, używając definicji Cauchy’ego, czy funkcja $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $x \neq 0$ , ma w punkcie $x_{0} = 0$ granicę niewłaściwągranica niewłaściwagranicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie dużą liczbę dodatnią $M$ . Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $δ$ równą odwrotności pierwiastka z $M$ , czyli $δ = \frac{1}{\sqrt{M}}$ , to wówczas dla wszystkich niezerowych wartości $x$ większych od $(- \frac{1}{\sqrt{M}})$ i mniejszych od $\frac{1}{\sqrt{M}}$ wartości funkcji $f$ są większe od $M$ i tym samym granicą funkcji $f$ w punkcie $x = 0$ jest $+ \infty$ .

Możemy sprawdzić empirycznie, jak wygląda znajdowanie wartości $δ$ w zależności od wartości $M$ .

Należy pamiętać, że im większa wartość $M$ , tym mniejsza jest wartość $δ$ – węższy jest zakres argumentów, dla których wartości funkcji są powyżej zadanej linii – ale za każdym razem można taką wartość znaleźć.

Przykład 3

Wyznaczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{2 x^{2} - 4}{x^{4}}$ w punkcie $x_{0} = 0$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z definicji Heinego. Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_{n}$ dążący do zera. Wówczas:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 x_{n}^{2} - 4}{x_{n}^{4}} = [\frac{0 - 4}{0^{+}}] = - \infty$ .

Przykład 4

Wyznaczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$ w punkcie $x_{0} = 1$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z definicji Heinego. Bierzemy zatem dowolny ciąg argumentów dążących do $1$ . Wówczas:

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}^{2} + x_{n} - 2}{x_{n}^{3} - 3 x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(x_{n} - 1) (x_{n} + 2)}{{(x_{n} - 1)}^{3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(x_{n} + 2)}{{(x_{n} - 1)}^{2}} = [\frac{1 + 2}{0^{+}}] = \infty$

Na koniec rozważań pokażemy przykłady funkcji, które nie mają granicy w punkcie.

Przykład 5

Zbadamy, czy funkcja $f (x) = \{\begin{cases} - x + 1 & gdy x ⩽ 0 \\ x + 2 & gdy x > 0 \end{cases}$ ma granicę dla $x_{0} = 0$ .

Rozwiązanie

Narysujemy wykres funkcji $f$ :

RZuzkKEPs0Gvr

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, składający się z dwóch półprostych. Pierwsza półprosta skierowana jest w dół. Ograniczona z prawej strony zamalowanym punktem o współrzędnych 0;1. Druga półprosta skierowana jest do góry. Z lewej strony ograniczona niezamalowanym punktem o współrzędnych 0;2. — Wykres funkcji z różnymi granicami jednostronnymi

Łatwo zobaczyć, że granica w zerze z lewej strony jest równa $1$ , zaś z prawej strony jest równa $2$ , tym samym nie istnieje granica tej funkcji w punkcie $x_{0} = 0$ , ani skończona, ani nieskończona.

Przykład 6

Zbadamy istnienie granicy funkcji $f (x) = \sin (\frac{1}{x})$ , $x \neq 0$ w punkcie $x_{0} = 0$ .

Rozwiązanie

Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji $f$ :

R17z6O3omsvJS

Na rysunku przedstawiony jest układu współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden oraz pionową osią Y również od minus jeden do jeden. Dla argumentu minus jeden wykres osiąga wartość z przedziału -1,0, następnie maleje do jedynki dla argumentów zbliżających się do-0,5. Następnie wykres gwałtownie rośnie do 1 dla argumentu -0,25. Następnie znów maleje do minus jeden dla argumentu równego w przybliżeniu -0,12. Skoki wykresu funkcji pomiędzy wartościami minus jeden a jeden powtarzają się aż do argumentu nieco większego niż 0,5 . Wówczas wykres funckji narysowany jest tak gęsto, że nakłada sie na siebie tworząc jedną grubą linie między argumentami równych w przybliżeniu -0,12 oraz 0,12. Następnie wykres maleje do minus jeden dla argumentu 0,25 , a następnie rośnie do 1 dla argumentu większego od 0,5. Dla dalszych argumentów funkcja maleje do wartości z przedziału 0,1 . — Wykres funkcji bez granic jednostronnych

Gdy wartości $x$ zbliżają się do zera – na przykład z prawej strony – to wartości $\frac{1}{x}$ są coraz większe i sinus tych argumentów oscyluje coraz szybciej pomiędzy $(- 1)$ i $1$ . Taka funkcja w ogóle nie ma granicy, nawet nie posiada granic jednostronnych.

Rozważmy dwa ciągi zbieżne do $0$ : $x_{n_{1}} = \frac{2}{4 πn + π}$ oraz $x_{n_{2}} = \frac{2}{4 πn + 3 π}$ .

Wówczas:

$\lim_{n \to \infty} \sin (\frac{1}{x_{n_{1}}}) = \lim_{n \to \infty} \sin (\frac{1}{\frac{2}{4 πn + π}}) = \lim_{n \to \infty} \sin (\frac{4 πn + π}{2}) = 1$

oraz

$\lim_{n \to \infty} \sin (\frac{1}{x_{n_{2}}}) = \lim_{n \to \infty} \sin (\frac{1}{\frac{2}{4 πn + 3 π}}) = \lim_{n \to \infty} \sin (\frac{4 πn + 3 π}{2}) = - 1$

To dowodzi, że granica $f (x) = \sin (\frac{1}{x})$ , $x \neq 0$ w punkcie $x_{0} = 0$ nie istnieje.

Polecenie 1

Uruchom symulację i obserwuj, w jaki sposób, przy korzystaniu z definicji Cauchy'ego, poszukiwać małych wartości $δ$ (delta) przy dowolnie dużych wartościach $M$ .

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji. Zwróć uwagę, w jaki sposób, przy korzystaniu z definicji Cauchy'ego, poszukiwać małych wartości $δ$ (delta) przy dowolnie dużych wartościach $M$ .

R1KnVEUp8w5EB

Polecenie 2

Ustaw suwak wartości $M$ na $1$ . Odczytaj, jaką wartość przyjmuje $δ$ .

Wartość $δ$ , równa tutaj odwrotności pierwiastka z $M$ , będzie wynosić również $1$ . Zauważ, że zaciemniony obszar pokazuje te punkty, które są położone pomiędzy liniami $x = - δ$ i $x = + δ$ i część wykresu funkcji, która leży powyżej linii $y = M$ , znajduje się w tym obszarze.

Polecenie 2

R1RFPsCuVe1c4

Polecenie 3

Przesuń suwak wartości $M$ na wartość $4$ . Odczytaj, jaką wartość przyjmie $δ$ .

Teraz $δ$ się zmniejszy i będzie równa $0, 5$ , ale wciąż odpowiednia część (górna) wykresu funkcji znajdzie się w zacienionym obszarze.

Polecenie 3

RKKA2cAZA1Ed7

Pogrupuj podane funkcje ze względu na punkty, w których posiadają granicę niewłaściwą. x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. s nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. t nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy x, koniec ułamka, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 5. h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka x, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. s nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. t nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy x, koniec ułamka, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 5. h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka x, równa się, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. s nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. t nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy x, koniec ułamka, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 5. h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Przykład 7

Sprawdzimy, używając definicji Heinego, czy funkcja $f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}$ , $x \neq 0$ , ma w punkcie $x_{0} = 0$ granicę niewłaściwągranica niewłaściwagranicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_{n}$ , dążący do zera. Wówczas wiemy, że ciąg kwadratów tych argumentów, $x_{n}^{2}$ , również dąży do zera, przyjmując tylko wartości dodatnie. Zatem ciąg przeciwieństw odwrotności kwadratów, $\frac{- 1}{x_{n}^{2}}$ , dąży do $(- \infty)$ , czyli granicą funkcji $f$ w $x_{0} = 0$ jest $(- \infty)$ ,

$\lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x^{2}} = - \infty$ .

Przykład 8

Sprawdzimy, używając definicji Cauchy’ego, czy funkcja $f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}$ , $x \neq 0$ , ma w punkcie $x_{0} = 0$ granicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie dużą liczbę dodatnią $M$ . Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $δ$ równą odwrotności pierwiastka z $M$ , czyli $δ = \frac{1}{\sqrt{M}}$ , to wówczas dla wszystkich niezerowych wartości $x$ większych od $(- \frac{1}{\sqrt{M}})$ i mniejszych od $\frac{1}{\sqrt{M}}$ wartości funkcji $f$ są mniejsze od $(- M)$ , i tym samym granicą funkcji $f$ w $x = 0$ jest $(- \infty)$ .

Możemy sprawdzić empirycznie, jak wygląda znajdowanie wartości $δ$ w zależności od wartości $M$ na przykładzie funkcji $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $x \neq 0$ .

R5JAiNlmCd3lH

Jak widać, im większa wartość $M$ , tym mniejsza jest wartość $δ$ – węższy jest zakres argumentów, dla których wartości funkcji są powyżej zadanej linii – ale za każdym razem można taką wartość znaleźć.

Jeżeli funkcja jest ciągła w danym punkcie, to z definicji ciągłości wiemy, że jej granice jednostronne są równe wartości funkcji w tym punkcie. Ponieważ funkcje nie mogą mieć wartości nieskończonych, tym samym w punkcie, w którym funkcja jest ciągła, nie możemy nigdy otrzymać granicy niewłaściwej.

Przykład 9

Sprawdzimy, czy funkcja $y = x^{2} - 3$ może mieć w którymś punkcie granicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Nie może, bo jest funkcją ciągłą.

Ważne!

Jeżeli funkcja nie jest ciągła w punkcie, to wciąż nie musi mieć granicy niewłaściwej, może nawet mieć granicę skończoną.

Przykład 10

Sprawdzimy, czy funkcja

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 & gdy x \neq 1 \\ 0 & gdy x = 1 \end{cases}$

może mieć w którymś punkcie granicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Dla żadnego punktu poza $x \neq 1$ nie może, bo jest funkcją ciągłą. W punkcie $x = 1$ nie jest ciągła, ale również nie posiada granicy niewłaściwej, bo posiada granicę skończoną, równą $- 2$ .

Dla posiadania granicy niewłaściwej funkcja nie może być w danym punkcie ciągła, ani nie może posiadać tam granicy skończonej. Łatwo to zweryfikować, gdy funkcja jest zadana prostym wzorem, lub gdy zna się wykres funkcji. Jeżeli funkcja jest zadana trudnym wzorem, na przykład jest funkcją wymierną, trzeba dokonać niezbędnych obliczeń.

Przykład 11

Zbadamy, czy funkcja

$f (x) = \frac{x^{3} + x + 2}{x^{2} - 1}$

ma w punktach $x_{1} = 0$ i $x_{2} = 1$ granice niewłaściwe.

Rozwiązanie

Zachowanie w punkcie $x_{1} = 0$ sprawdzamy, podstawiając $x_{1} = 0$ do wzoru funkcji, otrzymując

$f (x_{1}) = f (0) = \frac{0^{3} + 0 + 2}{0^{2} - 1} = \frac{2}{- 1} = - 2$ ,

czyli funkcja $f$ w punkcie $x_{1} = 0$ posiada granicę skończoną równą $(- 2)$ .

Dla punktu $x_{2} = 1$ mamy:

$\lim_{x \to x_{2}^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{3} + x + 2}{x^{2} - 1} = [\frac{1^{3} + 1 + 2}{1^{2} - 1}] = [\frac{4}{0^{+}}] = + \infty$ ,

$\lim_{x \to x_{2}^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{3} + x + 2}{x^{2} - 1} = [\frac{1^{3} + 1 + 2}{1^{2} - 1}] = [\frac{4}{0^{-}}] = - \infty$ .

Zatem funkcja $f$ w punkcie $x_{2} = 1$ posiada jednostronne granice niewłaściwe.

Polecenie 4

Poniższa symulacja interaktywna pomoże Ci zrozumieć, jak obliczyć granicę niewłaściwą funkcji w punkcie. Pozwoli sprawdzić w praktyce, na przykładzie funkcji $y = \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}}$ granicę przy dowolnej wartości $a$ .

RsDkWX62aGf0u

Polecenie 5

Dla jakich rzeczywistych wartości parametru $a$ funkcja posiada punkt, w którym ma granicę niewłaściwą? Skorzystaj z powyższego wykresu ustawiając suwak wartości parametru $a$ na dowolnie wybrane wartości.

Zauważmy, że funkcja nie jest określona dla $\pm a$ , czyli wystarczy sprawdzić zachowanie funkcji w pobliżu tylko tych dwóch punktów.

Dla $a \neq 0$ mamy zatem:

$\lim_{x \to a^{+}} \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}} = \lim_{x \to - a^{-}} \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}} = [\frac{a^{2}}{a^{2} - a^{2}}] = [\frac{a^{2}}{0^{+}}] = + \infty$

oraz:

$\lim_{x \to a^{-}} \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}} = \lim_{x \to - a^{+}} \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}} = [\frac{a^{2}}{a^{2} - a^{2}}] = [\frac{a^{2}}{0^{-}}] = - \infty$

Jeżeli wartość $a$ nie jest równa zero, to zarówno w punkcie $a$ , jak i $(- a)$ , funkcja $f$ ma jednostronne granice niewłaściwe.

Natomiast dla $a = 0$ mamy

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 0} = \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$

Zauważmy, że otrzymaliśmy funkcję stałą, równą $1$ , która jest niezależna od wartości $x$ . W tym wypadku nie ma żadnego punktu, w którym ma granicę niewłaściwą.

Ćwiczenie 1

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

RU7sBhPKLglBg

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji. Wykres znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja od minus nieskończoności do minus jeden jest funkcją malejącą. Od minus jeden do zera funkcja jest rosnąca. Od zera do jeden funkcja jest malejąca. Od jeden do plus nieskończoności funkcja jest rosnąca.

RS6z2Rpsh9KeF

Ćwiczenie 2

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

R1DJBeLrgKzI8

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie narysowano część paraboli. Wykres znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. W trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, wykres zmierza od minus nieskończoności i wypłaszcza się do osi Y. W czwartej ćwiartce układu współrzędnych, wykres wypłaszczony do osi Y, zmierza do plus nieskończoności, spłaszczając się do osi X. Wykres przechodzi przez punkt -1;-1 oraz 1;1.

RTW4uFv1VlKuU

Ćwiczenie 3

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f (x) = 2 + \sin (\frac{1}{x})$ .

RRugKdEE0rIEn

Na rysunku przedstawione są dwie pierwsze ćwiartki układu współrzędnych z poziomą osią X od -1,5 do 1,5 oraz z pionową osią Y od zera do trzech. Dla argumentu -1,5 wykres osiąga wartość z przedziału 1,2, następnie maleje do jedynki dla argumentów zbliżających się do-0,5. Następnie wykres gwałtownie rośnie do 3 dla argumentu -0,25. Następnie znów maleje do jedynki dla argumentu równego w przybliżeniu -0,12. Skoki wykresu funkcji pomiędzy wartościami 1 a 3 powtarzają się aż do argumentu nieco większego niż 0,5 . Wówczas wykres funckji narysowany jest tak gęsto, że nakłada się na siebie tworząc jedną grubą linie między argumentami równymi w przybliżeniu -0,12 oraz 0,12. Następnie wykres maleje do 1 dla argumentu 0,25 , a następnie rośnie do 3 dla argumentu większego od 0,5. Dla dalszych argumentów funkcja maleje do 2,5.

R1WdQDG4obAn5

Ćwiczenie 4

R11Aim7ZxL1u1

R1OwoeGs377yi

RBoGrGEjg3QFk2

Ćwiczenie 5

R3MyBHpRqze9H2

Ćwiczenie 6

RPk0efoC2A9Wg3

Ćwiczenie 7

R12hMfRlAlAZV3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

R1GmzgPBAZqxN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionowa od minus 1 do pięciu oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Funkcja ma postać paraboli odbitej względem osi X w miejscach zerowych równych -1,5;0 oraz 1,5;0. Wierzchołek paraboli znajduję się w punkcie 0;4.

RUKh4xzDZSBrv

Ćwiczenie 10

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

RDKle5gXKGOe4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 3 do dwóch oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim dwie hiperbole przecinające oś X w miejscach minus 1 oraz jeden. Asymptota pozioma jest równa jeden.

RCqpAG8CvzaHT

RBhilIraMOfrl1

Ćwiczenie 11

R1Loo0bdUvzIj2

Ćwiczenie 12

RMb69KdKSTWp62

Ćwiczenie 13

RYb6A39GzXxFC2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

R1HxkDiQ5lPxA

RhuOFvzGp5ZWM

Połącz w pary wzory funkcji z odpowiadającymi im opisami. y, równa się, dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja jest nieciągła w x, równa się, zero i ma tam granice jednostronne właściwe nierówne sobie., 2. Funkcja ma w x, równa się, zero granicę niewłaściwą., 3. Funkcja jest nieciągła w x, równa się, zero, ale ma tam granicę właściwą., 4. Funkcja jest ciągła w x, równa się, zero. y, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy, przecinek, dla x, mniejszy niż, zero, koniec równania, drugie równanie, jeden, przecinek, dla x, równa się, zero, koniec równania, trzecie równanie, minus, dwa, przecinek, dla x, większy niż, zero, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja jest nieciągła w x, równa się, zero i ma tam granice jednostronne właściwe nierówne sobie., 2. Funkcja ma w x, równa się, zero granicę niewłaściwą., 3. Funkcja jest nieciągła w x, równa się, zero, ale ma tam granicę właściwą., 4. Funkcja jest ciągła w x, równa się, zero. y, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, przecinek, dla x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, koniec równania, drugie równanie, dwa, przecinek, dla x, równa się, zero, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja jest nieciągła w x, równa się, zero i ma tam granice jednostronne właściwe nierówne sobie., 2. Funkcja ma w x, równa się, zero granicę niewłaściwą., 3. Funkcja jest nieciągła w x, równa się, zero, ale ma tam granicę właściwą., 4. Funkcja jest ciągła w x, równa się, zero. y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja jest nieciągła w x, równa się, zero i ma tam granice jednostronne właściwe nierówne sobie., 2. Funkcja ma w x, równa się, zero granicę niewłaściwą., 3. Funkcja jest nieciągła w x, równa się, zero, ale ma tam granicę właściwą., 4. Funkcja jest ciągła w x, równa się, zero.

R1D1PGbMV5nTu3

Ćwiczenie 16

Słownik

granica właściwa

granica funkcji w punkcie, która jest liczbą rzeczywistą

granica niewłaściwa

granica funkcji w punkcie, która jest nieskończona ( $- \infty$ lub $+ \infty$ )

3. Granica jednostronna funkcji w punkcie

5. Granica funkcji w nieskończoności

4. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

Słownik