2. Równania trygonometryczne, cz. 1

RoEgGVFziywqr

Wiesz już jak rozwiązywać proste równania typu $\sin x = a$ , $\cos x = a$ , $tg x = a$ gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą. Na tej lekcji dowiesz się, jak sprowadzić bardziej skomplikowane równania do jednej z tych postaci z wykorzystaniem tożsamości $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ oraz $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Twoje cele

Nauczysz się sprowadzać równania do jednej z postaci: $\sin x = a$ , $\cos x = a$ , $tg x = a$ .
Dowiesz się, jak wykorzystać podstawowe tożsamości trygonometryczne do rozwiązywania równań.

Nauczyliśmy się rozwiązywać równania postaci $\sin x = a$ , gdzie $a$ jest pewną liczbą rzeczywistą. W tej lekcji każde równanie, o ile to tylko możliwe, będziemy starali się sprowadzić do równania postaci $\sin x = a$ .

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $\frac{\sin x}{\sin x + 1} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zauważmy, że musimy założyć, że $\sin x \neq - 1$ .

Warunek ten zachodzi, gdy $x \neq - \frac{π}{2} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Szukamy rozwiązań równania: $\sin x = 0$ .

Są nimi następujące liczby: $x = π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem po uwzględnieniu założeń, otrzymujemy odpowiedź:

$x = π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie: $2 \sin x + \cos^{2} x = 2 - \sin^{2} x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zauważmy, że możemy wykorzystać tożsamość trygonometryczną $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ do zmiany postaci równania:

$2 \sin x + \cos^{2} x + \sin^{2} x - 2 = 0$ ,

$2 \sin x + 1 - 2 = 0$ ,

$2 \sin x - 1 = 0$ .

Powstaje równanie, które umiemy już rozwiązać:

$\sin x = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązaniami są: $x = \frac{π}{6} + 2 π k, x = \frac{5 π}{6} + 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Każde równanie, o ile to możliwe, staramy się sprowadzić do równania z jedną tylko funkcją trygonometryczną.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie: $4 \sin^{3} x = \sin x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę:

$4 \sin^{3} x - \sin x = 0$

i zapiszmy wyrażenie po lewej stronie w postaci iloczynowejpostać iloczynowa równaniapostaci iloczynowej:

$\sin x (4 \sin^{2} x - 1) = 0$

$\sin x (2 \sin x + 1) (2 \sin x - 1) = 0$ .

Iloczyn wyrażeń jest równy 0 wtedy, gdy jedno z wyrażeń przyjmuje wartość 0:

$\sin x = 0$ lub $\sin x = - \frac{1}{2}$ lub $\sin x = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązaniami są:

$x = π k$ lub $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π$ lub $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Powyższe rozwiązania można zapisać w skróconej wersji $x = π k$ lub $x = \pm \frac{π}{6} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Każde równanie, o ile to możliwe, próbujemy sprowadzić do postaci iloczynowej.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie: $4 \sin^{2} x + 2 (\sqrt{3} - 1) \sin x - \sqrt{3} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zauważmy, że możemy podstawić $t = \sin x$ . Wówczas równanie przyjmuje postać równania kwadratowego:

$4 t^{2} + 2 (\sqrt{3} - 1) t - \sqrt{3} = 0$ .

Stosujemy zatem metodę rozwiązywania równań kwadratowych:

$Δ = 4 (\sqrt{3} - 1)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 16 + 8 \sqrt{3} = 4 (\sqrt{3} + 1)^{2}$

i obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$t = \frac{- 2 (\sqrt{3} - 1) + 2 (\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{1}{2}$

lub

$t = \frac{- 2 (\sqrt{3} - 1) - 2 (\sqrt{3} + 1)}{8} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Rozwiążemy ostatecznie równanie ze zmienną $x$ :

$\sin x = \frac{1}{2}$ lub $\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Rozwiązaniami są:

$x = \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ lub $x = \frac{5 π}{3} + 2 k π$ lub $x = \frac{4 π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie: $2 (\cos^{4} x - \sin^{4} x) = 1$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$2 (\cos^{2} x - \sin^{2} x) (\cos^{2} x + \sin^{2} x) = 1$ .

Wykorzystujemy jedynkę trygonometryczną:

$2 (\cos^{2} x - \sin^{2} x) = 1$ .

Sprowadzamy równanie do wartości jednej funkcji trygonometrycznej; w tym przypadku jest to funkcja $\sin x$ :

$2 (1 - 2 \sin^{2} x) = 1$

$2 \sin^{2} x = \frac{1}{2}$

$\sin^{2} x = \frac{1}{4}$

Otrzymujemy:

$\sin x = \frac{1}{2}$ lub $\sin x = - \frac{1}{2}$ .

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ lub $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Cztery zbiory rozwiązań możemy łatwo zapisać jako dwa zbiory: $x = - \frac{π}{6} + k π$ lub $x = \frac{π}{6} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

W tym równaniu pojawia się pewna trudność: występuje $\cos x$ , w miejsce którego trudno wprowadzić wyrażenie $\sin x$ .

Zbudujemy wobec tego układ równań:

$\{\begin{cases} \sin x + \cos x = \sqrt{2}, \\ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 . \end{cases}$

Obliczając $\cos x$ z pierwszego równania i podstawiając do drugiego otrzymujemy:

$\sin^{2} x + {(\sqrt{2} - \sin x)}^{2} = 1$ ,

a stąd dostajemy:

$2 \sin^{2} x - 2 \sqrt{2} \sin x + 1 = 0$ .

Możemy podstawić $t = \sin x$ . Wówczas równania przyjmuje postać równania kwadratowego:

$2 t^{2} - 2 \sqrt{2} t + 1 = 0$ .

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = (2 \sqrt{2})^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 0$ .

Zatem jedynym rozwiązaniem równania kwadratowego jest $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Otrzymujemy stąd: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Jednak to nie jest ostateczne rozwiązanie. Zwracamy uwagę na to, że $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$ , a zatem także musi zachodzić równanie $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Rozwiązując równanie $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\sin (\frac{π}{2} - x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ otrzymujemy odpowiedź:

$x = \frac{π}{4} + 2 k π$ lub $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ lub $x = - \frac{π}{4} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Polecenie 1

Uważnie zapoznaj się z prezentacją, a następnie wykonaj polecenia.

R1OBspNcCmkXQ

Rozwiążemy równanie: $\sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x = 1$ . Ponieważ zbiorem wartości funkcji sinus jest przedział obustronnie domknięty od minus jeden do jeden, zatem iloczyn funkcji sinus x, sinus 2 x, sinus 3 x przyjmuje wartość co najwyżej jeden. Możliwe są następujące cztery przypadki.

Przypadek pierwszy

$\sin x = 1$ , $\sin 2 x = 1$ , $\sin 3 x = 1$ .

Przypadek drugi

$\sin x = 1$ , $\sin 2 x = - 1$ , $\sin 3 x = - 1$ .

Przypadek trzeci

$\sin x = - 1$ , $\sin 2 x = 1$ , $\sin 3 x = - 1$ .

Przypadek czwarty

$\sin x = - 1$ , $\sin 2 x = - 1$ , $\sin 3 x = 1$ .

Ilustracja przedstawiająca wszystkie trzy wykresy funkcji w układzie współrzędnych, to jest funkcji sinus x, sinus 2 x, sinus 3 x, pokazuje, że wykresy tych funkcji nie mają punktów wspólnych, czyli nasze równanie nie ma rozwiązania. Wykres funkcji sinus x jest znany i ma on okres równy 2 pi. Wykres funkcji sinus 2 x jest ściśniętym w pionie wykresem funkcji sinus x i ma on okres równy pi. Wykres funkcji sinus 3 x jest jeszcze bardziej ściśniętym w pionie wykresem funkcji sinus x i ma on okres równy dwie trzecie pi. Udowodnimy, że równanie nie ma rozwiązania.

Przypadek pierwszy

$\sin x = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 2 x = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 3 x = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\sin x = 1$ , $\sin 2 x = 1$ , $\sin 3 x = 1$ .

Przypadek drugi

$\sin x = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 2 x = - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 3 x = - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\sin x = 1$ , $\sin 2 x = - 1$ , $\sin 3 x = - 1$ .

Przypadek trzeci

$\sin x = - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 2 x = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 3 x = - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\sin x = - 1$ , $\sin 2 x = 1$ , $\sin 3 x = - 1$ .

Przypadek czwarty

$\sin x = - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi drugich dodać 2 k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 2 x = - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się minus pi czwartych dodać k pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. $\sin 3 x = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy x równa się pi szóstych dodać 4 k pi podzielić na 6, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: $\sin x = - 1$ , $\sin 2 x = - 1$ , $\sin 3 x = 1$ .

Równanie $\sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x = 1$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Wykres funkcji $y = \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x$ jest nieregularną falą w okresie równym pi i nie osiąga wartości jeden.

Polecenie 2

RYBYo1eb20QZt

Polecenie 3

Rozwiąż równanie: $\sin 2 x \cdot \sin 4 x \cdot \sin 8 x = 1$ .

Z zadania przedstawionego w prezentacji wynika, że funkcje $y = \sin x$ i $y = \sin 2 x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości 1 lub -1, zatem zbiorem rozwiązań równania $\sin 2 x \cdot \sin 4 x \cdot \sin 8 x = 1$ jest zbiór pusty.

Poniżej każde równanie, o ile to tylko możliwe, będziemy starali się sprowadzić do równania postaci $\cos x = a$ .

Przykład 7

Rozwiążemy równanie $\frac{tg x}{\cos x - 1} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Wykorzystamy tożsamość $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , zakładając jednocześnie, że $\cos x \neq 0$ .
Wówczas równanie z zadania przyjmuje postać: $\frac{\sin x}{\cos x (\cos x - 1)} = 0$ .
Zapiszmy założenia: $\cos x \neq 0$ i $\cos x \neq 1$ , czyli $x \neq \frac{π}{2} + k π$ i $x \neq 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Rozwiązaniami równania są liczby spełniające założenia oraz warunek: $\sin x = 0$ .
Otrzymujemy zatem $x = π k$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ i $x \neq 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź:

$x = π + 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 8

Rozwiążemy równanie: $\frac{1 + \cos 2 x}{\cos x} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Równanie $\frac{1 + \cos 2 x}{\cos x} = 0$ jest równoważne koniunkcji warunków: $\cos 2 x = - 1$ i $\cos x \neq 0$ .

Otrzymujemy zatem:

$2 x = π + 2 k π$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź:

$x = \frac{π}{2} + k π$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Zatem nie istnieją liczby $x$ spełniające równanie.

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $1 - \sin x \cdot \cos x + \sin x - \cos x = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Będziemy postępować tak, aby uzyskać postać iloczynupostać iloczynowa równaniapostać iloczynu dwóch wyrażeń:
$1 + \sin x - (\sin x \cdot \cos x + \cos x) = 0$
$1 + \sin x - \cos x (\sin x + 1) = 0$
$(\sin x + 1) (1 - \cos x) = 0$
Stąd dostajemy warunki: $\sin x = - 1$ lub $\cos x = 1$ .

Odpowiedź:

$x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ lub $x = 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

W następnym przykładzie wykorzystamy metodę podstawiania.

Przykład 10

Rozwiążemy równanie $2 \cos^{2} (3 x) - 5 \cos (3 x) + 2 = 0$

Rozwiązanie:

Zauważmy, że równanie przypomina równanie kwadratowe. Wobec tego wprowadźmy nową zmienną: $t = \cos (3 x)$ .
Równanie przyjmuje postać: $2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ .
Obliczamy $Δ = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$ .
Pierwiastki równania są równe: $t_{1} = 2, t_{2} = \frac{1}{2}$ .
Wracamy do zmiennej $x$ :
$\cos 3 x = 2$ lub $\cos 3 x = \frac{1}{2}$ .
Równanie $\cos 3 x = 2$ jest sprzeczne, a równanie $\cos 3 x = \frac{1}{2}$ ma rozwiązania:
$3 x = \frac{π}{3} + 2 k π$ lub $3 x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź:

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 k π}{3}$ lub $x = - \frac{π}{9} + \frac{2 k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 11

W zależności od wartości parametru $m$ rozwiąż równanie: $\cos (m + x) - \cos (m - x) = 0$ .

Rozwiązanie:

Rozwiązaniem są: $m + x = m - x + 2 k π$ lub $m + x = - m + x + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Otrzymujemy zatem równania: $x = k π$ lub $m = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Teraz kluczowa jest interpretacja wyniku.

Jeżeli $m \neq k π$ , to $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $m = k π$ , $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Przykład 12

Rozwiążmy układ równań: $\{\begin{cases} \cos x + \cos y = 0 \\ x - y = \frac{4 π}{3} \end{cases}$

Rozwiązanie:

Wyliczmy $x$ z równania drugiego $x = y + \frac{4 π}{3}$ i podstawmy do równania pierwszego:
$\cos (y + \frac{4 π}{3}) + \cos y = 0$ . Zapiszmy równanie w postaci:
$\cos (y + \frac{4 π}{3}) = - \cos y$ ,
Co możemy zapisać jako:
$\cos (y + \frac{4 π}{3}) = \cos (π - y)$ .
Wówczas:
$y + \frac{4 π}{3} = π - y + 2 k π$ lub $y + \frac{4 π}{3} = - π + y + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Drugie równanie jest sprzeczne, natomiast pierwsze równanie daje rozwiązanie
$y = - \frac{π}{6} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Zatem rozwiązaniem układu jest para liczb.

Odpowiedź:

$\{\begin{cases} x = \frac{π}{6} + (k + 1) π \\ y = - \frac{π}{6} + k π \end{cases}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 13

Rozwiążemy równanie $\cos^{2} x - \cos x = x^{2} + 2 x + 3$ w liczbach rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Zwróćmy uwagę na to, że mamy do porównania dwie funkcje: trygonometryczną i kwadratową. Nie istnieje ogólny sposób rozwiązywania takich równań. Ale w szczególnych przypadkach możemy rozwiązać to równanie korzystając z porównania zbiorów wartości funkcji $y = \cos^{2} x - \cos x$ i $y = x^{2} + 2 x + 3$ .
Zauważmy, że funkcję kwadratową $y = x^{2} + 2 x + 3$ można przedstawić w postaci $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ , a zatem jej zbiorem wartości jest zbiór $⟨ 2, + \infty)$ . Wartość najmniejszą 2 funkcja przyjmuje dla $x = - 1$ .
Wprowadźmy oznaczenie: $t = \cos x$ , gdzie $t \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ . Wówczas funkcja $y = \cos^{2} x - \cos x$ przyjmuje postać funkcji kwadratowej $y = t^{2} - t$ , której dziedziną jest przedział: $⟨ - 1, 1 ⟩$ . Wówczas zbiór wartości tej funkcji to $⟨ - \frac{1}{4}, 2 ⟩$ . Wartość największą 2 funkcja przyjmuje dla $t = - 1$ , czyli dla $\cos x = - 1$ .

Zatem równanie $\cos^{2} x - \cos x = x^{2} + 2 x + 3$ ma rozwiązanie dla $x$ spełniającego warunki: $x = - 1$ i $\cos x = - 1$ .

Odpowiedź:

Taki $x$ nie istnieje.

Polecenie 4

Zapoznaj się z prezentacją, a następnie wykonaj polecenia.

Rozwiążemy równanie: $\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x = - 1$ .

R1dviCQ5c585b

Polecenie 5

R67Toqlx4vFUu

Polecenie 6

Rozwiąż równanie: $\cos 2 x \cdot \cos 4 x \cdot \cos 6 x = - 1$ .

Z zadania przedstawionego w prezentacji wynika, że równanie $\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x = - 1$ nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Zatem równanie $\cos 2 x \cdot \cos 4 x \cdot \cos 6 x = - 1$ także nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Poniżej każde równanie, o ile to tylko możliwe, będziemy starali się sprowadzić do równania postaci $tg x = a$ .

Przypomnijmy jeszcze, jak będziemy rozwiązywać równania typu $tg x = a$ .

o rozwiązywaniu równania

tg x = a

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania

tg x = a

Algorytm szukania rozwiązań równania $tg x = a$ :

Znajdujemy jedno rozwiązanie $x_{0}$ takie, że $tg x_{0} = a$ . Zapisujemy wszystkie rozwiązaania równania $tg x = a$ : $x = x_{0} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przedstawmy kilka charakterystycznych przykładów równań trygonometrycznych.

Przykład 14

Rozwiążemy równanie: $\frac{tg x}{\cos x - 1} = 0$ .

Rozwiązanie:

Zapiszmy założenia: $\cos x \neq 1$ , $\cos x \neq 0$ .

Zatem: $x \neq 2 k π$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Aby lewa strona równania była równa $0$ , licznik musi być równy $0$ :

$tg x = 0$ , gdy $x = π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Po uwzględnieniu założeń otrzymujemy odpowiedź: $x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 15

Rozwiążemy równanie: $\sin x = \cos x$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że funkcje $y = \sin x$ i $y = \cos x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości $0$ . Zatem w tym równaniu $\sin x \neq 0$ i $\cos x \neq 0$ .

Wobec tego możemy równanie $\sin x = \cos x$ podzielić stronami przez $\cos x$ . Otrzymujemy wówczas równoważne mu równanie:

$tg x = 1$ .

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $x = \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 16

Rozwiążemy równanie: $\sin 2 x \cos 3 x + \sin 3 x \cos 2 x = 0$ .

Rozwiązanie:

Zapiszmy równanie w postaci równoważnej: $\sin 2 x \cos 3 x = - \sin 3 x \cos 2 x$ .

Zauważmy, że funkcje $y = \sin x$ i $y = \cos x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości $0$ . Zatem w tym równaniu nie może zdarzyć się, aby jednocześnie $\sin 2 x = 0$ i $\cos 2 x = 0$ oraz nie może zdarzyć się, aby jednocześnie $\sin 3 x = 0$ i $\cos 3 x = 0$ . Sprawdźmy przypadek, gdy jednocześnie $\cos 2 x = 0$ i $\cos 3 x = 0$ .

Wówczas $\cos 2 x = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2 x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

$\cos 3 x = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $3 x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Zatem $x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$

Okazuje się, że warunki $\cos 2 x = 0$ i $\cos 3 x = 0$ nie mogą zajść jednocześnie. Możemy wobec tego przyjąć, że $\cos 2 x \neq 0$ i $\cos 3 x \neq 0$ .

Podzielmy stronami równanie $\sin 2 x \cos 3 x = - \sin 3 x \cos 2 x$ przez wyrażenie: $\cos 2 x \cos 3 x$ .

Otrzymujemy: $tg 2 x = - tg 3 x$ , czyli na podstawie nieparzystości funkcji tangens $tg 2 x = tg (- 3 x)$ .

Korzystając z metody porównywania dla równań z tangensemmetody porównywania dla równań z tangensem zapiszemy rozwiązania:

$2 x = - 3 x + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ ,

czyli

$5 x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź: $x = \frac{k π}{5}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 17

Rozwiążemy równanie: $\sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = 0$ .

Rozwiązanie:

Rozważmy przypadek, gdy $\cos x = 0$ . Wóczas równanie ma postać $\sin^{2} x = 0$ , czyli $\sin x = 0$ .

Zauważmy, że funkcje $y = \sin x$ i $y = \cos x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości $0$ , czyli te argumenty $x$ , dla których $\cos x = 0$ nie spełniają równania.

Zatem możemy przyjąć, że $\cos x \neq 0$ i równanie $\sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = 0$ możemy podzielić stronami przez $\cos^{2} x$ . Otrzymujemy wówczas równanie postaci:

${tg}^{2} x - (\sqrt{3} + 1) tg x + \sqrt{3} = 0 .$

Podstawmy: $t = tg x$ .

Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^{2} - (\sqrt{3} + 1) t + \sqrt{3} = 0$ .

Obliczamy:

$Δ = (- (\sqrt{3} + 1))^{2} - 4 \sqrt{3} = 4 + 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^{2}$ .

Wobec tego: $\sqrt{Δ} = \sqrt{3} - 1$ .

Rozwiązaniami równania $t^{2} - (\sqrt{3} + 1) t + \sqrt{3} = 0$ są:

$t = \sqrt{3}$ lub $t = 1$ ,

czyli: $tg x = \sqrt{3}$ lub $tg x = 1$ .

Rozwiązaniami równania $\sin^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x = 0$ są zatem

$x = \frac{π}{3} + k π$ lub $x = \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

bg‑violet

Zwróćmy uwagę na to, że w przykładzie 3 i 4 zastosowaliśmy technikę sprowadzenia równania przez podzielenie przez $\cos x$ lub $\cos^{2} x$ do postaci równania z funkcją tangens. To dosyć częsty motyw w zadaniach, w których występują tylko funkcje sinus i cosinus. Jednakże należy zawsze pamiętać o rozważeniu przypadku: $\cos x = 0$ .

Polecenie 7

Zapoznaj się z poniższym filmem, a następnie wykonaj kolejne polecenia.

R12BcrFpf7OI3

Polecenie 8

RaWTIJHhVH7Xi

Polecenie 9

Rozwiąż równanie: ${tg}^{3} x + 4 {tg}^{2} x + 7 tg x + 4 = 0$ .

Podstawmy: $t = tg x$ . Wówczas otrzymujemy równanie wielomianowe:

$t^{3} + 4 t^{2} + 7 t + 4 = 0$ .

Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, pierwiastkami wymiernymi tego równania mogą być tylko: $1, - 1, 2, - 2, 4, - 4$ . Po sprawdzeniu okazuje się, że pierwiastkiem jest $- 1$ .

Zatem równanie $t^{3} + 4 t^{2} + 7 t + 4 = 0$ możemy zapisać w postaci: $(t + 1) (t^{2} + 3 t + 4) = 0$ .

Równanie $t^{2} + 3 t + 4 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż $Δ = - 7 < 0$ .

Zatem jedynym rozwiązaniem równania $t^{3} + 4 t^{2} + 7 t + 4 = 0$ jest $t = - 1$ , czyli rozwiązaniem równania ${tg}^{3} x + 4 {tg}^{2} x + 7 tg x + 4 = 0$ są takie liczby $x$ , że $tg x = - 1$ .

Odpowiedź: $x = - \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

W tym materiale omówimy równania trygonometryczne, które przez odpowiednie podstawienie możemy sprowadzić do równania kwadratowego.

Na początek rozpoczniemy od przykładu, w którym odpowiednie podstawienie jest dobrze widoczne i naturalne.

Przykład 18

Obliczymy wartość $\sin x$ , jeżeli wiemy, że $6 \sin^{2} x - \sin x - 2 = 0$ .

Rozwiązanie

Zróbmy podstawienie: $t = \sin x$ .

Wówczas równanie $6 \sin^{2} x - \sin x - 2 = 0$ przyjmuje postać równania kwadratowego:

$6 t^{2} - t - 2 = 0$ .

Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Obliczmy:

$Δ = 1 - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 49$

$t = \frac{1 - 7}{12}$ lub $t = \frac{1 + 7}{12}$

$t = - \frac{1}{2}$ lub $t = \frac{2}{3}$ .

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $\sin x = - \frac{1}{2}$ lub $\sin x = \frac{2}{3}$ .

Przykład 19

Rozwiążemy równanie $2 \cos^{2} (\frac{π}{2} - x) = 3 \sin (1, 5 π + x)$ .

Rozwiązanie

Najpierw skorzystamy ze wzorów redukcyjnych:

$\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ oraz $\sin (1, 5 π + x) = - \cos x$

i otrzymamy równanie:

$2 \sin^{2} x = - 3 \cos x$ .

Wykorzystamy jedynkę trygonometrycznąjedynka trygonometrycznajedynkę trygonometryczną:

$2 (1 - \cos^{2} x) + 3 \cos x = 0$ .

W równaniu $2 \cos^{2} x - 3 \cos x - 2 = 0$ podstawiamy $t = \cos x$ i otrzymujemy równanie kwadratowe: $2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ .

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = 25$

$t = 2$ lub $t = - \frac{1}{2}$ .

Stąd otrzymujemy alternatywę równań trygonometrycznych:

$\cos x = 2$ lub $\cos x = - \frac{1}{2}$ .

Równanie $\cos x = 2$ jest sprzeczne, gdyż zbiorem wartości funkcji cosinus jest przedział $⟨- 1, 1⟩$ .

Rozwiązaniami równania $\cos x = - \frac{1}{2}$ są liczby:

$x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ lub $x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 20

Obliczymy wartość $\cos x$ , jeżeli $\sin x - 2 \cos x = 1$ .

Rozwiązanie

Stwórzmy układ równań, wykorzystując jedynkę trygonometrycznąjedynka trygonometrycznajedynkę trygonometryczną:

$\{\begin{cases} \sin x - 2 \cos x = 1 \\ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \end{cases}$ .

Z pierwszego równania wyliczmy $\sin x$ :

$\sin x = 1 + 2 \cos x$

i podstawmy do jedynki trygonometrycznej

${(1 + 2 \cos x)}^{2} + \cos^{2} x = 1$ .

Stąd otrzymujemy:

$1 + 4 \cos x + 4 \cos^{2} x + \cos^{2} x = 1$

$5 \cos^{2} x + 4 \cos x = 0$

$\cos x (5 \cos x + 4) = 0$ .

A zatem odpowiedź jest następująca: $\cos x = 0$ lub $\cos = - \frac{4}{5}$ .

Przykład 21

Obliczymy wartość $tg x$ , jeżeli $12 {tg}^{2} x - 5 tg x - 3 = 0$ .

Rozwiązanie

Zróbmy podstawienie: $t = tg x$ . Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe:

$12 t^{2} - 5 t - 3 = 0$ .

Rozwiążmy je:

$Δ = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169$

$t = - \frac{1}{3}$ lub $t = \frac{3}{4}$ .

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $tg x = - \frac{1}{3}$ lub $tg x = \frac{3}{4}$ .

W ostatnim przykładzie zaprezentujemy metodę doprowadzenia równania trygonometrycznego do postaci równania kwadratowego. Doprowadzenie do postaci równania kwadratowego jest najtrudniejszym elementem tego zadania.

Przykład 22

Obliczymy wartość $tg x$ , jeżeli wiadomo, że $2 \cos^{2} x + \sin^{2} x - 3 \sin x \cdot \cos x = 0$ .

Rozwiązanie

Rozważmy przypadek, gdy $\cos x = 0$ . Wówczas równanie ma postać: $\sin^{2} x = 0$ , czyli $\sin x = 0$ .

Zauważmy, że funkcje $y = \sin x$ i $y = \cos x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości $0$ . Czyli liczby $x$ , dla których $\cos x = 0$ , nie spełniają równania.

Zatem równanie $2 \cos^{2} x + \sin^{2} x - 3 \sin x \cdot \cos x = 0$ możemy podzielić stronami przez $\cos^{2} x$ . Otrzymujemy wówczas równanie:

${tg}^{2} x - 3 tg x + 2 = 0$ .

Podstawmy: $t = tg x$ .

Otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^{2} - 3 t + 2 = 0$ .

Obliczamy, że $Δ = 1$ .

Rozwiązaniami równania $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ są

$t = 2$ lub $t = 1$ .

Wracając do podstawienia $t = tg x$ , dostajemy odpowiedź:

$tg x = 1$ lub $tg x = 2$ .

Opisaną w powyższym przykładzie metodę możemy próbować stosować wtedy, gdy występują dwie funkcje: sinus i cosinus oraz każde wyrażenie przy dzieleniu przez potęgę $\cos x$ jako nową zmienną może dać $tg x$ .

Polecenie 10

Zagraj w grę edukacyjną, następnie wykonaj polecenia.

Rozwiąż poniższy test wielokrotnego wyboru.

RNNJGpP0yzdMU

R10KXRTSel8pS

RlrGNyQoj5cUJ

R1SyPPB4G5L0e

RBOys7gYb0M2a1

Polecenie 11

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie

$\cos^{2} x + 4 \cos x + a = 0$

ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych?

Niech funkcja ma wzór: $f (x) = \cos^{2} x + 4 \cos x + a$ . Wzór funkcji przekształćmy do postaci: $f (x) = {(\cos x + 2)}^{2} - 4 + a$ .

Ponieważ funkcja $y = \cos x$ przyjmuje wartości z przedziału $⟨- 1, 1⟩$ , zatem

$1 \leq \cos x + 2 \leq 3$

$1 \leq {(\cos x + 2)}^{2} \leq 9$

$- 3 \leq {(\cos x + 2)}^{2} - 4 \leq 5$

$- 3 + a \leq {(\cos x + 2)}^{2} - 4 + a \leq 5 + a$ .

Aby funkcja $f$ miała miejsca zerowe, muszą zachodzić dwa warunki:

$- 3 + a \leq 0$ i $0 \leq 5 + a$ .

Zatem

$a \leq 3$ i $- 5 \leq a$ . Odpowiedź: $a \in ⟨- 5, 3⟩$ .

Polecenie 12

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie

${tg}^{2} x + 2 (a + 2) tg x - 3 a - 2 = 0$

ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych?

Podstawmy $t = tg x$ w równaniu ${tg}^{2} x + 2 (a + 2) tg x - 3 a - 2 = 0$ . Otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^{2} + 2 (a + 2) t - 3 a - 2 = 0$ .

Ponieważ funkcja tangens przyjmuje każdą wartość rzeczywistą, zatem zmienna $t$ przyjmuje każdą wartość rzeczywistą. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$t^{2} + 2 (a + 2) t - 3 a - 2 = 0$

$Δ = {(2 (a + 2))}^{2} + 4 (3 a + 2) = 4 (a^{2} + 7 a + 6)$ .

Aby równanie kwadratowe miało rozwiązanie musi być spełniony warunek: $Δ \geq 0$ . Zatem

$a^{2} + 7 a + 6 \geq 0$

$Δ_{1} = 49 - 4 \cdot 6 = 25$

$a = - 1$ lub $a = - 6$ .

Zatem nierówność $a^{2} + 7 a + 6 \geq 0$ jest spełniona, gdy $a \in (- \infty, - 6⟩ \cup ⟨- 1, + \infty)$ .

R1P6iEClRbaCi1

Ćwiczenie 1

RSJEzqXCcOT071

Ćwiczenie 2

R1YCsLBBDUuRP2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary równanie i jego zbiór rozwiązań. sinus x, minus, kosinus x, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, PI, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite kosinus x, plus, sinus x, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, PI, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka sinus x, plus, kosinus x, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, PI, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite sinus trzy x, plus, kosinus trzy x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, PI, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite

RCRvW3Y4dgIlM2

Ćwiczenie 4

R1cIKQ9YXf6Gi2

Ćwiczenie 5

RZ9gzdSFEZqhl2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Ile rozwiązań w przedziale $⟨ 0, 2 π ⟩$ ma równanie: $2 \sin 3 x \sin 4 x - 2 \sin 3 x - \sin 4 x + 1 = 0$ ?

Zapiszmy równanie w postaci iloczynowej: $(2 \sin 3 x - 1) (\sin 4 x - 1) = 0$ . Równanie jest równoważne alternatywie równań: $\sin 4 x = 1$ lub $\sin 3 x = \frac{1}{2}$ . Pierwsze równanie ma 4 rozwiązania, a drugie 6 rozwiązań w podanym przedziale.

Równanie $2 \sin 3 x \sin 4 x - 2 \sin 3 x - \sin 4 x + 1 = 0$ w przedziale $⟨ 0, 2 π ⟩$ ma $10$ rozwiązań.

Ćwiczenie 8

Podaj sumę wszystkich rozwiązań równania $4 \sin 4 x \sin 5 x - 2 \sqrt{3} \sin 4 x - 2 \sin 5 x + \sqrt{3} = 0$ w przedziale $⟨ 0, 2 π ⟩$ .

Zapiszmy równanie w postaci iloczynowej: $(2 \sin 4 x - 1) (2 \sin 5 x - \sqrt{3}) = 0$ .

Zatem $2 \sin 4 x - 1 = 0$ lub $2 \sin 5 x - \sqrt{3} = 0$ .

Rozwiązaniami równania $2 \sin 4 x - 1 = 0$ są: $x = \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}$ lub $x = \frac{5 π}{24} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązaniami równania $2 \sin 5 x - \sqrt{3} = 0$ są: $x = \frac{2 π}{15} + \frac{2 k π}{5}$ lub $x = \frac{π}{15} + \frac{2 k π}{5}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem w przedziale $⟨ 0, 2 π ⟩$ suma rozwiązań jest równa:

$\frac{π}{24} + \frac{13 π}{24} + \frac{25 π}{24} + \frac{37 π}{24} + \frac{5 π}{24} + \frac{17 π}{24} + \frac{29 π}{24} + \frac{41 π}{24} +$

$+ \frac{π}{15} + \frac{7 π}{15} + \frac{13 π}{15} + \frac{19 π}{15} + \frac{25 π}{15} + \frac{2 π}{15} + \frac{8 π}{15} + \frac{14 π}{15} + \frac{20 π}{15} + \frac{26 π}{15} = 16 π$ .

RYrkWahyLwPkP1

Ćwiczenie 9

R1clFaSMbOqYj1

Ćwiczenie 10

Rhtz1oyJACJaS21

Ćwiczenie 11

Połącz w pary: równanie i jego rozwiązania. dwa kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, trzy kosinus x, minus, dwa, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, należy do, zbiór pusty dwa kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, nawias cztery, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu kosinus x, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, należy do, zbiór pusty dwa kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, nawias dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu kosinus x, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, należy do, zbiór pusty dwa kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, siedem kosinus x, plus, sześć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 2. x, równa się, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 3. x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite, 4. x, należy do, zbiór pusty

RFbvsDUyqvLm72

Ćwiczenie 12

R5KIVN1ImXOX32

Ćwiczenie 13

RSuXNceRS8trx2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Ile rozwiązań ma $12 \cos 3 x \cos 4 x + 1 = 3 \cos 3 x + 4 \cos 4 x$ w przedziale $⟨ 0, 2 π ⟩$ .

Zapiszmy równanie w postaci $(3 \cos 3 x - 1) (4 \cos 4 x - 1) = 0$

$\cos 3 x = \frac{1}{3}$ lub $\cos 4 x = \frac{1}{4}$ .

Pierwsze równanie ma $6$ rozwiązań, a drugie $8$ w podanym przedziale, więc łącznie $14$ .

Ćwiczenie 16

Rozwiąż równanie $\cos π x = x^{2} - 4 x + 5$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że funkcję kwadratową $y = x^{2} - 4 x + 5$ można przedstawić w postaci $y = (x - 2)^{2} + 1$ , a zatem jej zbiorem wartości jest zbiór $⟨ 1, + \infty)$ . Wartość 1 funkcja przyjmuje dla $x = 2$ .

Funkcja $y = \cos π x$ przyjmuje wartości z przedziału $⟨ - 1, 1 ⟩$ .

Aby równanie $\cos π x = x^{2} - 4 x + 5$ miało rozwiązanie, to $\cos π x$ musi być równe $1$ i funkcja $y = (x - 2)^{2} + 1$ musi przyjąć wartość $1$ . Zatem $π x = 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , oraz $x = 2$ .

Jedynym rozwiązaniem równania jest $x = 2$ .

R8WCAsKYQRSvt1

Ćwiczenie 17

R1AyJRk19lBUL1

Ćwiczenie 18

Rws9KT1KxxbKs2

Ćwiczenie 19

R17BzySPaYTgA2

Ćwiczenie 20

RJObPASlXGxxn2

Ćwiczenie 21

RjQND3IPo1BlA2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Rozwiąż równanie: ${tg}^{4} 3 x + {tg}^{2} 3 x - 12 = 0$ .

Zapiszmy założenia: $\cos 3 x \neq 0$ , czyli $x \neq \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wprowadźmy podstawienie: $t = {tg}^{2} 3 x$ . Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^{2} + t - 12 = 0$ .

Rozwiązujemy je:

$Δ = 1 - 4 \cdot (- 12) = 49$

$t = 3$ lub $t = - 4$ .

Wracamy do zmiennej $x$ :

${tg}^{2} 3 x = 3$ lub ${tg}^{2} 3 x = - 4$ .

Drugie równanie jest sprzeczne, zatem rozwiązujemy pierwsze z równań:

$tg 3 x = \sqrt{3}$ lub $tg 3 x = - \sqrt{3}$ .

Otrzymujemy wówczas:

$3 x = \frac{π}{3} + k π$ lub $3 x = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Po uwzględnieniu założeń dostajemy odpowiedź:

$x = \frac{π}{9} + \frac{k π}{3}$ lub $x = - \frac{π}{9} + \frac{k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ćwiczenie 24

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie

$| 7 tg (3 x - 1) | = - a^{2} + 6 a - 8$

ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

Zauważmy, że funkcja $y = | 7 tg (3 x - 1) |$ przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru $⟨ 0, + \infty)$ .

Zatem równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $- a^{2} + 6 a - 8 \geq 0$ .

Poszukajmy pierwiastków równania $- a^{2} + 6 a - 8 = 0$ :

$Δ = 36 - 4 \cdot 8 = 4$ ,

$a = 2$ lub $a = 4$ .

W tej sytuacji rozwiązaniem nierówności $- a^{2} + 6 a - 8 \geq 0$ jest przedział $⟨ 2, 4 ⟩$ .

R1163kfBqhVSB1

Ćwiczenie 25

RCmCYeTuT2ICq1

Ćwiczenie 26

RL2IORfWq1QAx1

Ćwiczenie 27

R3HW2ZAy3VqsN2

Ćwiczenie 28

Połącz w pary równanie, które mają równe zbiory rozwiązań. trzy kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, pięć kosinus x, minus, dwa, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. sześć sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, pięć sinus x, minus, sześć, równa się, zero, 2. trzy sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, równa się, zero, 3. trzy kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, siedem kosinus x, plus, dwa, równa się, zero, 4. dwa sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, jedenaście sinus x, plus, dwanaście, równa się, zero kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, pięć kosinus x, plus, sześć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. sześć sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, pięć sinus x, minus, sześć, równa się, zero, 2. trzy sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, równa się, zero, 3. trzy kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, siedem kosinus x, plus, dwa, równa się, zero, 4. dwa sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, jedenaście sinus x, plus, dwanaście, równa się, zero cztery kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, trzy, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. sześć sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, pięć sinus x, minus, sześć, równa się, zero, 2. trzy sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, równa się, zero, 3. trzy kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, siedem kosinus x, plus, dwa, równa się, zero, 4. dwa sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, jedenaście sinus x, plus, dwanaście, równa się, zero trzy sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, cztery sinus x, minus, cztery, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. sześć sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, plus, pięć sinus x, minus, sześć, równa się, zero, 2. trzy sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, równa się, zero, 3. trzy kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, siedem kosinus x, plus, dwa, równa się, zero, 4. dwa sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, jedenaście sinus x, plus, dwanaście, równa się, zero

Rpt3C2pJ5sIfd2

Ćwiczenie 29

R1FbJ6J5dld6z2

Ćwiczenie 30

Ćwiczenie 31

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie ${tg}^{2} x + a tg x - a - 1 = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ .

Przekształćmy równanie

${tg}^{2} x + a tg x - a - 1 = 0$

do postaci:

${tg}^{2} x - 1 + a tg x - a = 0$

$(tg x - 1) (tg x + 1) + a (tg x - 1) = 0$

$(tg x - 1) (tg x + 1 + a) = 0$ .

Ostatnie równanie jest równoważne alternatywie równań:

$tg x - 1 = 0$ lub $tg x + 1 + a = 0$ .

Równanie $tg x - 1 = 0$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ nie ma rozwiązań.

Równanie $tg x + 1 + a = 0$ ma rozwiązania w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ tylko wtedy, gdy $- 1 - a < 0$ .

Odpowiedź: Równanie ${tg}^{2} x + a tg x - a - 1 = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $- 1 < a$ .

Ćwiczenie 32

Oblicz wartość $tg x$ , jeżeli wiadomo, że $6 \sin^{2} x + \sin x \cdot \cos x - \cos^{2} x = 2$ .

Korzystając z jedynki trygonometrycznej zmieniamy postać równania:

$6 \sin^{2} x + \sin x \cdot \cos x - \cos^{2} x - 2 \cos^{2} x - 2 \sin^{2} x = 0$ .

Stąd dostajemy:

$4 \sin^{2} x + \sin x \cdot \cos x - 3 \cos^{2} x = 0$ .

Ponieważ $\cos x \neq 0$ , dzielimy równanie stronami przez $\cos^{2} x$ i otrzymujemy równanie ze zmienną $tg x$ :

$4 {tg}^{2} x + tg x - 3 = 0$ .

Podstawiamy: $t = tg x$ .

Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe:

$4 t^{2} + t - 3 = 0$ .

Obliczamy: $Δ = 49$

Rozwiązaniami równania $4 t^{2} + t - 3 = 0$ są

$t = - 1$ lub $t = \frac{3}{4}$ .

Zatem

$tg x = - 1$ lub $tg x = \frac{3}{4}$ .

Słownik

postać iloczynowa równania

to taka postać równania, gdy po jednej stronie równania występuje $0$ , a po drugiej iloczyn kilku czynników; dzięki takiej postaci równanie jest równoważne alternatywie kilku równań

metoda porównywania dla równań z tangensem

równanie $tg x = tg y$ jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x = y + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

jedynka trygonometryczna

tożsamość trygonometryczna: dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$

1. Równania trygonometryczne - wprowadzenie

3. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy

2. Równania trygonometryczne, cz. 1

Słownik