3. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy - M_R_W20_M2 Równania i nierówności trygonometryczne

R1aDrXLJXpZpK

3. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

Do tej pory obliczaliśmy wartości funkcji trygonometrycznych dla konkretnego argumentu. W tej lekcji przedstawimy w jaki sposób zapisać funkcje trygonometryczne sumy argumentów $x$ i $y$ za pomocą funkcji trygonometrycznych tych argumentów. Wykorzystamy wzory redukcyjne oraz okresowość funkcji trygonometrycznych.

Twoje cele

Zapoznasz się ze wzorami na wartości funkcji trygonometrycznych sumy i różnicy argumentów.
Wykorzystasz poznane wzory do wykonywania obliczeń.
Dowiesz się, jak wyznaczać zbiór wartości funkcji trygonometrycznej postaci: $f (x) = a \sin x + b \cos x$ .
Nauczysz się stosować wzory na sinus, cosinus i tangens sumy oraz różnicy argumentów do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych.

Podstawowym wzorem, z którego będziemy korzystać w tej lekcji, to wzór na sinus sumysinus sumysinus sumy argumentów:

sinus sumy argumentów

Twierdzenie: sinus sumy argumentów

$\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$ .

Przedstawimy sposób wykorzystania tego wzoru:

Przykład 1

Obliczymy $\sin 6 ° \cos 24 ° + \cos 6 ° \sin 24 °$ .

Korzystając ze wzoru $\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$

otrzymujemy:

$\sin 6 ° \cos 24 ° + \cos 6 ° \sin 24 ° = \sin (6 ° + 24 °) = \sin 30 ° = \frac{1}{2}$ .

Korzystając ze wzoru na sinus sumysinus sumysinus sumy argumentów wyprowadzimy wszystkie potrzebne wzory na sinus, cosinus, tangens sumy lub różnicy argumentów.

Różnica $x - y$ to inaczej suma $x + (- y)$ .

Zatem $\sin (x - y) = \sin (x + (- y))$ , i korzystając ze wzoru na sinus sumy otrzymujemy:

$sin (x + (- y)) = sin x \cdot cos (- y) + cos x \cdot sin (- y)$ .

Ponieważ funkcja $f (x) = \sin x$ jest funkcją nieparzystą i funkcja $g (x) = \cos x$ jest funkcją parzystą otrzymujemy:

$sin x \cdot cos (- y) + cos x \cdot sin (- y) = sin x \cdot cos y - cos x \cdot sin y$ .

sinus różnicy argumentów

Twierdzenie: sinus różnicy argumentów

$\sin (x - y) = \sin x \cdot \cos y - \cos x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$ .

Wyznaczymy teraz wzór na cosinus sumy argumentów. W tym celu wykorzystamy wzór redukcyjny: $\cos (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

A zatem:

$\cos (x + y) = \sin (\frac{π}{2} - (x + y)) = \sin ((\frac{π}{2} - x) - y) =$

$= \sin (\frac{π}{2} - x) \cos y - \cos (\frac{π}{2} - x) \sin y = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y$ .

cosinus sumy argumentów

Twierdzenie: cosinus sumy argumentów

$\cos (x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$ .

Analogicznie wyprowadzimy wzór na cosinus różnicy:

$\cos (x - y) = \cos (x + (- y)) = \cos x \cdot \cos (- y) - \sin x \cdot \sin (- y) =$

$= \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y$

cosinus różnicy argumentów

Twierdzenie: cosinus różnicy argumentów

$\cos (x - y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$ .

Przykład 2

Obliczymy $\cos 13 ° \cos 73 ° + \sin 167 ° \sin 433 °$ .

Rozwiązanie

$\cos 13 ° \cos 73 ° + \sin 167 ° \sin 433 ° =$

$= \cos 13 ° \cos 73 ° + \sin 13 ° \sin 73 ° =$

$= \cos (13 ° - 73 °) = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$ .

Przykład 3

Obliczymy, jaki zbiór wartości ma funkcja $f (x) = 2 \cos x + \sin x$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla każdej wartości rzeczywistej $x$ zachodzi równość

$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ oraz że $\sqrt{5} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}}$ .

Zapiszmy wyrażenie $y = 2 \cos x + \sin x$ jako:

$\sqrt{5} (\frac{2}{\sqrt{5}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{5}} \sin x)$ .

Zauważmy, że liczby $\frac{2}{\sqrt{5}}$ i $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mają tę własność, że suma ich kwadratów jest równa $1$ . Zatem liczby te są odpowiednio sinusem i cosinusem pewnego argumentu $α$ . Wobec tego wzór funkcji można zapisać następująco:

$y = \sqrt{5} (\sin α \cdot \cos x + \cos α \cdot \sin x)$ ,

czyli $y = \sqrt{5} \sin (α + x)$ .

Zatem zbiorem ich wartości funkcji $y = 2 \cos x + \sin x$ jest przedział $⟨- \sqrt{5}, \sqrt{5}⟩$ .

Przedstawimy teraz wzory na tangens sumy oraz różnicy argumentów. W odróżnieniu od poprzednich wzorów, niezbędne będą założenia dotyczące wartości argumentów.

tangens sumy argumentów

Twierdzenie: tangens sumy argumentów

Załóżmy, że $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x + y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wówczas: $tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}$ .

Dowód

$tg (x + y) = \frac{\sin (x + y)}{\cos (x + y)} =$ $\frac{\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y}{\cos x \cos y - \sin x \sin y} =$

$= \frac{\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y}{\cos x \cos y - \sin x \sin y}$ $\cdot \frac{\frac{1}{\cos x \cos y}}{\frac{1}{\cos x \cos y}}$ $\frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}}{1 + \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}}$ $\frac{t g x + t g y}{1 - t g x \cdot t g y}$ .

tangens różnicy argumentów

Twierdzenie: tangens różnicy argumentów

Załóżmy, że $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x - y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wówczas $tg (x - y) = \frac{tg x - tg y}{1 + tg x tg y}$ .

Dowód

$tg (x - y) = tg (x + (- y)) =$ $\frac{tg x + tg (- y)}{1 - tg x tg (- y)} =$ $\frac{t g x - t g y}{1 + t g x \cdot t g y}$

Przykład 4

Obliczymy $\frac{tg 130 ° - t g 70 °}{1 + tg 130 ° tg 70 °}$ .

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na tangens sumy argumentów otrzymujemy:

$\frac{tg 130 ° - tg 70 °}{1 + tg 130 ° tg 70 °} = tg (130 ° - 70 °) = tg 60 ° = \sqrt{3}$ .

Przykład 5

Uzasadnimy, że $\frac{tg 15 ° - 1}{1 + tg 15 °} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy fakt, że $tg 45 ° = 1$ . Wówczas zachodzi równość:

$\frac{tg 15 ° - 1}{1 + tg 15 °} = \frac{tg 15 ° - tg 45 °}{1 + tg 15 ° tg 45 °} =$ $tg (15 ° - 45 °) = tg (- 30 °) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z filmem, a następnie rozwiąż zadania.

R14hL3g7RNhYA

Polecenie 2

Oblicz $\sin 105 °$ .

$\sin 105 ° = \sin (60 ° + 45 °)$

$\sin 105 ° = \sin (60 ° + 45 °) = \sin 60 ° \cos 45 ° + \cos 60 ° \sin 45 ° =$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Polecenie 3

Oblicz $\sin 15 ° + \cos 15 °$ .

$\sin 15 ° + \cos 15 ° = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 15 ° + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 15 °)$

$\sin 15 ° + \cos 15 ° = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 15 ° + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 15 °) =$

$= \sqrt{2} (\cos 45 ° \sin 15 ° + \sin 45 ° \cos 15 °) =$

$= \sqrt{2} (\sin (45 ° + 15 °)) = \sqrt{2} \sin 60 ° = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Zapiszmy w jednym miejscu poznane wzory, z których będziemy korzystać w kolejnych przykładach.

funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

Twierdzenie: funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

Dla dowolnych $x, y \in ℝ$ zachodzą następujące wzory:

$\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
$\sin (x - y) = \sin x \cdot \cos y - \cos x \cdot \sin y$
$\cos (x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y$
$\cos (x - y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y$ .

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ spełniających warunki $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x + y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , zachodzi wzór:

$tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}$ .

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ spełniających warunki $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x - y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , zachodzi wzór:

$tg (x - y) = \frac{tg x - tg y}{1 + tg x tg y}$ .

Teraz pokażemy kilka typowych zadań, w których możemy wykorzystać zaprezentowane powyżej wzory.

Przykład 6

Obliczymy $\cos (\frac{π}{3} - α)$ , przy założeniu, że
$\sin α = - 0, 6$ i $π < α < \frac{3 π}{2}$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na cosinus różnicy argumentów zapisujemy: $\cos (\frac{π}{3} - α) = \cos \frac{π}{3} \cos α + \sin \frac{π}{3} \sin α = \frac{1}{2} \cos α + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin α$

Ponieważ $π < α < \frac{3 π}{2}$ , więc $\cos α < 0$ .

Wyliczamy $\cos α$ korzystając z jedynki trygonometryczejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometryczej:

$\cos α = - \sqrt{1 - (- 0, 6)^{2}} = - \sqrt{1 - 0, 36} = - 0, 8$ .

Obliczamy zatem wartość wyrażenie: $\cos (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{4}{5}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{3}{5}) = - \frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$ .

Przykład 7

Obliczymy wartość wyrażenia: $\sin 127 ° \cdot \cos 23 ° + \cos 194 ° + \cos 37 ° \cdot \cos 383 °$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzorów redukcyjnychwzory redukcyjnewzorów redukcyjnych zapisujemy:

$\sin 127 ° = \sin (37 ° + 90 °) = \cos 37 °$ ,
$\cos 194 ° = \cos (14 ° + 180 °) = - \cos 14 °$ ,
$\cos 383 ° = \cos (23 ° + 360 °) = \cos 23 °$ .

Zatem wyrażenie przyjmuje wartość:

$\begin{array}{l} \sin 127 ° \cdot \cos 23 ° + \cos 194 ° + \cos 37 ° \cdot \cos 383 ° = \\ = \cos 37 ° \cdot \cos 23 ° + \cos 37 ° \cdot \cos 23 ° - \cos 14 ° \end{array}$ .

Zauważmy, że

$\cos 14 ° = \cos (37 ° - 23 °) = \cos 37 ° \cdot \cos 23 ° + \sin 37 ° \cdot \sin 23 °$ .

Wobec tego otrzymujemy:

$- \cos 14 ° + 2 \cos 37 ° \cdot \cos 23 ° =$

$= - \cos (37 ° - 23 °) + 2 \cos 37 ° \cdot \cos 23 ° =$

$= - \cos 37 ° \cdot \cos 23 ° - \sin 37 ° \cdot \sin 23 ° + 2 \cos 37 ° \cdot \cos 23 ° =$

$= \cos 37 ° \cdot \cos 23 ° - \sin 37 ° \cdot \sin 23 °$ .

W tej sytuacji możemy wykorzystać wzór i zapisać powstałe wyrażenie jako cosinus sumy:

$\cos (37 ° + 23 °) = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$ .

Przykład 8

Obliczymy $tg (α - β)$ przy założeniu, że $tg α = 2$ i $\cos β = - \frac{7}{25}$ i $90 ° < β < 180 °$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $90 ° < β < 180 °$ , zatem $\sin β > 0$ .

Wobec tego możemy wyliczyć $\sin β$ :

$\sin β = \sqrt{1 - {(\frac{7}{25})}^{2}} = \frac{24}{25}$ ,

a następnie:

$tg β = \frac{\frac{24}{25}}{- \frac{7}{27}} = - \frac{24}{7}$ .

Pozostaje teraz zastosować wzór na tangens różnicy argumentów:

$tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α tg β} = \frac{2 + \frac{24}{7}}{1 + 2 \cdot (- \frac{24}{7})} = \frac{14 + 24}{7 - 48} = \frac{38}{41}$ .

Przykład 9

Uzasadnimy, że wartość wyrażenia: $\cos (150 ° - α) - \cos (210 ° + α)$ nie zależy od wartości kąta $α$ .

Korzystając ze wzorów na cosinus różnicy argumentów oraz ze wzorów redukcyjnych policzmy:

$\cos (150 ° - α) = \cos 150 ° \cdot \cos α + \sin 150 ° \cdot \sin α =$

$= \cos (180 ° - 30 °) \cdot \cos α + \sin (180 ° - 30 °) \cdot \sin α =$

$= - \cos 30 ° \cdot \cos α + \sin 30 ° \cdot \sin α = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos α + \frac{1}{2} \sin α$ .

Korzystając ze wzorów na cosinus sumy argumentów oraz ze wzorów redukcyjnych policzmy:

$\cos (210 ° + α) = \cos (30 ° + (180 ° + α)) =$

$= \cos 30 ° \cdot \cos (180 ° + α) - \sin 30 ° \cdot \sin (180 ° + α) =$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \cos α) - \frac{1}{2} \cdot (- \sin α) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos α + \frac{1}{2} \sin α$ .

Wykorzystując powyższe obliczenia możemy już policzyć wartość wyrażenia z zadania:

$\cos (150 ° - α) - \cos (210 ° + α) =$

$= - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos α + \frac{1}{2} \sin α - (- \frac{\sqrt{3}}{2} \cos α + \frac{1}{2} \sin α) =$

$= \frac{1}{2} \sin α - \frac{1}{2} \sin α = 0$ .

Obliczenia pokazują, że wyrażenie $\cos (150 ° - α) - \cos (210 ° + α) = 0$ , czyli nie zależy od wartości kąta $α$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z filmem, a następnie wykonaj polecenia.

R1RAQ1emPPMtA

Polecenie 5

Podaj zbiór wartości funkcji $y = 12 \sin x - 5 \cos x$ , gdy $x \in ℝ$ .

Wyciągnij przed nawias $\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ .

Po wyciągnięciu przed nawias $\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ otrzymujemy: $y = 13 (\frac{12}{13} \sin x - \frac{5}{13} \cos x)$ .

Liczby $\frac{12}{13}$ i $\frac{5}{13}$ są, odpowiednio, cosinusem i sinusem tego samego kąta $α$ .

Zatem funkcję można zapisać następująco: $y = 13 (\cos α \sin x - \sin α \cos x)$ , $y = 13 \sin (x - α)$ .

Zbiorem wartości funkcji $y = 12 \sin x - 5 \cos x$ , gdy $x \in ℝ$ jest przedział: $⟨ - 13, 13 ⟩$ .

Polecenie 6

Wyprowadź twierdzenie podające zbiór wartości funkcji $y = a \sin x + b \cos x$ , gdzie $a, b$ są liczbami rzeczywistymi różnymi od $0$ .

Wyciągnij przed wzór funkcji liczbę $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Wzór funkcji jest zapisany następująco:

$y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x)$ .

Liczby $\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ i $\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ są odpowiednio cosinusem i sinusem kąta $α$ .

Zatem funkcję można zapisać jako: $y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\cos α \sin x + \sin α \cos x)$ ,

czyli

$y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + α)$ . Zbiorem wartości funkcji $y = a \sin x + b \cos x$ jest przedział $⟨ - \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \sqrt{a^{2} + b^{2}} ⟩$ .

W tej części pokażemy przykłady tożsamości, które możemy udowodnić korzystając ze wzorów na sinus, cosinus, tangens sumy i różnicy argumentów.

Tożsamością trygonometrycznątożsamość trygonometrycznaTożsamością trygonometryczną nazywamy równość, która jest prawdziwa dla wszystkich argumentów, dla których ma sens.

Przykład 10

Udowodnimy tożsamość $\frac{\sin (45 ° + α) - \cos (45 ° + α)}{\sin (45 ° + α) + \cos (45 ° + α)} = tg α$ .

Dowód każdej tożsamości rozpoczynamy od zapisania założeń, czyli wskazania elementów, dla których równość ma sens. W przypadku tego przykładu mamy: $\sin (45 ° + α) + \cos (45 ° + α) \neq 0$ i $\cos α \neq 0$ .

W trakcie dowodu okaże się, że oba warunki oznaczają to samo.

Dowód tożsamości zwykle rozpoczynamy od tej strony, która jest bardziej skomplikowana. Jest zgodne z zasadą, że łatwiej upraszczać coś skomplikowanego, niż komplikować coś prostego.

Zatem rozpoczniemy dowód od przekształcenia lewej strony. Wykorzystamy wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy argumentów:

$L = \frac{\sin (45 ° + α) - \cos (45 ° + α)}{\sin (45 ° + α) + \cos (45 ° + α)} =$

$= \frac{\sin 45 ° \cos α + \cos 45 ° \sin α - \cos 45 ° \cos α + \sin 45 ° \sin α}{\sin 45 ° \cos α + \cos 45 ° \sin α + \cos 45 ° \cos α - \sin 45 ° \sin α} =$

$= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos α + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin α - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos α + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin α}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos α + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin α + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos α - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin α} =$

$= \frac{\sqrt{2} \sin α}{\sqrt{2} \cos α} = tg α = P$ .

Zatem $L = P$ , co kończy dowód.

Przykład 11

Udowodnimy, że $\frac{\sin 44 ° + \cos 74 °}{2 \cos 14 ° + 2 \sin 104 °} = \frac{1}{4}$ .

To szczególny typ tożsamości. Jest to związek między dwoma wielkościami liczbowymi.

Jak udowodnić tę tożsamość korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy argumentów? Zauważmy, że możemy zapisać kąty z zadania jako:

$44 ° = 30 ° + 14 °$ i $74 ° = 60 ° + 14 °$ , czyli sumy charakterystycznego kąta $14 °$ i dobrze znanych kątów $30 °$ i $60 °$ .

Teraz dokonajmy przekształceń:

$L = \frac{\sin 44 ° + \cos 74 °}{2 \cos 14 ° + 2 \sin 104 °} = \frac{\sin (30 ° + 14 °) + \cos (60 ° + 14 °)}{2 \cos 14 ° + 2 \cos 14 °} =$

$= \frac{\sin 30^{\circ} \cos 14^{\circ} + \cos 30^{\circ} \sin 14^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cos 14^{\circ} - \sin 60^{\circ} \sin 14^{\circ}}{4 \cos 14^{\circ}} =$

$= \frac{\frac{1}{2} \cos 14 ° + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 14 ° + \frac{1}{2} \cos 14 ° - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 14 °}{4 \cos 14 °} =$

$= \frac{\cos 14 °}{4 \cos 14 °} = \frac{1}{4} = P$ ,

co kończy dowód tożsamości.

Przykład 12

Udowodnimy tożsamość: $tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}$ .

Zauważmy, że to tożsamość z dwoma zmiennymi.

Zacznijmy od założeń: $\cos α \neq 0$ , $\cos β \neq 0$ .

Dowód tożsamości rozpoczniemy od przekształcania lewej strony równości:

$L = tg α + tg β = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\sin β}{\cos β} =$

$= \frac{\sin α \cos β + \sin β \cos α}{\cos α \cos β} = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β} = P$ ,

co kończy dowód tożsamości.

Przykład 13

Udowodnimy tożsamość:

$\frac{\sqrt{2} \cos α - 2 \sin (\frac{π}{4} - α)}{2 \sin (\frac{π}{3} + α) - \sqrt{3} \cos α} = \sqrt{2}$ .

Zapiszmy założenie:

$2 \sin (\frac{π}{3} + α) - \sqrt{3} \cos α \neq 0$ .

Rozpoczniemy przekształcanie od lewej strony rozpisując $\sin (\frac{π}{4} - α)$ i $\sin (\frac{π}{3} + α)$ z wykorzystaniem wzoru na sinus sumy oraz różnicy argumentów:

$L = \frac{\sqrt{2} \cos α - 2 \sin (\frac{π}{4} - α)}{2 \sin (\frac{π}{3} + α) - \sqrt{3} \cos α} =$

$= \frac{\sqrt{2} \cos α - 2 \sin \frac{π}{4} \cdot \cos α + 2 \cos \frac{π}{4} \cdot \sin α}{2 \sin \frac{π}{3} \cdot \cos α + 2 \sin α \cdot \cos \frac{π}{3} - \sqrt{3} \cos α} =$

$= \frac{\sqrt{2} \cos α - \sqrt{2} \cos α + \sqrt{2} \sin α}{\sqrt{3} \cos α + \sin α - \sqrt{3} \cos α} = \frac{\sqrt{2} \sin α}{\sin α} = \sqrt{2} = P$ .

A to kończy dowód tożsamości.

Przykład 14

Udowodnimy tożsamość: $\frac{(1 + tg 2 α) \cdot \cos (\frac{π}{4} + 2 α)}{1 - tg 2 α} = \cos (\frac{π}{4} - 2 α)$ .

Zapiszmy założenia: $1 - tg 2 α \neq 0$ i $\cos 2 α \neq 0$ .

Skorzystajmy z definicji funkcji tangens:

$L = \frac{(1 + tg 2 α) \cdot \cos (\frac{π}{4} + 2 α)}{1 - tg 2 α} =$

$= \frac{(1 + \frac{\sin 2 α}{\cos 2 α}) \cdot \cos (\frac{π}{4} + 2 α)}{1 - \frac{\sin 2 α}{\cos 2 α}} =$

$= \frac{(\cos 2 α + \sin 2 α) \cdot \cos (\frac{π}{4} + 2 α)}{\cos 2 α - \sin 2 α} = (*)$

Zapiszmy inaczej wyrażenie:

$\cos 2 α + \sin 2 α = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2 α + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 α) =$

$= \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos 2 α + \sin (\frac{π}{4}) \sin 2 α) = \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} - 2 α)$ .

Analogicznie przekształcamy:

$\cos 2 α - \sin 2 α = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2 α - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 α) =$ .

$= \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos 2 α - \sin (\frac{π}{4}) \sin 2 α) = \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} + 2 α)$ .

Po wykorzystaniu powyższych przekształceń otrzymujemy:

$(*) = \frac{\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} - 2 α) \cos (\frac{π}{4} + 2 α)}{\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} + 2 α)} =$

$= \cos (\frac{π}{4} - 2 α) = P$ .

Zatem $L = P$ , co kończy dowód.

Polecenie 7

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenia.

Rybr5iwPatyNJ1

Pojawia się infografika. Napis, udowodnimy, że dla kątów alfa, beta, gamma trójkąta ostrokątnego zachodzi tożsamość tangens alfa, plus, tangens BETA, plus, tangens GAMMA, równa się, tangens alfa, razy, tangens BETA, razy, tangens GAMMA. Dowód. Kąty alfa, BETA, GAMMA są kątami ostrymi, zatem tangensy tych kątów mają sens. Zatem, L, równa się, tangens alfa, plus, tangens BETA, plus, tangens GAMMA, równa się. Korzystając z zależności alfa, plus, BETA, plus, GAMMA, równa się, sto osiemdziesiąt stopni zapiszmy, że GAMMA, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, nawias alfa, plus, BETA zamknięcie nawiasu. To równa się L, równa się, tangens alfa, plus, tangens BETA, plus, tangens nawias kwadratowy, sto osiemdziesiąt stopni, minus, nawias, alfa, minus, BETA, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego. tangens alfa, plus, tangens BETA, plus, tangens nawias, alfa, plus, BETA, zamknięcie nawiasu, równa się. Korzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów alfa, plus, BETA. tangens alfa, plus, tangens BETA, plus, początek ułamka, tangens alfa, plus, tangens BETA, mianownik, jeden, minus, tangens alfa tangens BETA, koniec ułamka, równa się. przed nawias. nawias, tangens alfa, plus, tangens BETA, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, jeden, minus, tangens alfa tangens BETA, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się. Sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika. nawias, tangens alfa, plus, tangens BETA, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, minus, tangens alfa tangens BETA, mianownik, jeden, minus, tangens alfa tangens BETA, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się. Korzystamy z przemienności mnożenia. nawias, minus, tangens alfa tangens BETA, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, tangens alfa, plus, tangens BETA, mianownik, jeden, minus, tangens alfa tangens BETA, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się. Korzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów alfa, plus, BETA. nawias, minus, tangens alfa tangens BETA, zamknięcie nawiasu, tangens nawias, alfa, plus, BETA, zamknięcie nawiasu, równa się. Zapisujemy alfa, plus, BETA, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, GAMMA. nawias, minus, tangens alfa tangens BETA, zamknięcie nawiasu, tangens nawias, sto osiemdziesiąt stopni, plus, GAMMA, zamknięcie nawiasu, równa się. >. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego. tangens alfa, razy, tangens BETA, razy, tangens GAMMA, równa się, P. Zakończyliśmy dowód tożsamości.

Polecenie 8

Udowodnij, że dla kątów trójkąta ostrokątnego $α$ , $β$ , $γ$ zachodzi tożsamość: $\frac{1}{tg α tg β} + \frac{1}{tg β tg γ} + \frac{1}{tg γ tg α} = 1$ .

Tożsamość udowodnioną w infografice

$tg α + tg β + tg γ = tg α \cdot tg β \cdot tg γ$

dzielimy stronami przez $tg α \cdot tg β \cdot tg γ$ i otrzymujemy tezę.

Polecenie 9

Udowodnij, że dla kątów trójkąta $2 α$ , $2 β$ , $2 γ$ prawdziwa jest tożsamość: $tg α \cdot tg β + tg β \cdot tg γ + tg γ \cdot tg α = 1$

Korzystamy z własności kątów trójkąta $γ = 90 ° - (α + β)$ i ze wzoru redukcyjnego:

$L = tg α \cdot tg β + tg β \cdot tg γ + tg γ \cdot tg α =$

$= tg α \cdot tg β + (tg β + tg α) tg γ =$

$= tg α \cdot tg β + (tg β + tg α) \cdot tg (90 ° - (α + β)) =$

$= tg α \cdot tg β + (tg β + tg α) \frac{1}{tg (α + β)}$

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów:

$tg α \cdot tg β + (tg β + tg α) \frac{1 - tg α tg β}{tg α + tg β} =$
$= tg α \cdot tg β + 1 - tg α tg β = 1 = P$ .

To kończy dowód.

R1Wdu3MgyDoRb1

Ćwiczenie 1

RFqcA3XjWvudc1

Ćwiczenie 2

RnORlDW7ClPNk2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary wyrażenia tej samej wartości. kosinus pięćdziesiąt stopni kosinus dziesięć stopni, plus, sinus pięćdziesiąt stopni sinus dziesięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus pięć stopni kosinus trzydzieści pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus trzydzieści pięć stopni, 2. kosinus osiemdziesiąt pięć stopni kosinus pięć stopni, plus, sinus osiemdziesiąt pięć stopni sinus pięć stopni, 3. kosinus pięć stopni kosinus czterdzieści pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus czterdzieści pięć stopni, 4. kosinus osiemdziesiąt pięć stopni kosinus piętnaście stopni, plus, sinus osiemdziesiąt pięć stopni sinus piętnaście stopni kosinus piętnaście stopni kosinus trzydzieści pięć stopni, minus, sinus piętnaście stopni sinus trzydzieści pięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus pięć stopni kosinus trzydzieści pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus trzydzieści pięć stopni, 2. kosinus osiemdziesiąt pięć stopni kosinus pięć stopni, plus, sinus osiemdziesiąt pięć stopni sinus pięć stopni, 3. kosinus pięć stopni kosinus czterdzieści pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus czterdzieści pięć stopni, 4. kosinus osiemdziesiąt pięć stopni kosinus piętnaście stopni, plus, sinus osiemdziesiąt pięć stopni sinus piętnaście stopni kosinus osiemdziesiąt stopni kosinus dziesięć stopni, plus, sinus osiemdziesiąt stopni sinus dziesięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus pięć stopni kosinus trzydzieści pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus trzydzieści pięć stopni, 2. kosinus osiemdziesiąt pięć stopni kosinus pięć stopni, plus, sinus osiemdziesiąt pięć stopni sinus pięć stopni, 3. kosinus pięć stopni kosinus czterdzieści pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus czterdzieści pięć stopni, 4. kosinus osiemdziesiąt pięć stopni kosinus piętnaście stopni, plus, sinus osiemdziesiąt pięć stopni sinus piętnaście stopni kosinus pięć stopni kosinus siedemdziesiąt pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus siedemdziesiąt pięć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus pięć stopni kosinus trzydzieści pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus trzydzieści pięć stopni, 2. kosinus osiemdziesiąt pięć stopni kosinus pięć stopni, plus, sinus osiemdziesiąt pięć stopni sinus pięć stopni, 3. kosinus pięć stopni kosinus czterdzieści pięć stopni, minus, sinus pięć stopni sinus czterdzieści pięć stopni, 4. kosinus osiemdziesiąt pięć stopni kosinus piętnaście stopni, plus, sinus osiemdziesiąt pięć stopni sinus piętnaście stopni

Rr7LALSddGSBc2

Ćwiczenie 4

RMvCSKeLkMvMW2

Ćwiczenie 5

Ri9REsjMO0N282

Ćwiczenie 6

Rc5cnmympGEVQ3

Ćwiczenie 7

RZjFpqpJ8RHvI3

Ćwiczenie 8

RmfgJs86hAKi41

Ćwiczenie 9

R1U0HMIWzndLI1

Ćwiczenie 10

R1IS7btgpyNil21

Ćwiczenie 11

Połącz w pary: wyrażenie i jego wartość. kosinus nawias, sześćdziesiąt stopni, plus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, kosinus alfa, plus, sinus nawias, sześćdziesiąt stopni, plus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, sinus alfa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka kosinus nawias, trzydzieści stopni, plus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, kosinus alfa, plus, sinus nawias, trzydzieści stopni, plus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, sinus alfa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, kosinus alfa, plus, kosinus nawias, czterdzieści pięć stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, sinus alfa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka sinus nawias, siedemdziesiąt pięć stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, kosinus alfa, plus, kosinus nawias, siedemdziesiąt pięć stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, sinus alfa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka

R5ItvR3kQ4XVw2

Ćwiczenie 12

R4twdV8KCPosI2

Ćwiczenie 13

RGDTfIH5ZpkL42

Ćwiczenie 14

Połącz w pary równe wyrażenia. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus x, plus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, kosinus x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. kosinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. minus, kosinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus x, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, kosinus x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. kosinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. minus, kosinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, kosinus x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. kosinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. minus, kosinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, kosinus x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus x Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. kosinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. minus, kosinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 15

Oblicz $α + β$ , jeżeli $tg α = \frac{2}{5}$ , $tg β = \frac{3}{7}$ , $0 ° < α < 90 °$ , $0 ° < β < 90 °$ .

Skorzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów:

$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β} = \frac{\frac{2}{5} + \frac{3}{7}}{1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7}} = \frac{14 + 15}{35 - 6} = \frac{29}{29} = 1$ . Ponieważ $0 ° < α + β < 180 °$ , to jedyną możliwą odpowiedzią w tym przedziale jest $α + β = 45 °$ .

Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że wartość wyrażenia $\cos^{2} α + \cos^{2} (60 ° + α) + \cos^{2} (60 ° - α)$ nie zależy od wartości $α$ .

Korzystając ze wzoru na cosinus sumy argumentów zapiszmy:

$\cos^{2} (60 ° + α) = {(\cos 60 ° \cdot \cos α - \sin 60 ° \cdot \sin α)}^{2} =$
$= {(\frac{1}{2} \cos α - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin α)}^{2} =$
$= \frac{1}{4} \cos^{2} α - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin α \cdot \cos α + \frac{3}{4} \sin^{2} α$ .

Korzystając ze wzoru na cosiunus różnicy argumentów zapiszmy:

$\cos^{2} (60 ° - α) = {(\cos 60 ° \cdot \cos α + \sin 60 ° \cdot \sin α)}^{2} =$
$= {(\frac{1}{2} \cos α + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin α)}^{2} =$
$= \frac{1}{4} \cos^{2} α + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin α \cdot \cos α + \frac{3}{4} \sin^{2} α$ .

Obliczmy wartość wyrażenia:

$\cos^{2} α + \cos^{2} (60 ° + α) + \cos^{2} (60 ° - α) =$

$= \cos^{2} α + \frac{1}{2} \cos^{2} α + \frac{3}{2} \sin^{2} α =$

$= \frac{3}{2} (\cos^{2} α + \sin^{2} α) = \frac{3}{2}$ .

Pokaż ćwiczenia:

R13JrVxNW8LJS1

Ćwiczenie 17

RFLa0S9bmO0gB1

Ćwiczenie 18

RnFzJ85O9LhF52

Ćwiczenie 19

RekTpgOd4dH0H2

Ćwiczenie 20

RnIJkO0AekZYC2

Ćwiczenie 21

Rw5aAIrZLkIs12

Ćwiczenie 22

Poniżej przedstawiono dowód tożsamości trygonometrycznej kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, sinus nawias, alfa, minus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka. Uporządkuj ten dowód zakładając, że dowód prowadzimy od strony lewej do prawej. Elementy do uszeregowania: 1. równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, nawias, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, plus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, 2. równa się, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, minus, nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, kosinus alfa, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus alfa, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus alfa, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, 3. kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, minus, sinus nawias, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, razy, sinus nawias, alfa, minus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, 4. równa się, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, minus, nawias, sinus początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, kosinus alfa, minus, kosinus początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, sinus alfa, zamknięcie nawiasu, nawias, sinus alfa kosinus początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, kosinus alfa sinus początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, 5. równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. równa się, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, minus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się

Ćwiczenie 23

Udowodnij, że jeżeli $α$ , $β$ , $γ$ są kątami trójkąta, to równość

$\sin^{2} γ + 2 \sin α \sin β \cos γ = \sin^{2} α + \sin^{2} β$

jest tożsamością.

Ponieważ $γ = 180 ° - (α + β)$ , zatem:

$L = \sin^{2} (π - α - β) + 2 \sin α \sin β \cos (π - α - β) =$

$= \sin^{2} (α + β) - 2 \sin α \sin β \cos (α + β) =$

Korzystamy ze wzoru na sinus i cosinus sumy:

$= {(\sin α \cos β + \cos α \sin β)}^{2} - 2 \sin α \sin β (\cos α \cos β - \sin α \sin β) =$

$= \sin^{2} α \cos^{2} β + \cos^{2} α \sin^{2} β + 2 \sin α \cos β \cos α \sin β - 2 \sin α \sin β \cos α \cos β + 2 \sin^{2} α \sin^{2} β =$

$= \sin^{2} α \cos^{2} β + \cos^{2} α \sin^{2} β + 2 \sin^{2} α \sin^{2} β =$

$= \sin^{2} α (1 - \sin^{2} β) + (1 - \sin^{2} α) \sin^{2} β + 2 \sin^{2} α \sin^{2} β = \sin^{2} α + \sin^{2} β = P$

co kończy dowód tożsamości.

Ćwiczenie 24

Udowodnij, że równość

$\frac{\sin α + 2 \sin (\frac{π}{3} - α)}{2 \cos (\frac{π}{6} - α) - \sqrt{3} \cos α} = \frac{\sqrt{3}}{tg α}$

jest tożsamością.

$L = \frac{\sin α + 2 \sin (\frac{π}{3} - α)}{2 \cos (\frac{π}{6} - α) - \sqrt{3} \cos α} =$

Korzystamy ze wzoru na sinus i cosinus różnicy:

$= \frac{\sin α + 2 \sin \frac{π}{3} \cdot \cos α - 2 \cos \frac{π}{3} \cdot \sin α}{2 \cos \frac{π}{6} \cdot \cos α + 2 \sin \frac{π}{6} \cdot \sin α - \sqrt{3} \cos α} =$

$= \frac{\sin α + \sqrt{3} \cos α - \sin α}{\sqrt{3} \cos α + \sin α - \sqrt{3} \cos α} =$

$= \frac{\sqrt{3} \cos α}{\sin α} = \frac{\sqrt{3}}{tg α} = P$

co kończy dowód tożsamości.

Słownik

sinus sumy

wzór na sinus sumy argumentów, na podstawie którego można wyprowadzić wszystkie wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów.

jedynka trygonometryczna

podstawowa tożsamość trygonometryczna: dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniona jest równość: $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$

wzory redukcyjne

zależności pozwalające wyliczać wartości funkcji trygonometryczne argumentu różniącego się od danego argumentu o całkowitą wielokrotność $\frac{π}{2}$

tożsamość trygonometryczna

równość, która jest prawdziwa dla wszystkich argumentów, dla których ma sens.

2. Równania trygonometryczne, cz. 1

4.Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

3. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

Słownik