5. Równania trygonometryczne, cz. 2 - M_R_W20_M2 Równania i nierówności trygonometryczne

ROciuEWYua9XQ

Na poprzednich lekcjach zapoznałeś się z sześcioma wzorami pozwalającymi obliczać sinus, cosinus i tangens sumy oraz różnicy argumentów. Wzory te są podstawą do wyznaczania bardzo wielu kolejnych wzorów ważnych w trygonometrii. Na tej lekcji pokażemy, jak poznane wzory stosować do rozwiązywania równań trygonometrycznych. Będziemy się opierać także na twierdzeniach opisujących rozwiązywanie równań postaci: $\sin x = a, \cos x = a, tg x = a$ .

Twoje cele

Nauczysz się stosować wzory na sinus, cosinus i tangens sumy oraz różnicy argumentów do rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Zastosujesz wzory na sinus, cosinus i tangens podwojonego argumentu do rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Przypomnisz sobie, jak rozwiązujemy równania typu: $\sin x = a, \cos x = a, tg x = a$ .

Każde równanie trygonometryczne staramy się sprowadzić do równania postaci: $\sin x = a, \cos x = a, tg x = a$ . Zatem przypomnimy podstawowe twierdzenie o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych

Jeżeli $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $\sin x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ lub $x = π - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $\cos x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ lub $x = - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $a \in ℝ$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $tg x = a$ , to każde rozwiązanie ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zaprezentujemy teraz przykłady, pokazujące jak za pomocą wzorów na funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy argumentów sprowadzić równanie do postaci: $\sin x = a$ lub $\cos x = a$ lub $tg x = a$ , a następnie w tej postaci je rozwiązać.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie w zbiorze liczb rzeczywistych:

$\frac{tg (x + \frac{π}{4}) + tg \frac{x}{2}}{1 - tg (x + \frac{π}{4}) \cdot tg \frac{x}{2}} = \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Zapiszmy na początek założenia:

$1 - tg (x + \frac{π}{4}) \cdot tg \frac{x}{2} \neq 0$ ,

$\cos (x + \frac{π}{4}) \neq 0$ ,

$\cos \frac{x}{2} \neq 0$ .

Założeń nie będziemy teraz rozwiązywać. Gdy otrzymamy rozwiązanie wyjściowego równania sprawdzimy, czy spełniają wszystkie założenia.

Skorzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów:

$tg (x + \frac{π}{4} + \frac{x}{2}) = \sqrt{3}$

Zauważamy, że $tg \frac{π}{3} = \sqrt{3}$ , zatem korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań trygonometrycznychtwierdzenia o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych otrzymujemy:

$\frac{3}{2} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + π k$ .

Sprawdzamy założenia i podajemy rozwiązanie:

$x = \frac{π}{18} + \frac{2}{3} π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $\sin 2 x \cdot \cos x + \cos 2 x \cdot \sin x = - \frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie:

Skorzystajmy ze wzoru na sinus sumy argumentów $x$ i $2 x$ i zapiszmy równanie w postaci:

$\sin (2 x + x) = - \frac{1}{2}$

$\sin 3 x = - \frac{1}{2}$

Podstawmy $y = 3 x$ . Otrzymujemy wówczas równanie:

$\sin y = - \frac{1}{2}$ .

Znajdujemy jedno rozwiązanie tego równania: $y_{0} = - \frac{π}{6}$ .

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań trygonometrycznychtwierdzenia o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych otrzymujemy rozwiązania równania $\sin y = - \frac{1}{2}$ :

$y = - \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $y = π + \frac{π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Powracamy do zmiennej $x$ i otrzymujemy:

$3 x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $3 x = \frac{7 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

A zatem rozwiązaniami równania $\sin 2 x \cdot \cos x + \cos 2 x \cdot \sin x = - \frac{1}{2}$ są:

$x = - \frac{π}{18} + \frac{2 k π}{3}$ lub $x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie: $\frac{\cos (\frac{π}{7} - x) - 2 \sin \frac{π}{7} \cdot \sin x}{\sin (\frac{π}{7} - x) + 2 \cos \frac{π}{7} \cdot \sin x} = \sqrt{3}$ .

Zaczniemy od zapisu dziedziny:

$\sin (\frac{π}{7} - x) + 2 \cos \frac{π}{7} \cdot \sin x \neq 0$ .

Rozpiszemy równanie wykorzystując wzory na cosinus i sinus różnicy argumentów:

$\frac{\cos \frac{π}{7} \cdot \cos x + \sin \frac{π}{7} \cdot \sin x - 2 \sin \frac{π}{7} \cdot \sin x}{\sin \frac{π}{7} \cdot \cos x - \cos \frac{π}{7} \cdot \sin x + 2 \cos \frac{π}{7} \cdot \sin x} = \sqrt{3}$ .

Po wykonaniu działań otrzymujemy:

$\frac{\cos \frac{π}{7} \cdot \cos x - \sin \frac{π}{7} \cdot \sin x}{\sin \frac{π}{7} \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos \frac{π}{7}} = \sqrt{3}$ .

Teraz wykorzystamy wzory na cosinus i sinus sumy argumentów, aby zwinąć wyrażenia w liczniku i mianowniku do nowej postaci:

$\frac{\cos (x + \frac{π}{7})}{\sin (x + \frac{π}{7})} = \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że równanie możemy zapisać jako:

$\frac{1}{tg (x + \frac{π}{7})} = \sqrt{3}$ , czyli $tg (x + \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Zatem rozwiązaniami są:

$x + \frac{π}{7} = \frac{π}{6} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Po sprawdzeniu warunku z dziedziny otrzymujemy ostatecznie:

$x = \frac{π}{42} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie: $\sin (\frac{π}{4} - x) + \cos (\frac{π}{4} + x) = 1$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na sinus różnicy argumentów oraz cosinus sumy argumentów rozpiszmy lewą stronę równania:

$\sin \frac{π}{4} \cdot \cos x - \cos \frac{π}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{π}{4} \cdot \cos x - \sin \frac{π}{4} \cdot \sin x = 1$ .

Wyznaczając wartości funkcji trygonometrycznych dla znanych argumentów dostajemy równanie:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = 1$

$\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = 1$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{1}{2}$ .

Liczby $\frac{\sqrt{2}}{2}$ zapisujemy za pomocą funkcji trygonometrycznych:

$\cos \frac{π}{4} \cos x - \sin \frac{π}{4} \sin x = \frac{1}{2}$ .

Teraz możemy wykorzystać wzór na cosinus sumy argumentów, aby lewą stronę zwinąć do postaci:

$\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązaniami równania są:

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 π k$ lub $x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{3} + 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ostatecznie rozwiązania przyjmują postać:

$x = \frac{π}{12} + 2 π k$ lub $x = - \frac{7 π}{12} + 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie zrób polecenia podane niżej.

Rs5uS76ZSwpDg

W infografice przedstawiono sposób rozwiązania równania: sinus trzy x, plus, sinus siedem x, równa się, sinus cztery x, plus, sinus sześć x. Napis, Zwróćmy uwagę na to, że średnia arytmetyczna liczb trzy i siedem oraz liczb cztery i sześć jest taka sama i jest równa pięć., . Zapisujemy zatem, sinus trzy x, plus, sinus siedem x, równa się, sinus cztery x, plus, sinus sześć x. Zapisujemy zatem nasze równanie następująco, sinus nawias, pięć x, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, plus, sinus nawias, pięć x, plus, dwa x, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus nawias, pięć x, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, sinus nawias, pięć x, plus, x, zamknięcie nawiasu. Zapisujemy, trzy x, równa się, pięć x, minus, dwa x, siedem x, równa się, pięć x, plus, dwa x, cztery x, równa się, pięć, minus, x, sześć x, równa się, pięć x, plus, x . Wykorzystujemy wzory na sinus sumy i różnicy argumentów. Nasze równanie przyjmuje więc postać: sinus pięć x kosinus dwa x, minus, kosinus pięć x sinus dwa x, plus, s o n pięć x kosinus dwa x, plus, kosinus pięć x sinus dwa x, równa się, sinus pięć x kosinus x, minus, kosinus pięć x sinus x, plus, sinus pięć x kosinus x, plus, kosinus pięć x sinus x. Po uproszczeniu otrzymujemy: dwa sinus pięć x kosinus dwa x, równa się, dwa sinus pięć x kosinus x. Zapisujemy funkcje trygonometryczne po jednej stronie i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias. sinus pięć x nawias, kosinus dwa x, minus, kosinus x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero. Iloczyn wyrażeń jest równy zero, gdy jedno z nich jest równe zero. Otrzymujemy więc dwa równania, które rozpatrzymy osobno. Skoro iloczyn równy jest 0, to prawdą jest, że sinus pięć x, równa się, zero lub kosinus dwa x, minus, kosinus x, równa się, zero. Jeśli sinus pięć x, równa się, zero wtedy pięć x, równa się, k PI, przecinek, k, należy do, liczby całkowite, więc x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, k, należy do, liczby całkowite. Drugie równanie. Skorzystamy tu z metody porównywania kosinusów. Jeśli kosinus dwa x, minus, kosinus x, równa się, zero, to dwa x, równa się, x, plus, dwa k PI lub dwa x, równa się, minus, x, plus, dwa k PI, gdzie k, należy do, liczby całkowite. Mamy więc, że x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, gdzie k, należy do, liczby całkowite. Odpowiedź, x, równa się, początek ułamka, k PI, mianownik, pięć, koniec ułamka lub x, równa się, dwa k PI lub x, równa się, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka gdzie k, należy do, liczby całkowite.

Polecenie 2

Rozwiąż równanie: $\cos 7 x + \cos 9 x = 0$ .

$\cos (8 x - x) + \cos (8 x + x) = 0$

$\cos 8 x \cos x + \sin 8 x \sin x + \cos 8 x \cos x - \sin 8 x \sin x = 0$

$2 \cos 8 x \cos x = 0$

$\cos 8 x = 0$ lub $\cos x = 0$

$x = \frac{π + 2 k π}{16}$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Polecenie 3

Rozwiąż równanie: $\sin x + \sin 3 x + \sin 5 x = 0$ .

Zapiszmy równanie w postaci:

$\sin (3 x - 2 x) + \sin 3 x + \sin (3 x + 2 x) = 0$ .

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy i różnicy argumentów:

$\sin 3 x \cos 2 x - \cos 3 x \sin 2 x + \sin 3 x + \sin 3 x \cos 2 x + \cos 3 x \sin 2 x = 0$

$2 \sin 3 x \cos 2 x + \sin 3 x = 0$

$\sin 3 x (2 \cos 2 x + 1) = 0$

$\sin 3 x = 0$ lub $\cos 2 x = - \frac{1}{2}$

$3 x = k π$ lub $2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ lub $2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$

$x = \frac{k π}{3}$ lub $x = \frac{π}{3} + k π$ lub $x = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Każde równanie trygonometryczne staramy się sprowadzić do równania postaci: $\sin x = a$ , $\cos x = a$ , $tg x = a$ . Poniżej pokażemy jak stosować wzory na funkcje podwojonego argumentu przy czym wzory te będziemy stosować zarówno do zwijania jak i rozwijania wyrażeń trygonometrycznych.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $4 \sin^{2} x (1 + \cos 2 x) = 1 - \cos 2 x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta $\cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x$ i otrzymujemy równanie w postaci:

$4 \sin^{2} x (1 + \cos 2 x) = 2 \sin^{2} x$ .

Przenosimy składniki na lewą stronę:

$4 \sin^{2} x (1 + \cos 2 x) - 2 \sin^{2} x = 0$

i wyłączamy przed nawias wspólny czynnik:

$2 \sin^{2} x (2 + 2 \cos 2 x - 1) = 0$ .

Zatem równanie jest równoważne alternatywie równań:

$\sin x = 0$ lub $\cos 2 x = - \frac{1}{2}$ .

Równanie $\sin x = 0$ ma rozwiązania:

$x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Równanie $\cos 2 x = - \frac{1}{2}$ ma rozwiązania:

$2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ lub $2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ ,

czyli $x = \frac{π}{3} + k π$ lub $x = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem odpowiedź jest następująca: $x = k π$ lub $x = \frac{π}{3} + k π$ lub $x = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie: $\sin 2 x = \cos^{4} \frac{x}{2} - \sin^{4} \frac{x}{2}$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

$\sin 2 x = \cos^{4} \frac{x}{2} - \sin^{4} \frac{x}{2}$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia rozkładamy na czynniki lewą stronę równania:

$\sin 2 x = (\cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2}) (\cos^{2} \frac{x}{2} + \sin x^{2} \frac{x}{2})$ .

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej oraz wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta zwijamy równanie do postaci:

$2 \sin x \cdot \cos x = \cos x$ .

Przenosząc wszystkie składniki na lewą stronę otrzymujemy postać iloczynową:

$2 \cos x (\sin x - \frac{1}{2}) = 0$ .

Zatem otrzymujemy alternatywę warunków:

$\cos x = 0$ lub $\sin x = \frac{1}{2}$ .

Równanie $\cos x = 0$ jest spełnione dla $x = \frac{π}{2} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Równanie $\sin x = \frac{1}{2}$ jest spełnione dla $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Stąd otrzymujemy odpowiedź:

$x = \frac{π}{2} + π k$ lub $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 7

Rozwiążemy równanie $tg 2 x = 2 \sin x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy założenia: $\cos 2 x \neq 0$ , czyli $x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Korzystając z tożsamości $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ zapiszmy równanie w postaci:

$\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} = 2 \sin x$ .

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątawzoru na sinus podwojonego kąta, zapiszmy równanie następująco:

$2 \sin x \cdot \cos x = 2 \sin x \cdot \cos 2 x$ .

Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej:

$\sin x (\cos x - \cos 2 x) = 0$ .

Stąd otrzymujemy alternatywę równań:

$\sin x = 0$ lub $\cos x = \cos 2 x$ .

Równanie $\sin x = 0$ spełniają $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Równanie $\cos x = \cos 2 x$ rozwiązujemy, wykorzystując metodę porównywania wartości funkcji cosinus. Równanie ma rozwiązania: $x = 2 x + 2 k π$ lub $x = - 2 x + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Stąd dostajemy:

$x = 2 k π$ lub $x = \frac{2 k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Sprawdzamy, że żaden element wykluczony z dziedziny nie pokrywa się z elementami rozwiązania.

Odpowiedź: $x = k π$ lub $x = 2 k π$ lub $x = \frac{2 k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Uwaga

W przykładzie 3 równanie najłatwiej było rozwiązać z wykorzystaniem funkcji sinus i cosinus. Rozpisanie wyrażenia z wykorzystaniem wzoru na tangens podwojonego kątatangens podwojonego kątatangens podwojonego kąta nie da prostszego rozwiązania.

Przykład 8

Rozwiążemy równanie $\sin 2 x + tg x = 2$ w liczbach rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos x \neq 0$ , czyli $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Skorzystamy ze wzoru $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ , ale przekształcimy go do postaci związanej z funkcją tangens argumentu $x$ :

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x = \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x}$ .

Teraz licznik i mianownik dzielimy przez $\cos^{2} x$ (wolno to zrobić, gdyż z założeń $\cos x \neq 0$ ) i otrzymujemy:

$\frac{2 \sin x \cos x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x} = \frac{2 \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + 1} = \frac{2 tg x}{1 + {tg}^{2} x}$

W ten sposób doprowadziliśmy do równania z jedną niewiadomą w postaci funkcji trygonometrycznej tangens:

$\frac{2 tg x}{1 + {tg}^{2} x} + tg x = 2$ .

Podstawmy $t = tg x$ . Otrzymujemy wówczas:

$\frac{2 t}{1 + t^{2}} + t = 2$ .

Po pomnożeniu równania stronami przez $1 + t^{2}$ otrzymujemy równanie wielomianowe:

$t^{3} - 2 t^{2} + 3 t - 2 = 0$ .

Przez obserwację współczynników możemy zauważyć, że suma współczynników jest równa $0$ , co oznacza, że pierwiastkiem wielomianu jest $1$ . Zapisujemy zatem:

$(t - 1) (t^{2} - t + 2) = 0$ .

Wyróżnik trójmianu $t^{2} - t + 2$ jest równy:

$Δ = 1 - 4 \cdot 2 = - 7$ , co oznacza, że trójmian nie ma pierwiastków.

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $t = 1$ , czyli

$tg x = 1$ . Rozwiązaniem równania jest $x = \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Polecenie 4

Zagraj w grę, a następnie rozwiąż polecenia poniżej.

Rozwiąż quiz składający się ośmiu pytań.

R1NbjyiJR63dC

RQLTfMjOhqk8n

RRczqlQ4sK4tV

R1HC0CuYJab1F

R10vZR58QLs9C

R1NefdP3tpFvG

R1vKI5kQzhAYb

R1Z5JORryC149

R1Kurq7wSUJIq1

Polecenie 5

Rozwiąż równanie: $8 \cos^{4} x = 11 \cos 2 x - 1$ .

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$8 {(\frac{1 + \cos 2 x}{2})}^{2} = 11 \cos 2 x - 1$

$2 (1 + 2 \cos 2 x + \cos^{2} 2 x) = 11 \cos 2 x - 1$

$2 \cos^{2} 2 x - 7 \cos 2 x + 3 = 0$

$Δ = 49 - 24 = 25$

$\cos 2 x = \frac{7 + 5}{4} = 3$ lub $\cos 2 x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$

Równanie $\cos 2 x = 3$ jest sprzeczne.

Równanie $\cos 2 x = \frac{1}{2}$ ma rozwiązania: $2 x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ lub $2 x = \frac{π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Odpowiedź: $x = \frac{π}{6} + k π$ lub $x = - \frac{π}{6} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

RzbXLn3Z4sLDQ1

Ćwiczenie 1

RYCeGArpW17y41

Ćwiczenie 2

RXgMWHSJrM9Zl2

Ćwiczenie 3

RGf20oU1HOim92

Ćwiczenie 4

RdvM6XqPlqhnj2

Ćwiczenie 5

R1ek3V04wJbu52

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Rozwiąż równanie $tg 3 x + tg x + tg 3 x \cdot tg x = 1$ przy założeniu, że $tg 3 x \cdot tg x \neq 1$ .

Przekształćmy równanie do postaci:

$tg 3 x + tg x = 1 - tg 3 x \cdot tg x,$

$\frac{tg 3 x + tg x}{1 - tg 3 x \cdot tg x} = 1$

$tg 4 x = 1$

$4 x = \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

$x = \frac{π + 4 k π}{16}$ , gdzie $k \in ℤ$

Ćwiczenie 8

Rozwiąż równanie: $\sin 3 x = 2 \sin x \cos 2 x$ .

$\sin (2 x + x) = 2 \sin x \cos 2 x$

$\sin 2 x \cos x + \cos 2 x \sin x = 2 \sin x \cos 2 x$

$\sin 2 x \cos x - \cos 2 x \sin x = 0$

$\sin (2 x - x) = 0$

$\sin x = 0$

$x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$

R13JC7or9f4761

Ćwiczenie 9

RGGVSOma8IGFH1

Ćwiczenie 10

RpfqiErBWJuK32

Ćwiczenie 11

R1FKNsJI6lD9V2

Ćwiczenie 12

RCq74pWadf0yu2

Ćwiczenie 13

R164VkimgyhtF2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie $\sin x + \sin 2 x = \cos x + 2 \cos^{2} x$ .

$\sin x (1 + 2 \cos x) - \cos x (1 + 2 \cos x) = 0$

$(1 + 2 \cos x) (\sin x - \cos x) = 0$

$tg x = 1$ lub $\cos x = - \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $x = \frac{π}{4} + k π$ lub $x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ lub $x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ćwiczenie 16

Rozwiąż równanie $\sin 4 x = \cos^{4} x - \sin^{4} x$ .

$\sin 4 x = (\cos^{2} x + \sin^{2} x) (\cos^{2} x - \sin^{2} x)$

$2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x = \cos 2 x$

$2 \sin 2 x \cos 2 x - \cos 2 x = 0$

$\cos 2 x (2 \sin 2 x - 1) = 0$

$\cos 2 x = 0$ lub $\sin 2 x = \frac{1}{2}$

$2 x = \frac{π}{2} + π k$ lub $2 x = \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $2 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź: $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ lub $x = \frac{π}{12} + k π$ lub $x = \frac{5 π}{12} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Słownik

twierdzenie o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych

Jeżeli $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $\sin x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ lub $x = π - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $\cos x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ lub $x = - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $a \in ℝ$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $tg x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

sinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

cosinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tangens podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq \frac{π}{4} + \frac{π}{2} k$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

4.Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

6.* Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych (DODATEK)

Słownik