6.* Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych (DODATEK) - M_R_W20_M2 Równania i nierówności trygonometryczne

R1diA8AzUq3tJ

Do tej pory poznałeś wzory na funkcje trygonometryczne sumy oraz różnicy kątów. W tym materiale dowiesz się w jaki sposób ze znanych wzorów wyprowadzić wzory na sumę oraz różnicę sinusów, cosinusów czy tangensów. Na podstawie tych nowych wzorów będziesz obliczać wartości wyrażeń oraz zmieniać sumy algebraiczne związane z funkcjami trygonometrycznymi na iloczyny.

Twoje cele

Dowiesz się, jak wyglądają wzory na $\sin α + \sin β$ oraz $\sin α - \sin β$ .
Dowiesz się, jak wyglądają wzory na $\cos α + \cos β$ oraz $\cos α - \cos β$ .
Dowiesz się, jak wyglądają wzory na $tg α + tg β$ oraz $tg α - tg β$ .
Nauczysz się stosować wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych do obliczania wartości wyrażeń.
Dowiesz się, jak wykorzystać podstawowe tożsamości trygonometryczne do rozwiązywania bardziej skomplikowanych równań.

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę sinusów wykorzystamy poznane wzory na sinus sumy oraz sinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

Twierdzenie: wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \sin β \cos α

\sin (α - β) = \sin α \cos β - \sin β \cos α

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie sinusów i różnicy sinusów.

wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów

Twierdzenie: wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}

Dowód

Zauważmy, że prawdziwe są następujące zależności

$β = \frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}$ , $α = \frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}$ .

1. Korzystając z powyższych zależności, możemy sumę sinusów zapisać następująco

$\sin α + \sin β = \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2})$ .

Korzystając ze wzorów na sinus sumy i różnicy argumentówwzorów na sinus sumy i różnicy argumentów otrzymujemy

$\sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) =$

$= (\sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} + \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}) +$

$+ (\sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} - \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}) =$

$= 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$ ,

co kończy dowód wzoru $\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$ .

2. Korzystając z powyższych zależności, dla argumentów $α$ i $β$ możemy różnicę sinusów zapisać następująco

$\sin α - \sin β = \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2})$ .

Korzystając ze wzorów na sinus sumy i różnicy argumentówwzorów na sinus sumy i różnicy argumentów otrzymujemy

$\sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) =$

$= (\sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} + \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}) -$

$+ (\sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} - \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}) =$

$2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}$ ,

co kończy dowód wzoru $\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}$ .

Przykład 1

Zmienimy wyrażenie $\sin α + \sin 2 α + \sin 3 α$ na iloczyn trzech funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sumę sinusówwzoru na sumę sinusów sumujemy $\sin α$ i $\sin 3 α$

$\sin α + \sin 2 α + \sin 3 α = 2 \sin 2 α \cdot \cos α + \sin 2 α =$

$= \sin 2 α (2 \cos α + 1) = \sin 2 α \cdot 2 (\cos α + \frac{1}{2})$ .

Zamienimy teraz $\cos α$ i $\frac{1}{2}$ na sinusy odpowiednich argumentów

$2 \sin 2 α \cdot [\sin (\frac{π}{2} - α) + \sin \frac{π}{6}]$

i zastosujemy ponownie wzór na sumę sinusówwzór na sumę sinusów

$4 \sin 2 α \cdot \sin (\frac{\frac{π}{2} - α + \frac{π}{6}}{2}) \cdot \cos (\frac{\frac{π}{2} - α - \frac{π}{6}}{2}) =$

$= 4 \sin 2 α \cdot \sin (\frac{π}{3} - \frac{α}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{6} - \frac{α}{2})$ .

Przykład 2

Obliczymy wartość wyrażenia $\frac{5 [\cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{14}) - \sin \frac{π}{14}]}{\cos \frac{π}{7} \cdot \sin \frac{π}{14}}$ .

Rozwiązanie

Najpierw wykorzystamy wzory redukcyjne, a następnie wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów

$\frac{5 [\cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{14}) - \sin \frac{π}{14}]}{\cos \frac{π}{7} \cdot \sin \frac{π}{14}} = \frac{5 (\sin \frac{3 π}{14} - \sin \frac{π}{14})}{\cos \frac{π}{7} \cdot \sin \frac{π}{14}} =$

$= \frac{5 \cdot 2 \sin \frac{π}{14} \cdot \cos \frac{π}{7}}{\cos \frac{π}{7} \cdot \sin \frac{π}{14}} = 10$ .

Przykład 3

Obliczymy $\sin (x + \frac{π}{3}) - \sin (x - \frac{π}{3})$ , jeżeli $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Rozwiązanie

Wykorzystajmy wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów

$\sin (x + \frac{π}{3}) - \sin (x - \frac{π}{3}) =$

$2 \sin \frac{(x + \frac{π}{3}) - (x - \frac{π}{3})}{2} \cdot \cos \frac{(x + \frac{π}{3} + x - \frac{π}{3})}{2} =$

$= 2 \sin \frac{π}{3} \cdot \cos x$ .

Ponieważ $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , zatem $2 \sin \frac{π}{3} \cdot \cos x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4}$ .

Przykład 4

Obliczymy $tg x$ , jeżeli wiadomo, że $\sin (x + 30 °) + \sin (x - 30 °) = 2 \sqrt{3} \cos x$ .

Rozwiązanie

Wykorzystując wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów przekształćmy równanie dane w zadaniu

$\sin (x + 30 °) + \sin (x - 30 °) = 2 \sqrt{3} \cos x$

do postaci

$2 \sin \frac{x + 30 ° + x - 30 °}{2} \cdot \cos \frac{x + 30 ° - x + 30 °}{2} = 2 \sqrt{3} \cos x$ .

Zapiszmy dalej $2 \sin x \cos 30 ° = 2 \sqrt{3} \cos x$ .

Stąd otrzymujemy zależność między sinusem i cosinusem tego samego argumentu $\sqrt{3} \sin x = 2 \sqrt{3} \cos x$ .

Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy odpowiedź $\frac{\sin x}{\cos x} = tg x = 2$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z poniższą animacją, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod nią.

RU9Duso1bVEiM

Polecenie 2

Wyrażenie $\sin x - \cos x$ zapisz za pomocą jednej funkcji trygonometrycznej.

$\sin x - \cos x = \sin x - \sin (\frac{π}{2} - x) =$

$= 2 \sin (\frac{x - \frac{π}{2} + x}{2}) \cos (\frac{x + \frac{π}{2} - x}{2}) =$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{4}) \cos \frac{π}{4} = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$

Polecenie 3

Podane wyrażenie $1 + \sin x - \cos x$ zapisz w postaci iloczynu dwóch funkcji trygonometrycznych.

Korzystając z poprzedniego zadania zapiszmy

$1 + \sin x - \cos x = 1 + \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ .

Wykorzystując wzór na sumę sinusów otrzymujemy

$1 + \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (x - \frac{π}{4})) = \sqrt{2} (\sin \frac{π}{4} + \sin (x - \frac{π}{4})) =$

$= 2 \sqrt{2} \sin (\frac{\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}}{2}) \cos (\frac{\frac{π}{4} - x + \frac{π}{4}}{2}) = 2 \sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ .

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę cosinusów wykorzystamy poznane wzory na cosinus sumy oraz cosinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów

Twierdzenie: wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą wzory:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie cosinusów i różnicy cosinusów.

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

Twierdzenie: wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą wzory:

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Dowód

Zauważmy, że prawdziwe są następujące zależności:

$\alpha=\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2} \text{ i } \beta=\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Podstawmy do wyrażenia $\cos α + \cos β$ zapisane powyżej zależności:

$\cos\alpha+\cos\beta=\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

Skorzystajmy ze wzorów na cosinus sumy i różnicy argumentówwzorów na cosinus sumy i różnicy argumentów:

$=\left(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+$

$+\left(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

Po redukcji wyrażeń otrzymujemy zależność:

$=\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Podobnie postąpimy, aby udowodnić wzór na różnicę cosinusów:

$\cos\alpha-\cos\beta=\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

$=\left(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+$

$-\left(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

$=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Przykład 5

Zapiszemy wyrażenie $\cos10\alpha\cdot\cos8\alpha+\cos8\alpha\cdot\cos6\alpha$ w postaci iloczynu.

Rozwiązanie

Na początek wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias:

$\cos10\alpha\cdot\cos8\alpha+\cos8\alpha\cdot\cos6\alpha=$

$=\cos8\alpha(\cos10\alpha+\cos6\alpha)=$

Następnie zastosujemy wzór na sumę cosinusówwzór na sumę cosinusów:

$=2\cos8\alpha\cdot\cos\left(\frac{10\alpha+6\alpha}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{10\alpha-6\alpha}{2}\right)=$

By ostatecznie otrzymać postać iloczynową:

$=2\cos8\alpha\cdot\cos8\alpha\cdot\cos2\alpha=2\cos^28\alpha\cdot\cos2\alpha$

Przykład 6

Obliczymy wartość wyrażenia $\displaystyle\frac{\cos7^{\circ}+\cos53^{\circ}+\sqrt{3}\cos23^{\circ}}{2\sqrt{3}\cos23^{\circ}}$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór na sumę cosinusówwzór na sumę cosinusów:

${\displaystyle\frac{\cos7^{\circ}+\cos53^{\circ}+\sqrt{3}\cos23^{\circ}}{2\sqrt{3}\cos23^{\circ}}=}$

${\displaystyle=\frac{2\cos30^{\circ}\cdot\cos23^{\circ}+\sqrt{3}\cos23^{\circ}}{2\sqrt{3}\cos23^{\circ}}=}$

Następnie zredukujemy wyrazy podobne i otrzymamy wynik:

${\displaystyle=\frac{\sqrt{3}\cos23^{\circ}+\sqrt{3}\cos23^{\circ}}{2\sqrt{3}\cos23^{\circ}}=1}$

Przykład 7

Obliczymy wartość wyrażenia: ${\displaystyle\frac{\cos8^{\circ}+\cos14^{\circ}+\cos34^{\circ}+\cos40^{\circ}}{\sin87^{\circ}\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}}$ .

Rozwiązanie

Najpierw zmienimy kolejność składników sumy w liczniku, aby można było wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias:

$\displaystyle\frac{\cos8^{\circ}+\cos14^{\circ}+\cos34^{\circ}+\cos40^{\circ}}{\sin87^{\circ}\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}=$

$\displaystyle=\frac{(\cos40^{\circ}+\cos8^{\circ})+(\cos34^{\circ}+\cos14^{\circ})}{\sin87^{\circ}\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}=$

$\displaystyle=\frac{2\cos24^{\circ}\cdot\cos16^{\circ}+2\cos24^{\circ}\cdot\cos10^{\circ}}{\sin87^{\circ}\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}.$

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów i otrzymujemy wynik:

$\displaystyle\frac{2\cos24^{\circ}\left(\cos10^{\circ}+\cos16^{\circ}\right)}{\sin\left(90^{\circ}-3^{\circ}\right)\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}=\frac{2\cdot2\cos13^{\circ}\cdot\cos3^{\circ}}{\cos13^{\circ}\cdot\cos3^{\circ}}=4.$

Przykład 8

Obliczymy $tg x$ wiedząc, że $\cos\left(x+30^{\circ}\right)+\cos\left(x-30^{\circ}\right)=\sqrt{3}\sin x.$

Rozwiązanie

Lewą stronę równania $\cos\left(x+30^{\circ}\right)+\cos\left(x-30^{\circ}\right)=\sqrt{3}\sin x$ przekształcamy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów:

$2\cos30^{\circ}\cdot\cos x=\sqrt{3}\sin x$

Otrzymujemy równanie:

$\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}\sin x,$

które po podzieleniu stronami przez $\sqrt{3} \cos x$ daje oczekiwany wynik:

$\text{tg }x=1.$

Polecenie 4

Zapoznaj się z filmem, a następnie wykonaj polecania umieszczone pod nim.

R1IaWa1dPn4EJ

Polecenie 5

Rh5mmpKyg37E9

Polecenie 6

RDbBI518o0j8T

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę tangensów wykorzystamy poznane wzory na sinus sumy oraz sinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

Twierdzenie: wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

Dla dowolnych $α$ , $β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory:

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \sin β \cos α

\sin (α - β) = \sin α \cos β - \sin β \cos α

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie tangensów i różnicy tangensów.

wzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensów

Twierdzenie: wzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensów

Dla dowolnych $α$ , $β \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos α \neq 0$ i $\cos β \neq 0$ , zachodzą następujące wzory:

tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}

tg α - tg β = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}

Dowód

Skorzystamy z tożsamości: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , gdzie $\cos α \neq 0$ :

$tg α + tg β = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\sin β}{\cos β}$ .

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

$\frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\sin β}{\cos β} = \frac{\sin α \cos β + \sin β \cos α}{\cos α \cos β} = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}$

co kończy dowód.

Skorzystamy z tożsamości: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , gdzie $\cos α \neq 0$ :

$tg α - tg β = \frac{\sin α}{\cos α} - \frac{\sin β}{\cos β}$ .

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

$\frac{\sin α}{\cos α} - \frac{\sin β}{\cos β} = \frac{\sin α \cos β - \sin β \cos α}{\cos α \cos β} = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}$

co kończy dowód.

Przykład 9

Obliczymy wartość wyrażenia: $\frac{(1 + tg 10 °) \cdot \cos 10 °}{\sqrt{2} \sin 55 °}$ .

Rozwiązanie

W wyrażeniu podstawmy $tg 45 °$ w miejsce liczby $1$ .

$\frac{(1 + tg 10 °) \cdot \cos 10 °}{\sqrt{2} \sin 55 °} = \frac{(tg 45 ° + tg 10 °) \cdot \cos 10 °}{\sqrt{2} \sin 55 °}$

Następnie skorzystajmy ze wzoru na sumę tangensówwzoru na sumę tangensów.

$= \frac{\frac{\sin (45 ° + 10 °)}{\cos 45 ° \cos 10 °} \cdot \cos 10 °}{\sqrt{2} \sin 55 °} =$

Po redukcji równych wyrażeń otrzymujemy wynik.

$= \frac{\frac{\sin 55 °}{\cos 45 °}}{\sqrt{2} \sin 55 °} = \frac{\sin 55 °}{\sin 55 °} = 1$

Przykład 10

Uzasadnimy, że wyrażenie $tg (\frac{π}{3} + \frac{α}{4}) + tg (\frac{π}{3} - \frac{α}{4})$ nie przyjmuje wartości $0$ dla żadnego argumentu $α$ .

Rozwiązanie

W wyrażeniu:

$tg (\frac{π}{3} + \frac{α}{4}) + tg (\frac{π}{3} - \frac{α}{4}) =$

zastosujemy wzór na sumę tangensówwzór na sumę tangensów.

$= \frac{\sin \frac{2 π}{3}}{\cos (\frac{π}{3} + \frac{α}{4}) \cdot \cos (\frac{π}{3} - \frac{α}{4})} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos (\frac{π}{3} + \frac{α}{4}) \cdot \cos (\frac{π}{3} - \frac{α}{4})}$ .

Z postaci wyrażenia wynika, że licznik jest zawsze różny od zera, a zatem cały ułamek jest różny od $0$ .

Przykład 11

Obliczymy wartość wyrażenia $\cos x \cos y$ , jeżeli wiadomo, że $tg x + tg y = 5$ i $x + y = 150 °$ .

Rozwiązanie

Zapiszmy wzór na sumę tangensówwzór na sumę tangensów.

$tg x + tg y = \frac{\sin (x + y)}{\cos x \cos y}$ .

Korzystając z warunku $x + y = 150 °$ otrzymujemy wyrażenie:

$tg x + tg y = \frac{\sin 150 °}{\cos x \cos y} = \frac{\frac{1}{2}}{\cos x \cos y}$ .

Z faktu, że $tg x + tg y = 5$ otrzymujemy równanie:

$\frac{\frac{1}{2}}{\cos x \cos y} = 5$

$\cos x \cos y = \frac{1}{10}$ .

Przykład 12

Udowodnimy, że $tg 20 ° + tg 40 ° < \sqrt{2}$ .

Rozwiązanie

Korzystając z faktu, że funkcja tangens jest rosnąca w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ , możemy próbować szacować w następujący sposób:

$tg 20 ° + tg 40 ° < tg 30 ° + tg 45 ° < \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$ .

Niestety, $\sqrt{2} < \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$ , a zatem ten sposób nie daje poprawnego dowodu zadania.

Musimy podejść inaczej do tego problemu.

Skorzystajmy ze wzoru na sumę tangensówwzoru na sumę tangensów:

$tg 20 ° + tg 40 ° = \frac{\sin (20 ° + 40 °)}{\cos 20 ° \cos 40 °} = \frac{\sin 60 °}{\cos 20 ° \cos 40 °} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 20 ° \cos 40 °}$ .

Korzystając z faktu, że funkcja cosinus w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ jest malejąca, zauważmy, że:

$\cos 20 ° > \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

oraz

$\cos 40 ° > \cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Zatem możemy oszacować z góry wyrażenie $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 20 ° \cos 40 °}$ :

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 20 ° \cos 40 °} < \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$ ,

co kończy dowód.

Polecenie 7

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, a następnie wykonaj polecenia znajdujące się pod nim.

RI74s70ESXgoj

Polecenie 8

Uzasadnij, że jeżeli $tg x - tg 3 x = 0$ , to $\sin 2 x = 0$ .

Skorzystajmy ze wzoru na różnicę tangensów: $tg x - tg 3 x = 0$ .

$\frac{\sin (x - 3 x)}{\cos x \cos 3 x} = 0$

Z tego równania wynika, że $\sin (- 2 x) = 0$ .

Zatem mamy tezę $\sin 2 x = 0$ .

Polecenie 9

oblicz $tg 22, 5 ° + tg 67, 5 °$ .

$tg 22, 5 ° + tg 67, 5 ° = \frac{\sin (22, 5 ° + 67, 5 °)}{\cos 22, 5 ° \cos 67, 5 °} = \frac{\sin 90 °}{\cos 22, 5 ° \sin 22, 5 °} =$

$= \frac{2}{2 \cos 22, 5 ° \sin 22, 5 °} = \frac{1}{\sin 45 °} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$ .

Poniżej przedstawimy kilka typów tożsamości trygonometrycznych. W przedstawionych przykładach będziemy przekształcać jedną ze stron równości, zwykle tę bardziej skomplikowaną, tak długo, aż otrzymamy drugą stronę równości.

Przykład 13

Uzasadnimy, że równość $tg 3 x + tg x = \frac{4 \sin x \cos 2 x}{\cos 3 x}$ jest tożsamością trygonometryczną.

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy założenia: $\cos x \neq 0$ , $\cos 3 x \neq 0$ .

Skorzystajmy ze wzoru na sumę tangensówwzoru na sumę tangensów i zapiszmy w nowej postaci lewą stronę równości:

$L = t g 3 x + t g x = \frac{\sin 4 x}{\cos x \cos 3 x}$

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego argumentu $\sin 4 x = 2 \sin 2 x \cos 2 x$ zapisujemy lewą stronę w nastepującej postaci:

$\frac{\sin 4 x}{\cos x \cos 3 x} = \frac{2 \sin 2 x \cos 2 x}{\cos x \cos 3 x} = \frac{4 \sin x \cos x \cos 2 x}{\cos x \cos 3 x}$

Po skróceniu $\cos x$ otrzymujemy prawą stronę równości:

$\frac{4 \sin x \cos 2 x}{\cos 3 x} = P$

A to oznacza, że równość jest tożsamością.

Przykład 14

Udowodnimy tożsamość: $\frac{\sin 3 x - \sin x}{\cos 3 x + \cos x} = tg x$ .

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos 3 x + \cos x \neq 0$ , $\cos x \neq 0$ .

Zapiszemy licznik lewej strony równości za pomocą wzoru na różnicę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów $\sin 3 x - \sin x = 2 \sin x \cdot \cos 2 x$ oraz mianownik korzystając ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów $\cos 3 x + \cos x = 2 \cos 2 x \cdot \cos x$ .

Wówczas możemy przekształcić lewą stronę równości do postaci:

$\frac{\sin 3 x - \sin x}{\cos 3 x + \cos x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos 2 x}{2 \cos 2 x \cdot \cos x}$ .

Po skróceniu wspólnego czynnika w liczniku i mianowniku otrzymujemy prawą stronę:

$\frac{2 \sin x \cdot \cos 2 x}{2 \cos 2 x \cdot \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = tg x$ .

A to oznacza, że równość jest tożsamością.

Przykład 15

Uzasadnimy, że równość: $\frac{\sin 2 x + 2 \sin x \cdot \cos 2 x}{1 + \cos x + \cos 2 x + \cos 3 x} = tg x$ jest tożsamością.

Rozwiązanie

Jak zawsze, zaczniemy od wypisania założeń: $1 + \cos x + \cos 2 x + \cos 3 x \neq 0$ , $\cos x \neq 0$ .

Aby przekształcić lewą stronę równości, skorzystamy ze wzorów na funkcje podwojonego argumentu: $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ i $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1$ oraz zastosujemy wzór na sumę cosinusówwzór na sumę cosinusów: $\cos x + \cos 3 x = 2 \cos x \cos 2 x$ .

Wóczas lewą stronę możemy zapisać następująco:

$L = \frac{\sin 2 x + 2 \sin x \cdot \cos 2 x}{1 + \cos x + \cos 2 x + \cos 3 x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin x \cdot \cos 2 x}{1 + 2 \cos^{2} x - 1 + 2 \cos x \cdot \cos 2 x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin x \cdot \cos 2 x}{2 \cos^{2} x + 2 \cos x \cdot \cos 2 x}$

Po wyłączeniu z licznika przed nawias $2 \sin x$ i wyłączeniu z mianownika przed nawias $2 \sin x$ , otrzymujemy prawą stronę równości:

$\frac{2 \sin x \cdot (\cos x + \cos 2 x)}{2 \cos x \cdot (\cos x + \cos 2 x)} = tg x = P$ .

A to oznacza, że równość jest tożsamością.

W poniższym przykładzie najpierw odpowiednio uporządkujemy funkcje trygonometryczne, aby potem je w odpowiedni sposób pododawać. Zwracamy uwagę na to, że chodzi o to, by powstały wyrażenia podobne, które będzie można wyłączyć przed nawias i skrócić.

Przykład 16

Uzasadnimy, że równość $\frac{\sin 6 x - \sin 7 x - \sin 8 x + \sin 9 x}{\cos 6 x - \cos 7 x - \cos 8 x + \cos 9 x} = tg \frac{15 x}{2}$ jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos 6 x - \cos 7 x - \cos 8 x + \cos 9 x \neq 0$ , $\cos x \neq 0$ .

Uporządkujemy w taki sposób funkcje w liczniku i mianowniku, aby można je było odpowiednio dodać:

$L = \frac{\sin 6 x - \sin 7 x - \sin 8 x + \sin 9 x}{\cos 6 x - \cos 7 x - \cos 8 x + \cos 9 x} = \frac{\sin 6 x + \sin 9 x - (\sin 7 x + \sin 8 x)}{\cos 6 x + \cos 9 x - (\cos 7 x + \cos 8 x)}$

Korzystając ze wzoru na sinus sumywzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na sinus sumy zapisujemy:

$\sin 6 x + \sin 9 x = 2 \sin \frac{6 x + 9 x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 9 x}{2}$

$\sin 7 x + \sin 8 x = 2 \sin \frac{7 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{7 x - 8 x}{2}$

Korzystając ze wzoru na cosinus sumywzoru na cosinus sumy zapisujemy:

$\cos 6 x + \cos 9 x = 2 \cos \frac{6 x + 9 x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 9 x}{2}$

$\cos 7 x + \cos 8 x = 2 \cos \frac{7 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{7 x - 8 x}{2}$

Wówczas lewa strona przyjmuje postać:

$L = \frac{2 \sin \frac{6 x + 9 x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 9 x}{2} - 2 \sin \frac{7 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{7 x - 8 x}{2}}{2 \cos \frac{6 x + 9 x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 9 x}{2} - 2 \cos \frac{7 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{7 x - 8 x}{2}}$

Po wyłączeniu wspólnych czynników przed nawias w liczniku i mianowniku otrzymujemy prawą stronę:

$L = \frac{\sin \frac{15 x}{2} \cdot (\cos \frac{3 x}{2} - \cos \frac{x}{2})}{\cos \frac{15 x}{2} \cdot (\cos \frac{3 x}{2} - \cos \frac{x}{2})} = tg \frac{15 x}{2} = P$

A to oznacza, że równość jest tożsamością.

Polecenie 10

Zapoznaj się uważnie z infografiką i przeanalizuj metody w niej wykorzystane do dowodu tożsamości.

RckmI4T7RPybz1

Infografika. Udowodnimy, że jeżeli alfa, beta i gamma są kątami trójkąta A B C, to zachodzi tożsamość sinus alfa, plus, sinus BETA, plus, sinus GAMMA, równa się, cztery kosinus początek ułamka, alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, GAMMA, mianownik, dwa, koniec ułamka. Rozwiązanie. Zauważmy, że alfa, plus, BETA, plus, GAMMA, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, gdyż alfa, BETA, GAMMA są kątami trójkąta. Mamy więc L, równa się, sinus alfa, plus, sinus BETA, plus, sinus GAMMA, równa się Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego: sinus nawias sto osiemdziesiąt stopni, minus, x zamknięcie nawiasu, równa się, sinus x. równa się, sinus alfa, plus, sinus BETA, plus, sinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, minus, BETA, zamknięcie nawiasu, równa się Mamy więc wobec wzoru równa się, sinus alfa, plus, sinus BETA, plus, sinus nawias, alfa, plus, BETA, zamknięcie nawiasu, równa się Następnie skorzystamy ze wzoru sinus alfa, plus, sinus BETA, równa się, dwa sinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, kosinus początek ułamka, alfa, minus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka. równa się, dwa sinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, alfa, minus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, sinus nawias, alfa, plus, BETA, zamknięcie nawiasu, równa się Następnie skorzystamy z równości sinus nawias, alfa, plus, BETA, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus nawias, dwa początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu równa się, dwa sinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, alfa, minus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa sinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się Wyłączamy przed nawias dwa sinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka. równa się, dwa sinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, kosinus początek ułamka, alfa, minus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, kosinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się Skorzystamy z następującej równości: kosinus x, plus, kosinus y, równa się, dwa kosinus początek ułamka, x, plus, y, mianownik, dwa, koniec ułamka, kosinus początek ułamka, x, minus, y, mianownik, dwa, koniec ułamka równa się, dwa sinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, dwa kosinus początek ułamka, początek ułamka, alfa, minus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, początek ułamka, alfa, minus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się Po przekształceniu mamy: równa się, dwa sinus początek ułamka, alfa, plus, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwa kosinus początek ułamka, alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się Wykorzystujemy fakt, że alfa, plus, BETA, plus, GAMMA, równa się, sto osiemdziesiąt stopni. równa się, cztery sinus początek ułamka, sto osiemdziesiąt stopni, minus, GAMMA, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, cztery kosinus początek ułamka, alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, GAMMA, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, P Udowodniliśmy, że równość sinus alfa, plus, sinus BETA, plus, sinus GAMMA, równa się, cztery kosinus początek ułamka, alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, BETA, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, kosinus początek ułamka, GAMMA, mianownik, dwa, koniec ułamka dla kątów trójkąta alfa, BETA, GAMMA.

Polecenie 11

Udowodnij, że równość $\frac{\sin α - \sin β}{\cos α + \cos β} = tg \frac{α - β}{2}$ jest tożsamością.

Założenia: $\cos α + \cos β \neq 0$ , $\cos \frac{α - β}{2} \neq 2$ .

$\frac{\sin α - \sin β}{\cos α + \cos β} = \frac{2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}}{2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}} = \frac{\sin \frac{α - β}{2}}{\cos \frac{α - β}{2}} = tg \frac{α - β}{2}$

Pokażemy teraz zastosowanie poznanych wzorów do rozwiązywania równań. Przypomnijmy na początek wzory, z których będziemy korzystać.

wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie: wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory:

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{α - β}{2}

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos α \neq 0$ i $\cos β \neq 0$ , zachodzą następujące wzory:

tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}

tg α - tg β = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}

Poniżej przedstawimy przykłady, jak wykorzystać wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania równań.

Przykład 17

Rozwiążemy równanie: $\sin 2 x + \sin 4 x = 0$ .

Rozwiązanie

Pierwszy sposób

Najpierw skorzystamy ze wzoru na sumę sinusów:

$2 \sin \frac{2 x + 4 x}{2} \cdot \cos \frac{4 x - 2 x}{2} = 0$ .

Stąd otrzymujemy:

$\sin 3 x \cdot \cos x = 0$ .

Zatem $\sin 3 x = 0$ lub $\cos x = 0$ .

Otrzymujemy odpowiedź:

$x = \frac{k π}{3}$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Drugi sposób

Przedstawimy drugi sposób, w którym nie odwołujemy się do wzorów na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych. Jest to bardzo przydatna metoda opierająca się na porównywaniu wartości tej samej funkcji trygonometrycznej.

Zapiszmy równanie w postaci:

$\sin 2 x = - \sin 4 x$ .

Wykorzystajmy nieparzystość funkcji sinus:

$\sin 2 x = \sin (- 4 x)$ .

Zatem z porównania wartości funkcji sinus otrzymujemy, że: $2 x = - 4 x + 2 k π$ lub $2 x = π - (- 4 x) + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Stąd dostajemy już odpowiedź:

$x = \frac{k π}{3}$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 18

Rozwiążemy równanie: $\cos 4 x - \sin 4 x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Rozwiązanie

Pierwszy sposób

Korzystając ze wzoru redukcyjnego, zapiszmy równanie tak, aby otrzymać różnicę cosinusów:

$\cos 4 x - \cos (\frac{π}{2} - 4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów:

$- 2 \sin \frac{4 x + \frac{π}{2} - 4 x}{2} \sin \frac{4 x - \frac{π}{2} + x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$- 2 \sin \frac{π}{4} \sin (4 x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$- 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (4 x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Wykorzystując wzór: $\sin (\frac{π}{2} + y) = - \cos y$ , otrzymujemy:

$\sqrt{2} \cos (4 x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

$\cos (4 x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ .

Stąd otrzymujemy:

$4 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 π k$ lub $4 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{3} + 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

$4 x = \frac{π}{12} + 2 k π$ lub $4 x = - \frac{7 π}{12} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź:

$x = \frac{π}{48} + \frac{k π}{2}$ lub $x = - \frac{7 π}{48} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Drugi sposób

Wykorzystamy tożsamość trygonometryczną: dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi jedynka trygonometrycznajedynka trygonometrycznajedynka trygonometryczna: $\cos^{2} 4 x + \sin^{2} 4 x = 1$ .

Z równania danego w zadaniu wyliczamy np. $\cos 4 x = \sin 4 x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ i podstawiamy do jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej:

${(\sin 4 x + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \sin^{2} 4 x = 1$ . Stąd otrzymujemy równanie:

$2 \sin^{2} 4 x + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 4 x - \frac{1}{2} = 0$ .

Podstawiając nową zmienną $t = \sin 4 x$ otrzymujemy równanie kwadratowe:

$2 t^{2} + \sqrt{2} t - \frac{1}{2} = 0$ . $Δ = 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = 6$ .

Zatem $t = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ lub $t = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ . Rozwiązaniami równania $2 \sin^{2} 4 x + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 4 x - \frac{1}{2} = 0$ są zatem:

$\sin 4 x = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ lub $\sin 4 x = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Jeżeli $\sin 4 x = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ , to $\cos 4 x = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ .

Jeżeli $\sin 4 x = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ , to $\cos 4 x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Pozostaje najtrudniejsza część rozwiązania: ustalenie wartości, jakie przyjmuje $x$ ; są to: $4 x = - \frac{7 π}{12} + 2 k π$ lub $4 x = \frac{π}{12} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź:

$x = - \frac{7 π}{48} + \frac{k π}{2}$ lub $x = \frac{π}{48} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ważne!

Drugi sposób rozwiązywania przykładu 2 opiera się na podstawowym pojęciu jakim jest jedynka trygonometrycznajedynka trygonometrycznajedynka trygonometryczna, jednak może powodować trudności w ostatniej fazie rozwiązania, gdy trzeba wskazać konkretne wartości zmiennej. Zatem w zadaniach podobnych do przykładu 2 rekomendujemy pierwszy sposób.

Przykład 19

Rozwiążemy równanie: $\sin x + \sin 3 x + \sin 5 x = 0$ .

Rozwiązanie

Zmieniamy kolejność składników:

$\sin x + \sin 5 x + \sin 3 x = 0$ .

Stosujemy wzór na sumę sinusówsumę sinusów:

$2 \sin \frac{x + 5 x}{2} \cdot \cos \frac{x - 5 x}{2} + \sin 3 x = 0$ ,

$2 \sin 3 x \cdot \cos 2 x + \sin 3 x = 0$ .

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:

$2 \sin 3 x \cdot (\cos 2 x + \frac{1}{2}) = 0$ .

Otrzymujemy alternatywę równań:

$\sin 3 x = 0$ lub $\cos 2 x = - \frac{1}{2}$ .

Otrzymujemy rozwiązania:

$3 x = π k$ lub $2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π$
lub $2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem:

$x = \frac{π}{3} k$ lub $x = \frac{π}{3} + k π$ lub $x = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

W uproszczeniu możemy zapisać:

Odpowiedź:

$x = \frac{k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 20

Rozwiążemy równanie: $tg x + \sin (x + 45 °) = - 1$ .

Rozwiązanie

Aby istniał tangens, zakładamy, że $\cos x \neq 0$ .

Zapisujemy składniki w innej kolejności:

$1 + tg x + \sin (x + 45 °) = 0$ .

Podstawiamy za liczbę 1 wartość funkcji tangens dla odpowiedniego argumentu:

$tg 45 ° + tg x + \sin (x + 45 °) = 0$ .

Wykorzystujemy wzór na sumę tangensówwzór na sumę tangensów:

$\frac{\sin (x + 45 °)}{\cos x \cos 45 °} + \sin (x + 45 °) = 0$ .

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:

$\sin (x + 45 °) (\frac{1}{\cos x \cos 45 °} + 1) = 0$ .

Zapisujemy alternatywę równań:

$\sin (x + 45 °) = 0$ lub $\frac{1}{\cos x \cos 45 °} = - 1$ .

Rozwiązaniem równania $\sin (x + 45 °) = 0$ jest każda liczba postaci $x + 45 ° = k \cdot 180 °$ , czyli $x = - 45 ° + k \cdot 180 °$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Równanie $\frac{1}{\cos x \cos 45 °} = - 1$ jest równoważne równaniu $\cos x = - \sqrt{2}$ , które jest równaniem sprzecznym.

Odpowiedź:

$x = - 45 ° + k \cdot 180 °$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Polecenie 12

Zapoznaj się uważnie z animacją, a następnie wykonaj polecenia umieszczone pod nią.

R1G2JQ7hvCA5G

Polecenie 13

R10P7sSKSDkbr

Polecenie 14

Zapisz równanie

$\cos5x-\sin5x=\sin7x-\cos7x$

jako alternatywę dwóch równań.

Przekształcamy równanie do nastepującej postaci

$\cos5x+\cos7x=\sin7x+\sin5x$ .

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusów oraz ze wzoru na sumę sinusów:

$2\cos\frac{5x+7x}{2}\cdot\cos\frac{5x-7x}{2}-2\sin\frac{7x+5x}{2}\cdot\cos\frac{7x-5x}{2}=0.$

Po wyłączeniu przed nawias wspólnego czynnika, otrzymujemy równanie:

$2\cos x\cdot\left(\cos6x-\sin6x\right)=0$ ,

które możemy zapisać jako alternatywę równań: $\cos x = 0$ lub $tg 6 x = 1$ .

RN4mInkh6YnjZ1

Ćwiczenie 1

R1ZSpEcU7VXe81

Ćwiczenie 2

R1TQaFSr6A6TW2

Ćwiczenie 3

Ra01JEA4KPiZk2

Ćwiczenie 4

R8Wlg2CfT6t1Q2

Ćwiczenie 5

RJn8LMicUpzfn2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{\sin 43 ° + \sin 17 °}{2 \cos 13 ° + 3 \sin 77 °}$ .

Zastosujmy wzór na sumę sinusów

$\frac{\sin 43 ° + \sin 17 °}{2 \cos 13 ° + 3 \sin 77 °} =$

$= \frac{2 \sin 30 ° \cdot \cos 13 °}{2 \cos 13 ° + 3 \sin (90 ° - 13 °)} =$

$= \frac{\cos 13 °}{2 \cos 13 ° + 3 \cos 13 °} = \frac{1}{5}$ .

Ćwiczenie 8

Zapisz wyrażenie $\sin x + \sin 2 x + \sin 3 x + \sin 4 x$ jako iloczyn trzech funkcji trygonometrycznych.

Zapiszmy składniki sumy w innej kolejności

$\sin x + \sin 2 x + \sin 3 x + \sin 4 x = (\sin x + \sin 4 x) + (\sin 2 x + \sin 3 x)$ .

Wykorzystujemy dwukrotnie wzór na sumę sinusów i po przekształceniach otrzymujemy wspólny czynnik, który można wyłączyć przed nawias

$(2 \sin \frac{5 x}{2} \cos \frac{3 x}{2}) + (2 \sin \frac{5 x}{2} \cos \frac{x}{2}) = 2 \sin \frac{5 x}{2} (\cos \frac{3 x}{2} + \cos \frac{x}{2})$ .

Wykorzystujemy wzór na sumę sinusów

$2 \sin \frac{5 x}{2} (\sin (\frac{π}{2} - \frac{3 x}{2}) + \sin (\frac{π}{2} - \frac{x}{2})) = 2 \sin \frac{5 x}{2} (2 \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \cos \frac{x}{2})$

i otrzymujemy odpowiedź

$\sin x + \sin 2 x + \sin 3 x + \sin 4 x = 4 \sin \frac{5 x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2}$ .

RNVdjyMsteTG31

Ćwiczenie 9

R1CKDslqVQrmW1

Ćwiczenie 10

R1HQfp2ljzI6K2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Zaznacz prawidłową odpowiedź. Wartość wyrażenia $\displaystyle\frac{\cos\frac\pi5+\cos\frac{2\pi}5}{2\cos\frac{3\pi}{10}\cdot\cos\frac\pi{10}}$ jest równa:

RIjavw6lhGg3X

R55yeYp5c2uQE2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Zaznacz prawidłową odpowiedź. Wartość wyrażenia $\displaystyle\frac{\cos48^\circ+\cos42^\circ+\sqrt2\cos3^\circ}{\sqrt2\sin87^\circ}$ jest równa:

RWDNAedX75Dce

Ćwiczenie 15

Oblicz wartość wyrażenia: $\displaystyle\frac{\cos10^\circ+\sin10^\circ}{\sqrt2\sin55^\circ}$ .

$\displaystyle\frac{\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}}{\sqrt{2}\sin55^{\circ}}=$

$\displaystyle=\frac{\cos10^{\circ}+\sin\left(90^{\circ}-80^{\circ}\right)}{\sqrt{2}\sin55^{\circ}}=\frac{\cos10^{\circ}+\cos80^{\circ}}{\sqrt{2}\sin55^{\circ}}=$

$\displaystyle=\frac{2\cos45^{\circ}\cdot\cos35^{\circ}}{\sqrt{2}\sin55^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}\cos\left(90^{\circ}-55^{\circ}\right)}{\sqrt{2}\sin55^{\circ}}=\frac{\sin55^{\circ}}{\sin55^{\circ}}=1$

Ćwiczenie 16

Zapisz poniższe wyrażenie $\cos2x-\cos4x-\cos6x+\cos8x$ w postaci iloczynu trzech funkcji trygonometrycznych.

Porządkujemy sumę w innej kolejności:

$(\cos2x+\cos8x)-(\cos4x+\cos6x).$

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusów oraz z parzystości funkcji cosinus:

$2\cos\frac{2x+8x}{2}\cdot\cos\frac{2x-8x}{2}-2\cos\frac{4x+6x}{2}\cdot\cos\frac{4x-6x}{2}.$

Otrzymujemy wyrażenie:

$2\cos5x\cdot\cos3x-2\cos5x\cdot\cos x.$

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias

$2\cos5x(\cos3x-\cos x)$

i korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów:

$2\cos5x\cdot(-2)\cdot\sin\frac{3x-x}{2}\cdot\sin\frac{3x+x}{2}.$

Stąd otrzymujemy iloczyn trzech funkcji trygonometrycznych:

$-4\cos5x\cdot\sin x\cdot\sin2x.$

Pokaż ćwiczenia:

RSyBpL35bal651

Ćwiczenie 17

R1cnsoousGF6b1

Ćwiczenie 18

RzYWmOgrUO1tR2

Ćwiczenie 19

Połącz w pary wyrażenia równe. tangens nawias, x, plus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, plus, tangens nawias, x, minus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, sinus dwa x, mianownik, kosinus nawias, x, minus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, c os nawias, x, plus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa sinus nawias, trzydzieści stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, sinus nawias, trzydzieści stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sinus dwa x, mianownik, sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, kosinus nawias, x, minus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, minus, jeden, mianownik, sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, kosinus nawias, x, plus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka tangens nawias, x, minus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, minus, tangens nawias, x, plus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, sinus dwa x, mianownik, kosinus nawias, x, minus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, c os nawias, x, plus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa sinus nawias, trzydzieści stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, sinus nawias, trzydzieści stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sinus dwa x, mianownik, sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, kosinus nawias, x, minus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, minus, jeden, mianownik, sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, kosinus nawias, x, plus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka tangens nawias, sześćdziesiąt stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, plus, tangens nawias, x, plus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, sinus dwa x, mianownik, kosinus nawias, x, minus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, c os nawias, x, plus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa sinus nawias, trzydzieści stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, sinus nawias, trzydzieści stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sinus dwa x, mianownik, sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, kosinus nawias, x, minus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, minus, jeden, mianownik, sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, kosinus nawias, x, plus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka tangens nawias, sześćdziesiąt stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, tangens nawias, x, plus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, początek ułamka, sinus dwa x, mianownik, kosinus nawias, x, minus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, c os nawias, x, plus, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa sinus nawias, trzydzieści stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, sinus nawias, trzydzieści stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sinus dwa x, mianownik, sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, kosinus nawias, x, minus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 4. początek ułamka, minus, jeden, mianownik, sinus nawias, czterdzieści pięć stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, kosinus nawias, x, plus, czterdzieści pięć stopni, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka

RMzh5agTAo8aM2

Ćwiczenie 20

RUFyKHuCqCZZQ2

Ćwiczenie 21

RXqciVcFjxnGb2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Udowodnij, że $tg 40 ° + tg 50 ° < 2 \sqrt{2}$ .

Korzystamy ze wzoru na sumę tangensów:

$tg 40 ° + tg 50 ° = \frac{\sin (40 ° + 50 °)}{\cos 40 ° \cos 50 °} = \frac{1}{\cos 40 ° \cos 50 °}$ .

Korzystamy z monotoniczności funkcji cosinus:

$\cos 40 ° > \cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

$\cos 50 ° > \cos 60 ° = \frac{1}{2}$ .

Kończymy szacowanie:

$tg 40 ° + tg 50 ° = \frac{1}{\cos 40 ° \cos 50 °} < \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 24

Oblicz wartość wyrażenia: $tg 9 ° - tg 27 ° - tg 63 ° + tg 81 °$ .

Porządkujemy równanie:

$tg 9 ° + tg 81 ° - (tg 27 ° + tg 63 °) =$

Stosujemy wzory na sumę tangensów:

$\frac{\sin 90 °}{\cos 9 ° \cos 81 °} - \frac{\sin 90 °}{\cos 27 ° \cos 63 °} =$

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych:

$\frac{1}{\cos 9 ° \sin 9 °} - \frac{1}{\cos 27 ° \sin 27 °} =$

$\frac{2}{2 \cos 9 ° \sin 9 °} - \frac{2}{2 \cos 27 ° \sin 27 °} =$

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta:

$\frac{2}{\sin 18 °} - \frac{2}{\sin 54 °} = 2 (\frac{\sin 54 ° - \sin 18 °}{\sin 18 ° \sin 54 °}) =$

Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów i otrzymujemy wynik:

$2 (2 \frac{\sin \frac{54 ° - 18 °}{2} \cos \frac{54 ° + 18 °}{2}}{\sin 18 ° \sin 54 °}) = 4 \frac{\sin 18 ° \cos 36 °}{\sin 18 ° \sin 54 °} = 4$ .

RNM8asvSfMygS1

Ćwiczenie 25

RkfCYLwhSmQhu1

Ćwiczenie 26

Rl2b52FAL1xMz2

Ćwiczenie 27

R4g3ew88IUsWl2

Ćwiczenie 28

R1288eJMdPs1S2

Ćwiczenie 29

R11U8F7CV6SBM2

Ćwiczenie 30

Ćwiczenie 31

Udowodnij, że równość

$\frac{\sin α + \sin β}{\cos α + \cos β} = tg \frac{α + β}{2}$

jest tożsamością.

Założenia: $\cos α + \cos β \neq 0$ , $\cos \frac{α + β}{2} \neq 0$ . $L = \frac{\sin α + \sin β}{\cos α + \cos β} = \frac{2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}}{2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}} = \frac{\sin \frac{α + β}{2}}{\cos \frac{α + β}{2}} = tg \frac{α + β}{2} = P$

Ćwiczenie 32

Udowodnij, że równość

$\frac{\sin α + \sin 3 α + \sin 5 α + \sin 7 α}{\cos α + \cos 3 α + \cos 5 α + \cos 7 α} = tg 4 α$

jest tożsamością.

Założenia: $\cos α + \cos 3 α + \cos 5 α + \cos 7 α \neq 0$ , $\cos 4 α \neq 0$ .

Zapiszmy korzystając ze wzorów:

$\sin α + \sin 7 α = 2 \sin 4 α \cdot \cos 3 α$

$\sin 3 α + \sin 5 α = 2 \sin 4 α \cdot \cos α$

$\cos α + \cos 7 α = 2 \cos 4 α \cdot \cos 3 α$

$\cos 3 α + \cos 5 α = 2 \cos 4 α \cdot \cos α$

Wówczas:

$L = \frac{\sin α + \sin 3 α + \sin 5 α + \sin 7 α}{\cos α + \cos 3 α + \cos 5 α + \cos 7 α} = \frac{2 \sin 4 α (\cos α + \cos 3 α)}{2 \cos 4 α (\cos α + \cos 3 α)} = \frac{\sin 4 α}{\cos 4 α} = tg 4 α = P$

Pokaż ćwiczenia:

R1ayAHDSau33Q1

Ćwiczenie 33

R1I9vpgJmVfSk1

Ćwiczenie 34

R141MdkDRfuVF2

Ćwiczenie 35

Połącz w pary równania o tych samych zbiorach rozwiązań. sinus x, plus, sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 4. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden sinus x, minus, sinus nawias, x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 4. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden kosinus x, plus, kosinus nawias, x, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 4. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden kosinus x, minus, kosinus nawias, x, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 3. kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 4. sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden

R1L9jqmNhPFzW2

Ćwiczenie 36

Rr0zDSmk8tA632

Ćwiczenie 37

R1cZlbqZweDOj2

Ćwiczenie 38

Ćwiczenie 39

Rozwiąż równanie: $\cos 5 x + \cos x = - 2 \cos 3 x$ .

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusów:

$2 \cos \frac{5 x + x}{2} \cdot \cos \frac{5 x - x}{2} + 2 \cos 3 x = 0$

$2 \cos 3 x \cdot (\cos 2 x + 1) = 0$

$\cos 3 x = 0$ lub $\cos 2 x = - 1$

$x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$

Ćwiczenie 40

Rozwiąż równanie: $\sin x + \cos x = \sin 3 x + \cos 3 x$ .

Porządkujemy składniki równania:

$\sin x - \sin 3 x = \cos 3 x - \cos x$ .

Korzystamy ze wzorów na różnicę sinusów oraz cosinusów:

$2 \sin (- x) \cos 2 x = - 2 \sin 2 x \sin x$

$\sin x \cos 2 x = \sin 2 x \sin x$

$\sin x \cos 2 x - \sin 2 x \sin x = 0$

Wyciągamy wspólny czynnikim przed nawias:

$\sin x (\cos 2 x - \sin 2 x) = 0$

$\sin x = 0$ lub $\cos 2 x - \sin 2 x = 0$

$\sin x = 0$ lub $tg 2 x = 1$

$x = π k$ lub $2 x = \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

$x = π k$ lub $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$

Słownik

wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \sin β \cos α$

$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \sin β \cos α$

wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów

dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$

$\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}$

wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą wzory:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą wzory:

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$

wzór na sumę tangensów, wzór na różnicę tangensów

Dla dowolnych $α$ , $β \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos α \neq 0$ i $\cos β \neq 0$ , zachodzą następujące wzory:

$tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}$ ,

$tg α - tg β = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}$ .

wzory na sumę oraz różnicę sinusów

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}

dla dowolnych $α, β \in ℝ$

wzory na sumę oraz różnicę tangensów

tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}

tg α - tg β = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}

dla dowolnych $α, β \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos α \neq 0$ i $\cos β \neq 0$

jedynka trygonometryczna

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi tożsamość: $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ .

wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos α \neq 0$ i $\cos β \neq 0$ , zachodzą następujące wzory:

$tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}$

$tg α - tg β = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}$

5. Równania trygonometryczne, cz. 2

7.* Nierówności trygonometryczne (DODATEK)

Dowód

Słownik