7.* Nierówności trygonometryczne (DODATEK) - M_R_W20_M2 Równania i nierówności trygonometryczne

R1F7nIz1ba1G8

W tym materiale powtórzymy wszystkie wzory na: sumy i różnice funkcji trygonometrycznych, funkcje podwojonego kąta, sumy i różnice funkcji trygonometrycznych i będziemy je stosować do rozwiązywania nierówności. Prezentowane nierówności wykraczają poza wymagania z podstawy programowej, ale są ciekawym rozszerzeniem tej tematyki.

Twoje cele

Przypomnisz sobie wszystkie zależności trygonometryczne.
Zastosujesz poznane zależności trygonometryczne do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych różnych typów.

W poniższym materiale pokażemy całą kolekcję nierówności trygonometrycznych, do rozwiązania których będziemy wykorzystywać wszystkie poznane dotychczas wzory i metody.

Przypomnijmy najpierw najbardziej typowe strategie rozwiązywania nierówności trygonometrycznych.

Zawsze na początku piszemy, co jest dziedziną nierówności, czyli jaki jest zbiór elementów, dla których nierówność ma sens.
Każdą nierówność staramy się sprowadzić do postaci: $\sin x > a$ , $\cos x > a$ lub $tg x > a$ , gdzie $a$ jest pewną liczbą rzeczywistą.
Bardzo wygodną postacią nierówności, która ułatwia rozwiązanie, jest taka postać, w której po jednej stronie nierówności znajduje się iloczyn wyrażeń trygonometrycznych, a po drugiej liczba $0$ .
Częstym motywem dla bardziej złożonych nierówności jest wprowadzenie podstawienia, które sprowadza nierówność trygonometryczną do postaci nierówności kwadratowej, wielomianowej lub wymiernej.
W bardziej złożonych zadaniach musimy skorzystać z poznanych wzorów na: funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów, funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu, sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych.

Przykład 1

Wiadomo, że $\cos 2 x \leq - \frac{7}{8}$ i $\cos x \leq - \frac{1}{4}$ . Obliczymy $\sin \frac{x}{2}$ .

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta zapisujemy jedną z naszych nierówności w innej postaci:

$2 \cos^{2} x - 1 \leq - \frac{7}{8}$ .

Robimy podstawienie: $y = \cos x$ .

Zapisujemy nierówności z nową zmienną:

$2 y^{2} - 1 \leq - \frac{7}{8}$ oraz $y \leq - \frac{1}{4}$ .

Nierówność $2 y^{2} - 1 \leq - \frac{7}{8}$ zapisujemy jako: $2 y^{2} \leq \frac{1}{8}$ .

Stąd dostajemy $- \frac{1}{4} \leq y \leq \frac{1}{4}$ .

Zatem mamy koniunkcję dwóch nierówności:

$y \geq - \frac{1}{4}$ i $y \leq - \frac{1}{4}$ , co oznacza, że:

$y = - \frac{1}{4}$ .

Korzystamy ponownie ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta i otrzymujemy:

$\sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - y}{2} = \frac{10}{16}$ .

Zatem dostajemy odpowiedź:

$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ lub $\sin \frac{x}{2} = - \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wartości liczbowe, które może przyjmować $tg x$ , jeżeli zachodzi nierówność: $tg x > \frac{9 - 3 \cos 2 x}{3 \sin 2 x - 2}$ .

Rozwiązanie

Zakładamy, że: $3 \sin 2 x - 2 \neq 0, \cos x \neq 0$ .

Zapiszemy wzory na cosinus i sinus podwojonego kąta za pomocą funkcji tangens:

$\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos^{2} x + \sin^{2} x} = \frac{1 - {tg}^{2} x}{1 + {tg}^{2} x}$ ,

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^{2} x + \sin^{2} x} = \frac{2 tg x}{1 + {tg}^{2} x}$ .

Podstawiamy: $t = tg x$ .

Wówczas nierówność z zadania przyjmuje postać:

$t > \frac{9 - 3 \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}}{3 \frac{2 t}{1 + t^{2}} - 2}$ .

Przekształcamy kolejno do postaci nierówności wielomianowej:

$t > \frac{6 t^{2} + 3}{- t^{2} + 3 t - 1}$ ,

$t + \frac{6 t^{2} + 3}{t^{2} - 3 t + 1} > 0$ ,

$\frac{(t + 3) (t^{2} + 1)}{t^{2} - 3 t + 1} > 0$ ,

$(t + 3) (t^{2} + 1) (t^{2} - 3 t + 1) > 0$ ,

$(t + 3) (t - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}) (t - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}) > 0$ .

Wówczas nierówność jest równoważna alternatywie warunków:

$- 3 < t < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ lub $t > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Stąd otrzymujemy warunki na $tg x$ :

$- 3 < tg x < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ lub $tg x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $\sin 2 x - \cos x + \sqrt{2} \sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątawzoru na sinus podwojonego kąta zapisujemy naszą nierówność w innej postaci:

$2 \sin x \cos x - \cos x + \sqrt{2} \sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę:

$2 \sin x \cos x - \cos x + \sqrt{2} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ .

Zauważmy, że mamy parzystą liczbę składników a pewne wspólne czynniki występują w parach. Wyłączamy zatem wspólne czynniki przed nawias:

$2 \cos x (\sin x - \frac{1}{2}) + \sqrt{2} (\sin x - \frac{1}{2}) > 0$ .

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy postać iloczynową nierówności:

$(2 \cos x + \sqrt{2}) (\sin x - \frac{1}{2}) > 0$ .

Stąd otrzymujemy alternatywę warunków:

( $\sin x > \frac{1}{2}$ i $\cos x > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ) lub ( $\sin x < \frac{1}{2}$ i $\cos x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ).

Pierwszy warunek $\sin x > \frac{1}{2}$ i $\cos x > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest równoważny warunkowi $\sin x > \frac{1}{2}$ , czyli $x \in (\frac{π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{6} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Drugi warunek $\sin x < \frac{1}{2}$ i $\cos x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest równoważny warunkowi $\cos x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , czyli $x \in (\frac{3 π}{4} + 2 k π, \frac{5 π}{4} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Uwzględniając alternatywę powyższych warunków otrzymujemy odpowiedź: $x \in (\frac{π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{4} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 4

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność $\cos (\sin x) > \sin (\cos x)$ .

Rozwiązanie

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę nierówności:

$\cos (\sin x) - \sin (\cos x) > 0$ .

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\sin (\frac{π}{2} - \sin x) - \sin (\cos x) > 0$ .

Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów i zapisujemy nierówność w postaci:

$2 \sin \frac{\frac{π}{2} - \sin x - \cos x}{2} \cos \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} > 0$ .

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy argumentówsinus sumy argumentówwzoru na sinus sumy argumentów i w innej postaci zapisujemy wyrażenie $\sin x + \cos x$ :

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x) =$

$= \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} \sin x + \sin \frac{π}{4} \cos x) = \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} + x)$ .

Stąd otrzymujemy szacowanie:

$- \sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$ .

Ponieważ $\sqrt{2} < \frac{π}{2}$ , otrzymujemy nierówności: $0 < \frac{π}{2} - \sin x - \cos x < π$ .

Funkcja sinus w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ przyjmuje wartości dodatnie, zatem $\sin \frac{\frac{π}{2} - \sin x - \cos x}{2} > 0$ .

Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy argumentówsinus różnicy argumentówwzoru na sinus różnicy argumentów i w innej postaci zapisujemy wyrażenie $\sin x - \cos x$ :

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x) =$

$= \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} \sin x - \sin \frac{π}{4} \cos x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ .

Stąd otrzymujemy szacowanie:

$- \sqrt{2} \leq \sin x - \cos x \leq \sqrt{2}$ .

Ponieważ $\sqrt{2} < \frac{π}{2}$ , więc $0 < \frac{π}{2} - \sin x + \cos x < π$ , czyli

$0 < \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} < \frac{π}{2}$ .

Funkcja cosinus w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ przyjmuje wartości dodatnie, zatem $\cos \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} > 0$ .

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzą nierówności $\cos \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} > 0$ i $\sin \frac{\frac{π}{2} - \sin x - \cos x}{2} > 0$ , zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność:

$2 \sin \frac{\frac{π}{2} - \sin x - \cos x}{2} \cos \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} > 0$ .

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność: $\cos (\sin x) > \sin (\cos x)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z animacją. Zwróć szczególną uwagę na ostatni przykład pokazany w animacji. Następnie wykonaj polecenie 2.

RwYXbqQM2oEZE

Polecenie 2

Załóżmy, że $α, β \in (0, \frac{π}{4})$ , $γ \in (- \frac{π}{2}, 0)$ oraz $α + β + γ = 0$ . Udowodnij, że $tg α + tg β + tg γ < 0$ .

Na początek wykorzystamy związek między kątami $γ = - α - β$ :

$tg α + tg β + tg γ = tg α + tg β + tg (- α - β) = tg α + tg β - tg (α + β)$ .

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów:

$tg α + tg β - tg (α + β) = tg α + tg β - \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} =$

$= (tg α + tg β) (1 - \frac{1}{1 - tg α tg β}) = (tg α + tg β) \frac{- tg α tg β}{1 - tg α tg β}$ .

Ponieważ $α, β \in (0, \frac{π}{4})$ , więc $0 < tg α < 1$ i $0 < tg β < 1$ .

Zatem

$tg α + tg β > 0$ ,

$- tg α tg β < 0$

$1 - tg α tg β > 0$ .

Stąd $(tg α + tg β) \frac{- tg α tg β}{1 - tg α tg β} < 0$ , co kończy dowód.

Przedstawimy teraz kilka typów nierówności trygonometrycznych. Wzory na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych przede wszystkim są wykorzystywane do zapisania wyrażeń występujących w nierówności w postaci iloczynowej, gdyż porównywanie wyrażeń zapisanych w postaci iloczynu z zerem jest znacząco łatwiejsze.

Przykład 5

Uzasadnimy, że zachodzi nierówność $\sin 143 ° + \sin 23 ° > \sin 82 °$ .

Rozwiązanie

Na początku przekształcimy lewą stronę nierówności poprzez obliczenie sumy sinusów z wykorzystaniem wzoru na sumę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na sumę sinusów:

$\sin 143 ° + \sin 23 ° = 2 \sin \frac{143 ° + 23 °}{2} \cos \frac{143 ° - 23 °}{2} = 2 \sin 83 ° \cos 60 ° = \sin 83 °$ .

Ponieważ funkcja sinus jest funkcją rosnącą w przedziale $(0 °, 90 °)$ , zatem

$\sin 83 ° > \sin 82 °$ .

Stąd otrzymujemy tezę.

Przykład 6

Rozwiążemy nierówność: $\sin (2 x - \frac{π}{3}) - \cos (\frac{π}{4} + 2 x) < 0$ .

Rozwiązanie

Najpierw korzystamy ze wzoru redukcyjnego $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ i zapisujemy nierówność w postaci:

$\sin (2 x - \frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4} - 2 x) < 0$ .

Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów i przekształcamy lewą stronę nierówności:

$2 \sin \frac{2 x - \frac{π}{3} - \frac{π}{4} + 2 x}{2} \cos \frac{2 x - \frac{π}{3} + \frac{π}{4} - 2 x}{2} < 0$

$2 \sin (2 x - \frac{7 π}{24}) \cos (- \frac{π}{24}) < 0$ .

Ponieważ $\cos (- \frac{π}{24})$ jest liczbą dodatnią nierówność sprowadza się do postaci:

$\sin (2 x - \frac{7 π}{24}) < 0$ .

Zatem możemy zapisać elementy spełniające nierówność z zadania:

$2 x - \frac{7 π}{24} \in (- π + 2 k π, 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$

$2 x \in (- π + \frac{7 π}{24} + 2 k π, \frac{7 π}{24} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$

$2 x \in (- \frac{17 π}{24} + 2 k π, \frac{7 π}{24} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$

Ostatecznie odpowiedź jest następująca:

$x \in (- \frac{17 π}{48} + k π, \frac{7 π}{48} + k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 7

Rozwiążemy nierówność: $\sin 3 x + \sin 5 x > 0$ .

Rozwiązanie

Na początek skorzystamy ze wzoru na różnicę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów i przekształcamy lewą stronę nierówności:

$2 \sin 4 x \cos x > 0$

Nierówność tę możemy zapisać jako alternatywę warunków:

( $\sin 4 x > 0$ i $\cos x > 0$ ) lub ( $\sin 4 x < 0$ i $\cos x < 0$ ).

Przypadek 1.

Rozwiążemy koniunkcje warunków: $\sin 4 x > 0$ i $\cos x > 0$ .

Nierówność $\sin 4 x > 0$ jest równoważna warunkowi:

$4 x \in (0 + 2 k π, π + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$

czyli

$x \in (\frac{k π}{2}, \frac{π}{4} + \frac{k π}{2})$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Nierówność $\cos x > 0$ jest równoważna warunkowi $x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem w pierwszym przypadku otrzymujemy:

$x \in (2 k π, \frac{π}{4} + 2 k π) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 k π, \frac{7 π}{4} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przypadek 2.

Rozwiążemy koniunkcję warunków: $\sin 4 x < 0$ i $\cos x < 0$ .

Nierówność $\sin 4 x < 0$ jest spełniona dla $4 x \in (π + 2 k π, 2 π + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$

czyli

$x \in (\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{2} + \frac{k π}{2})$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Nierówność $\cos x < 0$ jest spełniona dla

$x \in (\frac{π}{2} + 2 k π, \frac{3 π}{2} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem w drugim przypadku otrzymujemy:

$x \in (\frac{3 π}{4} + 2 k π, π + 2 k π) \cup (\frac{5 π}{4} + 2 k π, \frac{3 π}{2} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź:

$(2 k π, \frac{π}{4} + 2 k π) \cup (\frac{3 π}{4} + 2 k π, π + 2 k π) \cup (\frac{5 π}{4} + 2 k π, \frac{3 π}{2} + 2 k π) \cup$

$\cup (\frac{3 π}{2} + 2 k π, \frac{7 π}{4} + 2 k π)$ ,

gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 8

Rozwiążemy nierówność: $\cos (\frac{6 π}{7} - x) + \cos (\frac{π}{5} + x) \leq \cos \frac{37 π}{70}$ .

Rozwiązanie

Lewą stronę nierówności przekształcamy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów i otrzymujemy:

$2 \cos \frac{\frac{6 π}{7} - x + \frac{π}{5} + x}{2} \cos \frac{\frac{6 π}{7} - x - \frac{π}{5} - x}{2} \leq \cos \frac{37 π}{70}$

$2 \cos \frac{37 π}{70} \cos (\frac{23 π}{70} - x) \leq \cos \frac{37 π}{70}$

Ponieważ $\cos \frac{37 π}{70}$ jest liczbą ujemną, zatem po podzieleniu przez tę liczbę otrzymujemy:

$\cos (\frac{23 π}{70} - x) \geq \frac{1}{2}$ .

Liczbami spełniającymi powyższą nierówność są:

$(\frac{23 π}{70} - x) \in ⟨ - \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π ⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Stąd otrzymujemy:

$- x \in ⟨ - \frac{π}{3} - \frac{23 π}{70} + 2 k π, \frac{π}{3} - \frac{23 π}{70} + 2 k π ⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem

$x \in ⟨ - \frac{π}{3} + \frac{23 π}{70} + 2 k π, \frac{π}{3} + \frac{23 π}{70} + 2 k π ⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź: $x \in ⟨ - \frac{π}{210} + 2 k π, \frac{139 π}{210} + 2 k π ⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z galerią, a następnie na jej podstawie wykonaj polecenie 2.

RgaP9uNSS6n6Y

Rl69qLIiq0Uif

R1aiBTaPOX0Bv

R7cDV6f8vUhPt

R16MIfIaDy5VY

R1RwDvcoVMgxX

Ilustracja szósta. Rozwiążemy nierówność kosinus trzy x, większy niż, zero. trzy x, należy do, nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, średnik, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k jest liczbą całkowitą. Zatem mamy
x, należy do, nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie Przypadku drugiego jest następujące:
x, należy do, nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, średnik, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, średnik, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa k PI, średnik, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, średnik, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k to liczba całkowita.
Odpowiedź: Rozwiązanie nierówności z zadania jest następujące: x, należy do, nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, średnik, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, średnik, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa k PI, średnik, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa k PI, średnik, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa k PI, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, siedem PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Polecenie 4

Rozwiąż nierówność: $\cos x - 3 \cos 3 x + \cos 5 x < 0$ .

$\cos x + \cos 5 x - 3 \cos 3 x < 0$

$2 \cos 3 x \cos 2 x - 3 \cos 3 x < 0$

$\cos 3 x (2 \cos 2 x - 3) < 0$

Ponieważ $2 \cos 2 x - 3 < 0$ , nierówność z zadania jest równoważna nierówności:

$\cos 3 x > 0$ .

Zatem

$3 x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$

Odpowiedź: $(- \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3})$ , gdzie $k \in ℤ$ .

W tej części zaprezentujemy, w jaki sposób można wykorzystać wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Przedstawimy typowe nierówności, które będziemy starali się sprowadzić do postaci prostych nierówności trygonometrycznych np. typu $\sin x > a$ .

Przykład 9

Rozwiążemy nierówność: $\sin 2 x > 4 \sin x$ .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątasinus podwojonego kąta:

$2 \sin x \cos x > 4 \sin x$ .

Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę i wyłączamy przed nawias wspólny czynnik:

$2 \sin x (\cos x - 2) > 0$ .

Ponieważ dla każdej liczby $x \in ℝ$ zachodzi nierówność $\cos x - 2 < 0$ , to nierówność z zadania jest równoważna nierówności $\sin x < 0$ , a stąd otrzymujemy:

$x \in (- π + 2 k π, 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 10

Rozwiążemy nierówność: $\cos 2 x + \cos x > 0$ .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta i przekształcamy nierówność do postaci:

$2 \cos^{2} x - 1 + \cos x > 0$ .

Wprowadźmy podstawienie: $t = \cos x$ .

Nierówność ma wówczas postać nierówności kwadratowej:

$2 t^{2} + t - 1 > 0$ .

Rozwiązujemy nierówność kwadratową ze zmienną $t$ :

$Δ = 1 - 4 \cdot (- 1) \cdot 2 = 9$ .

$t = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} = - 1$ lub $t = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązaniem nierówności $2 t^{2} + t - 1 > 0$ jest każda liczba ze zbioru:

$(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ .

Wracamy do zmiennej $x$ :

$\cos x < - 1$ lub $\cos x > \frac{1}{2}$ .

Pierwszej nierówności nie spełnia żadna liczba rzeczywista, natomiast rozwiązaniem drugiej nierówności jest każda liczba ze zbioru:

$(- \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

I jest to także rozwiązanie nierówności z zadania.

Przykład 11

Rozwiążemy nierówność: $\cos^{4} x - \sin^{4} x \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$(\cos^{2} x + \sin^{2} x) (\cos^{2} x - \sin^{2} x) \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\cos^{2} x - \sin^{2} x \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Zapisujemy nierówność korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta:

$\cos 2 x \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Rozwiązaniem nierówności $\cos t \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ jest każda liczba $t$ ze zbioru: $⟨- \frac{5 π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{6} + 2 k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ ; zatem $x \in ⟨- \frac{5 π}{12} + k π, \frac{5 π}{12} + k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 12

Rozwiążemy nierówność: $2 tg 2 x \leq 3 tg x$ .

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos 2 x \neq 0$ , $\cos x \neq 0$ .

Zatem $x \neq \frac{π}{2} + k π$ i $x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Korzystamy ze wzoru na tangens podwojonego kątatangens podwojonego kątatangens podwojonego kąta i zapisujemy nierówność z zadania w postaci:

$2 \cdot \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x} \leq 3 tg x$ .

Przenosimy wszystkie wyrażenia na jedną stronę:

$\frac{4 tg x}{1 - {tg}^{2} x} - 3 tg x \leq 0$ .

Sprowadzamy wyrażenia z lewej strony do wspólnego mianownika:

$\frac{4 tg x - 3 tg x (1 - {tg}^{2} x)}{1 - {tg}^{2} x} \leq 0$ ,

$\frac{tg x + 3 {tg}^{3} x}{1 - {tg}^{2} x} \leq 0$ .

Dla $t \in ℝ ∖ \{- 1; 1\}$ jest ona równoważna nierówności:

$tg x (1 + 3 {tg}^{2} x) (1 - {tg}^{2} x) \leq 0$

Podstawiamy: $t = tg x$ .

Otrzymujemy nierówność wielomianową:

$t (1 + 3 t^{2}) (1 - t^{2}) \leq 0$ .

Pierwiastkami wielomianu $W (t) = t (1 + 3 t^{2}) (1 - t^{2})$ są: $0$ , $(- 1)$ , $1$ .

Zauważmy, że dla każdego $t$ : $1 + 3 t^{2} > 0$ .

Szkicujemy wykres wielomianu $W (t)$ .

R1csL6v0HVwR2

Ilustracja przedstawia poziomą oś t bez podziałki. Narysowano wykres wielomianu trzeciego stopnia Wt. Przecina on oś t w punktach minus 1, 0, jeden. Zaznaczono na osi t przedziały, w których wielomian znajduje się pod osią t. Jest to przedział lewostronnie otwarty od minus 1 do 0 prawostronnie zamknięty suma przedział otwarty od 1 do plus nieskończoności.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności wielomianowej:

$- 1 < t \leq 0$ lub $t > 1$ .

Powracając do zmiennej $x$ otrzymujemy: $- 1 < tg x \leq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in (- \frac{π}{4} + k π, k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

$tg x > 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x \in (\frac{π}{4} + k π; \frac{π}{2} + kπ)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba ze zbioru: $(- \frac{π}{4} + k π, k π⟩ \cup (\frac{π}{4} + k π; \frac{π}{2} + kπ)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Polecenie 5

Zagraj w poniższą grę. Następnie rozwiąż nierówność z następnego polecenia.

R2igwtKQnVs4q

Rozwiąż poniższy test jednokrotnego wyboru. Poziom 1:

R18kqDXdnqsmC

R1CYpBM2faU4j

R1SANoW5kqbl4

RtH6XgJd0lkP8

Poziom 2

RHI3iEbPnTA3A

RYNoY0nY41fy1

R1RKqLnP4VhjC

R1T4DwcwMTMdZ

Polecenie 6

Rozwiąż nierówność: $\frac{\cos^{2} 2 x}{\cos^{2} x} \geq 3 tg x$ .

Zapisujemy założenia:

$\cos x \neq 0$ .

Mnożymy nierówność stronami przez $\cos^{2} x$ :

$\cos^{2} 2 x \geq 3 tg x \cdot \cos^{2} x$ ,

$\cos^{2} 2 x \geq 3 \sin x \cdot \cos x$ .

Wykorzystujemy wzór na sinus podwojonego kąta:

$1 - \sin^{2} 2 x \geq \frac{3}{2} \sin 2 x$ ,

$2 \sin^{2} 2 x + 3 \sin 2 x - 2 \leq 0$ ,

$(\sin 2 x + 2) (2 \sin 2 x - 1) \leq 0$ .

Ponieważ wyrażenie $\sin 2 x + 2$ przyjmuje tylko wartości dodatnie otrzymujemy:

$\sin 2 x \leq \frac{1}{2}$ .

$2 x \in ⟨\frac{5 π}{6} + 2 k π, \frac{13 π}{6} + 2 k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

$x \in ⟨\frac{5 π}{12} + k π, \frac{13 π}{12} + k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Uwzględniając założenie $\cos x \neq 0$ otrzymujemy rozwiązanie:

$⟨\frac{5 π}{12} + k π, \frac{π}{2} + k π) \cup (\frac{π}{2} + k π, \frac{13 π}{12} + k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

RmmoF9wpuNfuj1

Ćwiczenie 1

R1HZooGAtKTN51

Ćwiczenie 2

Rdf7TcYKfuR5U1

Ćwiczenie 3

Rz2zYMxFFJSZA2

Ćwiczenie 4

RjlDvaQhQIBgc2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary: nierówność i jej rozwiązanie. kosinus nawias, dwa x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. sinus trzy x, większy niż, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. sinus nawias, dwa x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, większy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. sinus dwa x, mniejszy niż, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. tangens nawias, dwa x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, większy równy, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. tangens nawias, dwa x, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite.

RAP575jjY4bUF2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Rozwiąż nierówność: $\frac{1 - 4 \sin^{2} x}{\cos 2 x + \cos x} \leq 2$ .

Założenia: $\cos 2 x + \cos x \neq 0$ .

$\frac{1 - 4 (1 - \cos^{2} x)}{2 \cos^{2} x - 1 + \cos x} \leq 2$

Podstawmy $y = \cos x$ .

$\frac{1 - 4 (1 - y^{2})}{2 y^{2} - 1 + y} \leq 2$

$\frac{y + \frac{1}{2}}{(y + 1) (y - \frac{1}{2})} \geq 0$

$- 1 < y \leq - \frac{1}{2}$ lub $y > \frac{1}{2}$

$- 1 < \cos x \leq - \frac{1}{2}$ lub $\cos x > \frac{1}{2}$

Odpowiedź: $⟨ \frac{2 π}{3} + 2 k π, π + 2 k π) \cup (π + 2 k π, \frac{4 π}{3} + 2 k π ⟩ \cup (- \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ćwiczenie 8

Załóżmy, że $0 < α_{1} < α_{2} < \dots < α_{n} < \frac{π}{2}$ . Wykaż, że

$tg α_{1} < \frac{\sin α_{1} + \sin α_{2} + \dots + \sin α_{n}}{\cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n}} < tg α_{n}$ .

Ponieważ $0 < α_{1} < α_{2} < \dots < α_{n} < \frac{π}{2}$ , to z monotoniczności funkcji sinus i cosinus wynikają nierówności:

$0 < \sin α_{1} < \sin α_{2} < \dots < \sin α_{n} < 1$

$1 > \cos α_{1} > \cos α_{2} > \dots > \cos α_{n} > 0$

Zatem możemy dokonać szacowań:

$n \sin α_{1} < \sin α_{1} + \sin α_{2} + \dots + \sin α_{n} < n \sin α_{n}$

$n \cos α_{n} < \cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n} < n \cos α_{1}$

$\frac{1}{n \cos α_{1}} < \frac{1}{\cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n}} < \frac{1}{n \cos α_{n}}$

Mnożąc stronami nierówności, otrzymujemy tezę.

RmZwOeE1AMeVt1

Ćwiczenie 9

R1cpZn48thKZC1

Ćwiczenie 10

RDw3MTnjiyqfo2

Ćwiczenie 11

RMZuJ5RzGAJ4W2

Ćwiczenie 12

R3ULeWkAXoNHz2

Ćwiczenie 13

RD7JIyqIE8TX82

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Uzasadnij, że $\cos 17 ° + \cos 137 ° > \sin 22 °$ .

$\cos 17 ° + \cos 137 ° = 2 \cos \frac{17 ° + 137 °}{2} \cos \frac{17 ° - 137 °}{2} =$

$= 2 \cos 77^{\circ} \cos 60^{\circ} = \cos 77^{\circ} > \cos 78^{\circ} = \sin 22^{\circ}$ .

Ćwiczenie 16

Rozwiąż nierówność: $\sin x - 4 \sin 4 x + \sin 7 x > 0$ .

Zmieniamy kolejność składników:

$\sin x + \sin 7 x - 4 \sin 4 x > 0$ .

Sumujemy sinusy:

$2 \sin 4 x \cos 3 x - 4 \sin 4 x > 0$

$\sin 4 x (2 \cos 3 x - 4) > 0$

Ponieważ $2 \cos 3 x - 4 < 0$ , nierówność sprowadza się do postaci:

$\sin 4 x < 0$ .

Zatem $4 x \in (- π + 2 k π, 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$

Odpowiedź: $x \in (- \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, \frac{k π}{2})$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Słownik

sinus sumy argumentów

$\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$

sinus różnicy argumentów

$\sin (x - y) = \sin x \cdot \cos y - \cos x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$

sinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

cosinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

wzory na sumę oraz różnicę sinusów

\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2}

\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cdot \cos \frac{x + y}{2}

dla dowolnych $x, y \in ℝ$

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{α - β}{2}

dla dowolnych $α, β \in ℝ$

tangens podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq \frac{π}{4} + \frac{π}{2} k$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

6.* Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych (DODATEK)

M_R_W20_M2 Równania i nierówności trygonometryczne

Słownik