1. Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana

RL738j6tg5ypE

Czy wiesz, że w czasie II wojny światowej alianci spisywali numery seryjne zdobytych czołgów niemieckich? Dzięki analizie statystycznej tych numerów, mogli statystycznie oszacować wielkość miesięcznej produkcji czołgów i innych elementów sprzętu wojskowego. Po wojnie stwierdzono, że wyniki, które w ten sposób uzyskano były znacznie dokładniejsze niż dane dostarczone przez wysoko wyszkolonych wywiadowców i obserwacje lotnicze.

Ta anegdota zapewne utwierdziła Cię w przekonaniu, jak ważną dziedziną wiedzy jest statystyka i z przyjemnością zapoznasz się z poniższym materiałem, który dotyczy ważnych pojęć statystycznych.

Twoje cele

Obliczysz średnią arytmetyczną zestawu danych uporządkowanych oraz danych nieuporządkowanych.
Obliczysz średnią ważoną zestawu danych.
Wyodrębnisz własności badanego zestawu danych, na podstawie obliczonej średniej.
Poznasz sposoby obliczania mediany zestawu danych.
Zinterpretujesz medianę danych zapisanych w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego.

Parametry statystyczne

Dane statystyczne przedstawione w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego, tablic bądź wykresów, można poddać analizie, której zadaniem jest wykrycie prawidłowości i związków zachodzących w badanej zbiorowości, co w konsekwencji może posłużyć do ustalenia przyczyn kształtowania się danego zjawiska.

Do analizy danych wykorzystywane są parametry statystyczne (zwane też miarami statystycznymi lub charakterystykami liczbowymi).

Do podstawowych parametrów opisujących strukturę zbiorowości statystycznych należą miary tendencji centralnej (np. średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaśrednia arytmetyczna, średnia ważona, dominanta) i miary rozproszenia (np. wariancja, odchylenie standardowe).

Miary tendencji centralnej (zwane miarami średnimi, przeciętnymi) charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska. Przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej. Są to miary mianowane, wyznaczane dla cech mierzalnych.

Miary rozproszenia (miary rozrzutu, odchylenia, dyspersji) informują jakie są różnice między poszczególnymi wartościami jednostek statystycznych, a ich wartością średnią. Pokazują stopień zróżnicowania między sobą jednostek statystycznych pod względem badanej cechy.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna (zwana też krótko średnią) jest jedną z miar tendencji centralnej, umożliwiającą formułowanie obiektywnych wniosków dotyczących zebranych danych liczbowych.

Średnia arytmetyczna

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ nazywamy liczbę $\bar{x}$ określoną wzorem

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}

Średnia arytmetyczna może przyjmować wartości, nie występujące w badanym zbiorze danych. Jest wielkością mianowaną, czyli jest wyrażona w takich samych jednostkach jak badana cecha.

Przykład 1

Pewien zakład pracy zatrudnia $4$ pracowników. W maju pracownicy przepracowali odpowiednio: $160$ godzin, $220$ godzin, $140$ godzin, $180$ godzin. Obliczymy średnią godzin przepracowanych w maju przez jednego pracownika.

Rozwiązanie:

Zbiorowość statystyczną tworzą pracownicy zakładu pracy. Jest $4$ pracowników, zatem liczba jednostek statystycznych to $n = 4$ .

Badana cecha to liczba przepracowanych godzin. Wartości tej cechy:

$x_{1} = 160$ godzin, $x_{2} = 220$ godzin, $x_{3} = 140$ godzin, $x_{4} = 180$ godzin.

Wykonujemy obliczenia, podstawiając wyznaczone liczby do wzoru na średnią arytmetyczną.

$\bar{x} = \frac{160 + 220 + 140 + 180}{4} = \frac{700}{4}$

$\bar{x} = 175$ godzin

Odpowiedź:

Średnio w maju pracownik przepracował $175$ godzin. Dwóch pracowników przepracowało mniej godzin, a dwóch więcej od średniej.

Obliczając średnią arytmetyczną, należy uwzględnić wszystkie wartości danego zbioru. Oznacza to, że zmiana któregokolwiek z elementów zbioru danych prowadzi do zmiany wartości średniej.

Należy przy tym pamiętać, że średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaśrednia arytmetyczna nie może przyjmować wartości niższej niż najmniejsza wartość badanej cechy oraz wyższej niż największa wartość badanej cechy.

Przykład 2

Średnie miesięczne wynagrodzenie w firmie zatrudniającej $9$ pracowników wynosiło $3600 zł$ . Zatrudniono nowego pracownika i teraz średnie miesięczne wynagrodzenie wzrosło o $5 %$ . Obliczymy ile zarabia nowo zatrudniony pracownik.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$x_{1} zł$ – zarobki pierwszego pracownika,
$x_{2} zł$ – zarobki drugiego pracownika,
...
$x_{9} zł$ – zarobki dziewiątego pracownika,
$x_{10} zł$ – zarobki dziesiątego, nowo przyjętego pracownika.

Wtedy:

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{9}}{9} = 3600$

Stąd:

$x_{1} + x_{2} + . . . + x_{9} = 32400$

Po zatrudnieniu nowego pracownika średnia arytmetyczna zarobków wzrosła i wynosi teraz:

$105 % \cdot 3600 = 3780 zł$

Podstawiając uzyskane dane do wzoru na średnią arytmetyczną, wyznaczymy wynagrodzenie nowo zatrudnionego pracownika.

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots x_{9} + x_{10}}{10} = 3780 | \cdot 10$

$x_{1} + x_{2} + . . . + x_{9} + x_{10} = 37800$

$32400 + x_{10} = 37800$

$x_{10} = 5400 zł$

Odpowiedź:

Nowo zatrudniony pracownik zarabia $5400 zł$ .

W niektórych przypadkach średnią możemy obliczyć korzystając z tego, że jeżeli każdą z liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ zwiększymy (lub zmniejszymy) o liczbę $k$ , to średnia zwiększy się (lub zmniejszy) również o liczbę $k$ .

Przykład 3

Obliczymy średnią arytmetyczną liczb: $16$ , $15$ , $18$ , $24$ , $26$ , $19$ , $22$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wszystkie liczby z rozważanego zestawu są „bliskie” liczbie $20$ .

Zapisujemy więc każdą z tych liczb w postaci sumy (różnicy), której jednym ze składników jest liczba $20$ .

$16 = 20 - 4$

$15 = 20 - 5$

$18 = 20 - 2$

$24 = 20 + 4$

$26 = 20 + 6$

$19 = 20 - 1$

$22 = 20 + 2$

Obliczamy średnią arytmetyczną tak zapisanych liczb.

$\bar{x} = \frac{(20 - 4) + (20 - 5) + (20 - 2) + (20 + 4) + (20 + 6) + (20 - 1) + (20 + 2)}{7}$

$\bar{x} = \frac{7 \cdot 20 + (- 4 - 5 - 2 + 4 + 6 - 1 + 2)}{7}$

$\bar{x} = 20 + \frac{- 12 + 12}{2} = 20 + 0 = 20$

Odpowiedź:

Średnia arytmetycznaśrednia arytmetycznaŚrednia arytmetyczna zestawu podanych liczb jest równa $20$ .

Niech $A$ i $B$ będą zbiorami dwóch różnych danych liczbowych. Średnia $\bar{x_{A}}$ niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru $A$ , średnia $\bar{x_{B}}$ niech będzie średnią arytmetyczną liczb ze zbioru $B$ .

Niech $C$ będzie zbiorem utworzonym ze wszystkich liczb zbioru $A$ i zbioru $B$ oraz $\bar{x}$ niech będzie średnią liczb ze zbioru $C$ . Wtedy średnia arytmetyczna liczb $\bar{x_{A}}$ i $\bar{x_{B}}$ nie musi być równa liczbie $\bar{x}$ .

Przykład 4

W grupie znajomych są $3$ kobiety i $5$ mężczyzn. Każda z kobiet ma $18$ lat. Natomiast każdy z mężczyzn ma $20$ lat.

Średnia wieku kobiet wynosi więc $18$ lat, a mężczyzn $20$ lat. Czy z tego wynika, że średnia wieku całej grupy jest równa $\frac{18 + 20}{2} = 19$ lat?

Obliczmy:

$\frac{18 + 18 + 18 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20}{3 + 5} = \frac{154}{8} = 19, 25$

Otrzymaliśmy inny wynik, gdyż liczba kobiet nie była równa liczbie mężczyzn!

Dotychczas określaliśmy średnią arytmetyczną zestawu danych przedstawionego w postaci szeregu indywidualnego, teraz pokażemy, jak można wyznaczyć średnią liczb zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego punktowego.

Przykład 5

Piotrek obliczył, że na $15$ początkowych stronach książki, którą czyta, znajduje się następująca liczba wierszy: $30$ , $26$ , $26$ , $32$ , $26$ , $26$ , $30$ , $30$ , $24$ , $32$ , $26$ , $26$ , $24$ , $30$ , $32$ .

Obliczymy średnią liczbę wierszy na jednej stronie tej książki.

Rozwiązanie:

I sposób:

Obliczamy średnią, korzystając z danych indywidualnych.

$\bar{x} = \frac{30 + 26 + 26 + 32 + 26 + 26 + 30 + 30 + 24 + 32 + 26 + 26 + 24 + 30 + 32}{15}$

$\bar{x} = \frac{420}{15} = 28$

II sposób:

Zapisujemy dane w postaci szeregu rozdzielczego.

Argumenty i Wartości
Liczba wierszy na stronie	$24$	$26$	$30$	$32$
Liczba stron	$2$	$6$	$4$	$3$

Zauważmy, że sumę wierszy możemy teraz obliczyć jako sumę iloczynów liczb wierszy na stronie i liczb stron.

$24 \cdot 2 + 26 \cdot 6 + 30 \cdot 4 + 32 \cdot 3 = 420$

Obliczamy średnią.

$\bar{x} = \frac{420}{15} = 28$

Odpowiedź:

Średnia liczba wierszy na $15$ początkowych stronach książki wynosi $28$ .

Polecenie 1

Zastanów się, w jaki sposób można obliczyć średnią arytmetyczną zestawu danych przedstawionych w postaci graficznej.

Opracuj algorytm postępowania. Porównaj swoje propozycje z zawartymi w galerii zdjęć interaktywnych.

RhLF8sgbxEy7U

R1WOwvBU6YcQ6

R1HdCPZPzEvtj

R16JyrNuaTVUY

RI27UOKZ1cXhr

Ilustracja interaktywna Przykład 1 Grupę uczniów zapytano: Ile dzisiaj odbyłaś/odbyłeś rozmów telefonicznych? Wyniki przedstawiono na wykresie. Wykres słupkowy ma poziomą oś opisaną jako ilość rozmów od zera do ośmiu co dwie. Oś pionowa opisana jest jako liczba osób od zera do dwunastu co dwie. Dla każdej ilości rozmów przyporządkowane są dwa słupki: niebieski oznacza dziewczęta, różowy chłopców. Rozmów w ogóle nie odbyły 4 dziewczęta i pięciu chłopców. Dwie rozmowy odbyły dwie dziewczyny i jedenastu chłopców. 4 rozmowy odbyło sześć dziewcząt i dziewięciu chłopców. 6 rozmów odbyły trzy dziewczęta i czterech chłopców. 8 rozmów przeprowadziły cztery dziewczęta i jeden chłopiec. Obliczymy, ile dzisiaj średnio rozmów telefonicznych odbyła osoba z badanej grupy.

Ilustracja interaktywna Przykład 1 Krok 1 Obliczymy, ile średnio rozmów telefonicznych odbyła dziewczyna. Wyznaczamy liczbę dziewcząt. $n_{d} = 4 + 3 + 6 + 3 + 4 = 20$ , Wyznaczamy łączną liczbę rozmów telefonicznych odbytych przez dziewczęta. $4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 80$ , Wyznaczamy średnią. $\bar{x_{d}} = \frac{80}{20} = 4$ Dziewczyna odbyła dzisiaj średnio 4 rozmowy telefoniczne.

Ilustracja interaktywna Przykład 1 Krok 2 Obliczymy, ile średnio rozmów telefonicznych odbył chłopiec. Wyznaczamy liczbę chłopców. $n_{c h} = 5 + 11 + 9 + 4 + 1 = 30$ , Wyznaczamy łączną liczbę rozmów telefonicznych odbytych przez chłopców. $5 \cdot 0 + 11 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 1 \cdot 8 = 90$ , Wyznaczamy średnią. $\bar{x_{c h}} = \frac{90}{30} = 3$

Ilustracja interaktywna Przykład 1 Krok 3 Obliczymy średnią liczby rozmów telefonicznych dla osoby z badanej grupy. Wyznaczamy liczbę wszystkich osób. $n_{d} + n_{c h} = 20 + 30 = 50$ , Wyznaczamy liczbę wszystkich odbytych rozmów telefonicznych. $80 + 90 = 170$ , Wyznaczamy średnią. $\bar{x} = \frac{170}{50} = 3, 4$ , Otrzymana liczba nie jest liczbą całkowitą, więc w odpowiedzi możemy podać jej wartość przybliżoną. Odpowiedź: Osoba z badanej grupy przeprowadziła dzisiaj średnio 3 rozmowy telefoniczne.

Ilustracja interaktywna Przykład 2 W pewnym sklepie spożywczym zbadano, ile bułek na śniadanie kupuje jedna osoba. Wyniki przedstawiono na wykresie kołowym. Obliczymy, ile średnio bułek kupuje jedna osoba, jeżeli w badaniach brało udział 100 osób. Na rysunku po lewej stronie umieszczono wykres kołowy, po prawej obliczenia w kolejnych krokach. Z wykresu odczytujemy, że: $10$ osób kupiło po jednej bułce, $40$ osób kupiło po dwie bułki, $20$ osób kupiło po trzy bułki, $30$ osób kupiło po cztery bułki., Określamy liczbę wszystkich kupionych bułek. <math, Wyznaczamy średnią. $\bar{x} = \frac{270}{100} = 2, 7$ , Otrzymany wynik zaokrąglamy do całości. $\bar{x} \approx 3$ . Odpowiedź: Możemy powiedzieć, że w tym sklepie jedna osoba kupuje na śniadanie średnio 3 bułki.

Polecenie 2

Zważono zawodników wagi ciężkiej, biorących udział w turnieju. Okazało się, że dwóch zawodników waży po $120 k g$ , dwóch po $95 kg$ , czterech po $110 kg$ , jeden $102 kg$ . Przedstaw te dane na wykresie i oblicz średnią wagę zawodnika.

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 120 + 2 \cdot 95 + 4 \cdot 110 + 1 \cdot 102}{2 + 2 + 4 + 1}$

$\bar{x} = \frac{972}{9} = 108$

$\bar{x} = 108 kg$

Średnia waga zawodnika to $108 kg$ .

Średnia ważona

Jednym z najważniejszych wskaźników finansowych informujących o przeciętnym koszcie względnym kapitału zaangażowanego w finansowanie inwestycji przez przedsiębiorstwo jest WACC, czyli średni ważony koszt kapitału (ang. weighted average cost of capital).

WACC jest używany przy ocenie rentowności inwestycji - czy koszt kapitału finansującego przewyższy stopę zwrotu i inwestycja nie będzie opłacalna. Czy wręcz przeciwnie, koszt kapitału finansującego będzie dużo niższy niż przewidywana stopa zwrotu i inwestycja przyniesie duży zysk.

Średni ważony koszt kapitału uwzględnia przy tym różne źródła finansowania inwestycji (np. emisję akcji, kredyt).

Jeśli więc w przyszłości masz zamiar założyć swoją firmę, warto już teraz poznać tajniki wyznaczania średniej ważonej, będącej podstawą obliczania WACC.

Przykład 6

Wystawiając ocenę końcoworoczną z biologii w pewnej szkole, bierze się pod uwagę trzy liczby:

$s$ – średnią arytmetyczną ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego,
$p$ – ocenę z obowiązkowej pracy projektowej,
$u$ – udział w konkursach, olimpiadach, turniejach.

Wynik końcowy $k$ ustala się według wzoru:

k = \frac{3}{4} s + \frac{1}{8} p + \frac{1}{8} u

Największe znaczenie (największą wagę) ma więc średnia ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego, oceny $p$ i $u$ mają mniejszą wagę.

Mówimy, że końcowa ocena $k$ jest średnią ważoną ocen $s$ , $p$ , $u$ z wagami odpowiednio $\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{8}$ .

Średnia ważona jest więc średnią elementów, którym przypisywane są różne wagi. Zatem elementy o większej wadze, mają większy wpływ na średnią. Jeśli wszystkie elementy mają takie same wagi – średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.

Statystycy rozważają kilka rodzajów średniej ważonej – my będziemy zajmować się tylko średnią ważoną arytmetycznąśrednia ważona arytmetycznaśrednią ważoną arytmetyczną, zwaną krótko średnią ważoną.

Średnia ważona ma własności podobne do średniej arytmetycznej – jest mianowaną miarą tendencji centralnej (miary tendencji centralnej – zwane miarami średnimi, przeciętnymi – charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska, przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej).

Średnia ważona arytmetyczna

Definicja: Średnia ważona arytmetyczna

Średnią ważoną arytmetyczną liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ z odpowiadającymi im odpowiednio wagami $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ nazywamy liczbę ${\bar{x}}_{w}$ określoną wzorem

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

gdzie:
$w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ – są liczbami dodatnimi.

Przykład 7

Obliczymy średnią ważoną liczb z podanymi wagami.

Liczby $x_{i}$	$3$	$6$	$18$
Wagi $w_{i}$	$2$	$3$	$1$

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

W rozważanym przypadku:

$x_{1} = 3$ , $x_{2} = 6$ , $x_{3} = 18$

$w_{1} = 2$ , $w_{2} = 3$ , $w_{3} = 1$

Stąd:

{\bar{x}}_{w} = \frac{3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 18 \cdot 1}{2 + 3 + 1} = \frac{42}{6} = 7

Odpowiedź:

Średnia ważona podanego zestawu liczb jest równa $7$ .

Średnia ważona wykorzystywana jest w sytuacjach, gdy pewnym wielkościom (danym) trzeba nadać większe znaczenie.

Przykład 8

Aneta na egzaminie maturalnym zdawała trzy przedmioty w zakresie rozszerzonym: matematykę, fizykę i język angielski. Z matematyki uzyskała $42$ punkty, z fizyki $28$ punktów i z języka angielskiego $26$ punktów.

Aby Aneta została przyjęta na wybrane studia, średnia ważona liczby uzyskanych przez nią punktów powinna wynosić co najmniej $35$ .

Przy czym punktom zdobytym z matematyki przypisywano wagę $6$ , z fizyki wagę $4$ i z języka obcego wagę $1$ .

Ustalimy, czy Aneta dostanie się na wybrane przez siebie studia.

Rozwiązanie:

Przedstawimy wszystkie dane w tabeli.

Przedmiot	Liczba uzyskanych punktów $x_{i}$	Waga $w_{i}$	$x_{i} \cdot w_{i}$
Matematyka	$42$	$6$	$252$
Fizyka	$28$	$4$	$112$
Język angielski	$26$	$1$	$26$
Razem		$11$	$390$

Obliczamy średnią ważoną liczby uzyskanych punktów.

{\bar{x}}_{w} = \frac{390}{11} \approx 35, 5

35,5 > 35

Odpowiedź:

Średnia ważona uzyskanych przez Anetę punktów jest większa od wymaganej, zatem dostanie się ona na studia.

Uzyskane wyniki można zinterpretować następująco: pomimo, że Aneta otrzymała mniejszą liczbę punktów od wymaganej z fizyki i języka angielskiego, to wysoka waga liczby punktów uzyskanych z matematyki spowodowała, że w konsekwencji uzyskała wymaganą liczbę punktów.

Zauważmy też, że gdyby o przyjęciu na studia decydowała średnia arytmetyczna, to Aneta nie dostałaby się na studia, gdyż średnia ta jest równa $\frac{42 + 28 + 26}{3} = 32$ .

Przykład 9

Obliczymy średnią arytmetyczną zestawu danych: $2$ , $4$ , $6$ , $10$ , $2$ , $2$ , $4$ , $6$ , $10$ , $10$ , $2$ , $4$ .

Rozwiązanie:

I sposób:

Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.

\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 10 + 2 + 2 + 4 + 6 + 10 + 10 + 2 + 4}{12} = \frac{62}{12} = 5 \frac{1}{6}

II sposób:

Zamiast średniej arytmetycznej obliczymy średnią ważoną, przyjmując, że wagami są liczebności danych.

Wartość $x_{i}$	Liczebność $n_{i} = w_{i}$	$x_{i} \cdot w_{i}$
$2$	$4$	$8$
$4$	$3$	$12$
$6$	$2$	$12$
$10$	$3$	$30$
Razem	$12$	$62$

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

{\bar{x}}_{w} = \frac{62}{12} = 5 \frac{1}{6}

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same liczby.

Odpowiedź:

Średnia arytmetyczna zestawu danych jest równa $5 \frac{1}{6}$ .

Wniosek:

Średnia arytmetyczna zestawu danych statystycznych $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ jest równa średniej ważonej tego zestawu danych, gdy liczebności $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ odpowiadające danym, przyjmiemy za wagi poszczególnych wartości.

Pokażemy teraz, jak wyznaczyć średnią ważoną zestawu danych zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi.

Przykład 10

W dziesięcioosobowej grupie osób dokonano pomiaru wieku i otrzymano następujące wyniki: $20$ , $21$ , $23$ , $20$ , $20$ , $25$ , $22$ , $23$ , $23$ , $21$ .

Obliczymy średni wiek osób z badanej grupy, grupując dane w szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi o rozpiętości $2 lat$ .

Rozwiązanie:

Budujemy odpowiedni szereg rozdzielczy.

Aby obliczyć średnią, wyznaczymy środki przedziałów klasowych.

Wiek w latach $x_{i}$	Liczebność $n_{i}$	Środek przedziału klasowego ${\bar{x}}_{i}$	${\bar{x}}_{i} \cdot n_{i}$
$⟨20, 22)$	$5$	$21$	$105$
$⟨22, 24)$	$4$	$23$	$92$
$⟨24, 26⟩$	$1$	$25$	$25$
Razem	$10$		$222$

{\bar{x}}_{1} = \frac{20 + 22}{2} = 21

{\bar{x}}_{2} = \frac{22 + 24}{2} = 23

{\bar{x}}_{3} = \frac{24 + 26}{2} = 25

Obliczamy średnią, korzystając z wyznaczonych danych i ze wzoru:

\bar{x} = \frac{{\bar{x}}_{1} n_{1} + {\bar{x}}_{2} n_{2} + \dots + {\bar{x}}_{k} n_{k}}{n}

gdzie:
$k$ – liczba klas,
${\bar{x}}_{i}$ – środek $i$ – tego przedziału, gdzie $i = 1, 2, \dots, k$ ,
$n_{i}$ – liczebność dla danego przedziału, gdzie $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n$ ,
$n$ – liczebność zbiorowości $n$ statystycznej.

$\bar{x} = \frac{222}{10} = 22, 2$

$\bar{x} = 22, 2$ lata

Odpowiedź:

Średnia wieku w tej grupie osób wynosi $22, 2$ lata.

Ważne!

W szeregach rozdzielczych o przedziałach klasowych średnia arytmetyczna jest zwykle tylko wartością przybliżoną (średnia liczona z szeregu szczegółowego z przykładu $5$ jest równa $21, 8$ ).

Polecenie 3

Przeanalizuj materiał zawarty w animacji. Zastanów się, czy w każdym przypadku można obliczać średnią ważoną w sposób uproszony.

Zwróć uwagą na analogie i różnice między średnią ważoną, a średnią arytmetyczną.

R1EMOliNSfWFM

Polecenie 4

Oblicz, w taki sposób jak pokazano to w animacji, średnią ważoną zestawu liczb $4$ , $12$ , $16$ z wagami odpowiednio $(0,1)$ , $(0,2)$ i $(0,7)$ .

${\bar{x}}_{w} = 4 \cdot 0, 1 + 12 \cdot 0, 2 + 16 \cdot 0, 7 = 14$

Mediana

Mediana, podobnie jak średnia arytmetyczna, należy do tak zwanych miar tendencji centralnej, czyli określających „środek” zbioru danych. Czy zatem warto określać medianę, jeśli można obliczyć średnią arytmetyczną?

Okazuje się, że tak. Bowiem średnia arytmetyczna jest mało „odporna” na wartości „odstające” w szeregu danych. Na przykład średnia arytmetyczna zarobków $3$ pracowników, z których każdy zarabia $3000 zł$ i dyrektora, który zarabia $20000 zł$ jest równa aż $7250 zł$ , natomiast mediana $3000 zł$ . Widać więc, że w tym przypadku mediana znacznie bardziej oddaje stan faktyczny zarobków w firmie niż średnia arytmetyczna.

Mediana, zwana inaczej wartością środkową, zajmuje środkową pozycję w uporządkowanym szeregu statystycznym.

Będziemy ją oznaczać literą $M$ .

Zatem, aby wyznaczyć medianę, należy najpierw uszeregować dane, zgodnie ze wzrostem ich wartości. Mediana dzieli ciąg tych danych na dwie równoliczne części w ten sposób, że elementy jednej z tych części są nie większe od mediany, a drugiej z tych części – nie mniejsze od mediany.

MedianamedianaMediana jest miarą mianowaną. Ma takie same miano jak badana cecha statystyczna.

Można ją wyznaczyć dla każdego szeregu statystycznego.

Sposób wyznaczania mediany zależy od typu szeregu statystycznego oraz liczby danych.

Mediana nieparzystej liczby danych

W przypadku uporządkowanego zestawu danych o nieparzystej liczebności, mediana jest środkowym elementem zestawu.

Na przykład mediana zestawu liczb: $1$ , $1$ , $3$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $8$ , $10$ jest równa $6$ .

Rw3ulXxNd1gNA

Ilustracja przedstawia ciąg liczb: jeden, jeden, trzy, pięć, sześć, siedem, osiem, osiem, dziesięć. Liczba sześć ma po obu swoich stronach po cztery cyfry i jest opisana jako mediana.

Przykład 11

Wyznaczymy medianę zestawu liczb: $1$ , $6$ , $2$ , $8$ , $5$ , $4$ , $3$ .

Porządkujemy zestaw danych: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $8$ .

Jest $7$ liczb. Środkowa to liczba $4$ (z prawej i lewej strony liczby $4$ znajdują się po $3$ elementy).

RL69C6iw7ru5e

Ilustracja przedstawia ciąg liczb: jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, osiem. Liczba cztery występująca w srodku ciągu opisana jest jako mediana, em równa się cztery..

Przykład 12

Grupę dziewcząt zapytano: Ile uprawiasz dyscyplin sportowych?

Otrzymano następujące dane: $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $1$ , $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ .

Określimy medianę tego zestawu danych.

Uzyskany szereg statystyczny jest już uporządkowany. Liczba elementów jest nieparzysta, zatem medianą będzie wartość środkowa, równa $1$ .

R1Yr4jhYCOEFf

Ilustracja przedstawia ciąg cyfr: zero, zero, zero, jeden, jeden, jeden, jeden, jeden, dwa, dwa, trzy. Jedynka występująca w środku ciągu, która ma obu stronach po pięć cyfr, jest opisana jako em równa się jeden.

Interpretacja wyniku: połowa dziewcząt nie uprawia żadnej dyscypliny sportowej lub uprawia jedną, a druga połowa uprawia co najmniej jedną dyscyplinę sportową.

Ważne!

Mediana nieparzystej liczby danych

Niech liczby $x_{1} \leq x_{2} \leq . . . \leq x_{n}$ będą uporządkowanym niemalejąco zbiorem wszystkich danych. Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to medianą liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ jest liczba $x_{k}$ , gdzie $k = \frac{n + 1}{2}$ .

Zatem:

M = x_{\frac{n + 1}{2}} .

Przykład 13

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$	$x_{6}$	$x_{7}$
$1$	$2$	$3$	$10$	$20$	$40$	$50$

Liczba elementów szeregu: $n = 7$ .

Medianą jest liczba $x_{k}$ , gdzie $k = \frac{7 + 1}{2} = 4$ .

Stąd $M = x_{4} = 10$ .

Medianą zestawu danych jest liczba $10$ .

Mediana parzystej liczby danych

W przypadku, gdy liczba danych jest parzysta, to „w środku” szeregu uporządkowanego znajdują się dwie liczby. Medianą jest wtedy średnia arytmetyczna tych liczb.

RvQ6ScpVIqqLs

Ilustracja przedstawia ciąg cyfr: cztery, sześć, osiem, osiem, dziewięć, jedenaście, trzynaście, piętnaście. Liczby osiem i dziewięć znajdujące się w środku ciągu to mediana i jest opisana jako ułamek: osiem dodać dziewięć przez dwa równa się osiem i pół.

Przykład 14

Wyznaczymy medianę zestawu danych: $1$ , $4$ , $4$ , $6$ , $1$ , $1$ , $5$ , $2$ .

Porządkujemy dane: $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $4$ , $4$ , $5$ , $6$ .

Liczba danych jest parzysta. Gdybyśmy zaznaczyli prostą, dzielącą zbiór danych na dwie równe części, to mediana byłaby średnią arytmetyczną dwóch liczb, sąsiadujących z prawej i lewej strony z linią podziału. Czyli dwóch liczb „środkowych”.

RCCLqNkjpDB4V

Ilustarcja przedstawia ciąg liczb: jeden, jeden, jeden, dwa, cztery, cztery, pięć, sześć. Liczby dwa i cztery ułożone w środku ciągu to mediana i jest opisana jako em równa się dwa dodać cztery przez dwa równa się trzy.

Medianą danego zbioru danych jest liczba $3$ .

Przykład 15

Określimy medianę wieku grupy $6$ osób, od których uzyskano następujące dane: $10 lat$ , $14 lat$ , $20 lat$ , $18 lat$ , $16 lat$ , $25 lat$ .

Tworzymy szereg uporządkowany: $10$ , $14$ , $16$ , $18$ , $20$ , $25$ .

Liczba danych jest parzysta. Obliczamy średnią arytmetyczną dwóch liczb „środkowych”.

\frac{16 + 18}{2} = 17

M = 17 lat

Mediana wieku badanej grupy osób jest równa 17 lat.

Interpretacja mediany: $50 %$ badanych osób ma wiek mniejszy bądź równy $17 lat$ , $50 %$ badanych osób ma wiek większy bądź równy $17 lat$ .

Ważne!

Mediana parzystej liczby danych

Niech liczby $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ będą uporządkowanym niemalejąco zbiorem wszystkich danych. Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to medianą liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ jest liczba $M = \frac{x_{k} + x_{k + 1}}{2}$ , gdzie $k = \frac{n}{2}$ .

Przykład 16

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$	$x_{6}$	$x_{7}$	$x_{8}$
$- 1$	$- 2$	$0$	$4$	$10$	$12$	$50$	$57$

Liczba elementów szeregu: $n = 8$ .

Medianą jest liczba $\frac{x_{k} + x_{k + 1}}{2}$ , gdzie $k = \frac{8}{2} = 4$ .

Stąd:

M = \frac{x_{4} + x_{5}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7

Medianą zestawu danych jest liczba $7$ .

Polecenie 5

Zaproponuj sposób wyznaczenia mediany, gdy dane zgrupowane są w szereg rozdzielczy punktowy lub w szereg rozdzielczy o przedziałach klasowych.

Porównaj swój sposób z podanym w galerii zdjęć interaktywnych.

R1pcQ8ZWdpJZz

RA1g1rlXp3RD8

R1SSSWJrAllPV

R1BbFDp3QKDYE

R1MAI0ERgrykQ

Rit4JEAwYYLI7

Pokażemy, w jaki sposób znaleźć medianę danych zgrupowanych w szereg rozdzielczy punktowy. Przykład 1. W grupie uczniów przeprowadzono sondaż na temat liczby przeczytanych książek w ciągu ostatniego miesiąca. Wyniki przedstawiono w tabeli. Tabela składa się z dwóch wierszy i sześciu kolumn, przy czym pierwsza kolumna jest kolumną nagłówkową. W wierszu pierwszym mamy podane liczby książek $x_{i}$ , a w wierszu drugim liczbę wyborów $n_{i}$ . Liczby książek $x_{i}$ to kolejno od lewej: 0, 1, 2, 3, 4. Liczby wyborów $n_{i}$ to kolejno od lewej 2, 5, 6, 4, 2. Wyznaczymy medianę tego zestawu danych. Liczba wyborów: $2 + 5 + 6 + 4 + 2 = 19$ (tylu uczniów brało udział w sondażu). Gdyby więc dane przedstawione były w postaci szeregu szczegółowego (czyli wypisane kolejno, według wzrastających wartości), to mediana odpowiadałaby $10$ wyborowi. Szukamy kolumny odpowiadającej dziesiątemu wyborowi. Tabela poszerzona o trzeci wiersz dotyczący kolejnych numerów wyborów. Tabela składa się z trzech wierszy i sześciu kolumn, przy czym pierwsza kolumna jest kolumną nagłówkową. W wierszu pierwszym mamy podane liczby książek $x_{i}$ , w wierszu drugim liczbę wyborów $n_{i}$ , wiersz trzeci dotyczy kolejnych numerów wyborów. . Liczby książek $x_{i}$ to kolejno od lewej: 0, 1, 2, 3, 4. Liczby wyborów $n_{i}$ to kolejno od lewej 2, 5, 6, 4, 2. Wiersz trzeci dotyczy kolejnych numerów wyborów. Analizując dane kolumnami tak, jak są ona sparowane, mamy następujące grupy danych: Kolumna pierwsza. Dla liczby książek 0 mamy liczbę wyborów 2, a kolejne numery wyborów to: $n_{1}, n_{2}$ . Kolumna druga. Dla liczby książek 1 mamy liczbę wyborów 5, a kolejne numery wyborów to: $n_{3}, n_{4}, n_{5}, n_{6}, n_{7}$ . Kolumna trzecia. Kolumna ta wyróżniona jest kolorowym tłem, ponieważ odpowiada dziesiątemu wyborowi. Dla liczby książek 2 mamy liczbę wyborów 6, a kolejne numery wyborów to: $n_{8}, n_{9}, n_{10}, n_{11}, n_{12}, n_{13}$ . Kolumna czwarta. Dla liczby książek 3 mamy liczbę wyborów 4, a kolejne numery wyborów to: $n_{14}, n_{15}, n_{16}, n_{17}$ . Kolumna piąta. Dla liczby książek 4 mamy liczbę wyborów 2, a kolejne numery wyborów to: $n_{18}, n_{19}$ . Dziesiątemu wyborowi odpowiada liczba $2$ . Mediana liczby przeczytanych książek jest równa $2$ . Przykład 2. W przypadku danych przestawionych w postaci szeregu rozdzielczego o przedziałach klasowych będziemy tylko określać przedział, w którym znajduje się mediana. Znajdziemy medianę liczby punktów uzyskanych przez uczniów ze sprawdzianu z matematyki. Dane przedstawione są w tabeli składającej się z pięciu wierszy i dwóch kolumn. Wiersz pierwszy jest wierszem nagłówkowym i określa dla pierwszej kolumny liczbę punktów $x_{i}$ , a dla drugiej kolumny liczbę uczniów $n_{i}$ . Dane w tabeli są następujące: wiersz drugi: liczbę punktów od zera do pięciu zdobył jeden uczeń, wiersz trzeci: liczbę punktów od sześciu do dziesięciu zdobyło czworo uczniów, wiersz czwarty: liczbę punktów od jedenastu do piętnaścioro zdobyło dwanaścioro uczniów, wiersz piąty: liczbę punktów od szesnastu do dwudziestu zdobyło ośmioro uczniów. Razem mamy dwudziestu pięciu uczniów. Znajdujemy najpierw pozycje mediany zgodnie z poniższym wzorem:

\frac{n + 1}{2}

gdzie: $n$ to liczebność badanej zbiorowości, czyli w tym przypadku liczba uczniów. Ponieważ $n = 25$ , więc $\frac{n + 1}{2} = \frac{25 + 1}{2} = 13$ . Dodajemy kolejno wartości z kolumny „Liczba uczniów”, tworząc w ten sposób kolumnę „Liczebności skumulowane $n_{s k}$ ”. Dane przedstawione są w poszerzonej o jedną kolumnę tabeli składającej się z pięciu wierszy i trzech kolumn. Wiersz pierwszy jest wierszem nagłówkowym i określa dla pierwszej kolumny liczbę punktów $x_{i}$ , dla drugiej kolumny liczbę uczniów $n_{i}$ , a
dla trzeciej kolumny liczebność skumulowaną $n_{s k}$ . Dane w tabeli są następujące: wiersz drugi: liczbę punktów od zera do pięciu zdobył jeden uczeń, liczebność skumulowana to $0 + 1 = 1$ , wiersz wiersz trzeci: liczbę punktów od sześciu do dziesięciu zdobyło czworo uczniów, liczebność skumulowana to $1 + 4 = 5$ , liczbę wiersz czwarty: punktów od jedenastu do piętnaścioro zdobyło dwanaścioro uczniów, liczebność skumulowana to $5 + 12 = 17$ , wiersz wyróżniono tłem: wiersz piąty: liczbę punktów od szesnastu do dwudziestu zdobyło ośmioro uczniów, liczebność skumulowana to $17 + 8 = 25$ . Razem mamy dwudziestu pięciu uczniów. Znajdujemy wiersz, w kolumnie $n_{s k}$ , w którym znajduje się pozycja mediany $(13)$ i odczytujemy odpowiadającą liczbę punktów. Mediana zawiera się w przedziale $11 - 15$ punktów.

Polecenie 6

Znajdź medianę poniższego zestawu danych.

Wartość	$1$	$2$	$4$	$10$
Liczebność	$1$	$1$	$6$	$15$

$n = 1 + 1 + 6 + 15 = 23$

$\frac{n + 1}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$M = 10$

R1GqiI2knGuBy1

Ćwiczenie 1

Ro2wyBrKW1IJ11

Ćwiczenie 2

R1YCRI6WpwQkW2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

W kilku miejscowościach prowadzono pomiary temperatury powietrza. Okazało się, że w każdej z tych miejscowości średnia temperatur jest równa $2 ° C$ .
Uzupełnij tabele tych pomiarów, wpisując odpowiednie liczby.

R8FHyOgzZPLUy

RvgFmEtX2rUZm

R17Idp02C4cQI

R1PYK7fIU29i4

Ćwiczenie 5

W tabeli przedstawiono liczbę punktów zdobytych przez uczniów z testu z fizyki.

Argumenty i Wartości
Liczba punktów	$0$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba uczniów	$2$	$5$	$4$	$7$	$2$

R3DKRgCW7THgY

R1S7iNuR0xfIT2

Ćwiczenie 6

Przeciągnij w odpowiednie pola zestawy danych. Zestawy danych, w których znajduje się liczba, będąca ich średnią. Możliwe odpowiedzi: 1. pięć, średnik, siedem, średnik, dwadzieścia, średnik, zero, średnik, osiem, 2. nawias, minus, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, dwa, średnik, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, siedem, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, średnik, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. trzynaście, średnik, nawias, minus, zero przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, średnik, sześć, średnik, nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, nawias, minus, zero przecinek jeden dwa pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka Zestawy danych, w których nie ma liczby, będącej ich średnią. Możliwe odpowiedzi: 1. pięć, średnik, siedem, średnik, dwadzieścia, średnik, zero, średnik, osiem, 2. nawias, minus, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, dwa, średnik, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, siedem, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, dwa, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, średnik, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. trzynaście, średnik, nawias, minus, zero przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, średnik, sześć, średnik, nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, średnik, nawias, minus, zero przecinek jeden dwa pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka

Ćwiczenie 7

Na wykresie przedstawiono procentowy podział dwudziestu zawodników w zależności od liczby meczów rozegranych w tym sezonie.

RP4NDe4PpojJh

Na ilustracji znajduje się wykres kołowy przedstawiający następujące dane dotyczące liczby meczów rozegranych w tym sezonie: 10 meczów - 30%, 8 meczów - 20%, 6 meczów - 10% oraz 2 mecze - 40%.

RfMPDpybKCmXj

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że średnia arytmetyczna $k$ liczb jest równa $x$ , natomiast średnia arytmetyczna innych $n$ liczb jest równa $y$ . Wykaż, że średnia arytmetyczna sumy tych liczb (czyli łącznie $k + n$ liczb) jest równa $\frac{k x + n y}{k + n}$ .

Niech $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ będą liczbami, których średnia jest równa $x$ .

Niech $b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}$ będą liczbami, których średnia jest równa $y$ .

Wtedy

$\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k}}{k} = x$ i $\frac{b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n}}{n} = y$

Stąd

$a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k} = k x$ i $b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n} = n y$

Średnia arytmetyczna sumy tych liczb (czyli łącznie $k + n$ liczb) jest równa

$\frac{(a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k}) + (b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n})}{k + n} = \frac{k x + n y}{k + n}$ ,

co należało wykazać.

RLSiWA44LgHTI1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Rodzina państwa Piotrowskich chce pojechać na zagraniczną wycieczkę. W tabelce wpisano dane na temat rozważanych przez Piotrowskich wycieczek. Uzupełnij tabelkę, przeciągając odpowiednie liczby w prawidłowe miejsca oraz nazwę miasta, do którego powinni pojechać Piotrowscy.

R1VIoM9OHOEmg

R1CMJZYSQta08

R1viBatKZmkvY2

Ćwiczenie 11

R13jaBHAhsxSP2

Ćwiczenie 12

R1bB4gAlDm0yW2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Zważono losowo wybrane tabliczki czekolady, produkowanej w pewnej fabryce. Otrzymane dane zamieszczono w tabeli.

Masa tabliczki czekolady (w $g$ )	Liczba tabliczek czekolady (w $szt$ .)
$120$	$5$
$100$	$10$
$98$	$35$

R1DncOcgaRCsV

Ćwiczenie 15

Agata wybrała się do babci, która mieszkała w odległości $120 km$ . Połowę drogi jechała autostradą z prędkością $120 \frac{km}{h}$ , a połowę szosą z prędkością $40 \frac{km}{h}$ . Uzupełnij obliczenia średniej prędkości, z jaką jechała Agata. Przeciągnij odpowiednie liczby.

R1L25JEZ0FUjc

RfmLP90nIFlGI

Ćwiczenie 16

Uczniowie pewnej klasy pisali klasówkę z języka polskiego. Dwóch uczniów otrzymało stopień dopuszczający, $40 %$ uczniów otrzymało stopień dobry, $\frac{1}{5}$ dostała stopień bardzo dobry, a pozostali otrzymali stopień dostateczny.

Oblicz, ilu uczniów otrzymało stopień dostateczny, jeżeli średnia ocen wynosiła
$3, 7$ .

Oznaczmy:
$x$ – liczba uczniów, którzy otrzymali $3$ ,
$n$ – liczbę wszystkich uczniów.

Określimy, ilu uczniów otrzymało $3$ .

2 + 0, 4 n + \frac{1}{5} n + x = n

x = n - 2 - 0, 6 n = 0, 4 n - 2

Na podstawie tego, że średnia jest równa $3, 7$ układamy i rozwiązujemy równanie.

\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot (0, 4 n - 2) + 4 \cdot 0, 4 n + 5 \cdot 0, 2 n}{n} = 3, 7

n = 20

Stąd:

x = 0, 4 \cdot 20 - 2 = 6

$6$ uczniów otrzymało trójki.

RQbzzq9ZOhqqd1

Ćwiczenie 17

R131hK3Uet1Kz1

Ćwiczenie 18

R3bkDrNywbwQi2

Ćwiczenie 19

RyqkwARbT0RCz2

Ćwiczenie 20

RXBv0yZjQBvnD2

Ćwiczenie 21

R1ai4g7iCtSQl2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

W tabeli podano procentowy podział uczniów ze względu na liczbę posiadanych zwierząt domowych.

Liczba zwierząt	Liczba uczniów
$0$	$10 %$
$1$	$50 %$
$2$	$30 %$
$4$	$10 %$

RZvBuIvVUXVZx

Ćwiczenie 24

Na wykresie przedstawiono dane dotyczące wieku zawodników uczestniczących w biegach przełajowych.

Znajdź medianę wieku tych zawodników.

RDvhBjT439Oqj

Ilustracja przedstawia wykres słupkowy. Pozioma oś dotyczy wieku zawodnika i jest na niej zaznaczona następująca skala: 0, 14, 15, 16, 17, 18, przy czym między zerem a liczbą 14 jest taka sama odległość, jak między 14 a 15 i tak dalej. Pionowa oś dotyczy liczby zawodników i ma standardową skalę od zera do siedmiu. Mamy tu pięć słupków, dla każdego wieku jeden. Czternastolatek jest jeden, piętnastolatków jest troje, szesnastolatków jest dwoje, siedemnastolatków jest sześcioro, a osiemnastolatków jest czworo.

n = 1 + 3 + 2 + 6 + 4 = 16

\frac{n}{2} = \frac{16}{2} = 8

\frac{17 + 17}{2} = 17

Mediana jest równa $17 lat$ .

Słownik

średnia arytmetyczna

średnia arytmetyczna liczb $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ to liczba $\bar{x}$ określona wzorem

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}

średnia ważona arytmetyczna

średnia ważona arytmetyczna liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ z odpowiadającymi im odpowiednio wagami $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ to liczba ${\bar{x}}_{w}$ określona wzorem:

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

gdzie:
$w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ – są liczbami dodatnimi

mediana

mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ , to:

liczba $x_{\frac{n + 1}{2}}$ , gdy $n$ jest liczbą nieparzystą
liczba $\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$ , gdy $n$ jest liczbą parzystą

2. Wariancja i odchylenie standardowe

M_R_W22_M1 Statystyka