2. Wariancja i odchylenie standardowe

RNHKsmiyDQ0K5

RRaiW7TxyE5Ld1

Ilustracja przedstawia pustynny obszar Sahary w Algierii. Na ilustracji widać kamienisto-piaszczystą pustynię, z kępkami suchej trawy. W oddali widać wzniesienia. — Pustynia kamienista – Sahara w Algierii
Źródło: Florence Devouard, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Na pewno wiesz, że Sahara to największa najgorętsza pustynia na Ziemi. Zapewne kojarzy ci się z bezkresnym piaszczystym obszarem. A jak jest w rzeczywistości? Jak myślisz – ile procent powierzchni Sahary pokrywa piasek?

Nie wiem jaką dasz odpowiedź, ale większość ludzi twierdzi, że około $80 %$ , choć jest wręcz przeciwnie – tylko $15 %$ powierzchni Sahary pokrywa piasek. Dzieje się tak dlatego, że powierzchnia pustyni jest bardzo zróżnicowana, w dużej mierze skalista.

Widać więc, że uśrednianie danych, w przypadku dużego ich zróżnicowania, może całkowicie wypaczyć obraz pewnego zjawiska czy sytuacji. Aby unikać takich pułapek, w statystyce, oprócz miar tendencji centralnej, stosuje się jeszcze inne miary. Z niektórymi z nich zapoznasz się w tym materiale.

Twoje cele

Poznasz niektóre miary rozproszenia i porównasz je z miarami tendencji centralnej.
Obliczysz rozstęp, odchylenie przeciętne i wariancję danych przedstawionych w różny sposób.
Przeanalizujesz i zinterpretujesz wariancję danego zestawu danych statystycznych.
Obliczysz odchylenie standardowe danych przedstawionych w różny sposób.

Miary rozproszenia

Rozpatrzymy wyniki dwóch serii rzutów kostką do gry.

Seria 1	Seria 2
$4, 4, 4, 4, 4$	$1, 3, 4, 6, 6$

W obu przypadkach średnia arytmetyczna liczby wyrzuconych oczek jest równa $4$ . Mediana obu zestawu danych też jest równa i wynosi $4$ . Jednak oba te zestawy danych wyraźnie się różnią. Pierwszy zestaw nie jest zróżnicowany, a drugi – zróżnicowany. Widać więc, że zastosowanie miar tendencji centralnej nie opisuje dobrze różnic między tymi zestawami.

Aby więc analiza danych była pełniejsza, warto zastosować jeszcze charakterystyki zróżnicowania (rozproszenia) danych, zwane miarami rozproszenia (dyspersji). Miary te pozwalają na określenie, jak duże są różnice (odchylenia) między poszczególnymi wartościami jednostek zbiorowości, a ich wartością przeciętną (średnią).

Miara rozproszenia

Definicja: Miara rozproszenia

Miary rozproszenia (rozrzutu, zmienności, dyspersji) to miary charakteryzujące stopień zróżnicowania między sobą jednostek statystycznych pod względem badanej cechy.

Przykładowe miary rozproszenia to rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe.

Rozstęp

Rozstęp jest miarą służącą do wstępnej analizy rozproszenia.

Rozstęp

Definicja: Rozstęp

Rozstępem (obszarem zmienności) nazywamy różnicę między największą a najmniejszą wartością cechy w szeregu statystycznym.

Rozstęp oznaczamy literą $R$ .

R = x_{m a x} - x_{m i n},

gdzie:
$x_{m a x}$ – największa wartość cechy,
$x_{m i n}$ – najmniejsza wartość cechy.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono oceny z historii uzyskane przez Anię, Ewę i Julka.

Osoba	Oceny z historii
Ania	$4, 5, 6, 4, 5, 4, 6$
Ewa	$3, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3$
Julek	$2, 1, 3, 4, 4, 4, 3, 5$

$R = 6 - 4 = 2$

$R = 4 - 3 = 1$

$R = 5 - 1 = 4$

Odchylenie przeciętne

Odchylenie od średniej

Definicja: Odchylenie od średniej

Odchyleniem wartości $x_{i}$ cechy statystycznej od średniej arytmetycznej $\bar{x}$ nazywamy liczbę $|x_{i} - \bar{x}|$ .

Przykład 2

Policzono ile bombek zawieszono na $4$ choinkach stojących na Placu Ratuszowym. Otrzymano następujące wyniki: $126$ , $47$ , $24$ , $183$ .

Obliczymy średnią arytmetyczną liczby bombek i dla każdego wyniku podamy odchylenie od średniej liczb bombek.

Rozwiązanie:

Obliczamy średnią arytmetyczną:

\bar{x} = \frac{126 + 47 + 24 + 183}{4} = 95

Obliczamy odchylenie od średniej.

Argumenty i Wartości
$x_{i}$	$126$	$47$	$24$	$183$
$\|x_{i} - \bar{x}\|$	$\|126 - 95\| = 31$	$\|47 - 95\| = 48$	$\|24 - 95\| = 71$	$\|183 - 95\| = 88$

Wniosek:

Największe odchylenie od średniej jest w przypadku choinki, na której zawieszono $183$ bombki.

Miarą rozproszenia, która uwzględnia wszystkie dane rozkładu (a nie poszczególne elementy – tak jak odchylenie od średniej), jest odchylenie przeciętne (średnie).

Odchylenie przeciętne

Definicja: Odchylenie przeciętne

Odchyleniem przeciętnym zestawu danych statystycznych $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ od ich średniej arytmetycznej $\bar{x}$ nazywamy liczbę:

d = \frac{|x_{1} - \bar{x}| + |x_{2} - \bar{x}| + \dots + |x_{n} - \bar{x}|}{n}

Przykład 3

Obliczymy odchylenie przeciętne dla zestawu danych z Przykładu $2$ .

d = \frac{31 + 48 + 71 + 88}{4} = 59, 5 \approx 60

Możemy powiedzieć, że liczby bombek na poszczególnych choinkach różnią się o ok. $60$ od średniej dla wszystkich choinek.

Wariancja

Podstawową miarą zmienności obserwowanych wyników jest wariancja. Wariancja informuje o tym, jak duże jest zróżnicowanie wyników w danym zbiorze danych – czy wyniki są bardziej czy mniej skoncentrowane wokół średniej.

Wariancja

Definicja: Wariancja

Wariancją zestawu danych statystycznych $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń od ich średniej arytmetycznej $\bar{x}$ .

Wariancję oznaczamy symbolem $σ^{2}$ ( $σ$ – sigma) i określamy wzorem:

σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}

Przykład 4

W loterii fantowej wzięły udział $3$ osoby. Każda wyciągnęła $10$ losów. Pierwsza z osób wyciągnęła 4 losy pełne, druga $6$ , a trzecia $2$ . Obliczymy wariancję wyciagnięcia losów pełnych.

Obliczamy średnią arytmetyczną liczb: $4$ , $6$ , $2$ .

\bar{x} = \frac{4 + 6 + 2}{3} = 4

Obliczamy wariancję.

σ^{2} = \frac{{(4 - 4)}^{2} + {(6 - 4)}^{2} + {(2 - 4)}^{2}}{3} = \frac{0 + 4 + 4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2, 7

Wariancja jest równa w przybliżeniu $2, 7$ .

Przykład 5

Obliczymy wariancję dla zestawu danych zapisanych w tabeli liczebności.

Argumenty i Wartości
Wartość $x_{i}$ cechy	$2$	$4$	$6$	$10$
Liczebność $n_{i}$	$2$	$5$	$1$	$2$

Obliczamy średnią arytmetyczną.

\bar{x} = \frac{2 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 1 + 10 \cdot 2}{2 + 5 + 1 + 2} = \frac{4 + 20 + 6 + 20}{10} = 5

Obliczymy wariancję.

σ^{2} = \frac{2 \cdot {(2 - 5)}^{2} + 5 \cdot {(4 - 5)}^{2} + 1 \cdot {(6 - 5)}^{2} + 2 \cdot {(10 - 5)}^{2}}{10}

σ^{2} = \frac{2 \cdot 9 + 5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 25}{10} = \frac{74}{10} = 7, 4

Wariancjawariancja zestawu danych statystycznychWariancja dla podanego zestawu danych jest równa $7, 4$ .

Przykład 6

Obliczymy rozstęp, średnią arytmetyczną, odchylenie przeciętne i wariancję dla zestawu danych: $- 4$ , $10$ , $- 1$ , $0$ , $5$ .

Rozwiązanie:

Zapisujemy dane w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego.

$x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$
	$- 4$	$- 1$	$0$	$5$	$10$

Obliczamy rozstęp.

R = x_{5} - x_{1} = 10 - (- 4) = 14

Obliczamy średnią arytmetyczną.

\bar{x} = \frac{- 4 - 1 + 0 + 5 + 10}{5} = 2

Obliczamy odchylenie przeciętne.

d = \frac{|- 4 - 2| + |10 - 2| + |- 1 - 2| + |0 - 2| + |5 - 2|}{5} = \frac{6 + 8 + 3 + 2 + 3}{5} = 4, 4

Obliczamy wariancję.

σ^{2} = \frac{{(- 4 - 2)}^{2} + {(10 - 2)}^{2} + {(- 1 - 2)}^{2} + {(0 - 2)}^{2} + {(5 - 2)}^{2}}{5}

σ^{2} = \frac{6^{2} + 8^{2} + 3^{2} + 2^{2} + 3^{2}}{5} = \frac{122}{5} = 24, 4

Na podstawie wartości uzyskanych parametrów zauważamy, że zróżnicowanie danych jest duże (różnica między wartością największą a najmniejszą to aż $14$ , wariancja to $24, 4$ ).

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami wyznaczania miar rozproszenia pokazanymi w galerii zdjęć interaktywnych. Zinterpretuj w każdym przypadku uzyskane wyniki.

Rq1ofUSuSsE6j

R1BJL2ylats88

RsD0VJWh7rMSf

R15bzIW5tCgA7

RCX0aBiVZnAay

Zapoznaj się z poniższymi przykładami wyznaczania miar rozproszenia. Zinterpretuj w każdym przypadku uzyskane wyniki.

Przykład 1

Uczniowie oceniali w skali 1 do 10 prezentacje przygotowane przez dwie grupy. Wystawione oceny dla grupy pierwszej to: 1, 2, 5, 5, 8, 9. Wystawione oceny dla grupy drugiej to: 4, 5, 5, 5, 5, 6. Obliczymy średnią dla obu grup. Grupa pierwsza:

$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 5 + 5 + 8 + 9}{6} = 5$ .

Grupa druga:

$\bar{x} = \frac{4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6}{6} = 5$ .

Zauważ, że średnia ocen w każdym przypadku jest taka sama. Teraz wyznaczymy dla każdej grupy danych rozstęp, czyli w tym wypadku różnicę między oceną najwyższą a najniższą. Grupa pierwsza:

$R = 9 - 1 = 8$ .

Grupa druga: $R = 6 - 4 = 2$ .

Wniosek:

Oceny, które uzyskała grupa druga bardziej skupione są wokół średniej. > > Oceny wystawione grupie pierwszej są bardziej rozproszone.

Przykład 2

Obliczymy odchylenie przeciętne dla podanego zestawu danych. Wartości dla $x_{i}$ to: 2, 4, 10.

Wartości dla $n_{i}$ to: 7, 9, 4.

Najpierw obliczamy, ile jest wszystkich obserwacji.

$7 + 8 + 4 = 20$

Następnie obliczamy średnią arytmetyczną.

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 7 + 4 \cdot 9 + 10 \cdot 4}{20} = \frac{90}{20} = 4, 5$

Teraz dla podanych wyników obliczamy odchylenie od średniej.

$|x_{1} - \bar{x}| = |2 - 4, 5| = 2, 5$

$|x_{2} - \bar{x}| = |4 - 4, 5| = 0, 5$

$|x_{3} - \bar{x}| = |10 - 4, 5| = 5, 5$

W ostatnim kroku obliczamy odchylenie od przeciętnej, korzystając ze wzoru:

$d = \frac{|x_{1} - \bar{x}| + |x_{2} - \bar{x}| + . . . + |x_{n} - \bar{x}|}{n}$ .

Obliczamy.

$d = \frac{7 \cdot 2, 5 + 9 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 5, 5}{20}$

$d = \frac{17, 5 + 4, 5 + 22}{20}$

$d = \frac{44}{20} = 2, 2$

Odchylenie od przeciętnej w tym zestawie danych jest równe $2, 2$ .

Przykład 3

Cztery osoby zapytano o liczbę wysłanych dzisiaj sms‑ów. Uzyskano następujące wyniki: 7, 12, 8, 13. Obliczymy wariancję uzyskanych danych. Najpierw liczymy średnią arytmetyczną liczb wysłanych sms‑ów.

$\bar{x} = \frac{7 + 12 + 8 + 13}{4} = \frac{40}{4} = 10$

Aby obliczyć wariancję, skorzystamy ze wzoru: $\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + . . . + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}$ ,

gdzie $n = 4$ oraz $x_{1} = 7$ , $x_{2} = 12$ , $x_{3} = 8$ , $x_{4} = 13$ .

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy.

$σ^{2} = \frac{{(7 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2}}{4}$

$σ^{2} = \frac{{(- 3)}^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2}}{4}$

$σ^{2} = \frac{9 + 4 + 4 + 9}{4} = \frac{26}{4} = 6, 5$

Wariancja liczby wysłanych sms‑ów jest równa $6, 5$ .

Polecenie 2

Dla zestawu danych: $- 6$ , $- 2$ , $0$ , $2$ , $6$ , $12$ oblicz rozstęp, średnią arytmetyczną, odchylenie przeciętne, wariancję.

Rozstęp:

R = 12 - (- 6) = 18

Średnia:

\bar{x} = \frac{- 6 - 2 + 0 + 2 + 6 + 12}{6} = 2

Odchylenie przeciętne:

d = \frac{8 + 4 + 2 + 0 + 4 + 10}{6} = \frac{28}{6} \approx 4, 7

Wariancja:

σ^{2} = \frac{64 + 16 + 4 + 0 + 16 + 100}{6} = \frac{200}{6} \approx 33, 3

Odchylenie standardowe

RwpjuotqI6xTo1

Obraz przedstawia starszego mężczyznę w garniturze, siedzącego przy otwartych książkach i notatkach, trzymającego długopis w dłonie, patrzącego na wprost. — Karl Pearsone
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Znamy już wariancję – jedną z miar rozproszenia. Nie jest to jednak najlepszy środek do wnioskowania, bowiem podnoszenie do kwadratu odchyleń liczb od średniej powoduje, że rozrzut określany jest w kwadratowych jednostkach pomiaru.

Z tego powodu do analizy rozrzutu wartości jakiejś wielkości (np. inflacji, kursu akcji) wokół średniej, wykorzystuje się odchylenie standardowe. Pojęcie to zostało wprowadzone stosunkowo niedawno, bo w 1894 r. Wprowadził je angielski matematyk, prekursor statystyki Karl Pearson.

Warto wiedzieć, że w 1911 r. Pearson utworzył w Londynie pierwszy na świecie uniwersytecki wydział statystyki.

Odchylenie standardowe jest najczęściej stosowaną miarą rozproszenia. Jest miarą określającą przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy statystycznej od poziomu średniej arytmetycznej. Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy ze średniej arytmetycznej kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od wartości średniej arytmetycznej.

Odchylenie standardowe

Definicja: Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym zestawu danych statystycznych $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ od średniej arytmetycznej $\bar{x}$ nazywamy liczbę $σ$ równą pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji.

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}}

Podstawowe własności

Odchylenie standardowe:

to miara mianowana – ma miano takie, jak badana cecha statystyczna,
jest liczone na podstawie wszystkich obserwacji,
bazuje na średniej arytmetycznej, a więc nie może być wyznaczone w szeregach, w których nie można wyznaczyć średniej,
określa miarę rozrzutu jednej zbiorowości pod względem jednej cechy,
im ma wyższą wartość, tym bardziej zróżnicowana jest badana zbiorowość statystyczna.

Przykład 7

Zbadano liczbę czekoladek w pudełkach z napisem „zawartość $500 g$ ”. Otrzymano wyniki: $20$ , $21$ , $23$ , $19$ , $17$ . Obliczymy odchylenie standardowe tych danych.

Rozwiązanie:

Porządkujemy dane według rosnących wartości.

$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$
$17$	$19$	$20$	$21$	$23$

Określamy liczbę danych: $n = 5$ .

Obliczamy średnią arytmetyczną.

\bar{x} = \frac{17 + 19 + 20 + 21 + 23}{5} = 20

Obliczamy odchylenia od średniej dla każdej z danych.

$|17 - 20| = 3$

$|19 - 20| = 1$

$|20 - 20| = 0$

$|21 - 20| = 1$

$|23 - 20| = 3$

Obliczamy odchylenie standardowe, podstawiając do wzoru wyznaczone odchylenia od średniej.

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}}

σ = \sqrt{\frac{3^{2} + 1^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 3^{2}}{5}}

σ = \sqrt{\frac{20}{5}} = 2

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe jest równe $2$ , co oznacza, że liczba czekoladek w pudełkach różni się przeciętnie od średniej o $2$ czekoladki.

Przykład 8

Zbadano cenę pączków w kilku sklepach. Otrzymano następujące wyniki: $2 zł$ , $2, 5 zł$ , $3 zł$ , $1, 5 zł$ , $4 zł$ , $2 zł$ . Obliczymy odchylenie standardowe ceny pączków od średniej.

Rozwiązanie:

Porządkujemy dane: $1, 5 zł$ , $2 zł$ , $2 zł$ , $2, 5 zł$ , $3 zł$ , $4 zł$ .

Obliczamy średnią arytmetyczną cen.

\bar{x} = \frac{1, 50 + 2 + 2 + 2, 50 + 3 + 4}{6}

\bar{x} = \frac{15}{6}

\bar{x} = 2, 5 zł

Obliczamy odchylenie od średniej dla każdej z danych.

|1, 50 - 2, 50| = 1

|2 - 2, 50| = 0, 50

|2, 50 - 2, 50| = 0

|3 - 2, 50| = 0, 50

|4 - 2, 50| = 1, 50

Obliczamy odchylenie standardowe.

σ = \sqrt{\frac{1^{2} + {(0, 50)}^{2} + {(0, 50)}^{2} + 0^{2} + {(0, 5)}^{2} + {(1, 5)}^{2}}{6}}

σ = \sqrt{\frac{4}{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

σ \approx 0,82 z ł

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe jest równe w przybliżeniu $0,82 z ł$ , co oznacza, że ceny różnią się przeciętnie o $0,82 z ł$ od średniej ceny.

Przykład 9

W tabeli zapisano dane na temat wieku uczniów. Obliczymy odchylenie standardowe wieku uczniów od średniej.

Wiek uczniów (w latach)	$15$	$16$	$17$	$18$
Liczba uczniów	$2$	$1$	$4$	$3$

Rozwiązanie:

Określamy liczbę uczniów.

$2 + 1 + 4 + 3 = 10$

Obliczamy średnią arytmetyczną wieku.

\bar{x} = \frac{2 \cdot 15 + 1 \cdot 16 + 4 \cdot 17 + 3 \cdot 18}{10}

\bar{x} = \frac{168}{10} = 16, 8

Obliczamy odchylenie od średniej dla każdej z wartości danych.

|15 - 16, 8| = 1, 8

|16 - 16, 8| = 0, 8

|17 - 16, 8| = 0, 2

|18 - 16, 8| = 1, 2

Obliczamy odchylenie standardowe.

σ = \sqrt{\frac{2 \cdot {(1, 8)}^{2} + 1 \cdot {(0, 8)}^{2} + 4 \cdot {(0, 2)}^{2} + 3 \cdot {(1, 2)}^{2}}{10}}

σ = \sqrt{\frac{11, 6}{10}} = \sqrt{1, 16} \approx 1

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe od średniej wieku uczniów jest równe w przybliżeniu $1$ . Oznacza to, że wiek uczniów różni się od średniej wieku mniej więcej o rok.

Odchylenie standardoweodchylenie standardoweOdchylenie standardowe można wykorzystać do porównywania parametrów statystycznych danych liczbowych dotyczących tych samych cech w kilku zbiorowościach statystycznych.

Przykład 10

W tabeli przedstawiono dane dotyczące wzrostu (z dokładnością do $5 cm$ ) dwóch grup uczniów. Obliczymy średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe wzrostu w każdej z grup. Ocenimy, w której grupie zróżnicowanie wzrostu jest mniejsze.

Wzrost (w $cm$ )	$160$	$165$	$170$	$175$	$180$
Grupa $1$ Liczba uczniów	$1$	$2$	$1$	$2$	$4$
Grupa $2$ Liczba uczniów	$1$	$2$	$4$	$2$	$1$

Obliczamy średnią arytmetyczną wzrostu.

Grupa 1

\bar{x} = \frac{1 \cdot 160 + 2 \cdot 165 + 1 \cdot 170 + 2 \cdot 175 + 4 \cdot 180}{10}

\bar{x} = \frac{1730}{10}

\bar{x} = 173 cm

Grupa 2

\bar{x} = \frac{1 \cdot 160 + 2 \cdot 165 + 4 \cdot 170 + 2 \cdot 175 + 1 \cdot 180}{10}

\bar{x} = \frac{1700}{10}

\bar{x} = 170 cm

Obliczamy odchylenie standardowe.

Grupa 1

σ = \sqrt{\frac{1 \cdot {(160 - 173)}^{2} + 2 \cdot {(165 - 173)}^{2} + 1 \cdot {(170 - 173)}^{2} + 2 \cdot {(175 - 173)}^{2} + 4 \cdot {(180 - 173)}^{2}}{10}}

σ = \sqrt{\frac{510}{10}} \approx 7, 14

σ \approx 7, 14 cm

Grupa 2

σ = \sqrt{\frac{1 \cdot {(160 - 170)}^{2} + 2 \cdot {(165 - 170)}^{2} + 4 \cdot {(170 - 170)}^{2} + 2 \cdot {(175 - 170)}^{2} + 1 \cdot {(180 - 170)}^{2}}{10}}

σ = \sqrt{\frac{300}{10}} \approx 5, 48

σ \approx 5, 48 cm

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe w grupie drugiej jest znacznie mniejsze niż w pierwszej – zróżnicowanie wzrostu w grupie drugiej jest mniejsze niż w grupie pierwszej.

Polecenie 3

Przeanalizuj przykłady wyznaczania odchylenia standardowego. Zastanów się, w jaki sposób można zinterpretować wyniki obliczeń.

R10XDsgFoX7Hr

Polecenie 4

Korzystające ze wzoru zapisanego w animacji, oblicz odchylenie standardowe zestawu danych: $0$ , $2$ , $6$ , $8$ . Wynik podaj z dokładnością do $0, 1$ .

Średnia arytmetyczna: 4.

σ = \sqrt{\frac{0 + 4 + 36 + 64}{4} - 16} = \sqrt{10} \approx 3, 2

R1PbGKd0vb1fX1

Ćwiczenie 1

R7puwKl24i5dQ1

Ćwiczenie 2

R2lzPO8ioxxTI2

Ćwiczenie 3

R1XX3qK6QqBRa2

Ćwiczenie 4

Rjlau5T4WLgnL2

Ćwiczenie 5

R1NV6E1mX6EjU2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wariancja danych zapisanych w tabelce poniżej jest równa:

Argumenty i Wartości
Wartość $x_{i}$ cechy	$1$	$2$	$4$	$10$
Liczebność $n_{i}$	$2$	$5$	$2$	$1$

R8nwYVx1SSfCt

Ćwiczenie 8

Maciek w tym semestrze otrzymał z geografii trzy czwórki, dwie piątki, cztery trójki i szóstkę. Oblicz wariancję dla tych danych.

Liczba ocen: $3 + 2 + 4 + 1 = 10$ .

Średnia:

\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 6}{10} = 4

Wariancja:

\frac{3 \cdot {(4 - 4)}^{2} + 2 \cdot {(5 - 4)}^{2} + 4 \cdot {(3 - 4)}^{2} + 1 \cdot {(6 - 4)}^{2}}{10} = 1

RxrGObDZPUshv1

Ćwiczenie 9

RZ1UqzKfSi7qh1

Ćwiczenie 10

R1VAgXqkcCbSN2

Ćwiczenie 11

R7z5xdeNvKlwf2

Ćwiczenie 12

R13uZHyYkd9Te2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Przeanalizowano liczbę uczniów nieobecnych w dwóch klasach w marcu.
Wyniki przedstawiono w tabelce.

Liczba dni nieobecności	$1$	$2$	$4$	$5$
Liczba uczniów klasa III A	$8$	$5$	$3$	$4$
Liczba uczniów Klasa III B	$2$	$3$	$9$	$6$

RlRMSIsvfY5bg

Ćwiczenie 15

Oblicz odchylenie standardowe danych zapisanych w tabelce. Wynik zaokrąglij do całości.

Wartość $x_{i}$ cechy	$1$	$2$	$4$	$9$
Liczebność $n_{i}$	$6$	$1$	$1$	$2$

\bar{x} = \frac{6 + 2 + 4 + 18}{6 + 1 + 1 + 2} = \frac{30}{10} = 3

σ = \sqrt{\frac{6 \cdot {(1 - 3)}^{2} + 1 \cdot {(2 - 3)}^{2} + 1 \cdot {(4 - 3)}^{2} + 2 \cdot {(9 - 3)}^{2}}{10}} = \sqrt{\frac{98}{10}}

Ćwiczenie 16

Anka otrzymała za rozwiązania trzech zadań po $4$ punkty, za rozwiązanie dwóch zadań po $5$ punktów, za rozwiązania czterech zadań po $3$ punkty i za jedno zadanie $6$ punktów. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe dla tych danych.

Liczba rozwiązanych zadań: $3 + 2 + 4 + 1 = 10$

Średnia: $\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 6}{10} = 4$

Wariancja: $\frac{3 \cdot {(4 - 4)}^{2} + 2 \cdot {(5 - 4)}^{2} + 4 \cdot {(3 - 4)}^{2} + 1 \cdot {(6 - 4)}^{2}}{10} = 1$

Odchylenie standardowe: $\sqrt{1} = 1$

Słownik

wariancja zestawu danych statystycznych

średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń od ich średniej arytmetycznej $\bar{x}$

odchylenie standardowe

odchyleniem standardowym zestawu danych statystycznych od średniej arytmetycznej nazywamy liczbę równą pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji

1. Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana

3. Graficzne przedstawianie danych statystycznych