2. Doświadczenie losowe. Przestrzeń zdarzeń elementarnych

RrZIECvUMciZR

R1dL8ZzFraS5V1

Zdjęcie przedstawia posąg kobiety trzymającej w ręce róg obfitości. — Fortuna – bogini zbiegów okoliczności, szczęścia i przeznaczenia
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

W naukach przyrodniczych uważa się, że każde zjawisko ma swoją przyczynę. Jednak w wielu przypadkach nie dysponujemy wystarczającą wiedzą (przynajmniej na razie), by choć w przybliżeniu określić przebieg danego zjawiska. Przykładem mogą być zjawiska kwantowe (rozpady jądrowe, fale elektromagnetyczne), czy losowanie kul w Lotto. Teoretycznie wynik losowania kul jest możliwy do przewidzenia, jednak nawet niewielki błąd w pomiarze położenia jednej z kul, powoduje ogromną trudność w przewidzeniu położenia pozostałych kul.
Pojęcie przypadku zależy więc od informacji, którymi dysponuje osoba oceniająca zdarzenie.
Od zarania dziejów ludzie usiłowali przewidzieć rozwój wypadków. Chodzili do wróżek, by poznać przyszłość i pomóc fortunie.

Matematycy, choć często bywali magami i alchemikami, nie bardzo wierzyli wyroczniom i jasnowidzom. Woleli brać los w swoje ręce i tworzyć teorie, które miały pomóc określić możliwość zajścia danego zdarzenia. Wymyślili więc rachunek prawdopodobieństwa, którego jednym z pojęć jest doświadczenie losowe.
Właśnie poznanie tego pojęcia będzie treścią tego materiału.

Twoje cele

Rozpoznasz doświadczenie losowe.
Podasz przykład doświadczenia losowego.
Podasz przykład doświadczenia, które nie jest doświadczeniem losowym.
Uzasadnisz, że dane doświadczenie jest doświadczeniem losowym.
Określisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Obliczysz moc zbioru zdarzeń elementarnych.

RQC4goUlhkFnJ1

Ilustracja przedstawia różnego rodzaju, kolorowe kości do gry ułożone na białym tle. Niektóre są w klasycznym kształcie sześcianu, inne są kostkami o większej liczbie ścian, na przykład ośmiościenne, dwudziestościenne czy czworościenne. — Źródło: Arnaud 25, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 4.0.

Symbolem nieprzewidywalności, losowości (również hazardu) jest gra w kości. Jest metamorfozą wszystkich dziedzin wiedzy objętych mianem „nauk przypadku”.

W miarę postępu nauki, coraz mniej zdarzeń można nazwać przypadkowymi. Nawet przewidywanie pogody, uważane za całkowicie niemożliwe, coraz częściej sprawdza się w krótkich okresach czasu.

R13mXuKAjGofd1

Zdjęcie przedstawia dom jednorodzinny. Z komina unosi się gęsty czarny dym. — Źródło: Jacek Halicki, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 4.0.

O procesie losowym mówimy jako o czymś co ewaluuje w czasie, w sposób, którego wyniku nie możemy przewidzieć. Klasycznym przykładem jest dym wydobywający się z komina, którego dokładnego kształtu wcześniej nie można określić. Można jedynie przypuszczać, korzystając z teorii prawdopodobieństwa, jak on może wyglądać. Z procesami zasadniczo losowymi mamy dość rzadko do czynienia. A to, że nie wiemy jaki będzie wynik danego zdarzenia wynika z tego, że nie posiadamy dostatecznej liczby potrzebnych informacji lub mamy ich zbyt wiele i nie jesteśmy w stanie ich przeanalizować. Najczęściej zgadujemy, jaki będzie finał danej sytuacji w sposób subiektywny – opierając się na przypuszczeniach. Jeśli weźmiemy pod uwagę wiele podobnych zdarzeń oraz ich wyniki i na tej podstawie wysnujemy wniosek, nasze przypuszczenia będą bardziej obiektywne.

W teorii prawdopodobieństwa jednym z najważniejszych pojęć jest doświadczenie losowedoświadczenie losowedoświadczenie losowe. Pojmowane jako pewien eksperyment, którego wyniku nie można przewidzieć. Eksperyment ten można powtarzać w teoretycznie takich samych warunkach, a wyniki mogą być różne. Wynik takiego eksperymenty jest działem przypadku. Ważne jest jednak, że zbiór wszystkich możliwych wyników jest określony. Jeśli tak określona procedura ma tylko jeden możliwy wynik, to mówimy że doświadczenie jest deterministyczne.

Doświadczenie losowe

Definicja: Doświadczenie losowe

Doświadczenie losowe, to doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w identycznych (lub zbliżonych) warunkach, które ma kilka możliwych wyników i którego wyniku nie daje się jednoznacznie przewidzieć.

Przykład 1

Rzucamy symetryczną monetą.

RiAKdjplAS8nq

Zdjęcie przedstawia monetę dwugroszową, raz od strony reszki, drugi raz od strony orła.

Możemy otrzymać orła, albo reszkę. Wyniku rzutu nie możemy przewidzieć.

Rzut monetą to przykład doświadczenia losowego.

Przykład 2

Rzucamy dwiema symetrycznymi nierozróżnialnymi monetami. Tym razem mamy więcej możliwych wyników. Możemy otrzymać dwie reszki, dwa orły albo reszkę i orła (nie ważne jest przy tym na której monecie wypadnie orzeł, a na której reszka). Wyniku rzutu nie możemy przewidzieć.

Rzut dwiema nierozróżnialnymi monetami to przykład doświadczenia losowego.

Przykład 3

Tym razem rzucamy dwiema różnymi monetami. Na przykład monetą pięciogroszową i jednogroszową.

R1ecn2MWesu0b

Zdjęcie przedstawia monetę jednogroszową oraz pięciogroszową w czterech różnych przypadkach. W pierwszym moneta jednogroszowa jak i zarówno pięciogroszowa jest pokazana od strony reszki. W drugim przypadku obie monety pokazane są od strony orła. W trzecim moneta jednogroszowa od strony reszki, a pięciogroszowa od strony orła. W czwartym przypadku na odwrót, jednogroszowa od strony orła, a pięciogroszowa od strony reszki.

Są cztery możliwe wyniki. Wyniku rzutu nie możemy przewidzieć.

Przykład 4

Losujemy jedną piłkę z pojemnika, w którym znajdują się piłki niebieskie, czarne i szare.

Piłek niebieskich jest tyle samo co czarnych, czarnych piłek jest tyle samo co szarych.

R1P5cuclOzJaq

Zdjęcie przedstawia zielony, okrągły pojemnik wypełniony piłeczkami koloru niebieskiego, czarnego i szarego.

Można wylosować piłkę niebieską, czarną lub szarą. Wyniku losowania nie można przewidzieć. Losowanie piłki z tego pojemnika jest doświadczeniem losowym.

Przykład 5

Rzucamy symetryczną, sześcienną kostką do gry.

RL1RWR4biFIxy

Ilustracja przedstawia szkic sześciennej kostki do gry i zaraz obok jej siatkę.

Możemy wyrzucić ściankę z $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ oczkami. Wyniku rzutu nie można przewidzieć.

Rzut kostką jest doświadczeniem losowym.

Przykład 6

Obserwujemy walkę dwóch szermierzy – pana $A$ z panem $B$ . Może zwyciężyć pan $A$ lub pan $B$ .

Czy wynik pojedynku jest doświadczeniem losowym?

Nie, gdyż wynik zależy w największym stopniu od umiejętności i doświadczenia zawodników.

Przykład 7

W pewnym sklepie stoi urna, do której klienci mogą wrzucać kartki ze swoimi nazwiskami. Raz dziennie losowana jest jedna kartka. Wylosowany klient otrzymuje czekoladę. Czy losowanie kartek (rozpatrywane w ciagu tygodnia) jest doświadczeniem losowym?

Niestety nie, bo codziennie do sklepu przychodzą inni klienci i eksperymentu nie można przeprowadzić w tych samych warunkach.

Będziemy rozpatrywać doświadczenie losowedoświadczenie losowedoświadczenie losowe, które ma co najmniej dwa wyniki. Każdy z pojedynczych wyników to zdarzenie elementarne.

Przykład 8

Podamy kilka przykładów zdarzeń elementarnych.

Doświadczenie losowe	Przykład zdarzenia elementarnego
rzut czworościenną kostką, na której zapisane są liczby $3$ , $5$ , $7$ , $9$	wyrzucenie $3$
rzut trzema kostkami do gry	wyrzucenie trzech orłów
rzut sześcienną kostką i monetą	wyrzucenie $6$ i reszki
wyciągnięcie z talii $52$ kart jednej karty	wyciągnięcie damy pik

Jeśli doświadczenie losowe ma dokładnie dwa różne możliwe wyniki, nazywa się próbą Bernoulliego, od nazwiska szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego.

Próba Bernoulliego

Definicja: Próba Bernoulliego

Próba Bernoulliego, to eksperyment losowy, który ma dwa różne możliwe wyniki. Wyniki te zazwyczaj określane są jako sukces albo porażka.

Przykład 9

Podamy kilka przykładów klasycznych prób Bernoulliego.

Klasyczne przykłady prób Bernoulliego to:

rzut monetą (orzeł, reszka);

narodziny dziecka (chłopiec, dziewczynka);

zakup losu na loterii (wygrana, przegrana);

wybór jednej z dwóch możliwych odpowiedzi na pytanie, na które nie znasz odpowiedzi (trafione, pudło).

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami doświadczeń losowych przedstawionymi w filmie edukacyjnym. Podaj podobne przykłady.

R18uWxn49kw0j

Polecenie 2

W pudle znajdują się kartoniki, na których zapisane są cyfry $1$ , $2$ , $3$ . Po pięć kartoników z każdą z zapisanych cyfr. Losujemy dwie cyfry i układamy z nich liczbę dwucyfrową. Wypisz wszystkie możliwe liczby, które możny w ten sposób uzyskać.

Liczby, które można ułożyć:

$11$ , $12$ , $13$ , $21$ , $22$ , $23$ , $31$ , $32$ , $33$ .

Każdy wynik doświadczenia losowego to zdarzenie elementarne. Jeśli w doświadczeniu losowym podamy wszystkie możliwe zdarzenia, to mówimy, że określiliśmy przestrzeń zdarzeń elementarnych. Przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych może być zbiorem skończonym bądź nieskończonym.

W aksjomatycznym ujęciu rachunku prawdopodobieństwa zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń elementarnych to pojęcia pierwotne. Aby jednak przybliżyć to ostatnie pojęcie, często przyjmuje się opisową definicję przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Definicja: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy $Ω$ .

W zastosowaniach praktycznych najczęściej interesuje nas nie pojedyncze zdarzenie elementarne rozpatrywanego doświadczenia losowego, ale zbiory tych zdarzeń, czyli podzbiory zbioru $Ω$ . Każdy taki podzbiór (gdy przestrzeń $Ω$ jest skończona), nazywamy zdarzeniem losowym (związanym z rozpatrywanym doświadczeniem losowym).

W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że zbiór $Ω$ jest zbiorem skończonym, a liczbę jego elementów oznaczymy $|Ω|$ .

Przykład 10

Rzucamy jednocześnie dwoma monetami. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników: reszka lub orzeł na pierwszej monecie, reszka lub orzeł na drugiej monecie. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne.

$Ω = \{(R, R), (R, O), (O, R), (O, O)\}$

Są cztery zdarzenia elementarne, zatem

$|Ω| = 4$ .

Przykład 11

Rzucamy jednocześnie czworościenną kostką do gry, na ściankach której zapisane są liczby: $1$ , $1$ , $3$ , $5$ oraz monetą.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary: $1$ , $3$ lub $5$ na kostce do gry, reszka lub orzeł na monecie.

$Ω = \{(1, R), (3, R), (5, R), (1, O), (3, O), (5, O)\}$

Jest sześć zdarzeń elementarnych.

$|Ω| = 6$ .

Przykład 12

Trzy osoby rzucają pierwszy raz w życiu piłką do kosza.

Rzut celny oznaczmy jako $1$ , niecelny jako $0$ . Za zdarzenie elementarne przyjmujemy uporządkowane trójki wyników rzutów danych osób.

Przy czym np. zapis $(1, 1, 0)$ oznacza, że dwie pierwsze osoby trafiły piłką do kosza, a trzecia nie trafiła.

$Ω = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)\}$

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się z ośmiu elementów.

$|Ω| = 8$

W przypadku, gdy liczba zdarzeń elementarnych jest duża, nie wypisujemy ich bezpośrednio, ale staramy się znaleźć ich liczbę. Możemy wtedy posłużyć się modelem graficznym lub wzorami kombinatorycznymi.

Przykład 13

Rzucamy dwa razy kostką do gry.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wyników rzutów: w pierwszym rzucie wypadła $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ , w drugim rzucie wypadła $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ .

Zbiór $Ω$ określimy najpierw za pomocą tabelki.

W wierszach zapisujemy wyniki pierwszego rzutu, w kolumnach – drugiego rzutu.

Wyniki po dwóch rzutach kostką
	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$1, 1$	$2, 1$	$3, 1$	$4, 1$	$5, 1$	$6, 1$
$2$	$1, 2$	$2, 2$	$3, 2$	$4, 2$	$5, 2$	$6, 2$
$3$	$1, 3$	$2, 3$	$3, 3$	$4, 3$	$5, 3$	$6, 3$
$4$	$1, 4$	$2, 4$	$3, 4$	$4, 4$	$5, 4$	$6, 4$
$5$	$1, 5$	$2, 5$	$3, 5$	$4, 5$	$5, 5$	$6, 5$
$6$	$1, 6$	$2, 6$	$3, 6$	$4, 6$	$5, 6$	$6, 6$

Na podstawie tabelki określamy liczbę zdarzeń elementarnych: $|Ω| = 36$ .

Do określenia liczby zdarzeń elementarnych możemy wykorzystać też informację, że pierwszy element pary wyników wybieramy spośród liczb: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , więc można go wybrać na $6$ sposobów.

Drugi element pary można wybrać również na $6$ sposobów.

Zatem liczba wszystkich możliwych par, które możemy uzyskać jest równa $6 \cdot 6$ .

$|Ω| = W_{6}^{2} = 6^{2} = 36$

Przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychPrzestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z $36$ elementów.

Czasem do określenia liczby elementów przestrzeni zdarzeń elementarnych używamy określenia: moc zbioru.

Czyli w tym przypadku moc zbioru zdarzeń elementarnych jest równa $36$ .

Przykład 14

Doświadczenie losowe polega na wyborze spośród $12$ dziewcząt i $8$ chłopców delegacji pięcioosobowej. Obliczymy, z ilu elementów składa się zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.

Mamy obliczyć, na ile sposobów można wybrać delegację spośród $12$ dziewcząt i $8$ chłopców, czyli spośród $20$ osób.

Zauważmy najpierw, że przy wyborze delegacji kolejność wyboru nie jest istotna. Możemy więc skorzystać z kombinacji.

Delegację można więc wybrać na $(\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix})$ sposobów.

$|Ω| = (\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 15504$

Odpowiedź:

Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z $15504$ elementów.

Przykład 15

W pudełku leży $6$ karteczek, na których zapisane są koleje cyfry: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ .

Wyjmujemy kolejno z pudełka (bez zwracania) trzy karteczki i układamy je w kolejności losowania, tworząc liczby trzycyfrowe. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy utworzone w ten sposób liczby. Obliczymy, ile jest zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Dokonujemy wyboru kolejno – najpierw pierwszej cyfry, następnie drugiej i wreszcie trzeciej. Tworzymy więc $3$ – wyrazowe ciągi z elementów zbioru $6$ – elementowego.

Pierwszą cyfrę wybieramy spośród sześciu, drugą spośród pięciu, trzecią spośród czterech.

$|Ω| = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$

Odpowiedź:

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się ze $120$ elementów.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją, pokazującą wykorzystanie wariacji bez powtórzeń do wyznaczania liczb spełniających dane warunki. Określ w każdym przypadku doświadczenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych i jej moc.

Rlbg2XFPhzhc9

Polecenie 4

Doświadczenie losowe polega na układaniu z cyfr $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach. Zbiór zdarzeń elementarnych składa się ze wszystkich tak utworzonych liczb. Określ z ilu elementów składa się ten zbiór.

Wszystkich liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach, możemy ułożyć tyle, ile jest pięciowyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru sześcioelementowego.

$|Ω| = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$

Odpowiedź:

Zbiór zdarzeń elementarnych składa się z $720$ elementów.

RdQ11WEW702RA1

Ćwiczenie 1

RYZQL1IChvIga1

Ćwiczenie 2

R1Wv35JHmUnzX1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Rzucamy sześciennymi kostkami (zwanymi kostkami Sichermana, od nazwiska ich twórcy), których siatki przedstawia rysunek.

RmAPH25DxXRAc

Ilustracja przedstawia siatki dwóch kostek sześciennych. Pierwsza z nich ma oczka o następujących wartościach: 1, 2, 2, 3, 4, 3; druga kostka ma oczka o następujących wartościach: 1, 6, 4, 3, 8, 5

R1eA5shlLpfaQ

R10PhjJVF3HMV2

Ćwiczenie 5

R1EC9N424lc8P2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

W szufladzie znajdują się $2$ serwetki białe i $5$ zielonych.
Doświadczenie polega na wyciagnięciu najpierw jednej serwetki, następnie drugiej i kolejno trzeciej.
Wypisz wszystkie możliwe wyniki tych losowań, uwzględniając tylko kolory losowanych serwetek. Ile jest tych wyników?

Oznaczmy:
$b$ – wylosowanie białej serwetki,
$z$ – wylosowanie serwetki zielonej.

Możliwe wyniki:

$\{(b, b, z), (b, z, b), (b, z, z), (z, b, b), (z, b, z), (z, z, b), (z, z, z)\}$

Jest $7$ możliwych wyników.

Ćwiczenie 8

Doświadczenie losowe polega na wylosowaniu $2$ spośród $6$ osób, przy czym nie jest ważna kolejność losowania. Korzystając z narzędzi kombinatorycznych określ, ile jest możliwych wyników takiego wyboru.

$(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

Jest $15$ możliwych wyników takiego wyboru.

R18G7vIeLq0Kp1

Ćwiczenie 9

R1ZpHYbubzInC1

Ćwiczenie 10

R1E6PIfGgBqAI2

Ćwiczenie 11

R1P5PimsuVdc22

Ćwiczenie 12

RfCIBJ1t2QUCc2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Podaj zbiór zdarzeń elementarnych w trzykrotnym rzucie monetą.

$Ω = {(O, O, O), (O, R, R), (R, O, R), (R, R, O), (O, O, R), (R, O, O),$

$(O, R, O), (R, R, R)}$ .

Ćwiczenie 15

Doświadczenie polega na tworzeniu liczb pięciocyfrowych z cyfr $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , przestawiając je w dowolny sposób.

Oblicz, ile elementów ma zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

$|Ω| = 5! - 4! = 120 - 24 = 96$

Przestrzeń zbioru zdarzeń elementarnych składa się z $96$ elementów.

Ćwiczenie 16

Na peronie do pociągu składającego się z dziesięciu wagonów wsiada sześciu pasażerów. Doświadczenie polega na wyborach wagonów przez pasażerów. Oblicz, ile jest zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Zbiór zdarzeń elementarnych tworzą sześciowyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru dziesięcioelementowego.

$|Ω| = 10^{6}$

W tym doświadczeniu jest $10^{6}$ zdarzeń elementarnych.

Słownik

doświadczenie losowe

to doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w identycznych (lub zbliżonych) warunkach, które ma kilka możliwych wyników i którego wyniku nie daje się jednoznacznie przewidzieć

przestrzeń zdarzeń elementarnych

przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego

1. Kombinatoryka – powtórzenie wiadomości

3. Zdarzenia elementarne

2. Doświadczenie losowe. Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Słownik