3. Zdarzenia elementarne

RQ5I7JgYgKaiA

Rpyu6GIxRja0g1

Rycina przedstawia siedemnastowiecznych graczy w kości zebranych przy stole ustawionym na dziedzińcu. Mężczyźni grają na pieniądze. Stół stoi obok ściany budynku. Nad graczami znajduje się okno budynku, przez które wychyla się kobieta, która wskazuje stół palcem. W górnej części ryciny znajduje się narysowany materiał przypominający kurtynę zdobiącą ilustrację. Na kurtynie widnienie łaciński napis. — Paschier Joostens, De Alea, 1642
Źródło: dostępny w internecie: www.wikipedia.org, domena publiczna.

Podobno kości do gry wynaleziono już w starożytności. Znaleziono je w grobowcach egipskich i na terenach imperium rzymskiego. Były narzędziami hazardu i wróżb. Początkowo funkcje kości do gry spełniały kości zwierząt hodowlanych, które nie miały kształtu sześcianów, ale miały kształt zbliżony do czworościanów. Pasjonowali się nimi Grecy i Rzymianie. Rozgrywki hazardowe często kończyły się utratą majątku przez pechowego gracza.

W Polsce moda na kości nastała w średniowieczu, kiedy to powszechnie grywano w nie na jarmarkach, w karczmach i na dworach szlacheckich.

Obecnie gra ta nie jest już tak popularna, jak onegdaj, choć w XX wieku pojawiło się wiele nowych rodzajów kości – nawet o $100$ ściankach.

Twoje cele

Określisz liczbę zdarzeń elementarnych w wybranych doświadczeniach losowych.
Zliczysz zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu w doświadczeniu losowym.

Zdarzenia w rzucie monetami

Pieniądze od czasu ich wynalezienia fascynowały ludzi. Choć obecnie monety i banknoty zaczynają już wychodzić z mody, wypierane przez dziwne obiekty, zwane kartami płatniczymi, zabytkowe monety na światowych rynkach kolekcjonerskich osiągają niebotyczne ceny.

Najdroższą monetą świata jest prawdopodobnie Flowing Hair Liberty Dollar, jedna z pierwszych jednodolarówek wybitych w USA. W 2013 r. na aukcji zapłacono za nią $10$ mln dolarów.

R1ICNWpMWbc83

Ilustracja przedstawia awers i rewers starej monety. Na awersie znajduje się profil mężczyzny , w koło monety znajdują się gwiazdki i rok 1794. Na rewersie znajduje się ptak o rozłożystych skrzydłach wśród wieńca z liści. — Flowing Hair Liberty Dollar
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Moneta ta została wyprodukowana w 1794 r., kiedy to mennica w Stanach Zjednoczonych zaczęła bicie jednodolarówek. Jednak szybko zakończono produkcję, gdyż zauważono, że używane narzędzia nie nadają się do bicia monet o dużych rozmiarach. Pierwszych monet wybito więc tylko $1758$ sztuk, z czego prawdopodobnie $130$ dotrwało do dzisiaj.

Na początek przypomnienie podstawowych pojęć których znajomość jest niezbędna do zgłębiania poniższych materiałów.

Doświadczeniem losowym nazywamy taki eksperyment, który można powtarzać wielokrotnie w jednakowych (lub bardzo zbliżonych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć.

Każdy wynik doświadczenia losowego to zdarzenie elementarne. Wszystkie zdarzenia losowe danego doświadczenia losowego tworzą przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych).

Zbiór zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać grecką literą $Ω$ . Będziemy zakładać, że jest on zbiorem skończonym, a liczbę jego elementów oznaczymy $|Ω|$ .

W tym materiale skoncentrujemy się na określaniu możliwych zdarzeń w rzucie monetą (monetami).

Każda moneta ma dwie strony. Jedną z nich nazywamy reszką $(R)$ , a drugą orłem $(O)$ . Będziemy zakładać, że moneta jest symetryczna, czyli szanse wyrzucenia reszki są takie same, jak szanse wyrzucenia orła.

Przykład 1

Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia składa się z dwóch elementów:

wypadł orzeł $(O)$
wypadła reszka $(R)$

$Ω = \{O, R\}$ , $|Ω| = 2$

W zastosowaniach praktycznych najczęściej interesuje nas nie pojedyncze zdarzenie elementarne rozpatrywanego doświadczenia losowego, ale zbiory tych zdarzeń, czyli podzbiory zbioru $Ω$ .

Zdarzenie losowe

Definicja: Zdarzenie losowe

Każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem).

O zdarzeniach elementarnych, które są elementami danego zdarzenia $A$ mówimy, że sprzyjają zdarzeniu $A$ .

Zdarzenie nazywamy pewnym, gdy zbiorem zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu jest zbiór zdarzeń elementarnych $Ω$ .

Zdarzenie nazywamy niemożliwym, gdy zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbór pusty. Oznacza to, że w zbiorze $Ω$ nie ma ani jednego zdarzenia elementarnego sprzyjającego danemu zdarzeniu.

Zdarzenie niemożliwe oznaczać będziemy symbolem $\emptyset$ tak, jak zbór pusty.

liczba zdarzeń losowych

Twierdzenie: liczba zdarzeń losowych

Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych $Ω$ ma $n$ elementów, to zdarzeń losowych jest $2^{n}$ (łącznie ze zdarzeniem pewnym i zdarzeniem niemożliwym).

Przykład 2

Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Wypiszemy wszystkie zdarzenia losowezdarzenie losowezdarzenia losowe, które mogą zajść w tym doświadczeniu.

Korzystając z Przykładu 1 wiemy już, że zbiór zdarzeń elementarnych składa się z dwóch elementów. Zatem łączna liczba zdarzeń losowychzdarzenie losowezdarzeń losowych jest równa

$2^{2} = 4$

Wypisujemy te zdarzenia:

$\{O\}$ – wyrzucenie orła

$\{R\}$ – wyrzucenie reszki

$\{O, R\} = Ω$ – zdarzenie pewne

$\emptyset$ – zdarzenie niemożliwe (nie wyrzucono ani orła, ani reszki)

Przykład 3

Rzucamy dwiema monetami: jednogroszówką i dwudziestogroszówką.

R51zVS1OkSdzA

Ilustracja przedstawia tabelę składającą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn. Nagłówki wierszy to awers i rewers dwudziestogroszówki. Nagłówki kolumn to awers i rewers jednogroszówki. Na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny znajduje się awers jednogroszówki i dwudziestogroszówki. Na przecięciu pierwszego wiersza i drugiej kolumny znajduje się rewers jednogroszówki i awers dwudziestogroszówki. Na przecięciu drugiego wiersza i pierwszej kolumny znajduje się awers jednogroszówki i rewers dwudziestogroszówki. Na przecięciu drugiego wiersza i drugiej kolumny znajduje się rewers jednogroszówki i dwudziestogroszówki.

Zdarzeniami elementarnymi w tym doświadczeniu są zdarzenia:

$ω_{1} = \{R, R\}$ – wyrzucenie reszki na obu monetach

$ω_{2} = \{R, O\}$ – wyrzucenie reszki na monecie jednogroszowej i orła na monecie dwudziestogroszowej

$ω_{3} = \{O, R\}$ – wyrzucenie orła na monecie jednogroszowej i reszki na monecie dwudziestogroszowej

$ω_{4} = \{O, O\}$ – wyrzucenie orła na obu monetach

Wynika z tego, że

$Ω = \{(R, R), (R, O), (O, R), (O, O)\}$

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa $4$ .

Jeżeli piszemy o rzucie kilkoma monetami, to zakładamy, że monety te są rozróżnialne. Również wtedy, gdy mają jednakowe nominały.

Zatem doświadczenia: $n$ - krotny rzut monetą i rzut $n$ monetami, interpretujemy i opisujemy tak samo. Czyli identyczne są zbiory zdarzeń elementarnych takich doświadczeń.

Przykład 4

Doświadczenie polega na trzykrotnym rzucie monetą. Wyznaczymy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu możemy wyznaczyć różnymi sposobami. Przedstawimy jeden z nich. Narysujemy tzw. drzewko.

RAwOB4duwjJXD

Ilustracja przedstawia drzewo prawdopodobieństwa. Początek rozważań oznaczony jest dużą niebieską kropką. Od tego miejsca mamy dwa rozgałęzienia oznaczający pierwszy etap. Na lewo mamy O na prawo R. W drugim etapie od O i R odchodzą dwie nowe możliwości, czyli od O mamy nowe O i R i tak samo od R mamy nowe O i R. W trzecim etapie ponownie od każdego O i R odchodzą po dwie nowe możliwości. Tworzy się zatem osiem ścieżek. Ścieżka 1. O O O , ścieżka 2. O O R, ścieżka 3. O R O, ścieżka 4. O R R, ścieżka 5. R O O, ścieżka 6. R O R, ścieżka 7. R R O, ścieżka 8. R R R.

Podczas pierwszego rzutu ( $I$ etap) mamy dwie możliwości – $O$ , $R$ .

Z wierzchołka drzewa prowadzimy dwie krawędzie.

W kolejnym etapie każdej z wcześniejszych możliwości odpowiadają dwie nowe sytuacje. Z każdego z wierzchołków oznaczonych $O$ , $R$ prowadzimy po dwie krawędzie i wpisujemy możliwe wyniki.

Podobnie postępujemy w trzecim rzucie.

Zbiór zdarzeń elementarnych tworzymy, wypisując wszystkie ciągi wyników, zapisanych przy krawędziach tworzących gałęzie, rozpoczynając od wierzchołka drzewa.

$Ω = {(O, O, O), (O, O, R), (O, R, O), (O, R, R), (R, O, O), (R, O, R),$

$(R, R, O), (R, R, R)}$

$|Ω| = 8 = 2^{3}$

Zauważmy, że w jednoczesnym rzucie $n$ monetami (lub w $n$ rzutach monetą) liczba zdarzeń elementarnych jest równa $2^{n}$ .

Przykład 5

Rzucamy jednocześnie monetą i sześcienną kostką do gry.

Wypiszemy zdarzenia sprzyjające:

zdarzeniu $A$ – na monecie wypadła reszka, a na kostce liczba oczek nie większa od $4$
zdarzeniu $B$ – na monecie wypadła reszka, a na kostce parzysta liczba oczek

$A = \{(R, 1), (R, 2), (R, 3), (R, 4)\}$

$B = \{(R, 2), (R, 4), (R, 6)\}$

Wypiszemy teraz zdarzenia sprzyjające zdarzeniom $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A ∖ B$ , $B ∖ A$ .

Postępujemy podobnie, jak przy działaniach na zbiorach.

$A \cup B = \{(R, 1), (R, 2), (R, 3), (R, 4), (R, 6)\}$

$A \cap B = \{(R, 2), (R, 4)\}$

$A ∖ B = \{(R, 1), (R, 3)\}$

$B ∖ A = \{(R, 6)\}$

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać przedstawione tam problemy, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

RFHEamXO1DZ6z

Slajd 1. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod slajdem znajduje się tekst: W tym celu możemy sporządzić tabelkę lub "drzewko". Lektor czyta tą samą treść. Slajd 2. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod nim znajduje się tabela składająca się z dwóch wierszy i dwóch kolumn. Nagłówki wierszy to niebieskie O i R. Nagłówki kolumn to pomarańczowe O i R. Na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny mamy pomarańczowe i niebieskie O. Na przecięciu pierwszego wiersza i drugiej kolumny znajduje pomarańczowe R i niebieskie O. Na przecięciu drugiego wiersza i pierwszej kolumny pomarańczowe O i niebieskie R. Na przecięciu drugiego wiersza i drugiej kolumny znajduje się pomarańczowe i niebieskie R. Pod slajdem znajduje się tekst: Sporządzamy tabelkę. Lektor czyta to samo. Slajd 3. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod poleceniem znajduje się wcześniej opisana tabela oraz pojawia się drzewko zorientowano poziomo. Z zaznaczonego punktu odchodzą dwie pomarańczowe gałęzie których końce są podpisane O i R, również kolorem pomarańczowym . Z O i R kolejno odchodzą po dwie niebieskie gałęzie, których kończą się niebieską literą O lub R. Tworzą się zatem cztery ścieżki. Ścieżka 1. Pomarańczowe O i niebieskie O, ścieżka 2. pomarańczowe O i niebieskie R, ścieżka 3. pomarańczowe R i niebieskie O, ścieżka 4. pomarańczowe R i niebieskie R. Pod slajdem znajduje się treść: Wieloetapowe doświadczenie losowe możemy zilustrować za pomocą drzewa. Odcinki łączące kolejne węzły to krawędzie. Ostatni, końcowy węzeł to wierzchołek. Dowolny ciąg krawędzi łączących początek drzewa z jednym z węzłów końcowych, nazywamy gałęzią drzewa. Każdej gałęzi odpowiada jeden wynik doświadczenia wieloetapowego. To samo czytane jest przez lektora. Slajd 4. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod poleceniem znajduje się wcześniej opisana tabela oraz drzewko. Pojawia się zapis matematyczny: Omega równa się nawias klamrowy nawias ( pomarańczowe O, niebieskie O zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe O, niebieskie R zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie O zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie R zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu klamrowego. Pod slajdem znajduje się treść: Moc zbioru zdarzeń elementarnych jest równa cztery. To samo czyta lektor. Slajd 5. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod poleceniem znajduje się wcześniej opisana tabela oraz drzewko. Nadal jest również rozpisany zbiór Omega. Pod nim znajduje się treść: A - co najmniej raz wypadł orzeł, B- co najmniej raz wypadła reszka. Pod slajdem znajduje się następujący tekst: Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na tym, że co najmniej raz wypadł orzeł. Oznaczmy przez B zdarzenie polegające na tym, że co najmniej raz wypadła reszka. To samo czyta lektor. Slajd 6. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod poleceniem znajduje się wcześniej opisana tabela oraz drzewko. Nadal jest również rozpisany zbiór Omega. Pod nim znajduje się treść: A - co najmniej raz wypadł orzeł, B- co najmniej raz wypadła reszka. Dalej wypisane są zbiory: A równa się nawias klamrowy nawias ( pomarańczowe O, niebieskie O zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe O, niebieskie R zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie O zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu klamrowego oraz B równa się nawias klamrowy nawias pomarańczowe O, niebieskie R zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie O zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie R zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu klamrowego Pod slajdem znajduje się następujący tekst: Wypisujemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A oraz zdarzeniu B. Lektor czyta tą samą treść. Slajd 7. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod poleceniem znajduje się wcześniej opisana tabela oraz drzewko. Nadal jest również rozpisany zbiór Omega. Pod nim znajduje się treść: A - co najmniej raz wypadł orzeł, B- co najmniej raz wypadła reszka. Dalej znajdują się wypisane zbiory A i B. Pojawia się teraz zapis matematyczny zbiór A w przecięciu ze zbiorem B równa się nawias klamrowy nawias pomarańczowe O , niebieskie R zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieski O zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego. Pod slajdem znajduje następujący tekst: Wypiszemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu i , czyli zdarzeniu: za każdym razem wypadło coś innego. Lektor czyta to samo. Slajd 8. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod poleceniem znajduje się wcześniej opisana tabela oraz drzewko. Nadal jest również rozpisany zbiór Omega. Pod nim znajduje się treść: A - co najmniej raz wypadł orzeł, B- co najmniej raz wypadła reszka. Dalej znajdują się wypisane zbiory A i B oraz A przecięcie B. Teraz pojawia się suma zbiorów A i B, czyli równa się nawias klamrowy nawias ( pomarańczowe O, niebieskie O zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe O, niebieskie R zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie O zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie R zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu klamrowego równa się omega. Treść pod slajdem jest następująca: Wypiszemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A lub B .Zauważmy, że to zdarzenie jest zdarzeniem pewnym. Lektor czyta to samo. Slajd 9. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod poleceniem znajduje się wcześniej opisana tabela oraz drzewko. Nadal jest również rozpisany zbiór Omega. Pod nim znajduje się treść: A - co najmniej raz wypadł orzeł, B- co najmniej raz wypadła reszka. Dalej znajdują się wypisane zbiory A i B, A przecięcie B oraz suma A i B. Pojawia się teraz zdarzenie C zdefiniowane, że za każdym razem wypadło to samo, czyli C równa się nawias klamrowy nawias pomarańczowe O, niebieskie O zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie R zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu klamrowego. Pod slajdem znajduje się następująca treść: Wypiszemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu C polegającym na tym, że za każdym razem wypadło to samo. lektor czyta to samo. Slajd 10. Na planszy wyświetla się treść polecenia: Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Znajdziemy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu. Pod poleceniem znajduje się wcześniej opisana tabela oraz drzewko. Nadal jest również rozpisany zbiór Omega. Pod nim znajduje się treść: A - co najmniej raz wypadł orzeł, B- co najmniej raz wypadła reszka. Dalej znajdują się wypisane zbiory A i B, A przecięcie B , suma A i B oraz zbiór C. Pojawia się teraz zdarzenie B polegające na tym, że za drugim razem wypadła reszka. Zbiór D równa się nawias klamrowy nawias pomarańczowe O , niebieskie R zamknięcie nawiasu przecinek nawias pomarańczowe R, niebieskie R zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu klamrowego. Pod slajdem znajduje się treść: Wypiszemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu D polegającym na tym, że za drugim razem wypadła reszka. Lektor czyta to samo.

Polecenie 2

W doświadczeniu polegającym na trzykrotnym rzucie monetą:

a) podaj przykład zdarzenia pewnego;

b) podaj przykład zdarzenia niemożliwego;

c) wypisz zdarzenia sprzyjające zdarzeniom: $A$ – reszka wypadła za drugim razem, $B$ – za pierwszym razem nie wypadł orzeł.

a) Na każdej z monet wypadła reszka lub wypadł orzeł.

b) Na żadnej z monet nie wypadła ani reszka, ani nie wypadł orzeł.

c) $A = \{(R, R, R), (R, R, O), (O, R, R), (O, R, O)\}$ , $B = \{(R, R, R), (R, R, O), (R, O, R), (R, O, O)\}$ .

Zdarzenia w rzucie kostkami

Skoncentrujemy się teraz na określaniu możliwych zdarzeń w rzucie kostką do gry (kostkami do gry).

Będziemy przyjmować, że dana kostka jest symetryczna, czyli szansa wypadnięcia każdej ścianki jest taka sama.

Przykład 6

Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie sześcienną kostką do gry.

RpTIyhHSMphGf

Ilustracja przedstawia sześcienną kostkę do gry, a pod nią narysowano każdą jej ścianę z oczkami osobno.

Każde zdarzenie elementarne w tym doświadczeniu można opisać następująco: wypadło $n$ oczek, gdzie $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Zatem

$Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i $|Ω| = 6$

Przykład 7

Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry – żółtą i niebieską. Obliczymy, ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Za zdarzenie elementarne przyjmujemy każdą uporządkowaną parę, której elementami są odpowiednio wyniki na żółtej i na niebieskiej kostce.

sposób $I$ :

Wykonujemy tabelkę, ilustrującą rzut dwiema kostkami.

RVZ7gPMREaMHU

Ilustracja przedstawia tabelę, w które znajdują się pary wyrzuconych kostek do gry. Pary są następujące: 1 i 1, 1 i 2, 1 i 3, 1 i 4, 1 i 5, 1 i 6, 2 i 1, 2 i 2, 2 i 3, 2 i 4, 2 i 5, 2 i 6, 3 i 1, 3 i 2, 3 i 3, 3 i 4, 3 i 5, 3 i 6, 4 i 1, 4 i 2, 4 i 3, 4 i 4, 4 i 5, 4 i 6, 5 i 1, 5 i 2, 5 i 3, 5 i 4, 5 i 5, 5 i 6, 6 i 1, 6 i 2, 6 i 3, 6 i 4, 6 i 5, 6 i 6

Na podstawie tabelki ustalamy, że jest $36$ zdarzeń elementarnych.

sposób $II$ :

Zauważmy, że na pierwszej kostce może wypaść $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ lub $6$ oczek (jest zatem $6$ różnych możliwości), podobnie na drugiej kostce.

Wszystkich zdarzeń elementarnych jest więc

$|Ω| = 6 \cdot 6 = 36$

Przykład 8

Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry.

Znajdziemy odpowiednie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniom:

$A$ – suma liczb wyrzuconych oczek jest liczbą pierwszą,

$B$ – iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest co najmniej równy $15$ ,

$C$ – liczba oczek, która wypadła za pierwszym razem jest większa od liczby oczek, która wypadła za drugim razem.

Sporządzamy pomocniczą tabelkę. W pola tabelki wpisujemy możliwe do otrzymania sumy liczb oczek w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry i zaznaczamy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu $A$ – suma liczb wyrzuconych oczek jest liczbą pierwszą.

RUKdYApq4Un28

Ilustracja przedstawia tabelę, w komórkach której zapisano sumę oczek wyrzuconych na dwóch kostkach. Numer kolumny i wiersza pokrywa się z liczbą wyrzuconych oczek, czyli na przykład pierwsza kolumna to wyrzucona na jednej z kostek jedynka. Niektóre pola są wyróżnione kolorem. Wiersz pierwszy: 2 wyróżnione, 3 wyróżnione, 4, 5 wyróżnione, 6, 7 wyróżnione, wiersz drugi: 3 wyróżnione, 4, 5 wyróżnione, 6, 7 wyróżnione, 8, wiersz trzeci: 4, 5 wyróżnione, 6, 7 wyróżnione, 8, 9, wiersz czwarty: 5 wyróżnione, 6, 7 wyróżnione, 8, 9, 10, wiersz piąty: 6, 7 wyróżnione, 8, 9, 10, 11 wyróżnione, wiersz szósty: 7 wyróżnione, 8, 9, 10, 11 wyróżnione, 12

Odczytujemy z tabelki: $|A| = 15$ .

Sporządzamy kolejną tabelkę, w której pola tym razem wpisujemy możliwe do uzyskania iloczyny liczb oczek w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry. Zaznaczamy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu $B$ – iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest co najmniej równy $15$ .

RPT0MaYbplMda

Ilustracja przedstawia tabelę, w komórkach której zapisano iloczyn oczek wyrzuconych na dwóch kostkach. Numer kolumny i wiersza pokrywa się z liczbą wyrzuconych oczek, czyli na przykład pierwsza kolumna to wyrzucona na jednej z kostek jedynka. Niektóre pola są wyróżnione kolorem. Wiersz pierwszy: 1, 2, 3, 4, 5, 6, wiersz drugi: 2, 4, 6, 8, 10, 12, wiersz trzeci: 3, 6, 9, 12, 15 wyróżnione, 18 wyróżnione, wiersz czwarty:4, 8, 12, 16 wyróżnione, 20 wyróżnione, 24 wyróżnione, wiersz piąty: 5, 10, 15 wyróżnione, 8, 9, 10, 11 wyróżnione, 20 wyróżnione, 25 wyróżnione, 30 wyróżnione, wiersz szósty: 6, 12, 18 wyróżnione, 24 wyróżnione, 30 wyróżnione, 36 wyróżnione

Odczytujemy z tabelki: $|B| = 13$ .

Sporządzamy ponownie tabelkę, w pola której wpisujemy wszystkie możliwe układy liczb, jakie mogą zajść w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry. Zaznaczamy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu $C$ – liczba oczek, która wypadła za pierwszym razem jest większa od liczby oczek, która wypadła za drugim razem.

RRz2aW8gLcscl

Ilustracja przedstawia tabelę, w które znajdują się pary wyrzuconych kostek do gry. Niektóre komórki tabeli są wyróżnione. Pary są następujące: 1 i 1, 2 i 1 wyróżnione, 3 i 1 wyróżnione, 4 i 1 wyróżnione, 5 i 1 wyróżnione, 6 i 1 wyróżnione, wiersz drugi: 1 i 2, 2 i 2, 3 i 2 wyróżnione, 4 i 2 wyróżnione, 5 i 2 wyróżnione, 6 i 2 wyróżnione, 1 i 3, 2 i 3, 3 i 3, 4 i 3 wyróżnione, 5 i 3 wyróżnione, 6 i 3 wyróżnione, wiersz czwarty: 1 i 4, 2 i 4, 3 i 4, 4 i 4, 5 i 4 wyróżnione, 6 i 4 wyróżnione, 1 i 5, 2 i 5, 3 i 5, 4 i 5, 5 i 5, 6 i 5 wyróżnione, wiersz szósty: 1 i 6, 2 i 6, 3 i 6, 4 i 6, 5 i 6, 6 i 6

Z tabelki odczytujemy: $|C| = 15$ .

Przykład 9

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie sześcienną kostką do gry.

Wypiszemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu: $A$ – w każdym rzucie wypadła liczba oczek, będąca drugą potęgą liczby naturalnej.

Skorzystamy z interpretacji graficznej doświadczenia, zaznaczając na „drzewku” tylko odpowiednie krawędzie. Zauważmy przy tym, że potęgami liczb naturalnych są w tym przypadku tylko liczby oczek równe $1$ i $4$ .

R5QmThuPj6Qsn

Schemat rzutów kostką:

Możliwości w rzucie pierwszym: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Możliwości w rzucie drugim: 1, 4;
mamy więc następujące możliwości po rzucie drugim:
1. 1 1,
2. 1 4,
3. 4 1,
4. 4 4;
Możliwości w rzucie trzecim: 1, 4; mamy więc następujące możliwości:
1. 1 1 1,
2. 1 1 4,
3. 1 4 1,
4. 1 4 4,
5. 4 1 1,
6. 4 1 4,
7. 4 4 1,
8. 4 4 4

Odczytujemy z „drzewka”:

$A = \{(1, 1, 1), (1, 1, 4), (1, 4, 1), (1, 4, 4), (4, 1, 1), (4, 1, 4), (4, 4, 1), (4, 4, 4)\}$

Jeżeli piszemy o rzucie kilkoma sześciennymi kostkami do gry, to zakładamy, że kostki te są rozróżnialne.

Zatem doświadczenia: $n$ krotny rzut kostką i rzut $n$ kostkami, interpretujemy i opisujemy tak samo. Czyli identyczne są zbiory zdarzeń elementarnych takich doświadczeń.

Zauważmy, że w jednoczesnym rzucie $n$ sześciennymi kostkami do gry (lub w $n$ rzutach kostką) liczba zdarzeń elementarnych jest równa $6^{n}$ .

Przykład 10

Rzucamy pięć razy sześcienną kostką do gry. Obliczymy, ile jest

zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu losowym,
zdarzeń sprzyjających zdarzeniom:
$A$ – pięć razy otrzymamy liczbę oczek równą $6$ ,
$B$ – tylko w pierwszym i trzecim rzucie otrzymamy liczbę oczek równą $6$ ,
$C$ – czterokrotnie wyrzucimy liczbę oczek równą $6$ .

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć liczbę zdarzeń elementarnych, korzystamy ze wzoru na wariację z powtórzeniami.
$|Ω| = 6^{5} = 7776$
Jest tylko jedna możliwość, żeby za każdym razem otrzymać liczbę oczek równą $6$ .
$|A| = 1$
Zdarzeniu $B$ sprzyja tyle zdarzeń elementarnych, ile można utworzyć trzyelementowych wariacji z powtórzeniami zbioru pięcioelementowego (za drugim, czwartym i piątym razem może wypaść liczba oczek różna od $6$ ).
$|B| = 5^{3} = 125$
Zbiór zdarzeń sprzyjających czterokrotnemu wyrzuceniu liczby oczek równej sześć, możemy opisać następująco:
$C = \{(n, 6, 6, 6, 6), (6, n, 6, 6, 6), \dots, (6, 6, 6, 6, n)\}$ , gdzie $n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
Zatem
$|C| = 5 \cdot 5 = 25$

Przykład 11

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry w kształcie czworościanu foremnego, na ściankach którego zapisane są liczby $1$ , $2$ , $3$ , $4$ .

R3aQuw2Z8iX3t

Ilustracja przedstawia czworościan. Ściany tej bryły są trójkątami opisanymi numerami: 1, 2, 3, 4

Wynikiem jednego rzutu jest liczba zapisana na ściance, na której upadła kostka.

Zapisujemy kolejno liczby, które wypadają tak, że powstają liczby dwucyfrowe. Cyfra dziesiątek, to cyfra otrzymana w pierwszym rzucie, cyfra jedności – w drugim rzucie.

Oznaczmy:

$A$ – zdarzenie polegające na otrzymaniu liczby nieparzystej,

$B$ – zdarzenie polegające na otrzymaniu liczby większej od $35$ ,

$C$ – zdarzenie polegające na utworzeniu liczby podzielnej przez $7$ .

Określamy najpierw zbiór zdarzeń elementarnych w tabeli.

R1bNyixyuyhMN

Ilustracja przedstawia tabelkę, wiersz nagłówkowy składa się z czterech komórek, w których wpisane są kolejno cyfry od 1 do 4, kolumna nagłówkowa składa się z czterech komórek, w które wpisano kolejno cyfry od 1 do 4; wiersz pierwszy składa się z czterech komórek, w które wpisano kolejno liczby: 11, 21, 31, 41, wiersz drugi: 12, 22, 32, 42, wiersz trzeci: 13, 23, 33, 43, wiersz czwarty: 14, 24, 34, 44

$A = \{11, 13, 21, 23, 31, 33, 41, 43\}$

$B = \{41, 42, 43, 44\}$

$C = \{14, 21, 42\}$

$A \cap B$

$A \cup B$

$B \cap C$

$A \cap B = \{41, 43\}$

$A \cup B = \{11, 13, 21, 23, 31, 33, 41, 42, 43, 44\}$

$B \cap C = \{42\}$

Polecenie 3

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w filmie edukacyjnym, a następnie wykonaj Polecenie 2.

R1BKWTRvRu4OG

Polecenie 4

Rzucono dziesięcioma sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, ile jest zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ polegającemu na tym, że wypadły dokładnie dwie jedynki i dokładnie trzy szóstki.

Miejsce dla dwóch jedynek wybieramy spośród dziesięciu możliwości, ale dla szóstek już tylko spośród $10 - 2 = 8$ możliwości. Na pozostałych $10 - 2 - 3 = 5$ miejscach może stać $2$ , $3$ , $4$ lub $5$ (cztery możliwości).

$|A| = (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$

$|A| = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} \cdot 256 \cdot 4$

$|A| = 45 \cdot 56 \cdot 1024 = 2580480$

Zdarzeniu $A$ sprzyja $2580480$ zdarzeń elementarnych.

R1SnwAzR74cTb1

Ćwiczenie 1

R163U1zvkwylW1

Ćwiczenie 2

RtTPrdgKZPMZH2

Ćwiczenie 3

R1AWX1iFPaYB621

Ćwiczenie 4

R1Zq8lzJSDHW32

Ćwiczenie 5

R1IVP5jTZWrIG2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie monetą. Określ ile jest zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu i zdarzeń sprzyjających zdarzeniom: $A$ – za pierwszym i za trzecim razem wypadł orzeł, $B$ – za pierwszym i trzecim razem wypadło to samo.

$|Ω| = 2^{4}$

$A = {(O, O, O, O), (O, O, O, R), (O, R, O, O), (O, R, O, R)}$

$|A| = 4$

$B = {(O, O, O, O), (O, O, O, R), (O, R, O, O), (O, R, O, R), (R, O, R, O), (R, O, R, R), (R, R, R, O), (R, R, R, R)}$

$|B| = 8$

Ćwiczenie 8

Rzucamy kolejno trzy razy monetą. Wypisz wszystkie zdarzenia sprzyjające każdemu z podanych zdarzeń.

$A$ – reszka wypadła dokładnie dwa razy

$B$ – orzeł wypadł dokładnie trzy razy

$C$ – za każdym razem wypadło to samo

$D$ – reszka wypadła co najmniej trzy razy

$A = \{(R, R, O), (R, O, R), (O, R, R)\}$

$B = \{(O, O, O)\}$

$C = \{(O, O, O), (R, R, R)\}$

$D = \{(R, R, R)\}$

R19w3AbCxqUk01

Ćwiczenie 9

RN1HPhBdUxcbg1

Ćwiczenie 10

R1HUn8vtUBcfq1

Ćwiczenie 11

RObWGIvrz5MIV2

Ćwiczenie 12

RlQQo9POkao1i21

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry. Opisz zdarzenie $A$ zaznaczone na rysunku.

R16iwOUj0zNZd

Ilustracja przedstawia tabelę. Pierwszy wiersz nagłówkowy przedstawia oczka wyrzucone pierwszą kostką od jeden do 6, a pierwsza kolumna nagłówkowa przedstawia liczbę oczek wyrzuconych drugą kostką od 1 do sześć. Niektóre komórki tabeli wyróżniono kolorem. Wiersz pierwszy i każdy kolejny składa się z sześciu komórek. W komórki wiersza pierwszego wpisano kolejne cyfry od 2 do 7, w wierszu drugim wpisano kolejne cyfry od 3 do 8, w wierszu trzecim wpisano kolejne cyfry od 4 do 9, przy czym cyfrę 9 wyróżniono, w wierszu czwartym wpisano kolejne liczby od 5 do 10, przy czym liczby 9 i 10 wyróżniono, w wierszu piątym wpisano kolejne liczby od 6 do 11, przy czym liczby od 9 do 11 wyróżniono, w wierszu szóstym wpisano kolejne liczby od 7 do 12, przy czym liczby od 9 do 12 wyróżniono.

Np.

$A$ – suma liczb wyrzuconych oczek na obu kostkach jest nie mniejsza od $9$ .

Ćwiczenie 15

Rzucono sześcienną kostką do gry. Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom:

$A$ – otrzymano parzystą liczbę oczek lub liczbę oczek podzielną przez $3$ ,

$B$ – otrzymana liczba oczek nie jest liczbą złożoną.

$A = \{2, 3, 4, 6\}$

$B = \{1, 2, 3, 5\}$

Ćwiczenie 16

Na ściankach ośmiościennej kostki do gry zapisane są liczby od $1$ do $8$ . W doświadczeniu losowym polegającym na rzucie tą kostką, przestrzeń zdarzeń elementarnych to

$Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

Zdarzenia $A$ i $B$ określamy natępująco:

$A = \{ω \in Ω : ω > 5\}$ , $B = \{ω \in Ω : 3 ⩽ ω ⩽ 7\}$ . Wypisz zdarzenia sprzyjające zdarzeniom: $A'$ , $A \cap B$ , $A \cup B$ .

$A = \{6, 7, 8\}$

$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$

$A' = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

$A \cap B = \{6, 7\}$

$A \cup B = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

Słownik

zdarzenie losowe

każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem)

2. Doświadczenie losowe. Przestrzeń zdarzeń elementarnych

4. Działania na zdarzeniach