4. Działania na zdarzeniach

R1Fdfjy7OIem7

Do końca $XIX$ wieku rachunek prawdopodobieństwa był działem ... fizyki. Początki badań teoretycznych rachunku prawdopodobieństwa były dość banalne – wykonywano proste doświadczenia – rzucano kostką lub monetą i zapisywano wyniki. Nic więc dziwnego, że pierwsza książka poświęcona zdarzeniom losowym miała nazwę Sztuka rzucania.

R1Rpk4gqVX7Uv

Gracze w karty
Autor: Paul Cézanne
Rok wykonania: 1893–1896

Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Okazuje się jednak, że wielu wybitnych matematyków utrzymywało się z hazardu. Na przykład z gry w karty lub kości. Musieli postępować w ten sposób, aby gra (którą inicjowali) sprawiała wrażenie sprawiedliwej. Inaczej mogli skończyć z nożem w plecach. Sytuacja wymuszała więc na nich określenie szansy wygranej i opracowanie odpowiedniej strategii gry. Nie było to jednak mile widziane przez przeciwników i jeden z uczniów wybitnego matematyka Cordano zapłacił nawet za swoją wiedzę obciętymi palcami prawej dłoni.

Jesteśmy dopiero na początku zgłębiania tajemnic rachunku prawdopodobieństwa, więc na razie pewnie nie uda Ci się wygrać w trzech ruchach partii szachów, ani skreślić „szóstki” w totolotka. Ale wszystko przez Tobą.

Na razie poznaj elementarne zasady algebry zdarzeń losowych.

Twoje cele

Określisz sumę, różnicę, iloczyn zdarzeń.
Zastosujesz prawa działań na zdarzeniach, określając zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu.
Określisz zdarzenie przeciwne do danego.

Zdarzeniem losowym nazywamy każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Zdarzenia losowe są zatem pewnymi zbiorami, a więc możemy wykonywać na nich takie same działania, jak na zbiorach. Przy czym w tym materiale będziemy zakładać, że rozważane zdarzenia są podzbiorami tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Suma (alternatywa) zdarzeń

Definicja: Suma (alternatywa) zdarzeń

Sumą zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A \cup B$ , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $ω$ sprzyjające zdarzeniu $A$ lub zdarzeniu $B$ .

ω \in A \cup B \Leftrightarrow ω \in A

lub

ω \in B

Możemy zatem powiedzieć, że sumą zdarzeń $A$ i $B$ jest zdarzenie polegające na tym, że zajdzie przynajmniej jedno z tych zdarzeń.

Przykład 1

W kapeluszu znajdują się karteczki, na których zapisane są liczby: $0$ , $3$ , $5$ , $6$ , $7$ , $10$ . Z pudła Arek wyciąga jedną karteczkę.

Wtedy zdarzeniem $A \cup B$ będzie wyciagnięcie karteczki, na której zapisana jest liczba podzielna przez $5$ lub liczba parzysta.

Zatem:

$A \cup B = \{0, 5, 6, 10\}$ .

Iloczyn (koniunkcja) zdarzeń

Definicja: Iloczyn (koniunkcja) zdarzeń

Iloczynem zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A \cap B$ , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $ω$ sprzyjające zdarzeniu $A$ i zdarzeniu $B$ .

ω \in A \cap B \Leftrightarrow ω \in A

ω \in B

Możemy zatem powiedzieć, że iloczynem zdarzeń $A$ i $B$ jest zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zarówno zdarzenie $A$ , jak i zdarzenie $B$ .

Przykład 2

W kapeluszu znajdują się karteczki, na których zapisane są liczby: $0$ , $3$ , $5$ , $6$ , $7$ , $10$ . Z pudła Arek wyciąga jedną karteczkę.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wyciągnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba podzielna przez $5$ ,
$B$ – zdarzenie polegające na wyciagnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba parzysta,
$C$ – zdarzenie polegające na wyciągnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba nieparzysta większa od $6$ .

Wtedy:

zdarzeniem $A \cap B$ będzie wyciagnięcie karteczki, na której zapisana jest liczba parzysta podzielna przez $5$ ,
zdarzeniem $A \cap C$ będzie wyciagnięcie karteczki na której zapisana jest liczba nieparzysta większa od $6$ podzielna przez $5$ .

Zatem:

$A \cap B = \{0, 10\}$

$A \cap C = \emptyset$

Iloczyn zdarzeńiloczyn (koniunkcja) zdarzeńIloczyn zdarzeń $A$ i $C$ z przykładu 2 jest zbiorem pustym. Takie zdarzenia nazywamy wykluczającymi się.

Różnica zdarzeń

Definicja: Różnica zdarzeń

Różnicą zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A ∖ B$ , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $ω$ sprzyjające zdarzeniu $A$ i niesprzyjające zdarzeniu $B$ .

ω \in A ∖ B ⟺ ω \in A i ω \notin B

Możemy zatem powiedzieć, że różnicą zdarzeńróżnica zdarzeńróżnicą zdarzeń $A$ i $B$ jest zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie $A$ i nie zajdzie zdarzenie $B$ .

Przykład 3

Z talii $52$ kart losujemy jedną.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu damy,
$B$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu karty koloru pik.

Wtedy zdarzeniu $A ∖ B$ odpowiada wylosowanie damy, która nie jest koloru pik, natomiast zdarzeniu $B ∖ A$ odpowiada wylosowanie karty koloru pik, która nie jest damą.

Zdarzenie przeciwne

Definicja: Zdarzenie przeciwne

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$ nazywamy zdarzenie $A'$ takie, że

A' = Ω ∖ A

Zauważmy, że:

$A \cup A' = Ω$
$A \cap A' = \emptyset$

Przykład 4

Rzucamy dwoma kostkami do gry.

Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu sumy oczek równej 12. Wtedy zdarzeniem $A'$ będzie zdarzenie – suma oczek jest różna od 12.

Działania na zdarzeniach podlegają prawom analogicznym do praw rachunku zbiorów.

Prawa działań na zdarzeniach $A$ , $B$ , $C$ – zdarzenia tego samego zbioru zdarzeń elementarnych
$A \cap B = B \cap A$	Przemienność iloczynu (koniunkcji) zdarzeńiloczyn (koniunkcja) zdarzeńiloczynu (koniunkcji) zdarzeń
$A \cup B = B \cup A$	Przemienność sumy (alternatywy) zdarzeńsuma (alternatywa) zdarzeńsumy (alternatywy) zdarzeń
$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$	Łączność iloczynu zdarzeń
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$	Łączność sumy zdarzeń
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$	Rozdzielność iloczynu zdarzeń względem sumy zdarzeń
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$	Rozdzielność sumy zdarzeń względem iloczynu zdarzeń
$(A \cap B)' = A' \cup B'$	Prawo de’ Morgana
$(A \cup B)' = A' \cap B'$	Prawo de’ Morgana

Przykład 5

Niech $A$ , $B$ , $C$ będą podzbiorami tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.

Dla przykładu wykażemy prawdziwość równości

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Dowód:

Należy wykazać, że $A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C)$ i $A \cap (B \cup C) \supset (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Udowodnimy tylko pierwszy z zapisanych związków, dowód drugiej zależności pozostawiamy Ci do samodzielnego rozwiązania.

Niech $ω \in A \cap (B \cup C)$ . Wtedy $ω \in A$ i $ω \in (B \cup C)$ .

Rozpatrzymy trzy przypadki.

$ω \in A$ , $ω \in B$ i $ω \notin C$
Wtedy
$ω \in A \cap B \Rightarrow ω \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
$ω \in A$ , $ω \notin B$ i $ω \in C$
Wtedy
$ω \in A \cap C \Rightarrow ω \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
$ω \in A$ , $ω \in B$ i $ω \in C$
Wtedy
$ω \in A \cap B$ i $ω \in A \cap C \Rightarrow ω \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Przykład 6

Niech $A$ , $B$ będą zdarzeniami należącymi do tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.

Korzystając z praw działań na zdarzeniach, wykażemy, że

$(A \cup B) \cap (A' \cap B') = \emptyset$

Korzystamy z prawa de’ Morgana.

$(A \cup B) \cap (A' \cap B') = (A \cup B) \cap (A \cup B)'$

Zdarzenia $A \cup B$ i $(A \cup B)'$ są zdarzeniami przeciwnymi, ich iloczyn jest więc zdarzeniem niemożliwym.

Zatem:

$(A \cup B) \cap (A' \cap B') = \emptyset$

Co należało wykazać.

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją. Postaraj się samodzielnie rozwiązywać podane przykłady. Porównaj rozwiązania.

R1JTpOlPeVmU8

Polecenie 2

Wykaż, że jeśli $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ to $A' \cap (A \cup B) = A' \cap B$ .

$A' \cap (A \cup B) = (A' \cap A) \cup (A' \cap B) = \emptyset \cup (A' \cap B) = A' \cap B$

R19JhlZiVC9jL1

Ćwiczenie 1

R49Y0qJFgr1Uj1

Ćwiczenie 2

RuRx6dpTuo25A2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Na diagramie przedstawiono zdarzenia losowe $A$ i $B$ .

R1UajP098RS5y

Diagram składa się z dwóch poziomo spłaszczonych elips reprezentujących dwa zbiory. Zbiór po lewej to zbiór A zawierający elementy: 3, 4, 5, 6, natomiast zbiór po prawej to zbiór B zawierający elementy: 2, 6, 7. Zbiory nachodzą na siebie, a w ich części wspólnej znajduje się element 6.

R72Ozfhbs9qXJ

Połącz w pary – zdarzenia i odpowiadające im zdarzenia sprzyjające. A iloczyn zbiorów B Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, trzy, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, dwa, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, dwa, przecinek, sześć, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. zbiór pusty, 5. nawias klamrowy, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego A, minus, B Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, trzy, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, dwa, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, dwa, przecinek, sześć, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. zbiór pusty, 5. nawias klamrowy, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego B, minus, A Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, trzy, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, dwa, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, dwa, przecinek, sześć, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. zbiór pusty, 5. nawias klamrowy, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego nawias, B, minus, A, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów B Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, trzy, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, dwa, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, dwa, przecinek, sześć, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. zbiór pusty, 5. nawias klamrowy, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego nawias, A, minus, B, zamknięcie nawiasu, iloczyn zbiorów B Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, trzy, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, dwa, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, dwa, przecinek, sześć, przecinek, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. zbiór pusty, 5. nawias klamrowy, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego

Rh1zBDnPO2cFq2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

RlQVy2XkE78Ne

RolO7NiiwCNLu

Ćwiczenie 7

Rzucamy jednokrotnie czworościanem, na ściankach którego umieszczone są liczby: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ .

Wtedy $Ω = \{1, 2, 3, 4\}$ . Rozpatrujemy zdarzenia:

$A = \{ω \in Ω : ω > 2\}$ ,

$B = \{ω \in Ω : 2 \leq ω \leq 4\}$ ,

$C = \{ω \in Ω : ω = 1\}$ .

Wypisz zdarzenia sprzyjające zdarzeniom: $A \cap B$ , $A ∖ B$ , $(A \cap C) \cup (B ∖ A)$ , $A' \cup A$ .

$A \cap B = \{3, 4\}$

$A ∖ B = \emptyset$

$(A \cap C) \cup (B ∖ A) = \{2\}$

$A' \cup A = \{1, 2, 3, 4\}$

Ćwiczenie 8

Trzej strzelcy strzelają do tego samego celu.

Oznaczmy zdarzenia:

$A$ – pierwszy strzelec nie trafił,

$B$ – drugi strzelec nie trafił,

$C$ – trzeci strzelec nie trafił.

Zapisz, używając odpowiedniej symboliki, zdarzenie:

żaden ze strzelców nie trafił,
trafił tylko pierwszy strzelec,
trafił przynajmniej jeden strzelec,
przynajmniej jeden strzelec nie trafił.

$A \cap B \cap C$ ,
$A' \cap B \cap C$ ,
$(A \cap B \cap C)'$ ,
$(A' \cap B' \cap C')'$ .

Słownik

suma (alternatywa) zdarzeń

sumą zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A \cup B$ , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $ω$ sprzyjające zdarzeniu $A$ lub zdarzeniu $B$

iloczyn (koniunkcja) zdarzeń

iloczynem zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A \cap B$ , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $ω$ sprzyjające zdarzeniu $A$ i zdarzeniu $B$

różnica zdarzeń

różnicą zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A ∖ B$ , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $ω$ sprzyjające zdarzeniu $A$ i niesprzyjające zdarzeniu $B$

3. Zdarzenia elementarne

5. Określenie prawdopodobieństwa i jego własności

4. Działania na zdarzeniach

Słownik