• Zbudujesz aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa.

• Obliczysz prawdopodobieństwo zdarzenia.

• Określisz niektóre własności prawdopodobieństwa.

• Obliczysz prawdopodobieństwo sumy i różnicy zdarzeń, korzystając z odpowiednich wzorów.

• Przeprowadzisz proste rozumowania, mające na celu udowodnienie zapisanych wzorów.

• Określisz czy dane zdarzenia są rozłączne, czy nie.

• Obliczysz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych.

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem określonym na tej przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy funkcję $P$, która każdemu zdarzeniu $A$, takiemu że $A\subset \mathrm{\Omega }$ przyporządkowuje liczbę rzeczywistą $P\left(A\right)$ spełniającą warunki:

• $P\left(A\right)\ge 0$,

• $P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$,

• jeśli $B\subset \mathrm{\Omega }$ i $A\cap B=\varnothing$ to $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Liczbę $P\left(A\right)$ nazywamy prawdopodobieństwem zajścia  zdarzenia $A$.

Na stole leży $10$ kartek. Na każdej kartce zapisane jest jedno pytanie. Na czterech kartkach są pytania z algebry, a na sześciu z geometrii. Uczeń losuje jedno pytanie.

Przyjmijmy, że prawdopodobieństwa wylosowania pytań z algebry i geometrii są proporcjonalne do liczby pytań z tych dziedzin matematyki. Możliwe wyniki losowania i ich prawdopodobieństwa przedstawia tabela.

Mówimy, że w tabeli podaliśmy rozkład prawdopodobieństwa.

Niech $\mathrm{\Omega }=\left\{{\omega }_1, {\omega }_2, ..., {\omega }_n\right\}$ będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych (wyników) pewnego doświadczenia losowego. Każdemu wynikowi ${\omega }_i$$\left(1\le i\le n\right)$ przyporządkowujemy nieujemną liczbę $p_i$ tak, aby spełniony był warunek

Liczba $p_i$ to prawdopodobieństwo zdarzenia ${\omega }_i$.

Mówimy, że na przestrzeni $\mathrm{\Omega }$ został określony rozkład prawdopodobieństwa.

Doświadczenie polega na rzucie kostką, na ściankach której zapisane są liczby $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $5$.

Określimy rozkład prawdopodobieństwa w tym doświadczeniu.

$\mathrm{\Omega }=\left\{{\omega }_1, {\omega }_2, {\omega }_3\right\}$, gdzie:

${\omega }_1$ – otrzymanie jedynki,

${\omega }_2$ – otrzymanie dwójki,

${\omega }_3$ – otrzymanie piątki.

Zatem:

$p\left({\omega }_1\right)=\frac{2}{6}$,

$p\left({\omega }_2\right)=\frac{3}{6}$,

$p\left({\omega }_3\right)=\frac{1}{6}$.

$p\left({\omega }_1\right)+p\left({\omega }_2\right)+p\left({\omega }_3\right)=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=1$

Znając rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze możliwych wyników $\mathrm{\Omega }$, możemy zdefiniować prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia $A\subset \mathrm{\Omega }$.

Niech $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $A=\left\{{\omega }_1, {\omega }_2, ..., {\omega }_k\right\}$. Prawdopodobieństwem $P\left(A\right)$ zdarzenia $A$ nazywamy sumę prawdopodobieństw zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$.

Zauważmy, że $0\le P\left(A\right)\le 1$.

W tabeli przedstawiony jest rozkład prawdopodobieństwa doświadczenia losowego polegającego na rzucie niesymetryczną kostką do gry.

Obliczymy prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek, będącej liczbą pierwszą.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wyrzuceniu liczby oczek, będącej liczbą pierwszą.

Wtedy $A=\left\{2, 3, 5\right\}$.

$P\left(A\right)=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4+6+3}{18}=\frac{13}{18}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek, będącej liczbą pierwszą jest równe $\frac{13}{18}$.

Rzucamy dwa razy symetryczną monetą.

Rozpatrujemy doświadczenie, którego wynikiem jest liczba wyrzuconych orłów.

W tym doświadczeniu:

$\mathrm{\Omega }=\left\{0, 1, 2\right\}$

Rozkład prawdopodobieństwa:

Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia: $A$ – wypadł co najmniej jeden orzeł.

$P\left(A\right)=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadł orzeł jest równe $\frac{3}{4}$.

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$. Wówczas:

1. $P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$

2. $P\left(\varnothing \right)=0$

3. $0\le P\left(A\right)\le 1$

4. Jeśli $A\subset B$, to $P\left(A\right)\le P\left(B\right)$

Udowodnimy, że $P\left(\varnothing \right)=0$.

Wiadomo, że dla dowolnego zdarzenia $A$:

$A\cap \varnothing =\varnothing$ i $A\cup \varnothing =A$

Na podstawie aksjomatycznej teorii prawdopodobieństwa wiemy, że dla każdej pary wykluczających się zdarzeń $A$ i $B$ tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych, zachodzi równość

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

Zatem:

$P\left(A\cup \varnothing \right)=P\left(A\right)$

$P\left(A\cup \varnothing \right)=P\left(A\right)+P\left(\varnothing \right)$

Odejmując zapisane równości stronami, otrzymujemy

$0=P\left(\varnothing \right)$

$\text{C. n. d}$

Rzucamy dwiema kostkami do gry.

• Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ – suma liczb wyrzuconych oczek jest co najmniej równa $2$.
  Najmniejsza liczba oczek na każdej z kostek to $1$, zatem zawsze w rzucie dwiema kostkami suma liczb wyrzuconych oczek będzie co najmniej równa $2$. $A$ jest zdarzeniem pewnym.
  $P\left(A\right)=1$

• Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $B$ – suma liczb wyrzuconych oczek jest równa $13$.
  Największa liczba oczek na każdej z kostek to $6$, zatem zawsze w rzucie dwiema kostkami suma liczb wyrzuconych oczek będzie nie większa niż $12$. $B$ jest zdarzeniem niemożliwym.
  $P\left(B\right)=0$

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $A\text{'}\subset \mathrm{\Omega }$.

Jeśli zdarzenia $A$ i $A\text{'}$ są zdarzeniami przeciwnymi, to

Obliczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$, gdy $P\left(A\text{'}\right)=0,3$.

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

$P\left(A\text{'}\right)=1-P\left(A\right)$

Stąd:

$P\left(A\right)=1-P\left(A\text{'}\right)$

$P\left(A\right)=1-0,3=0,7$

Każdy z $12$ przyjaciół urodził się w innym miesiącu. Obliczymy prawdopodobieństwo, że losowo wskazana osoba z tej grupy nie urodziła się w lipcu.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że żadna z osób nie urodziła się w lipcu.

Wskazujemy jedną osobę spośród $12$. Zatem:

$\left|\mathrm{\Omega }\right|=12$

Zdarzeniu $A$ – sprzyjają zdarzenia: wylosowana osoba urodziła się w styczniu, lutym, marcu, kwietniu, maju, czerwcu, sierpniu, wrześniu, październiku, listopadzie lub w grudniu. Mamy więc kilka możliwości. Natomiast zdarzeniu przeciwnemu – wskazana osoba urodziła się w lipcu – odpowiada tylko jedna możliwość. Obliczamy więc najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia $A$.

$P\left(A\text{'}\right)=\frac{1}{12}$

Stąd

$P\left(A\right)=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wskazana osoba nie urodziła się w lipcu jest równe $\frac{11}{12}$.

Rzucamy trzy razy sześcienną kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo, że choć raz uzyskaliśmy liczbę oczek równą $3$ lub $4$.

Liczba zdarzeń elementarnych w rozpatrywanym doświadczeniu jest równa:

$\left|\mathrm{\Omega } \right|=6·6·6=216$

Rozważmy zdarzenie przeciwne: $A\text{'}$ – ani razu nie wypadła ani liczba oczek równa trzy, ani cztery.

Wtedy może wypaść każda z pozostałych czterech liczb oczek ($1$, $2$, $5$ lub $6$).

$\left|A\text{'}\right|=4·4·4=64$

Zatem:

$P\left(A\text{'}\right)=\frac{64}{216}$

Na mocy twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego, otrzymujemy:

$P\left(A\right)=1-\frac{64}{216}=\frac{152}{216}=\frac{19}{27}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że choć raz uzyskaliśmy liczbę oczek równą $3$ lub $4$ jest równe $\frac{19}{27}$.

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$, wówczas

Jeśli zdarzenia $A$ i $B$ wykluczają się, czyli $A\cap B=\varnothing$, to

Wśród $50$ przechodniów przeprowadzono ankietę, w której zapytano o ulubiony smak lodów. Połowa osób odpowiedziała, że najbardziej lubi lody waniliowe, $80\%$ pozostałych odpowiedziało, że lubi lody czekoladowe. A dwie osoby stwierdziły, że lubią i lody waniliowe, i czekoladowe.

Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że losowo wskazana osoba z tej grupy lubi lody waniliowe lub czekoladowe.

Oznaczmy:
$W$ – zdarzenie, że losowo wskazana osoba lubi lody waniliowe,
$C$ – zdarzenie, że losowo wskazana osoba lubi lody czekoladowe,

Wskazujemy jedną z $50$ osób, zatem $\left|\mathrm{\Omega }\right|=50$.

Liczba osób, która lubi lody waniliowe jest równa: $0,5·50=25$.

Liczba osób, która lubi lody czekoladowe jest równa: $0,8·25=20$.

Liczba osób, która lubi i lody waniliowe i czekoladowe jest równa $2$.

Zatem:

$\left|W\right|=25$, $\left|C\right|=20$, $\left|W\cap C\right|=2$.

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

$P\left(W\cup C\right)=P\left(W\right)+P\left(C\right)-P\left(W\cap C\right)$

$P\left(W\cup C\right)=\frac{25}{50}+\frac{20}{50}-\frac{2}{50}=\frac{43}{50}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że losowo wskazana osoba z tej grupy lubi lody waniliowe lub czekoladowe jest równe $\frac{43}{50}$.

Wiadomo, że $A\subset \mathrm{\Omega }$, $B\subset \mathrm{\Omega }$, $A\cap B=\varnothing$ i $P\left(A\right)=\frac{1}{3}$, $P\left(B\right)=\frac{1}{4}$. Obliczymy $P\left(A\cup B\right)$.

Zauważmy, że

$P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$.

Zdarzenia $A$ i $B$ wykluczają się. Zatem

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{7}{12}$.

W torebce jest $10$ cukierków, w tym cztery to cukierki miętowe. W sposób losowy wyjmujemy z torebki trzy cukierki. Obliczymy prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa wyjęte cukierki to cukierki miętowe.

Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory zbioru dziesięcioelementowego. Zatem

$\left|\mathrm{\Omega }\right|=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=\frac{10!}{3!·7!}=\frac{8·9·10}{6}=120$

Zdarzenie polegające na wyciągnięciu co najmniej dwóch cukierków miętowych, możemy rozpatrywać jako sumę  zdarzeń:

$A$ – wyciągamy dwa cukierki miętowe,

$B$ – wyciągamy trzy cukierki miętowe.

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$ jest równa:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=\frac{4!}{2!·2!}·6=36$

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $B$ jest równa:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=4$

Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia $A\cup B$, korzystamy ze wzoru:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

$P\left(A\cup B\right)=\frac{36}{120}+\frac{4}{120}=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa wyjęte cukierki to cukierki miętowe, jest równe $\frac{1}{3}$.

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$, wówczas

jeśli zdarzenia $A$ i $B$ wykluczają się, czyli $A\cap B=\varnothing$, to:

R1G4rnJiaawCr

Ilustracja przedstawia prostokąt opisany literą omega. W prostokącie narysowano dwa równej wielkości koła: niebieskie koło A oraz różowe koło B. Koła są rozłączne.

Adam ma do wyboru $2$ krawaty w kratkę, $3$ w paski i $4$ w kwiatki. Wybiera krawat w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierze krawat w kratkę lub w kwiatki?

Zdarzenia:
$K$ – Adam wybierze krawat w kratkę,
$A$ – Adam wybierze krawat w kwiatki
są rozłączne. Możemy więc zastosować wzór sformułowany w powyższym twierdzeniu.

$P\left(K\cup A\right)=P\left(K\right)+P\left(A\right)$

$P\left(K\cup A\right)=\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że Adam wybierze krawat w kratkę lub w kwiatki jest równe $\frac{2}{3}$.

Niech $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$ i $P\left(A\cap B\text{'}\right)=0,8$.

Wykażemy, że $P\left(A^{\text{'}}\cap B\right)\le 0,2$.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że $A\cap B^{\text{'}}=A\setminus B$ oraz $A^{\text{'}}\cap B=B\setminus A$.

Zdarzenia te są rozłączne, zatem ze wzoru na sumę zdarzeń rozłącznych otrzymujemy:

$P\left(A\cap B^{\text{'}}\right)+P\left(A^{\text{'}}\cap B\right)\le P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$

Czyli:

$P\left(A^{\text{'}}\cap B\right)\le 1-P\left(A\cap B^{\text{'}}\right)=1-0,8=0,2$

C.d.n

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$, $C\subset \mathrm{\Omega }$, wówczas

jeśli zdarzenia $A$, $B$, $C$ wykluczają się wzajemnie, czyli $A\cap B=\varnothing$, $A\cap C=\varnothing$, $B\cap C=\varnothing$, $A\cap B\cap C=\varnothing$, to:

RHs77NxHPkEgG

Ilustracja przedstawia prostokąt opisany literą omega. W prostokącie narysowano 3 równej wielkości koła: niebieskie koło A, różowe koło B oraz zielone koło C. Koła są rozłączne.

W koszu znajduje się $25$ losów na loterię. Wśród nich $10$ to losy przegrywające, a $15$ wygrywające.

Ewa wyciąga kolejno trzy losy. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wyciągnęła dwa losy wygrywające $\left(W\right)$ i jeden przegrywający $\left(K\right)$.

Rozwiązanie:

Pierwszy los wyciąga Ewa spośród $25$ losów, drugi spośród $24$, a trzeci spośród $23$.

Zatem $\left|\mathrm{\Omega }\right|=25·24·23$.

Oznaczmy:
$A$ – wyciągnięcie dwóch losów wygrywających i jednego przegrywającego.

Zdarzeniu $A$ sprzyjają następujące zdarzenia:

$\left(W_1,W_2,K\right)$, $\left(W_1,K,W_2\right)$, $\left(K,W_1,W_2\right)$.

Zauważmy, że zdarzenia $W_1\cap W_2\cap K$, $W_1\cap K\cap W_2$, $K\cap W_1\cap W_2$ wzajemnie się wykluczają.

Prawdopodobieństwo ich sumy równe jest sumie ich prawdopodobieństw.

$P\left(A\right)=P\left(\left(W_1\cap W_2\cap K\right)\cup \left(W_1\cap K\cap W_2\right)\cup \left(K\cap W_1\cap W_2\right)\right)$

$P\left(A\right)=P\left(W_1\cap W_2\cap K\right)+P\left(W_1\cap K\cap W_2\right)+P\left(K\cap W_1\cap W_2\right)$

$P\left(A\right)=\frac{15·14·10+15·10·14+10·15·14}{25·24·23}=\frac{21}{46}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Ewę dwóch losów wygrywających i jednego przegrywającego jest równe $\frac{21}{46}$.

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i $A_1\in \mathrm{\Omega }$, $A_2\in \mathrm{\Omega }$, $\dots$, $A_n\in \mathrm{\Omega }$.

Jeżeli zdarzenia $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ wzajemnie się wykluczają, to:

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$, wówczas

R5BZGb1QYr1JG

Ilustracja przedstawia prostokąt opisany literą omega. W prostokącie narysowano dwa równej wielkości koła: niebieskie koło A oraz różowe koło B. Koła nachodzą na siebie, a ich część wspólna opisana jest jako iloczyn zdarzeń $A\cap B$.

Pewien maturzysta może uzyskać z egzaminu maturalnego z matematyki co najmniej $40$ punktów z prawdopodobieństwem $0,6$.

Natomiast co najwyżej $40$ punktów z prawdopodobieństwem $0,8$.

Oblicz prawdopodobieństwo, że uzyska $40$ punktów.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na uzyskaniu przez maturzystę co najmniej $40$ punktów,
$B$ – zdarzenie polegające na uzyskaniu przez maturzystę co najwyżej $40$ punktów.

Zauważmy, że :

$P\left(A\right)=0,6$

$P\left(B\right)=0,8$

$A\cup B=\mathrm{\Omega }\Rightarrow P\left(A\cup B\right)=1$

Uzyskane liczby wstawiamy do wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeńprawdopodobieństwo sumy zdarzeńprawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

$1=0,6+0,8-P\left(A\cap B\right)$

Wyznaczamy $P\left(A\cap B\right)$.

$1=1,4-P\left(A\cap B\right)$

$P\left(A\cap B\right)=0,4$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że maturzysta uzyska $40$ punktów jest równe $0,4$.

Niech $A$ i $B$ będą zdarzeniami tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych takimi, że $P\left(A\right)=\frac{1}{4}$, $P\left(A\cup B\right)=\frac{5}{8}$, $P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{6}$. Obliczymy $P\left(B\setminus A\right)$.

Rozwiązanie:

Ponieważ $P\left(B\setminus A\right)=P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$, więc do wyznaczenia prawdopodobieństwa $P\left(B\setminus A\right)$, będzie potrzebna znajomość liczby $P\left(B\right)$.

Do wyznaczenia tego prawdopodobieństwa, skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

$\frac{5}{8}=\frac{1}{4}+P\left(B\right)-\frac{1}{6}$

$P\left(B\right)=\frac{13}{24}$

Zatem

$P\left(B\setminus A\right)=\frac{13}{24}-\frac{1}{6}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$

Odpowiedź:

Liczba $P\left(B\setminus A\right)$ jest równa $\frac{3}{8}$.

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$, $C\subset \mathrm{\Omega }$, wówczas:

$P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)+$

$-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)$

niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych; prawdopodobieństwem określonym na tej przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy funkcję $P$, która każdemu zdarzeniu $A$, takiemu że $A\subset \mathrm{\Omega }$ przyporządkowuje liczbę rzeczywistą $P\left(A\right)$ spełniającą warunki:

• $P\left(A\right)\ge 0$

• $P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$

• jeśli $B\subset \mathrm{\Omega }$ i $A\cap B=\varnothing$ to $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$; wówczas:

1. $P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$

2. $P\left(\varnothing \right)=0$

3. $0\le P\left(A\right)\le 1$

4. Jeśli $A\subset B$, to $P\left(A\right)\le P\left(B\right)$

niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$, wówczas
jeśli zdarzenia $A$ i $B$ wykluczają się, czyli $A\cap B=\varnothing$, to:

niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A\subset \mathrm{\Omega }$ i $B\subset \mathrm{\Omega }$, wówczas