• Obliczysz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

• Rozpoznasz zupełny układ zdarzeń i wykorzystasz własności tego układu w zadaniach.

• Dobierzesz odpowiedni model matematyczny do rozwiązania zadania probabilistycznego z kontekstem realistycznym.

W pierwszym koszu znajdują się trzy kule żółte i dwie czarne. W drugiej urnie znajdują się dwie kule żółte i znajduje się osiem kul czarnych. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie pięć oczek – losujemy kulę z pierwszego kosza. W przeciwnym razie losujemy kulę z drugiego kosza. Obliczymy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

Sporządzamy graficzny model sytuacji opisanej w zadaniu.

R1cJRF6gn4GHl

Schemat jest typu pionowego i ma siedem wierzchołków i sześć krawędzi. Wierzchołek początkowy to sześcienna kostka do gry. Jej lewe odgałęzienie jest następujące: krawędź opisana jest prawdopodobieństwem $\frac{1}{6}$ i prowadzi do wierzchołka, w którym narysowany jest kosz, a w nim leżą dwie czarne i trzy żółte kulki. Stąd mamy dwa kolejne odgałęzienia: z prawdopodobieństwem $\frac{2}{5}$ do wierzchołka, w którym znajduje się czarna kulka i z prawdopodobieństwem $\frac{3}{5}$ do wierzchołka, w którym znajduje się żółta kulka. Wracając do wierzchołka początkowego, czyli do kostki, mamy następujące prawe rozgałęzienie: prawa krawędź opisana jest prawdopodobieństwem $\frac{5}{6}$ i prowadzi do wierzchołka, w którym narysowany jest kosz, a w nim leży osiem czarnych i dwie żółte kulki. Stąd mamy dwa kolejne odgałęzienia: z prawdopodobieństwem $\frac{8}{10}$ do wierzchołka, w którym znajduje się czarna kulka i z prawdopodobieństwem $\frac{2}{10}$ do wierzchołka, w którym znajduje się żółta kulka.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wylosowano kulę czarną,
$B$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z pierwszego koszyka.

Obliczymy prawdopodobieństwo za pomocą drzewa.

Skorzystamy z reguły mnożenia i dodawania dla odpowiednich gałęzi.

$P\left(A\right)=\frac{1}{6}·\frac{2}{5}+\frac{5}{6}·\frac{8}{10}=\frac{11}{15}$

Obliczenia możemy zapisać symbolicznie:

$P\left(A\right)=P\left(B\right)·P\left(A/B\right)+P\left(B\text{'}\right)·P\left(A/B\text{'}\right)$

Zapis ten doprowadza nas do wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Mówimy, że zdarzenia $B_1$, $B_2$, $...$, $B_n\subset \mathrm{\Omega }$ tworzą zupełny układ zdarzeń wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

• $P\left(B_i\right)>0$, gdy $i\in \left\{1, 2, 3, ..., n\right\}$,

• $B_1\cup B_2\cup ...\cup B_n=\mathrm{\Omega }$,

• $B_i\cap B_j=\varnothing$, gdy $i\ne j$ oraz $i\in \left\{1, 2, ..., n\right\}$ i $j\in \left\{1, 2, ..., n\right\}$.

Jeżeli zdarzenia $B_1$, $B_2$, $...$, $B_n\subset \mathrm{\Omega }$ tworzą zupełny układ zdarzeń, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia $A\subset \mathrm{\Omega }$ wyraża się wzorem:

W każdej z czterech szuflad znajduje się dziesięć krawatów. W pierwszej są trzy krawaty gładkie i siedem w paski, w drugiej znajduje się tyle samo krawatów gładkich co w paski. W trzeciej szufladzie jest siedem krawatów gładkich i trzy w paski, w czwartej są tylko krawaty w paski. Wybieramy w sposób losowy szufladę, a następnie w sposób losowy wyciągamy z tej szuflady krawat. Obliczymy prawdopodobieństwo wylosowania krawatu gładkiego, jeżeli wybór każdej z szuflad jest jednakowo prawdopodobny.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy gładki krawat,
$B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ – zdarzenie polegające na tym, że krawat losujemy odpowiednio z $1$, $2$, $3$ lub $4$ szuflady.

Zauważmy, że prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ jest dodatnie,

$B_1\cup B_2\cup B_3\cup B_4=\mathrm{\Omega }$ i zdarzenia $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ parami się wykluczają.

Wynika z tego, że zdarzenia te tworzą zupełny układ zdarzeń.

Możemy skorzystać więc ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

$P\left(A\right)=P\left(B_1\right)·P\left(A/B_1\right)+P\left(B_2\right)·P\left(A/B_2\right)+P\left(B_3\right)·P\left(A/B_3\right)+$

$+P\left(B_4\right)·P\left(A/B_4\right)$

$P\left(A\right)=\frac{1}{4}·\frac{3}{10}+\frac{1}{4}·\frac{5}{10}+\frac{1}{4}·\frac{7}{10}+\frac{1}{4}·\frac{0}{10}$

$P\left(A\right)=\frac{3+5+7+0}{40}=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wylosowania krawatu gładkiego jest równe $\frac{3}{8}$.

Adek zawsze kupuje tylko cukierki czekoladowe lub miodowe. Na biurku Adka stała torebka z dwoma cukierkami. Adek wrzucił do niej cukierek miodowy. Anka zauważyła torebkę i poczęstowała się jednym cukierkiem. Obliczymy prawdopodobieństwo, że Anka wyciągnęła z torebki cukierek miodowy.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że Anka wyciągnęła z torebki cukierek miodowy.

Nie wiemy jakie cukierki znajdowały się początkowo w torebce. Zakładamy jednak, że w grę wchodzą tylko cukierki czekoladowe i miodowe (bo tylko takie kupuje Adek).

Zatem musimy rozważyć trzy przypadki.

I przypadek:

RUDS7RtlLHRd4

Ilustracja przedstawia dwa elipsoidalne zbiory. Lewy zawiera dwa pomarańczowe cukierki i podpisany jest następująco: Początkowo 2 cukierki miodowe. Drugi, prawy, zawiera trzy pomarańczowe cukierki i podpisany jest następująco: Po wrzuceniu cukierka miodowego: 3 cukierki miodowe.

Oznaczmy:
$B_1$ – zdarzenie polegające na tym, że Ada wyciągnęła cukierek z torebki, w której początkowo były dwa cukierki miodowe.

Wtedy:

$P\left(B_1\right)=\frac{1}{3}$

$P\left(A/B_1\right)=\frac{3}{3}$

II przypadek:

R1CIqFHC4c3ht

Ilustracja przedstawia dwa elipsoidalne zbiory. Lewy zawiera dwa brązowe cukierki i podpisany jest następująco: Początkowo 2 cukierki czekoladowe. Drugi, prawy, zawiera dwa brązowe cukierki i jeden pomarańczowy. Podpisany jest następująco: Po wrzuceniu cukierka miodowego: 2 cukierki czekoladowe, 1 miodowy.

Oznaczmy:
$B_2$ – zdarzenie polegające na tym, że Ada wyciągnęła cukierek z torebki, w której początkowo były dwa cukierki czekoladowe.

Wtedy:

$P\left(B_2\right)=\frac{1}{3}$

$P\left(B_2\right)=\frac{1}{3}$

III przypadek:

RqlVqcBb8vP1G

Ilustracja przedstawia dwa elipsoidalne zbiory. Lewy zawiera dwa cukierki: jeden brązowy i jeden pomarańczowy. Podpisany jest następująco: Początkowo 1 cukierek czekoladowy, 1 cukierek miodowy. Drugi, prawy zbiór, zawiera dwa pomarańczowe cukierki i jeden czekoladowy. Podpisany jest następująco: Po wrzuceniu cukierka miodowego: 1 cukierek czekoladowy, 2 miodowe.

Oznaczmy:
$B_2$ – zdarzenie polegające na tym, że Ada wyciągnęła cukierek z torebki, w której początkowo był jeden cukierek czekoladowy i jeden miodowy.

Wtedy:

$P\left(B_3\right)=\frac{1}{3}$

$P\left(A/B_3\right)=\frac{2}{3}$

Zauważmy, że prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń $B_1$, $B_2$, $B_3$ jest dodatnie,

$B_1\cup B_2\cup B_3=\mathrm{\Omega }$ i zdarzenia $B_1$, $B_2$, $B_3$ są zdarzeniami parami wykluczającymi się.

Wynika z tego, że zdarzenia te tworzą zupełny układ zdarzeń.

Możemy skorzystać więc ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

$P\left(A\right)=P\left(B_1\right)·P\left(A/B_1\right)+P\left(B_2\right)·P\left(A/B_2\right)+P\left(B_3\right)·P\left(A/B_3\right)$

$P\left(A\right)=\frac{1}{3}·\frac{3}{3}+\frac{1}{3}·\frac{1}{3}+\frac{1}{3}·\frac{2}{3}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że Anka wyciągnęła z torebki cukierek miodowy jest równe $\frac{2}{3}$.

Do sklepu codziennie dostarczane są rano pączki z marmoladą i karmelem z trzech cukierni $A$, $B$, $C$. Procentowy udział pączków z poszczególnych cukierni oraz udział pączków z karmelem przedstawia tabela.

Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany pączek z porannej dostawy będzie z karmelem.

Korzystamy bezpośrednio ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Potrzebne dane odczytujemy z tabeli.

$p=0,5·0,06+0,2·0,1+0,3·0,4$

$p=0,03+0,02+0,12=0,17$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyboru pączka z karmelem jest równe $0,17$.

Z talii liczącej $52$ karty losujemy dwa razy bez zwracania po jednej karcie. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana karta nie jest damą.

Karta wylosowana za pierwszym razem może być damą lub nie, ale wylosowana za drugim razem musi być inną kartą niż dama.

R1Zfv78Dlag7M

Schemat jest typu pionowego i ma siedem wierzchołków i sześć krawędzi. Wierzchołek początkowy to talia kart. Jej lewe odgałęzienie jest następujące: krawędź opisana jest prawdopodobieństwem $\frac{4}{52}$ i prowadzi do wierzchołka z napisem dama. Stąd mamy dwa kolejne odgałęzienia: jeden w kierunki wierzchołka z napisem dama i drugi z prawdopodobieństwem $\frac{48}{51}$ do wierzchołka z napisem inna karta. Wracając do wierzchołka początkowego, czyli do talii kart, mamy następujące prawe rozgałęzienie: prawa krawędź opisana jest prawdopodobieństwem $\frac{48}{52}$ i prowadzi do wierzchołka z napisem inna karta. Stąd mamy dwa kolejne odgałęzienia: jedno prowadzi do wierzchołka z napisem dama, drugie z prawdopodobieństwem $\frac{47}{51}$ do wierzchołka z napisem inna karta.

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Potrzebne dane odczytujemy z rysunku.

$p=\frac{4}{52}·\frac{48}{51}+\frac{48}{52}·\frac{47}{51}$

$p=\frac{48}{52}·\left(\frac{4}{51}+\frac{47}{51}\right)=\frac{48}{52}=\frac{12}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana karta nie jest damą jest równe $\frac{12}{13}$.

jeżeli zdarzenia $B_1$, $B_2$, $...$, $B_n\subset \mathrm{\Omega }$ tworzą zupełny układ zdarzeń, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia $A\subset \mathrm{\Omega }$ wyraża się wzorem: