7. Wartość oczekiwana zmiennej losowej (DODATEK) - M_R_W22_M3 Rachunek prawdopodobieństwa, cz. 2

R18z6gHvpZzAk

7*. Wartość oczekiwana zmiennej losowej (DODATEK)

RA9KV1wH1o1mh1

Portret przedstawia mężczyznę w dużej kędzierzawej peruce, ubranego w zdobione drobną koronką bufiaste ubranie oraz w złoty płaszcz. Mężczyzna stoi w ciemnym pomieszczeniu, opierając się łokciem o aksamitną poduszkę leżącą na drewnianym, zdobionym motywami antycznymi meblu. — Christiaan Huygens
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Słowo ryzyko kojarzy nam się z reguły z czymś niebezpiecznym, wręcz groźnym. A przecież często bez ryzyka nie ma szans na pozytywną zmianę i sukces. Kluczowym elementem jest więc identyfikacja nagrody za podejmowane ryzyko. Głównymi wskaźnikami są tu: wskaźnik zysk – ryzyko i wartość oczekiwana. Wskaźnik zysk – ryzyko jest bardzo prosty do wyznaczenia w operacjach finansowych. Dzielimy bowiem maksymalną kwotę, jaką możemy zarobić, przez maksymalną kwotę, jaką możemy stracić. Z reguły obliczenie tego wskaźnika nie daje nam jeszcze jednoznacznej odpowiedzi czy warto ryzykować. Określamy więc wartość oczekiwaną zysków. Jeżeli jest ona dodatnia – można zastanawiać się nad przystąpieniem do danej spółki, inwestowaniem w dane przedsięwzięcie, czy podjęciem gry.

Pojęcie wartości oczekiwanej, które poznamy bliżej w tym materiale, jest wykorzystywane w teorii decyzji oraz teorii gier, jako jedno z podstawowych kryteriów dokonywania wyborów strategicznych.

Zagadnieniami związanymi z wartością oczekiwaną gry zajmował się siedemnastowieczny holenderski matematyk i fizyk Christiaan Huygens.

Twoje cele

Podasz przykłady zmiennych losowych.
Określisz rozkład zmiennej losowej.
Obliczysz wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
Zinterpretujesz wynik obliczeń wartości oczekiwanej.

Zmienna losowa

Bardzo często spotykamy się ze zdarzeniami, z którymi wiążą się pewne wartości liczbowe.

Na przykład:

liczba telefonów, którą odbierzesz w przyszłą środę,

liczba liści, które dzisiaj wiatr strąci z drzewa stojącego przed Twoim domem,

suma liczb oczek, które wypadną w czasie rzutu czterema kostkami do gry.

Choć trudno określić konkretny wynik w rozważanych powyżej sytuacjach, jednak istnieje zakres wartości liczbowych (nie zawsze prosty do ustalenia), które dana wielkość może przyjmować. Na przykład suma liczb wyrzuconych oczek na czterech kostkach będzie zawsze nie mniejsza niż $4$ i nie większa niż $24$ . Natomiast przyczyny, dla których każda z tych wielkości przyjmuje określoną wartość, są natury losowej.

Takie wielkości nazywamy zmiennymi losowymi. Zmienne losowe tradycyjnie oznaczamy dużymi literami: $X$ , $Y$ , $Z$ .

Rozważmy następującą grę: rzucamy monetą. Jeśli wypadnie orzeł – płacimy $2 zł$ , jeśli wypadnie reszka – otrzymujemy $3 zł$ .

Modelem probabilistycznym opisanego doświadczenia jest para $(Ω, P)$ , gdzie $Ω = \{O, R\}$ , $P (O) = P (R) = 0, 5$

Każdemu wynikowi tego doświadczenia $ω_{i} \in Ω$ , gdzie $i \in \{1, 2\}$ przyporządkowana jest pewna liczba $x_{k} \in \{- 2, 3\}$ , gdzie $k \in \{1, 2\}$ .

Rozkład zmiennej losowej
$ω_{i}$	$O$	$R$
$x_{k}$	$- 2$	$3$

W zbiorze $Ω$ określiliśmy więc pewną funkcję o wartościach rzeczywistych, przyjmowanych losowo. W rachunku prawdopodobieństwa funkcje określone na zbiorze $Ω$ (przyjmować będziemy, że jest to zbiór skończony) nazywa się zmiennymi losowymi.

Zmienna losowa

Definicja: Zmienna losowa

Każdą funkcję określoną na zbiorze skończonym $Ω$ o wartościach rzeczywistych nazywamy zmienną losową.

Rozpatrując zmienną losową, najczęściej interesuje nas jakie przyjmuje wartości i z jakim prawdopodobieństwem. Te informacje można przedstawić w postaci tabelki. W pierwszym wierszu tabelki wpisujemy wszystkie możliwe wartości przyjmowane przez zmienną, a w drugim – prawdopodobieństwa odpowiadające tym wartościom. Takie dane o zmiennej losowej nazywamy jej rozkładem.

Przykład 1

W urnie są trzy kule białe i cztery zielone. Gracz wyciąga losowo jedną kulę. Jeśli wyciągnie kulę białą, to płaci $5 zł$ , jeśli zieloną to otrzymuje $4 zł$ .

W tabelce przedstawiamy rozkład zmiennej losowej modelu probabilistycznego tego doświadczenia.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$- 5$	$4$
$p_{i}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{4}{7}$

Rozkład zmiennej losowej

Definicja: Rozkład zmiennej losowej

Rozkładem zmiennej losowej $X$ nazywamy zbiór:

\{(x_{1}, p_{1}), (x_{2}, p_{2}), . . ., (x_{n}, p_{n})\}

gdzie:
$p_{i}$ – jest prawdopodobieństwem, z jakim zmienna losowazmienna losowazmienna losowa $X$ przyjmuje wartość $x_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, n$ .

W rozkładzie zmiennej losowej suma wszystkich prawdopodobieństw jest równa $1$ .

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

Rozkład zmiennej losowej $X$ zapisujemy też w postaci:

X ~ \{(x_{1}, p_{1}), (x_{2}, p_{2}), \dots, (x_{n}, p_{n})\}

Przykład 2

Rzucamy dwiema monetami. Podamy rozkład zmiennej losowej, która każdemu wynikowi przypisuje liczbę orłów, które mogą wypaść.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$0$	$1$	$2$
$p_{i}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{4}$

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwanawartość oczekiwanaWartość oczekiwana w prawdopodobieństwie (wartość średnia, przeciętna, nadzieja matematyczna) to wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego, przy założonym prawdopodobieństwie jego występowania. Na przykład w rzucie $100$ razy monetą, oczekujemy, że $50$ razy wypadnie orzeł i $50$ reszka.

W statystyce, w populacji estymatorem wartości oczekiwanej w próbie jest z reguły średnia arytmetyczna, ale niekiedy też mediana czy moda.

Wartość oczekiwana

Definicja: Wartość oczekiwana

Niech $X$ będzie zmienną losową taką, że $X ~ \{(x_{1}, p_{1}), (x_{2}, p_{2}), \dots, (x_{n}, p_{n})\}$ .

Liczbę

E X = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

nazywamy wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$ .

Litera $E$ w nazwie wartości oczekiwanej jest pierwszą literą francuskiego słowa esperance – nadzieja.

Przykład 3

Rzucamy dwiema kostkami w kształcie czworościanów foremnych, na ściankach których zapisane są liczby $1$ , $2$ , $3$ , $4$ . Jeżeli wypadnie suma oczek podzielna przez $6$ wygrywamy $80 zł$ , w przeciwnym wypadku płacimy $16 zł$ . Obliczymy wartość oczekiwaną wygranej w tej grze.

Mamy zmienną losową $X$ , której wartościami są liczby, będące kwotami wygranej.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$- 16$	$80$
$p_{i}$	$\frac{13}{16}$	$\frac{3}{16}$

Wartość oczekiwana w tej grze wynosi:

$E X = - 16 \cdot \frac{13}{16} + 80 \cdot \frac{3}{16} = - 13 + 15 = 2$

W tej grze „średnio” możemy oczekiwać wygranej w jednej grze w wysokości $2 zł$ .

Grę nazywamy sprawiedliwą, jeżeli jej wartość oczekiwanawartość oczekiwanawartość oczekiwana jest równa $0$ .

Przykład 4

Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba oczek mniejsza od $5$ wygrywamy $10 zł$ , w przeciwnym razie płacimy $a zł$ . Znajdziemy liczbę $a$ wiedząc, że gra jest sprawiedliwa.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$- a$	$10$
$p_{i}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{4}{6}$

$E X = - a \cdot \frac{2}{6} + 10 \cdot \frac{4}{6} = - \frac{2 a}{6} + \frac{40}{6}$

Gra ma być sprawiedliwa, zatem $E X = 0$ .

$- \frac{2 a}{6} + \frac{40}{6} = 0$

$- 2 a = - 40$

$a = 20$

Odpowiedź:

Aby gra była sprawiedliwa, musielibyśmy płacić $20 zł$ w przypadku wyrzucenia liczby oczek większej od $4$ .

Przykład 5

Pudło zawiera $3$ kule czerwone i $5$ brązowych. Gra polega na jednoczesnym losowaniu trzech kul z pudła. Za każdą wylosowaną kulę brązową gracz otrzymuje $y zł$ , a za każdą wylosowaną kulę czerwoną płaci $z zł$ . Oznaczmy przez $X$ zmienną losowązmienna losowazmienną losową, opisującą wygraną gracza. Określimy związki między liczbami $y$ , $z$ przy których gra będzie sprawiedliwa, korzystna, niekorzystna dla gracza.

Przy jednoczesnym losowaniu trzech kul z danego pudła, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to:

$(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$

Losując trzy kule można wylosować:

$0$ kul brązowych (same czerwone) z prawdopodobieństwem $\frac{(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})}{56} = \frac{1}{56}$ ,

jedną kulę brązową (i dwie czerwone) z prawdopodobieństwem $\frac{(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})}{56} = \frac{15}{56}$ ,

dwie kule brązowe (i jedną czerwoną z prawdopodobieństwem) $\frac{(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})}{56} = \frac{30}{56}$ ,

trzy kule brązowe z prawdopodobieństwem $\frac{(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})}{56} = \frac{10}{56}$ .

Zapisujemy rozkład zmiennej $X$ .

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$- 3 z$	$y + (- 2 z)$	$2 y + (- z)$	$3 y$
$p_{i}$	$\frac{1}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{10}{56}$

Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej $X$ .

$E X = - 3 z \cdot \frac{1}{56} + [y + (- 2 z)] \cdot \frac{15}{56} + [2 y + (- z)] \cdot \frac{30}{56} + 3 y \cdot \frac{10}{56}$

$E X = \frac{105 y - 63 z}{56} = \frac{15 y - 9 z}{8}$

Gra będzie sprawiedliwa, jeżeli $E X = 0$ , czyli $\frac{15 y - 9 z}{8} = 0$ .

$\frac{15 y - 9 z}{8} = 0$

$15 y - 9 z = 0$

$z = \frac{15}{9} y = \frac{5}{3} y$

Gra będzie korzystna dla gracza, jeżeli $E X > 0$ , czyli gdy $z < \frac{5}{3} y$ .

Gra będzie niekorzystna dla gracza, jeżeli $E X < 0$ , czyli gdy $z > \frac{5}{3} y$ .

Odpowiedź:

Gra będzie sprawiedliwa, gdy $z = \frac{5}{3} y$ , korzystna dla gracza, gdy $z < \frac{5}{3} y$ , niekorzystna dla gracza, gdy $z > \frac{5}{3} y$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, która przybliży Ci zagadnienia związane z wartością oczekiwaną. Postaraj się najpierw samodzielnie rozwiązać prezentowane tam problemy, a następnie porównaj z zamieszczonymi w prezentacji.

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, która przybliży Ci zagadnienia związane z wartością oczekiwaną.

R1ZN1roTL0244

Prezentacja. Przykład pierwszy. Obliczymy wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych oczek w jednokrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. W jednokrotnym rzucie kostką można otrzymać jedno oczko, dwa oczka, trzy oczka, cztery oczka, pięć oczek lub sześć oczek. Prawdopodobieństwo zajścia każdego zdarzenia jest równe jedna szósta. W tabelce przedstawiony jest rozkład zmiennej losowej X, która każdemu wynikowi przypisuje liczbę wyrzuconych oczek. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z siedmiu kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy 1 wiersz drugi jedna szósta, kolumna trzecia wiersz pierwszy 2 wiersz drugi jedna szósta, kolumna czwarta wiersz pierwszy 3 wiersz drugi jedna szósta, kolumna piąta wiersz pierwszy 4 wiersz drugi jedna szósta, kolumna szósta wiersz pierwszy 5 wiersz drugi jedna szósta, kolumna siódma wiersz pierwszy 6 wiersz drugi jedna szósta. Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
E X, równa się, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, wielokropek, plus, x indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego
E X, równa się, jeden, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, trzy, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, cztery, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, pięć, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, sześć, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka
E X, równa się, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka
Wartość oczekiwana liczby oczek w jednokrotnym rzucie kostką wynosi trzy i pół.
Przykład drugi. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe dziennej liczbie klientów odwiedzających pewnego złotnika. Przy czym złotnika może odwiedzić dziennie tylko 0, 10, 20, 30 lub 40 osób. Prawdopodobieństwo, że złotnika nikt nie odwiedzi jest równe zero przecinek zero pięć. Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 10 osób jest równe zero przecinek cztery. Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 20 osób jest równe zero przecinek trzy. Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 30 osób jest równe zero przecinek jeden. Prawdopodobieństwo, że przyjdzie 40 osób jest równe zero przecinek jeden pięć. Rozkład zmiennej losowej X przedstawiony jest w tabelce. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z sześciu kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy 0 wiersz drugi zero przecinek zero pięć, kolumna trzecia wiersz pierwszy 10 wiersz drugi zero przecinek cztery, kolumna czwarta wiersz pierwszy 20 wiersz drugi zero przecinek jeden, kolumna piąta wiersz pierwszy 40, wiersz drugi zero przecinek jeden pięć. Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
E X, równa się, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego
E X, równa się, zero, razy, zero przecinek zero pięć, plus, dziesięć, razy, zero przecinek cztery, plus, dwadzieścia, razy, zero przecinek trzy, plus, trzydzieści, razy, zero przecinek jeden, plus, czterdzieści, razy, zero przecinek jeden pięć
E X, równa się, dziewiętnaście, zatem przeciętnie dziewiętnastu klientów dziennie odwiedza tego złotnika.
Przykład trzeci. Panowie Szymon i Wojciech rzucają kostką do gry. Gdy wypadnie parzysta liczba oczek, pan Szymon otrzymuje 120 złotych. Gdy wypadną trzy oczka lub gdy wypadnie jedno oczko, pan Szymon ani nie traci gotówki, ani nie otrzymuje gotówki. Natomiast gdy wypadnie pięć oczek, pan Szymon płaci panu Wojciechowi 180 złotych. Obliczymy oczekiwaną kwotę wygranej przy jednokrotnym rzucie kostką. W tabelce rozpisujemy rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości takie, jakie może stracić albo zyskać pan Szymon. Tabela składa się dwóch wierszy, gdzie w pierwszym wierszu mamy wartości przyjmowane przez zmienną losową, w wierszu drugim znajdują się prawdopodobieństwa przyjęcia każdej z wartości. Tabela składa się z czterech kolumn, gdzie pierwsza jest kolumną nagłówkową, w wierszu pierwszym zapisano nagłówek x indeks dolny i, w wierszu drugim nagłówek p indeks dolny i. Konstrukcja tabeli: kolumna druga wiersz pierwszy minus, sto osiemdziesiąt wiersz drugi jedna szósta, kolumna trzecia wiersz pierwszy 0 wiersz drugi dwie szóste, kolumna czwarta wiersz pierwszy 120 wiersz drugi trzy szóste.
Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
E X, równa się, x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, plus, x indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, razy, p indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego
E X, równa się, minus, sto osiemdziesiąt, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, zero, razy, początek ułamka, dwa, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, sto dwadzieścia, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, sześć, koniec ułamka
E X, równa się, trzydzieści
Oczekiwana wartość wygranej przy jednokrotnym rzucie kostką to 30 złotych.

Polecenie 2

Cena pewnego towaru waha się. Przyjmuje raz w tygodniu ( $6$ dni) wartość $12 zł$ , trzy razy w tygodniu wartość $24 zł$ i dwa razy $6 zł$ . Oblicz oczekiwaną cenę tego towaru.

$E X = \frac{1 \cdot 12 + 3 \cdot 24 + 2 \cdot 6}{6} = \frac{96}{6} = 16$

Oczekiwana cena to $16 zł$ .

RbvBkz1zxra6e1

Ćwiczenie 1

Rat1XLC3zHyCa1

Ćwiczenie 2

R1cmEdF756UDu2

Ćwiczenie 3

RTldjrJPiJIYw2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Rzucamy cztery razy monetą. Zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości równe liczbie reszek, które wypadły w tych rzutach. W tabelce przedstawiono jej rozkład.

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_{i}$	$\frac{1}{16}$	$a$	$b$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

R1V6N1UlTg5Kh

Ćwiczenie 6

Na niesymetrycznej monecie orzeł pojawia się średnio w $60 %$ rzutów. Grasz w następującą grę. Rzucasz raz tą monetą. Jeżeli wypadnie orzeł – płacisz $2 zł$ . Jeżeli wypadnie reszka – otrzymujesz $3 zł$ .
Wskaż prawidłowe odpowiedzi.

RhOrNTITPBize

RyiRIfLGIhOaF

RzDYqkVIENHiw

Ćwiczenie 7

Niech $X$ będzie zmienną losową przyjmującą wartości równe liczbie sukcesów w jednej próbie Bernoulliego. Oznaczmy przez $p$ prawdopodobieństwo sukcesu w tej próbie. Znajdź wartość oczekiwaną zmiennej $X$ .

$E X = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p$

$E X = 1 \cdot p = p$ .

Ćwiczenie 8

W koszyku znajduje się nie mniej niż sześć kul, w tym trzy białe. Z koszyka wyciągamy od razu trzy kule. Niech $X$ oznacza liczbę wyciągniętych kul białych. Oblicz, ile jest wszystkich kul w koszyku, jeśli wartość oczekiwana zmiennej losowej $X$ jest równa $\frac{3}{2}$ .

Liczba zdarzeń elementarnych:

$|Ω| = (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})$

Rozkład zmiennej losowej
$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_{i}$	$\frac{(\begin{matrix} n - 3 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$	$\frac{(\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 3}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$	$\frac{(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (n - 3)}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$	$\frac{1}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$

$E X = \frac{0 \cdot (\begin{matrix} n - 3 \\ 3 \end{matrix}) + 1 \cdot 3 \cdot (\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (n - 3) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) + 3 \cdot 1}{(\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})}$

Ponieważ $E X = \frac{3}{2}$ , zatem należy rozwiązać równanie $3 \cdot (\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) + 6 \cdot (n - 3) + 3 = \frac{3}{2} \cdot (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})$ .

$3 \cdot (\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) + 6 \cdot (n - 3) + 3 = \frac{3}{2} \cdot (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) | : 3$

$(\begin{matrix} n - 3 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (n - 3) + 1 = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix})$

$\frac{(n - 3) (n - 4)}{2} + 2 n - 5 = \frac{n (n - 1) (n - 2)}{12}$

$n^{3} - 9 n^{2} + 20 n - 12 = 0$

Aby rozwiązać równanie stopnia trzeciego, rozkładamy lewą stronę równania na czynniki.

$n^{3} - n^{2} - 8 n^{2} + 8 n + 12 n - 12 = 0$

$n^{2} (n - 1) - 8 n (n - 1) + 12 \cdot (n - 1) = 0$

$(n - 1) (n^{2} - 8 n + 12) = 0$

$(n - 1) (n - 2) (n - 6) = 0$

Stąd:

$n = 1$ lub $n = 2$ lub $n = 6$

Z treści zadania wynika, że w koszu znajduje się nie mniej niż sześć kul, zatem $n = 6$ .

Słownik

zmienna losowa

każdą funkcję określoną na zbiorze skończonym $Ω$ o wartościach rzeczywistych nazywamy zmienną losową

wartość oczekiwana

niech $X$ będzie zmienną losową taką, że $X ~ \{(x_{1}, p_{1}), (x_{2}, p_{2}), \dots, (x_{n}, p_{n})\}$ ; liczbę

E X = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

nazywamy wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$

6. Schemat Bernoullego

M_R_W22_M3 Rachunek prawdopodobieństwa, cz. 2