6. Schemat Bernoullego

ROE3lUXtfw5Gt

Większość odkryć z fizyki czy z chemii opiera się na obserwacjach wielokrotnie powtarzanych prób, stawianiu śmiałych hipotez i ich sprawdzaniu w konkretnych sytuacjach. Matematycy i filozofowie zwykle wymyślali problemy, a następnie próbowali dopasować istniejący zasób wiedzy do ich rozwiązania. Jeśli to nie skutkowało, tworzyli swoje teorie.

Sławny ród Bernoullich, z których to wywodzi się Jakub Bernoulli, którego twierdzenie poznamy w tym materiale, wykorzystał obie możliwości. Ponieważ spędzał od czasu do czasu wieczory na grze w karty lub w kości, więc żywotnie interesował się opracowaniem strategii gry pozwalającej na wygraną, a choćby znalezienie reguły, która pozwoli oszacować szansę na wygraną. W ten sposób powstało wiele z jego prac, będących wkładem do rozwijającego się w szybkim tempie rachunku prawdopodobieństwa.

Rzecz działa się w osiemnastym wieku, ale podany przez Bernoulliego wzór nie zdezaktualizował się i stanowi nadal jeden z elementarnych wzorów rachunku prawdopodobieństwa.

Twoje cele

Wyodrębnisz wśród innych doświadczeń losowych próby Bernoulliego.
Zastosujesz wzór Bernoulliego, wyznaczając prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach wieloetapowych.
Określisz najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego.

Próba Bernoulliego

Wśród doświadczeń losowych wieloetapowych ważne miejsce zajmują doświadczenia, w których możliwe są tylko dwa wyniki. Nazywamy je wtedy próbą Bernoulliego (w skrócie próbą). Jeden z wyników próby nazywamy sukcesem, a drugi porażką.

Przykłady prób:

rzut monetą – możliwe są dwa wyniki: orzeł i reszka,
kupno losu na loterii – możliwe są dwa wyniki: los wygrany i los przegrany.

Powtarzania próby nazywamy niezależnymi, gdy pojawienie się wyniku w jednej z prób nie zmienia prawdopodobieństwa pojawienia się wyniku w następnych próbach.

Przykładem jest rzut monetą. Sukcesem nazwiemy wypadnięcie orła, a porażką wypadnięcie reszki. Wypadnięcie orła za pierwszym razem nie wpłynie na prawdopodobieństwo wypadnięcia orła za drugim, trzecim, ..., $n$ –tym razem. Rzuty monetą (czyli powtórzenia próby) są niezależne.

Przykładem zależnych powtórzeń próby jest losowanie kul z urny bez zwracania.

Schemat Bernoulliego

Schematem $n$ prób Bernoulliego ( $n$ – liczba naturalna dodatnia) nazywamy ciąg złożony z $n$ niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego w tych samych warunkach.

W schemacie Bernoulliego ciąg doświadczeń losowych spełnia więc następujące warunki:

doświadczenia są niezależne,
każde z doświadczeń może skończyć się tylko na dwa sposoby – sukcesem lub porażką,
prawdopodobieństwo sukcesu jest w każdym doświadczeniu takie samo.

Przykłady schematów Bernoulliego:

$n$ – krotny rzut kostką,
$100$ – krotne strzelanie do celu,
$500$ – krotny rzut monetą.

Wzór Bernoulliego

Liczbę sukcesów w $n$ próbach Bernoulliego oznaczamy $S_{n}$ . Zdarzenie losowe polegające na otrzymaniu w $n$ próbach Bernoulliego dokładnie $k$ sukcesów $(k \in \{0, 1, 2, . . ., n\})$ zapisujemy:

S_{n} = k

a prawdopodobieństwo tego zdarzenia:

P (S_{n} = k)

Wzór, który pozwala na obliczanie prawdopodobieństwa wystąpienia $k$ sukcesów w danej próbie (bez względu na ilość jej powtórzeń), sformułował na początku osiemnastego wieku matematyk szwajcarski Jakub Bernoulli.

Wzór Bernoulliego

Twierdzenie: Wzór Bernoulliego

Prawdopodobieństwo, że w $n$ – próbach Bernoulliego sukces wypadnie $k$ razy wyraża się wzorem:

P (S_{n} = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}

gdzie:
$p$ – prawdopodobieństwo sukcesu,
$q = 1 - p$ – prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie,
$0 < p < 1$ i $k \in \{0, 1, 2, 3, . . . ., n\}$ .

Przykład 1

Rzucamy pięć razy kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo, że liczba oczek równa $1$ wypadnie dwa razy.

Sukcesem w takim rzucie jest wypadnięcie liczby oczek równej $1$ . Prawdopodobieństwo sukcesu to $p = \frac{1}{6}$ .

Porażką jest wypadnięcie liczby oczek innej niż $1$ . Prawdopodobieństwo porażki to $q = \frac{5}{6}$ .

Doświadczenie polega na wykonaniu $5$ prób, czyli $n = 5$ . Chcemy, aby liczba oczek równa $1$ wypadła dwa razy, zatem $k = 2$ .

Korzystamy ze wzoru Bernoulliego.

$P (S_{5} = 2) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{5 - 2}$

$P (S_{5} = 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216}$

$P (S_{5} = 2) = \frac{625}{3888}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że liczba oczek równa $1$ wypadnie dwa razy jest równe $\frac{625}{3888}$ .

Przykład 2

Rzucono osiem razy monetą.
Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ – wyrzucono co najmniej jednego orła.

Skorzystamy ze wzoru Bernoulliego, ale obliczymy najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego – nie wyrzucono ani jednego orła.

$P (A') = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{8}$

Zatem

$P (A) = 1 - {(\frac{1}{2})}^{8} = 1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednego orła jest równe $\frac{255}{256}$ .

Przykład 3

Władysław gra z równorzędnym przeciwnikiem w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne: wygranie przez Władysława dwóch partii z czterech czy pięciu partii z ośmiu?

Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego.

W pierwszym przypadku: $n = 4$ , $k = 2$ , $p = q = \frac{1}{2}$ .

$P (S_{4} = 2) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$

W drugim przypadku: $n = 8$ , $k = 5$ , $p = q = \frac{1}{2}$ .

$P (S_{8} = 5) = (\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{7}{32}$

Ponieważ

$\frac{3}{8} = \frac{12}{32} > \frac{7}{32}$

Więc bardziej prawdopodobne jest, że Władysław wygra dwie partie z czterech, niż pięć z ośmiu.

Przykład 4

W urnie znajduje się $5$ kul białych i $2$ czarne. Z urny losujemy $5$ razy po dwie kule, które za każdym razem wkładamy ponownie do urny. Obliczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że $3$ razy otrzymamy parę kul różnego koloru.

Zauważmy, że za każdym razem kule zwracamy z powrotem do urny, zatem kolejne doświadczenia są od siebie niezależne.

Każde z doświadczeń może skończyć się sukcesem – wylosowanie kul różnego koloru lub porażką – wylosowanie dwóch kul tego samego koloru (białych lub czarnych).

Prawdopodobieństwo sukcesu za każdym razem jest takie samo (liczba kul w urnie nie zmienia się w kolejnych losowaniach).

Możemy więc w obliczeniach stosować wzór Bernoulliegowzór Bernoulliegowzór Bernoulliego, gdzie $n = 5$ , $k = 3$ .

Obliczmy prawdopodobieństwo sukcesu.

$p = \frac{(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})} = \frac{10}{21}$

Zatem prawdopodobieństwo porażki jest równe: $q = 1 - \frac{10}{21} = \frac{11}{21}$ .

$P (S_{5} = 3) = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{10}{21})}^{3} \cdot {(\frac{11}{21})}^{2}$

$P (S_{5} = 3) = \frac{121}{21} \cdot {(\frac{10}{21})}^{4} \approx 0, 3$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że $3$ razy otrzymamy parę kul różnego koloru wynosi w przybliżeniu $0, 3$ .

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Utożsamiając prawdopodobieństwo z częstością, zakładamy intuicyjnie, że na przykład w serii $100$ rzutów monetą najbardziej prawdopodobne jest uzyskanie $50$ orłów. W praktyce również pojawia się wiele problemów, których rozwiązanie wymaga oszacowania przewidywanych strat lub zysków. Aby nie wysnuwać wniosków „na oko”, możemy skorzystać w niektórych sytuacjach z odpowiedniego twierdzenia.

Zakładamy, że w schemacie Bernoulliego o $n$ próbach prawdopodobieństwo sukcesu $p \neq 1$ i $p \neq 0$ .

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Twierdzenie: Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Jeśli $(n + 1) p$ nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie $n$ prób Bernoulliego jest największą liczbą całkowitą $k_{0}$ taką, że $k_{0} < (n + 1) p$ .

Jeśli $(n + 1) p$ jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne są wartości $(n + 1) p - 1$ oraz $(n + 1) p$ i prawdopodobieństwa ich są równe.

Przykład 5

Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem $0, 8$ . Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba trafień w serii składającej się z $20$ strzałów?

Liczba prób: $n = 20$ .

Prawdopodobieństwo trafienia: $p = 0, 8$ .

Obliczamy $(n + 1) p$ .

$(20 + 1) \cdot 0, 8 = 16, 8$

Otrzymany wynik nie jest liczbą całkowitą, zatem najbardziej prawdopodobną liczbą trafień jest największa liczba całkowita, mniejsza od $16, 8$ , czyli $16$ .

Odpowiedź:

Najbardziej prawdopodobna liczba trafień w serii składającej się z $20$ strzałów jest równa $16$ .

Przykład 6

Waldemar trafia piłką do bramki z prawdopodobieństwem $\frac{2}{5}$ . Obliczymy, ile powinien wykonać strzałów, aby najbardziej prawdopodobna liczba uzyskanych bramek była równa $13$ .

Oznaczmy przez $n$ szukaną liczbę strzałów.

Na podstawie twierdzenia o najbardziej prawdopodobnej liczbie sukcesów w schemacie Bernoulliego stwierdzamy, że

$(n + 1) \cdot \frac{2}{5} - 1 < 13 < (n + 1) \cdot \frac{2}{5}$

Zapisujemy nierówność podwójną w postaci koniunkcji nierówności.

$(n + 1) \cdot \frac{2}{5} - 1 < 13$ i $13 < (n + 1) \cdot \frac{2}{5}$

Przekształcamy te nierówności, mnożąc obie strony każdej z nich przez $5$ i wykonując wskazane działania.

$(n + 1) \cdot 2 - 5 < 65$ i $65 < (n + 1) \cdot 2$

$2 n - 3 < 65$ i $65 < 2 n + 2$

$2 n < 68$ i $63 < 2 n$

$n < 34$ i $31, 5 < n$

Stąd

$31, 5 < n < 34$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, zatem $n = 32$ lub $n = 33$ .

Odpowiedź:

Aby najbardziej prawdopodobna liczba uzyskanych bramek była równa $13$ , Waldemar musi strzelić do bramki $32$ lub $33$ razy.

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem, który przybliży Ci zagadnienia związane ze wzorem Bernoulliego. Postaraj się najpierw samodzielnie rozwiązać prezentowane tam problemy, a następnie porównaj z zamieszczonymi w filmie.

RRU4azXqygdiQ

Polecenie 2

Rzucamy $6$ razy dwiema monetami. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej $5$ razy wyrzucimy dwie reszki.

Pojedyncza próba to rzut dwiema monetami. Prawdopodobieństwo sukcesu: $p = \frac{1}{4}$ (wyrzucenie dwóch reszek).

Co najmniej $5$ razy wyrzucić dwie reszki to znaczy wyrzucić je pięć lub sześć razy.

$P (S_{6} = 5) = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{5} \cdot {(\frac{3}{4})}^{1} = \frac{18}{4^{6}}$

$P (S_{6} = 6) = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{6} \cdot {(\frac{3}{4})}^{0} = \frac{1}{4^{6}}$

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że dwie reszki wypadły co najmniej pięć razy.

$P (A) = \frac{18}{4^{6}} + \frac{1}{4^{6}} = \frac{19}{4096}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że dwie reszki wypadły co najmniej pięć razy jest równe $\frac{19}{4096}$ .

R1dzjeoZYV9Nw1

Ćwiczenie 1

R1TMumStP51jI1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

R9OZZ15Cy6XUl

Prawdopodobieństwo trafienia przez zawodnika piłką do kosza jest równe początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka. Zawodnik wykonuje sześć rzutów piłką do kosza.
Połącz w pary opis słowny szukanego prawdopodobieństwa i liczbowy sposób jego obliczenia. Prawdopodobieństwo, że zawodnik trafi do kosza mniej niż dwa razy. Możliwe odpowiedzi: 1. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po cztery, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, zero przecinek osiem pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, razy, nawias, zero przecinek jeden pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po zero, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po jeden, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po pięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, plus, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po sześć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, zero, koniec indeksu górnego Prawdopodobieństwo, że zawodnik trafi do kosza cztery razy. Możliwe odpowiedzi: 1. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po cztery, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, zero przecinek osiem pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, razy, nawias, zero przecinek jeden pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po zero, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po jeden, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po pięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, plus, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po sześć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, zero, koniec indeksu górnego Prawdopodobieństwo, że zawodnik trafi do kosza co najmniej pięć razy. Możliwe odpowiedzi: 1. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po cztery, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, zero przecinek osiem pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, razy, nawias, zero przecinek jeden pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po zero, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po jeden, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po pięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, plus, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, sześć po sześć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, zero, koniec indeksu górnego

R1b1lgzN8pqVN2

Ćwiczenie 4

RXCJpW14QziuH2

Ćwiczenie 5

RHO0EvgP91Tqg2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Iloma kostkami do gry należy jednocześnie rzucić, aby prawdopodobieństwo otrzymania na co najmniej jednej kostce liczby oczek równej sześć było większe od $\frac{1}{6}$ ?

Oznaczmy przez $n$ szukaną liczbę kostek. Zdarzenie – na co najmniej jednej kostce otrzymano liczbę oczek równą sześć, jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia – na żadnej kostce nie wypadła liczba oczek równa sześć.

$P (S_{n} = 0) = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{n}$

Zatem:

$P (S_{n} \geq 1) = 1 - (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{n}$

$P (S_{n} \geq 1) = 1 - {(\frac{5}{6})}^{n}$

Szukane prawdopodobieństwo ma być większe od $\frac{1}{6}$ . Zapisujemy i rozwiązujemy odpowiednią nierówność.

$1 - {(\frac{5}{6})}^{n} > \frac{1}{6}$

${(\frac{5}{6})}^{n} < \frac{5}{6}$

Ponieważ $n$ jest liczbą naturalna, zatem $n = 2$ , $3$ , $4$ , $. . .$

Odpowiedź:

Należy jednocześnie rzucić co najmniej dwiema kostkami do gry.

Ćwiczenie 8

W skrzynce jest $50$ owoców. Są tam jabłka i gruszki. Najbardziej prawdopodobna liczba gruszek to $40$ . Ze skrzynki wyciągamy w sposób losowy jeden owoc. Oszacuj prawdopodobieństwo wyciagnięcia gruszki.

$(50 + 1) p - 1 < 40 < (50 + 1) p$

$51 p < 41$ i $51 p > 40$

$p < \frac{41}{51}$ i $p > \frac{40}{51}$

$\frac{40}{51} < p < \frac{41}{51}$

Słownik

wzór Bernoulliego

prawdopodobieństwo, że w $n$ – próbach Bernoulliego sukces wypadnie $k$ razy wyraża się wzorem:

P (S_{n} = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}

gdzie:
$p$ – prawdopodobieństwo sukcesu,
$q = 1 - p$ – prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie,
$0 < p < 1$ i $k \in \{0, 1, 2, 3, . . . ., n\}$

5. Wzór Bayesa

7. Wartość oczekiwana zmiennej losowej (DODATEK)