3. Różnica kwadratów - M_R_W02_M2 Wzory skróconego mnożenia

RQLbQbTo9S0ZV

3. Różniaca kwadratów

Przekształcając wyrażenia algebraiczne, często trzeba pomnożyć sumę dwóch wyrażeń przez ich różnicę. Pomocny będzie w tym kolejny wzór skróconego mnożenia, który poznamy, zwany wzorem skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów w obliczeniach arytmetycznych.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów w przekształceniach algebraicznych.

Zapiszemy w postaci sumy iloczyn dwóch dowolnych wyrażeń przez ich różnicę.

(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2} = a^{2} - b^{2}

Otrzymaliśmy kolejny wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Ważne!

Wzór na iloczyn sumy przez różnicę:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Wzór ten można zilustrować następująco:

RCgra9KgfoNMC

Otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu równa się kwadrat do potęgi drugiej minus koło do potęgi drugiej. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zapisujemy odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie o iloczynie sumy przez różnicę

Twierdzenie: Twierdzenie o iloczynie sumy przez różnicę

Iloczyn sumy dwóch dowolnych wyrażeń przez ich różnicę równa się różnicy kwadratów tych wyrażeń.

Przykład 1

Zapiszemy iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

$(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$

$(a^{2} + b) (a^{2} - b) = a^{4} - b^{2}$

$(2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = 4 x^{2} - 9 y^{2}$

$(0, 5 x y + \sqrt{2}) (0, 5 x y - \sqrt{2}) = 0, 25 x^{2} y^{2} - 2$

Korzystając z przemienności mnożenia poznany wzór można zapisać w postaci

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

i podobnie jak w Przykładzie 1, zapisywać iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

Przykład 2

Zapiszemy iloczyny w postaci różnicy kwadratów.

(3 - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2}) = 9 - 2 = 7

(x - 2 \sqrt{3}) (x + 2 \sqrt{3}) = x^{2} - 12

(\sqrt{6} - \sqrt{5}) (\sqrt{6} + \sqrt{5}) = 6 - 5 = 1

Przekształcając wyrażenia algebraiczne, warto pamiętać, że chcąc w sumie algebraicznej zmienić znaki wyrażeń na przeciwne, trzeba wyłączyć $(- 1)$ przed nawias w tej sumie (czyli w praktyce – znak „ $-$ ”).

Przykład 3

Aby pomnożyć wyrażenia $(- 2 - x) (2 - x)$ , w pierwszym czynniku wyłączymy przed nawias $(- 1)$ .

(- 2 - x) (2 - x) = - (2 + x) (2 - x) = - (4 - x^{2}) = - 4 + x^{2}

W podobny sposób pomnożymy $(- 4 x + y) (- 4 x - y)$ .

(- 4 x + y) (- 4 x - y) = - (4 x - y) \cdot (- 1) \cdot (4 x + y) =

= (4 x - y) (4 x + y) = 16 x^{2} - y^{2}

Wzór $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ można zapisać też w postaci

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .

Obie te postacie nazywamy wzorem skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Wzór ten można zilustrować następująco:

RPpuzEan0YXtY

Kwadrat do potęgi drugiej minus koło do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Formułujemy odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie o różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

Twierdzenie: Twierdzenie o różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

Różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę.

Oto interpretacja geometryczna wzoru.

Rv8eS9uIKsZtK

Na ilustracji znajdują się dwa prostokąty. W prostokącie po lewej stronie zaznaczone są ścianki A i B oraz pola A do potęgi drugiej jak i B do potęgi drugiej. Pod tym prostokątem znajduje się napis: A do potęgi drugiej minus B do potęgi drugiej. Po prawej stronie prostokąt ma zaznaczone ścianki A i B jak i pole oznaczone: otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu A minus B zamknięcie nawiasu. Pod tym prostokątem znajduje się napis otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu A minus B zamknięcie nawiasu. Pomiędzy prostokątami jak i napisami widnieją znaki 'równa się'. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Przekształcimy podane sumy algebraiczne na iloczyny.

4 - y^{2} = 2^{2} - y^{2} = (2 + y) (2 - y)

16 x^{2} - 9 = {(4 x)}^{2} - 3^{2} = (4 x + 3) (4 x - 3)

a^{4} b^{4} - 25 a^{2} = {(a^{2} b^{2})}^{2} - {(5 a)}^{2} = (a^{2} b^{2} - 5 a) (a^{2} b^{2} + 5 a)

Przykład 5

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{2}$ .

$2 (x + 1) (x - 1) + [(- x - 1) (x - 1) - x^{2}] =$

$= 2 (x^{2} - 1) + [- (x + 1) (x - 1) - x^{2}] =$

$= 2 x^{2} - 2 + (- x^{2} + 1 - x^{2}) = - 1$

Rozpatrywane wyrażenie dla każdej liczby rzeczywistej $x$ ma stałą wartość, równą $(- 1)$ .

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia dla $x = - \sqrt{2}$ jest równa $(- 1)$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, rozwiązując samodzielnie podane przykłady, a następnie sprawdź ich rozwiązania.

RMWHga3j96SaO

R1LScQBpmRXfd

R1AtHmjf4B0uV

Ilustracja trzecia. Rozważymy teraz kilka przykładów zastosowania wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę można zapisać w postaci różnicy kwadratów. Przykład pierwszy: nawias, cztery x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, cztery x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden Komenatrz: Pierwszy wyraz każdej z sum, które mnożymy, to cztery x. nawias, cztery x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego to szesnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Teraz podnosimy do kwadratu drugi wyraz każdej z sum. jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego to jeden. Tworzymy różnicę otrzymanych liczb. Przykład drugi: nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery Komentarz: Podnosimy do kwadratu oba wyrazy pierwszego dwumianu i tworzymy ich różnicę. Przykład trzeci: nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy Komentarz: Iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę zapisujemy w postaci różnicy kwadratów tych wyrażeń.

R1Mxn6kEqts9M

RQBdSroqcGlha

Polecenie 2

Oblicz pole prostokąta o bokach długości $\sqrt{7} + 6 \sqrt{5}$ i $6 \sqrt{5} - \sqrt{7}$ .

$P = 173$

Algorytm to zbiór określonych reguł postępowania, które realizowane zgodnie z ustalonym porządkiem umożliwiają rozwiązanie określonego zadania. Jednym z takich algorytmów jest wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Teraz poznasz zastosowanie tego wzoru w obliczeniach arytmetycznych i algebraicznych.

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówWzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów można wykorzystać do szybkiego mnożenia niektórych liczb.

Przykład 6

Aby obliczyć $21 \cdot 19$ przedstawimy jedną z tych liczb w postaci sumy, a drugą w postaci różnicy liczby $20$ i liczby $1$ . W ten sposób otrzymamy iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń i skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

21 \cdot 19 = (20 + 1) (20 - 1) = 20^{2} - 1^{2} = 400 - 1 = 399

Przykład 7

W podobny sposób jak w przykładzie $1$ pomnożymy $98 \cdot 102$ .

98 \cdot 102 = (100 - 2) (100 + 2) = 100^{2} - 2^{2} = 10000 - 4 = 9996

Przykład 8

Stosując poznany wzór skróconego mnożenia, usuniemy niewymierność z mianowników podanych ułamków.

Rozszerzamy ułamek przez $2 + \sqrt{5}$ , aby zastosować wzór skróconego mnożenia.

\frac{1}{2 - \sqrt{5}} = \frac{1}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 + \sqrt{5}}{- 1} = - 2 - \sqrt{5}

W mianowniku ułamka znajduje się suma, zatem rozszerzmy ułamek przez $9 - 3 \sqrt{7}$ , czyli przez różnicę.

\frac{\sqrt{7}}{9 + 3 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{9 + 3 \sqrt{7}} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{7}}{9 - 3 \sqrt{7}} = \frac{9 \sqrt{7} - 21}{81 - 63} = \frac{9 \sqrt{7} - 21}{18}

Przykład 9

Wykażemy, że liczba $K = \frac{1 - 2 \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} - \frac{1 + 9 \sqrt{5}}{3}$ jest liczbą wymierną.

Usuniemy niewymierność z mianownika pierwszego ułamka i wykonujemy wskazane działania.

K = \frac{1 - 2 \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} - \frac{1 + 9 \sqrt{5}}{3}

K = \frac{1 - 2 \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} - \frac{1 + 9 \sqrt{5}}{3} =

= \frac{2 + \sqrt{5} - 10 - 4 \sqrt{5}}{4 - 5} - \frac{1 + 9 \sqrt{5}}{3} = 3 \sqrt{5} + 8 - 3 \sqrt{5} - \frac{1}{3} = 7 \frac{2}{3}

Liczbę $7 \frac{2}{3}$ można zapisać w postaci ilorazu liczb całkowitych $\frac{23}{3}$ , jest to więc liczba wymierna, co należało wykazać.

Przykład 10

Obliczymy wartość wyrażenia

$W = \sqrt{113^{3} - 112^{2}} \cdot \sqrt{13^{2} - 12^{2}} + \sqrt{1600 + 720 + 81}$ .

Przekształcamy najpierw każdy z pierwiastków.

Zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu, wykonujemy mnożenie i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{113^{3} - 112^{2}} = \sqrt{(113 - 112) (113 + 112)} = \sqrt{1 \cdot 225} = 15

Postępujemy podobnie – zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu, wykonujemy mnożenie i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{(13 - 12) (13 + 12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = 5

Wyrażenie $1600 + 720 + 81$ zapisujemy w postaci kwadratu sumy (korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy) i obliczamy pierwiastek.

\sqrt{1600 + 720 + 81} = \sqrt{{(40 + 9)}^{2}} = \sqrt{49^{2}} = 49

Wyznaczamy teraz wartość wyrażenia $W$ .

W = 15 \cdot 5 + 49 = 124

Wzór $a^{2} - b^{2}$ zastosujemy teraz do zapisu sum algebraicznych w postaci iloczynów, czyli do rozkładu sum na czynniki.

Przykład 11

Rozłożymy na czynniki podane sumy algebraiczne.

$9 x^{2} - 4 y^{2} = (3 x - 2 y) (3 x + 2 y)$

$81 a^{6} - y^{2} = (9 a^{3} - y) (9 a^{3} + y)$

$7 m^{2} - 2 t^{2} = (\sqrt{7} m + \sqrt{2} t) (\sqrt{7} m - \sqrt{2} t)$

$a^{2} b^{2} - 144 = (a b - 12) (a b + 12)$

$15 - y^{8} = (\sqrt{15} - y^{4}) (\sqrt{15} + y^{4})$

$x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})$ , jeśli $x > 0$ , $y > 0$

Przykład 12

Pokażemy teraz, jak szybko można rozłożyć na czynniki wielodziałaniowe wyrażenia algebraiczne.

{(3 a - 2 b)}^{2} - 4 b^{2} = (3 a - 2 b + 2 b) (3 a - 2 b - 2 b) = 3 a (3 a - 4 b)

{(5 a + 6 b)}^{2} - {(5 a - 6 b)}^{2} = (5 a + 6 b + 5 a - 6 b) (5 a + 6 b - 5 a + 6 b) =

= 10 a \cdot 12 b = 120 a b

Wzór $a^{2} - b^{2}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 13

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $K = \frac{18 x^{2} - 8 y^{2}}{6 y - 9 x}$ , gdy $y \neq 1,5 x$ .

Wyłączamy wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

K = \frac{18 x^{2} - 8 y^{2}}{6 y - 9 x} = \frac{2 (9 x^{2} - 4 y^{2})}{3 (2 y - 3 x)}

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci iloczynu.

K = \frac{2 (3 x - 2 y) (3 x + 2 y)}{3 (3 x - 2 y)}

Skracamy.

K = \frac{2 (3 x + 2 y)}{3}

Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów pozwala na uniknięcie pracochłonnych mnożeń, co jest szczególnie istotne, gdy chcemy szybko uzyskać wynik.

Przykład 14

Uzasadnimy, że dla dowolnych liczb całkowitych $x$ , $y$ liczba $M = {(5 + 2 x + y)}^{2} - {(5 - 2 x - y)}^{2}$ jest podzielna przez $20$ .

Zapisujemy różnicę kwadratów w postaci iloczynu i redukujemy wyrazy podobne.

M = {(5 + 2 x + y)}^{2} - {(5 - 2 x - y)}^{2} =

= (5 + 2 x + y - 5 + 2 x + y) (5 + 2 x + y + 5 - 2 x - y)

M = (4 x + 2 y) \cdot 10

Wyłączamy $2$ przed nawias i mnożymy przez $10$ .

M = (4 x + 2 y) \cdot 10 = 2 (2 x + y) \cdot 10 = 20 (2 x + y)

Liczba $M$ jest iloczynem liczb $20$ oraz $2 x + y$ . Ponieważ $2 x + y$ to liczba całkowita, zatem liczba $M$ jest podzielna przez $20$ .

Polecenie 3

Przeanalizuj przykłady szybkiego mnożenia liczb z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

RyoPsngjErYaA

R14VqkDA2tDd0

R1d7j6mREOTvy

RWNImNjnfGdDP

RKb6Taf2L7ksS

Polecenie 4

Oblicz najprostszym sposobem wartość wyrażenia $W$ .

a) $W = 76 \cdot 84 - 22 \cdot 18$

b) $W = 640 \cdot 560 + 45 \cdot 55$

a) $W = 76 \cdot 84 - 22 \cdot 18 = (80 - 4) (80 + 4) - (20 + 2) (20 - 2)$

$W = 80^{2} - 4^{2} - 20^{2} + 2^{2} = 6400 - 16 - 400 + 4 = 5988$

b) $W = 640 \cdot 560 + 45 \cdot 55 = (600 + 40) (600 - 40) + (50 - 5) (50 + 5)$

$W = 600^{2} - 40^{2} + 50^{2} - 5^{2} = 360000 - 1600 + 2500 - 25 = 360875$

RVtUA1EVqZo1o1

Ćwiczenie 1

R1Qu0oAL4AslF1

Ćwiczenie 2

R1WxxJh3P0SRS2

Ćwiczenie 3

RiK381gOSdSvq2

Ćwiczenie 4

R1HSPuM8bLhOF2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru: dwadzieścia cztery, plus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, osiem, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, czterdzieści, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, dwieście czterdzieści cztery, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Polecenie: Przeciągnij odpowiedni wynik we właściwe miejsce. nawias, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się luka do uzupełnienia
nawias, sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się luka do uzupełnienia
nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się luka do uzupełnienia
nawias, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się luka do uzupełnienia

RfkGz1mVM1TH72

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równa $27$ . Znajdź te liczby.

${(x + 1)}^{2} - x^{2} = (x + 1 + x) (x + 1 - x) = 2 x + 1 = 27$

$2 x + 1 = 27$

$x = 13$

Szukane liczby to $13$ i $14$ .

Ćwiczenie 8

Zapisz podane wyrażenie w najprostszej postaci.

\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt{6} - 3) (3 + 2 \sqrt{6}) - {(3 \sqrt{2} + 3)}^{2} + {(3 \sqrt{2} - 3)}^{2}

\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt{6} - 3) (3 + 2 \sqrt{6}) - {(3 \sqrt{2} + 3)}^{2} + {(3 \sqrt{2} - 3)}^{2} =

= \sqrt{2} \cdot (24 - 9) - [(3 \sqrt{2} + 3 - 3 \sqrt{2} + 3) (3 \sqrt{2} + 3 + 3 \sqrt{2} - 3)] =

= 15 \sqrt{2} - 36 \sqrt{2} = - 21 \sqrt{2}

Pokaż ćwiczenia:

RupT2xjYtOB9G1

Ćwiczenie 9

R11quLyTDhiX41

Ćwiczenie 10

R1WzErnodZTA02

Ćwiczenie 11

R1NBA6viBWtM62

Ćwiczenie 12

R1bfFflHb50vQ2

Ćwiczenie 13

RAzlS5jxSkIE12

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Znajdź liczbę $a$ , dla której liczba $K = a \sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ jest równa $15$ .

K = a \sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = a \sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{5}}{4 - 5} \cdot (2 - \sqrt{5}) = a \sqrt{5} + 15 - 6 \sqrt{5}

Jeśli $a = 6$ to $K = 15$ .

Ćwiczenie 16

Zapisz w postaci iloczynu wyrażenie ${(4 x + 2 y)}^{2} - 256 x^{2}$ .

{(4 x + 2 y)}^{2} - 256 x^{2} = (4 x + 2 y - 16 x) (4 x + 2 y + 16 x) = 4 (y - 6 x) (10 x + y)

Słownik

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę

2. Kwadrat różnicy

4. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

3. Różniaca kwadratów

Słownik