4. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Rom7DYHcRaDTN

R4IagJNvEpuDD1

Ilustracja przedstawia popiersie kobiety pozującej lewym profilem. Kobieta ma wysoko upięte włosy. — Marie-Sophie Germain (1776 – 1831)
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Czy wiesz, że jeszcze pod koniec XVIII wieku we Francji kobiety nie miały wstępu na wyższe uczelnie? Zatem utalentowane kobiety musiały szukać nauczycieli poza murami uniwersytetów. Jedną z takich osób była Marie‑Sophie Germain (1776 – 1831), która pod nazwiskiem Le Blanc nawiązała korespondencję z Josephem Lagrangem – jednym z najlepszych na świecie ówczesnych matematyków, a następnie z równie sławnym niemieckim matematykiem Carlem Gaussem.

Germain zajmowała się głównie teorią liczb, jej nazwiskiem zostały nazwane takie liczby pierwsze $p$ , dla których liczby $2 p + 1$ są również pierwsze. W 1811 r. wygrała konkurs ogłoszonym przez Francuską Akademię Nauk, którego tematem było wyjaśnienie powstawania wzorów, jakie tworzy piasek rozsypany na drgającej płycie.

My również będziemy zajmować się wybranymi zagadnieniami z teorii liczb. Niestety, zakres prezentowanego materiału będzie dużo uboższy niż ten, który zgłębiała Germain. Ograniczymy się bowiem tylko do pokazania możliwości stosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia drugiego do dowodzenia twierdzeń dotyczących podzielności liczb całkowitych.

Twoje cele

Zastosujesz wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego w obliczeniach rachunkowych.
Usuniesz niewymierność z mianownika ułamka, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Zbadasz czy dana liczba jest wymierna czy niewymierna.
Wykorzystasz wzory skróconego mnożenia w dowodzeniu podzielności liczb całkowitych.
Rozpoznasz liczby złożone, nie wykonując pracochłonnych obliczeń.
Uzasadnisz prawdziwość twierdzenia, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Wykażesz prawdziwość niektórych nierówności.

Obliczenia rachunkowe

W obliczeniach rachunkowych występują często typowe przypadki mnożenia lub podnoszenia liczb do kwadratu. Działania te możemy wykonać w sposób uproszczony, posługując się wzorami skróconego mnożenia.

Przykład 1

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, kwadrat różnicy lub różnicę kwadratów, obliczymy $79^{2}$ , $103^{2}$ , $83 \cdot 97$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$79^{2} = (80 - 1)^{2} = 80^{2} - 2 \cdot 80 \cdot 1 + 1^{2} = 6241$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumywzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$703^{2} = (700 + 3)^{2} = 700^{2} + 2 \cdot 700 \cdot 3 + 3^{2} = 494209$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$83 \cdot 97 = (90 - 7) (90 + 7) = 90^{2} - 7^{2} = 8051$

Ważne!

Bezpośrednio ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, wynika następująca własność:

Jeśli $a + b = 1$ to $a^{2} - b^{2} = a - b$ .

Jeśli $a - b = 1$ to $a^{2} - b^{2} = a + b$ .

Przykład 2

Wykorzystamy powyższą własność do obliczenia w pamięci $597^{2} - 596^{2}$ i $(0, 97)^{2} - (0, 03)^{2}$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i z tego, że $597 - 596 = 1$ i $0, 97 + 0, 03 = 1$

$597^{2} - 596^{2} = 597 + 596 = 1193$

$(0, 97)^{2} - (0, 03)^{2} = 0, 97 - 0, 03 = 0, 94$

Wzory skróconego mnożenia można też wykorzystać do przekształcania wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie $W = (\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}})^{2} - \sqrt{89^{2} - 80^{2}}$ w najprostszej postaci.

Uprościmy najpierw każdy ze składników.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i ze wzoru na różnicę kwadratów.

$W_{1} = {(\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}})}^{2} =$

$= 4 - 2 \sqrt{3} + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{(4 - 2 \sqrt{3}) (4 + 2 \sqrt{3})}$

$W_{1} = 8 + 2 \cdot \sqrt{16 - 12} = 8 + 4 = 12$

Drugi ze składników zamieniamy na iloczyn (ze wzoru na różnicę kwadratów) i pierwiastkujemy.

$W_{2} = \sqrt{89^{2} - 80^{2}} = \sqrt{(89 - 80) (89 + 80)} = \sqrt{9 \cdot 169} = 3 \cdot 13 = 39$

Teraz powracamy do rozważanego wyrażenia.

W = W_{1} - W_{2} = 12 - 39 = - 27

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

Wiemy już, że iloczyn liczb niewymiernych może być liczbą wymierną lub niewymierną. Chcąc więc usunąć niewymierność z mianownika ułamka, należy rozszerzyć ułamek przez takie wyrażenie, aby w wyniku otrzymać liczbę wymierną.

Najprościej jest zatem pomnożyć licznik i mianownik ułamka tak, aby w mianowniku otrzymać iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń i zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Przykład 4

Znajdziemy liczbę odwrotną do liczby $2 + 7 \sqrt{3}$ .

Szukana liczba to $\frac{1}{2 + 7 \sqrt{3}}$ . Zauważmy, że w mianowniku zapisanego ułamka znajduje się suma dwóch wyrażeń, zatem aby usunąć niewymierność z mianownika, rozszerzamy ułamek przez różnicę tych samych wyrażeń.

$\frac{1}{2 + 7 \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + 7 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - 7 \sqrt{3}}{2 - 7 \sqrt{3}} = \frac{2 - 7 \sqrt{3}}{4 - 147} = \frac{7 \sqrt{3} - 2}{143}$

Odwrotność liczby $2 + 7 \sqrt{3}$ to $\frac{7 \sqrt{3} - 2}{143}$ .

Przykład 5

Wykażemy, że liczba $W = \frac{1 - \sqrt{2}}{5 - 3 \sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{2}}{5 + 3 \sqrt{2}}$ jest wymierna.

$W = \frac{1 - \sqrt{2}}{5 - 3 \sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{2}}{5 + 3 \sqrt{2}}$

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$W = \frac{1 - \sqrt{2}}{5 - 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{5 + 3 \sqrt{2}}{5 + 3 \sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{2}}{5 + 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{5 - 3 \sqrt{2}}{5 - 3 \sqrt{2}}$

Wykonujemy w liczniku mnożenie, w mianowniku stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$W = \frac{5 + 3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - 6 + 5 - 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 6}{5^{2} - (3 \sqrt{2})^{2}}$

Redukujemy wyrazy podobne w liczniku, w mianowniku wykonujemy wskazane działania.

$W = - \frac{2}{7}$

Liczba $- \frac{2}{7}$ zapisana jest za pomocą ilorazu liczb całkowitych, zatem $W$ to liczba wymierna.

Jeśli w mianowniku ułamka występują więcej niż dwa wyrazy zawierające pierwiastki, można również, usuwając niewymierność z mianownika, stosować odpowiedni wzór skróconego mnożenia.

Przykład 6

Oszacujemy wartość wyrażenia $W = \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, przyjmując $\sqrt{2} \approx 1, 4$ i $\sqrt{6} \approx 2, 4$ .

$W = \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$

Rozszerzamy ułamek przez $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$ .

$W = \frac{1}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}$

W mianowniku ułamka wykonujemy mnożenie, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$W = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{1 + 2 \sqrt{2} + 2 - 3}$

Redukujemy wyrazy podobne w mianowniku ułamka.

$W = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$W = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Szacujemy wartość otrzymanego wyrażenia.

$W \approx \frac{2 + 1, 4 - 2, 4}{4} = 0, 25$

Wartość wyrażenia jest równa w przybliżeniu 0,25.

Polecenie 1

Przypomnij sobie, w jaki sposób usuwaliśmy niewymierność typu $a \sqrt{b} + c \sqrt{d}$ z mianownika ułamka, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Zaproponuj sposób usuwania niewymierności typu $a \sqrt{b} + c \sqrt{d} + e \sqrt{f}$ . Skonfrontuj swoje pomysły z przykładami podanymi w galerii zdjęć interaktywnych.

RSonyadI0odDB

RFapOEJK3X9cb

Rs1dAaSS4JZB4

RIPtBncwLSVqK

RkP3sRzWaeXX8

Polecenie 2

Zapisz w najprostszej postaci $\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3} + 3}}$ .

$2 \sqrt{3} - 4$

Polecenie 3

Usuń niewymierność z mianownika ułamka $A = \frac{1}{\sqrt{35} + \sqrt{15} + \sqrt{7} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(1 + \sqrt{5}) (\sqrt{3} + \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{7} - \sqrt{15} + \sqrt{35}}{16}$

Podzielność liczb całkowitych

Dane są liczby całkowite $a$ i $b$ , różne od $0$ .

Jeśli iloraz $\frac{a}{b}$

jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba $a$ jest podzielna przez liczbę $b$ (liczba $b$ jest dzielnikiem liczby $a$ ),
nie jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba $a$ nie dzieli się przez $b$ (liczba $b$ nie jest dzielnikiem liczby $a$ ).

W przypadku, gdy liczba $a$ jest podzielna przez liczbę $b$ , to istnieje taka liczba całkowita $t$ , że:

a = b t

W przypadku, gdy liczba $a$ nie jest podzielna przez $b$ , to w wyniku dzielenia liczby $a$ przez liczbę $b$ otrzymujemy iloraz $t$ (będący liczbą całkowitą) i resztę $r$ .

a = t b + r

Twierdzenie o dzieleniu z resztą

Twierdzenie: Twierdzenie o dzieleniu z resztą

Dla każdej pary liczb całkowitych $a$ i $b$ , różnych od $0$ , istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych $t$ i $r$ taka, że $a = t b + r$ , gdzie $0 < r < | b |$ .

Liczbę naturalną nazywamy liczbą pierwsząliczba pierwszaliczbą pierwszą, gdy ma dwa dzielniki – liczbę $1$ i samą siebie.

Liczbę naturalną, większą od $1$ , nazywamy złożoną, gdy ma więcej niż dwa dzielniki.

Liczby $0$ i $1$ to liczby ani pierwsze, ani złożoneliczby ani pierwsze, ani złożoneliczby ani pierwsze, ani złożone.

Aby określić, czy liczba całkowita zapisana za pomocą wyrażenia arytmetycznego jest złożona, nie zawsze trzeba wykonywać pracochłonne obliczenia. W niektórych przypadkach można skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 7

Uzasadnimy, że liczba $K = 212^{2} - 127^{2}$ jest złożona i dzieli się przez $3$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, zapisujemy wyrażenie określające liczbę $K$ w postaci iloczynu.

K = 212^{2} - 127^{2}

K = (212 - 127) (212 + 127)

Każda z liczb $212 - 127$ i $212 + 127$ jest dzielnikiem liczby $K$ . Zatem liczba $K$ ma co najmniej $4$ dzielniki naturalne (dzielnikami liczby $K$ są również: liczba $1$ i $K$ ), jest więc liczbą złożonąliczba złożonaliczbą złożoną.

Liczbę $K$ można zapisać też w postaci

K = 85 \cdot 339

Ponieważ suma cyfr liczby $339$ jest równa $15$ , więc liczba $339$ dzieli się przez $3$ , a co za tym idzie i liczba $K$ dzieli się przez $3$ , co należało wykazać.

Przykład 8

Wykażemy, że liczba $M = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ jest liczbą parzystą.

Przedstawimy każdy z ułamków sumy określającej liczbę $M$ , bez użycia niewymierności w mianowniku. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

M = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}

M = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}

Teraz korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i upraszczamy otrzymane wyrażenie.

M = \frac{7 + 5 + 2 \sqrt{35}}{7 - 5} + \frac{7 + 5 - 2 \sqrt{35}}{7 - 5}

M = \frac{24}{2} = 12

Liczba $12$ dzieli się przez $2$ , więc liczba $M$ jest liczbą parzystą, co należało wykazać.

Pokażemy teraz, jak łatwo uzasadnić podzielność danej liczby, za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Przykład 9

Wykażemy, że liczba $A = 17^{2} + 29^{2} + 986$ jest podzielna przez $23$ .

Zauważmy, że wyrażenie $17^{2} + 29^{2} + 986$ można zapisać w postaci kwadratu sumy liczb $17$ i $29$ .

Zatem

A = {(17 + 29)}^{2} = 46^{2}

Liczba $46$ jest iloczynem liczby $2$ i liczby $23$ .

A = {(2 \cdot 23)}^{2} = 23 \cdot (23 \cdot 2^{2}) = 23 \cdot 92

Zatem liczbę $A$ można zapisać w postaci iloczynu liczby $23$ i liczby całkowitej $92$ , co oznacza, że liczba $A$ jest podzielna przez $23$ .

Przypomnijmy:

liczbę naturalną parzystą można zapisać w postaci $2 n$ , gdzie $n \in ℕ$ ;
liczbę naturalną nieparzystą można zapisać w postaci $2 n + 1$ , gdzie $n \in ℕ$ ;
liczba $0$ jest liczbą parzystą;
najmniejsza liczba naturalna nieparzysta to $1$ ;
kolejne liczby naturalne, z których najmniejszą jest $n$ to: $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ , ...

Przykład 10

Wykażemy, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych w dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ .

Oznaczmy:

$n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , gdy $n \in ℕ$ - kolejne liczby naturalne.

Chcemy wykazać, że sumę kwadratów $3$ kolejnych liczb naturalnych można zapisać w postaci sumy iloczynu liczby $3$ i liczby naturalnej oraz liczby $2$ .

Zapisujemy i przekształcamy sumę kwadratów $3$ kolejnych liczb całkowitych, korzystające ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

n^{2} + {(n + 1)}^{2} + {(n + 2)}^{2} = n^{2} + n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} + 4 n + 4 =

= 3 n^{2} + 6 n + 5 = 3 (n^{2} + 2 n + 1) + 2

Ponieważ liczba $n^{2} + 2 n + 1$ jest liczbą naturalną, zatem suma kwadratów $3$ kolejnych liczb naturalnych w dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ , co należało wykazać.

Przykład 11

Wykażemy, że różnica czwartych potęg dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $1$ , a druga przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$ , dzieli się przez $10$ .

Pierwszą z liczb możemy zapisać w postaci $10 t + 1$ , gdzie $t \in ℕ$ , a drugą w postaci $10 k + 3$ , gdzie $k \in ℕ$ .

Wtedy ${(10 t + 1)}^{4} - {(10 k + 3)}^{4}$ to różnica czwartych potęg tych liczb.

Przekształcamy otrzymane wyrażenie (oznaczmy je $W$ ), stosując dwukrotnie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

W = {(10 t + 1)}^{4} - {(10 k + 3)}^{4} =

= [{(10 t + 1)}^{2} - {(10 k + 3)}^{2}] \cdot [{(10 t + 1)}^{2} + {(10 k + 3)}^{2}]

W = [(10 t + 1 - 10 k - 3) (10 t + 1 + 10 k + 3)] \cdot

\cdot [100 t^{2} + 20 t + 1 + 100 k^{2} + 60 k + 9]

W = (10 t - 10 k - 2) \cdot (10 t + 10 k + 4) \cdot (100 t^{2} + 100 k^{2} + 20 t + 60 k + 10)

W ostatnim iloczynie wspólny czynnik to $10$ , wyłączamy go przed nawias.

W = 10 \cdot (10 t - 10 k - 2) \cdot (10 t + 10 k + 4) \cdot (10 t^{2} + 10 k^{2} + 2 t + 6 k + 1)

Różnicę czwartych potęg dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $1$ , a druga przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$ , przedstawiliśmy w postaci iloczynu liczby $10$ i liczby całkowitej

(10 t - 10 k - 2) \cdot (10 t + 10 k + 4) \cdot (10 t^{2} + 10 k^{2} + 2 t + 6 k + 1),

zatem różnica ta dzieli się przez $10$ , co należało wykazać.

Polecenie 4

Nim zapoznasz się z animacją, przypomnij sobie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i korzystając z tego wzoru, rozłóż na czynniki różnicę $a^{4} - b^{4}$ .

R8jizvwGbcfvJ

Polecenie 5

Wykaż, że różnica czwartych potęg dwóch liczb naturalnych różniących się o $2$ jest podzielna przez $8$ .

A = {(n + 2)}^{4} - n^{4} = [{(n + 2)}^{2} - n^{2}] \cdot [{(n + 2)}^{2} + n^{2}]

A = (4 n + 4) \cdot (2 n^{2} + 4 n + 4) = 8 \cdot (n + 1) \cdot (n^{2} + 2 n + 2)

Rzv6qVuMvCy4R1

Ilustracja prezentuje mężczyznę w okularach, z brodą i wąsami. Mężczyzna zdaje się patrzeć w dal. — Dawid Hilbert (1862‑1943)
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Znamy już wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego. Obecnie pokażemy ich zastosowanie w dowodzeniu twierdzeń. Zastosujemy metodę wprost – czyli z założeń będziemy bezpośrednio wykazywać tezę.

Teoria dowodu to dział logiki matematycznej zajmujący się analizą pojęcia dowodu oraz sposobami zastosowania go w rozważaniach matematycznych.

Za prekursora teorii dowodu uważa się Dawida Hilberta, wybitnego matematyka niemieckiego z przełomu dziewiętnastego i dwudziestego wieku.

Dowodzenie nierówności

Wiemy już, że nierówności można przekształcać równoważnie. Do obu stron nierówności można dodać to samo wyrażenie, od obu stron nierówności można odjąć to samo wyrażenie, obie strony nierówności można pomnożyć przez tę samą liczbę, różną od zera. Przy czym, jeśli ta liczba jest ujemna, zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Teraz udowodnimydowodzenie (przeprowadzenie dowodu)udowodnimy kilka nierówności z zastosowaniem poznanych wzorów i własności potęgowania: kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Przykład 12

Uzasadnimy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ zachodzi nierówność $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ .

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności na lewą stronę.

a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci kwadratu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

(a - b)^{2} \geq 0

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nierówność jest prawdziwa.

Zauważ, że jeśli $a = b$ , to ${(a - b)}^{2} = 0$ , czyli $a^{2} + b^{2} - 2 a b = 0$ , zatem $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ .

Przykład 13

Wykażemy, że jeśli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ .

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

Zapisujemy nierówność, którą udowodniliśmy w Przykładzie 1. Wiemy już, że jest ona prawdziwa dla każdych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ .

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

Dzielimy obie strony nierówności przez $a b$ zakładając, że $a > 0$ i $b > 0$ .

\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} \geq \frac{2 a b}{a b}

Przekształcamy nierówność równoważnie.

\frac{a^{2}}{a b} + \frac{b^{2}}{a b} \geq \frac{2 a b}{a b}

Skracamy, otrzymując żądaną nierówność.

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

Zauważ, że jeśli $a = b$ , to $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2$ .

Przykład 14

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $5 (a^{2} + 2 b^{2}) \geq 12 a b$ .

5 (a^{2} + 2 b^{2}) \geq 12 a b

Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności z prawej strony na lewą stronę.

5 (a^{2} + 2 b^{2}) - 12 a b \geq 0

Wykonujemy wskazane działania.

5 a^{2} + 10 b^{2} - 12 a b \geq 0

Zapisujemy sumę stojącą po lewej stronie nierówności tak, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

4 a^{2} + 9 b^{2} - 12 a b + a^{2} + b^{2} \geq 0

Grupujemy wyrazy.

(4 a^{2} + 9 b^{2} - 12 a b) + (a^{2} + b^{2}) \geq 0

Zapisujemy wyrażenie stojące w pierwszym nawiasie za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

{(2 a - 3 b)}^{2} + (a^{2} + b^{2}) \geq 0

Po lewej stronie nierówności otrzymaliśmy sumę dwóch wyrażeń, które przyjmują wartości nieujemne dla każdych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ , zatem ich suma jest liczba nieujemną. Dowodzonadowodzenie (przeprowadzenie dowodu)Dowodzona nierówność jest więc prawdziwa.

Już wiesz

Wiemy już, że nierówności o tym samym zwrocie można dodać stronami (natomiast nie wolno odejmować takich nierówności stronami). Własność ta będzie nam pomocna w udowodnieniu kolejnej nierówności.

Przykład 15

Wykażemy, że dla każdych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ spełniona jest nierówność $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c$ .

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c

Dla liczb $a$ , $b$ , $c$ zapisujemy warunki, które wynikają z nierówności dowodzonejdowodzenie (przeprowadzenie dowodu)dowodzonej w Przykładzie 1.

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b

a^{2} + c^{2} \geq 2 a c

b^{2} + c^{2} \geq 2 b c

Dodajemy stronami zapisane nierówności.

a^{2} + b^{2} + a^{2} + c^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c

Redukujemy wyrazy podobne i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + a c + b c)

Dzielimy przez $2$ obie strony nierówności.

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c

Otrzymaliśmy żądaną nierówność.

Przykład 16

Przypomnijmy sobie sposób rozwiązywania nierówności podwójnych.

Rozwiążemy nierówność $x - 2 < 2 x < x + 9$ .

Przekształcamy nierówność równoważnie odejmując od każdego z członów $x$ . Otrzymujemy rozwiązanie.

$- 2 < x < 9$

Przykład 17

Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej $a > 7$ spełniona jest nierówność podwójna $\frac{2}{5} \sqrt{25 a - 1} < \sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1} < 2 \sqrt{a}$ .

Każdy z członów nierówności przyjmuje dla $a > 7$ wartości dodatnie. Możemy zatem przekształcić nierówność równoważnie, podnosząc każdy z członów do kwadratu.

$\frac{4}{25} (25 a - 1) < a + 1 + a - 1 + 2 \sqrt{a^{2} - 1} < 4 a$

Wykonujemy wskazane działania.

$4 a - \frac{4}{25} < 2 a + 2 \sqrt{a^{2} - 1} < 4 a$

Dodajemy $(- 2 a)$ .

$4 a - \frac{4}{25} - 2 a < 2 a - 2 a + 2 \sqrt{a^{2} - 1} < 4 a - 2 a$ $2 a - \frac{4}{25} < 2 \sqrt{a^{2} - 1} < 2 a$

Dzielimy każdy z członów nierówności przez $2$ .

$a - \frac{2}{25} < \sqrt{a^{2} - 1} < a$

Dla $a > 7$ każdy z członów nierówności przyjmuje wartości dodatnie, zatem możemy ponownie podnieść każdy człon do kwadratu.

$a^{2} - 2 \cdot \frac{2}{25} a + \frac{4}{625} < a^{2} - 1 < a^{2}$

Nierówność $a^{2} - 1 < a^{2}$ jest zawsze prawdziwa (jeśli $a > 7$ i $a$ jest liczbą naturalną), zatem wystarczy pokazać prawdziwość nierówności

$a^{2} - \frac{4}{25} a + \frac{4}{625} < a^{2} - 1$ .

Do obu stron nierówności dodajemy $(- a^{2} - \frac{4}{625})$ .

$a^{2} - \frac{4}{25} a + \frac{4}{625} - a^{2} - \frac{4}{625} < a^{2} - 1 - a^{2} - \frac{4}{625}$ $- \frac{4}{25} a < - 1 \frac{4}{625}$

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę stojącą przy $a$ , czyli przez $- \frac{4}{25}$ . Nie zapominamy przy tym, że dzielimy przez liczbę ujemną, czyli zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

$- \frac{4}{25} a < - 1 \frac{4}{625} |: (- \frac{4}{25})$

$a > \frac{629}{625} \cdot \frac{25}{4}$

$a > 6 \frac{29}{100}$

Z założenia wynika, że $a$ jest liczbą naturalną większą od $7$ , zatem nierówność $a > 6 \frac{29}{100}$ jest prawdziwa.

Wykazaliśmy zatem prawdziwość każdej z nierówności
$\frac{2}{5} \sqrt{25 a - 1} < \sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}$ i $\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1} < 2 \sqrt{a}$ ,
czyli i prawdziwość nierówności podwójnej
$\frac{2}{5} \sqrt{25 a - 1} < \sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1} < 2 \sqrt{a}$ .

Przykład 18

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej $a > 2$ prawdziwa jest nierówność $\frac{2}{3} \sqrt{9 a - 1} < \sqrt{a - 1} + \sqrt{a + 1} < 2 \sqrt{a}$

Rozwiązaniem nierówności są liczby $a > \frac{85}{36}$ , czyli $a > 2 \frac{13}{36}$ .

Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej $a$ większej od $2$ .

Porównywanie liczb

Wzory skróconego mnożenia w wielu wypadkach mogą być pomocne przy porównywaniu liczb rzeczywistych, w szczególności liczb zapisanych za pomocą potęg.

Przykład 19

Wykażemy, że $3^{100} - 2^{150} > 3^{50} - 2^{75}$ .

3^{100} - 2^{150} > 3^{50} - 2^{75}

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci różnicy kwadratów.

{(3^{50})}^{2} - {(2^{75})}^{2} > 3^{50} - 2^{75}

Rozkładamy na czynniki lewą stronę nierówności – ze wzoru na różnicę kwadratów.

(3^{50} + 2^{75}) (3^{50} - 2^{75}) > 3^{50} - 2^{75}

Chcemy podzielić obie strony nierówności przez $3^{50} - 2^{75}$ . Nie wiemy jednak, czy jest to liczba dodatnia, czy ujemna.

\frac{3^{50}}{2^{75}} = {(\frac{3^{2}}{2^{3}})}^{25} = {(\frac{9}{8})}^{25}

Aby to sprawdzić, zapisujemy iloraz $\frac{3^{50}}{2^{75}}$ w postaci jednej potęgi.

Ponieważ $9 > 8$ , zatem liczba $\frac{9}{8}$ jest większa od $1$ , czyli $9^{25} > 8^{25}$ , a co za tym idzie $3^{50} > 2^{75}$ . Wynika stąd, że $3^{50} - 2^{75} > 0$ .

$\frac{9}{8} > 1$ , stąd $9^{25} > 8^{25}$ , czyli $3^{50} - 2^{75} > 0$

Dzielimy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią $3^{50} - 2^{75}$ , zatem nie zmieniamy znaku nierówności.

(3^{50} + 2^{75}) (3^{50} - 2^{75}) > 3^{50} - 2^{75} / : (3^{50} - 2^{75})

Liczba $3^{50} + 2^{75}$ jest oczywiście większa od $1$ , zatem dowodzona równość jest prawdziwa, co należało wykazać.

3^{50} + 2^{75} > 1

Dowodzeniedowodzenie (przeprowadzenie dowodu)Dowodzenie równości

Przekształcając wyrażenia algebraiczne często szukamy jak najprostszych sposobów wykonywania wskazanych działań. I tu mogą być przydatne wzory skróconego mnożenia.

Przykład 20

Wykażemy, że dla każdej wartości zmiennej $x$ , wartość wyrażenia $W = 1 + x^{2} (x^{2} - 2) - {(1 - x)}^{2} \cdot {(1 + x)}^{2}$ jest liczbą naturalną.

W = 1 + x^{2} (x^{2} - 2) - {(1 - x)}^{2} \cdot {(1 + x)}^{2}

Zauważmy, że iloczyn kwadratów dwóch liczb może być zapisany w postaci kwadratu iloczynu tych liczb.

W = 1 + x^{2} (x^{2} - 2) - {[(1 - x) (1 + x)]}^{2}

Wykonujemy wskazane działania. W nawiasie kwadratowym iloczyn zamieniamy na sumę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

W = 1 + x^{4} - 2 x^{2} - {[1 - x^{2}]}^{2}

Potęgujemy – korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

W = 1 + x^{4} - 2 x^{2} - (1 + x^{4} - 2 x^{2})

Opuszczamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

W = 1 + x^{4} - 2 x^{2} - 1 - x^{4} + 2 x^{2}

W = 0

Wykazaliśmy, że wartość wyrażenia dla każdej liczby rzeczywistej $x$ jest równa $0$ .

Liczba $0$ jest liczbą naturalną, zatem wartość wyrażenia dla każdej liczby rzeczywistej $x$ jest liczbą naturalną, co należało wykazać.

Przykład 21

Udowodnimy prawdziwość równości $\frac{{(a + b)}^{2}}{4} + \frac{{(a - b)}^{2}}{4} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ dla każdych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ .

\frac{{(a + b)}^{2}}{4} + \frac{{(a - b)}^{2}}{4} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}

Sprowadzamy prawą stronę równości do mianownika $4$ i mnożymy obie strony nierówności przez $4$ .

\frac{{(a + b)}^{2}}{4} + \frac{{(a - b)}^{2}}{4} = \frac{2 a^{2} + 2 b^{2}}{4} / \cdot 4

Mamy teraz do udowodnienia znacznie prostszą równość.

{(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając z odpowiednich wzorów skróconego mnożenia.

L = a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

Lewa strona równości równa się prawej, zatem równość jest prawdziwa, co należało wykazać.

L = P

Polecenie 6

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. Spróbuj samodzielnie rozwiązać prezentowane tam zadania i dopiero następnie porównaj rozwiązania. Sformułuj każdy z problemów rozważanych na filmie w postaci twierdzenia.

Rw3aAuZXtdsuq

Polecenie 7

Wykaż, że dla $x > 3$ wartość wyrażenia $W = \sqrt{x^{2} - 6 x + 9} - \sqrt{9 + 6 x + x^{2}}$ jest liczbą całkowitą,

$W = |x - 3| - |3 + x| = x - 3 - 3 - x = - 6$

RWBV0BQdDKPMs1

Ćwiczenie 1

RcgUyyQ0pVyjt1

Ćwiczenie 2

Ra7T7eMqRCHnQ2

Ćwiczenie 3

RniN5dCaW4EzY2

Ćwiczenie 4

RGzabfOWvcFcO2

Ćwiczenie 5

R1NyFLlqzcQGI2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Zapisz w najprostszej postaci $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{\sqrt{20} - \sqrt{5}}}$ .

\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{\sqrt{20} - \sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{20}{\sqrt{20} - \sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{20 (\sqrt{20} + \sqrt{5})}{15}} = \sqrt{\frac{20 \cdot 3 \sqrt{5}}{15}} = 2 \cdot \sqrt{\sqrt{5}}

Ćwiczenie 8

Usuń niewymierność z mianownika ułamka $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{8}}$ .

\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{8}}{2 + 6 + 4 \sqrt{3} - 8} = \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

R3WxUPfVgmRnf1

Ćwiczenie 9

R12TQHAHP3ImL1

Ćwiczenie 10

R1byKCwhQpBJ92

Ćwiczenie 11

RDUurTdqfEoAS2

Ćwiczenie 12

ROwTC3cz8VFFb2

Ćwiczenie 13

RjPi6CDXNBG4z2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba

M = (3 n + 1) (3 n - 1) + {(3 n + 1)}^{2} + {(3 n - 1)}^{2}

w dzieleniu przez $9$ daje resztę $1$ .

M = 9 n^{2} - 1 + 9 n^{2} + 6 n + 1 + 9 n^{2} - 6 n + 1

M = 27 n^{2} + 1 = 9 \cdot 3 n^{2} + 1

Ćwiczenie 16

Wykaż, że liczba $(\sqrt{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{7}}) \cdot (773^{2} - 529^{2})$ jest podzielna przez $122$ .

(\sqrt{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{7}}) \cdot (773^{2} - 529^{2}) =

= \sqrt{4} \cdot (773 + 529) \cdot (773 - 529) = 122 \cdot 1302 \cdot 4

Ćwiczenie 17

Wykaż, że różnica kwadratów dwóch liczb niepodzielnych przez $3$ dzieli się przez $3$ .

Jeśli liczba nie dzieli się przez $3$ , to w dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ lub $2$ .

Rozpatrz przypadki: obie liczby w dzieleniu przez $3$ dają resztę $1$ , obie liczby w dzieleniu przez $3$ dają resztę $2$ , jedna liczba w dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ , a druga $2$ .

RHQhnPFNw4PMu1

Ćwiczenie 18

R1F40SESudoGR1

Ćwiczenie 19

R1Piq4zoAocu42

Ćwiczenie 20

ROLNsupinGmfM2

Ćwiczenie 21

R1GQB3AUEcmCD2

Ćwiczenie 22

R1FZZLYsjShNX2

Ćwiczenie 23

Ćwiczenie 24

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $W = 25 x^{2} + (5 x - 1) (5 x + 1) - {(5 x + 1)}^{2} - {(5 x - 1)}^{2}$ jest liczbą całkowitą.

W = 25 x^{2} + (5 x - 1) (5 x + 1) - {(5 x + 1)}^{2} - {(5 x - 1)}^{2}

W = 25 x^{2} + 25 x^{2} - 1 - 25 x^{2} - 10 x - 1 - 25 x^{2} + 10 x - 1

W = - 3

Ćwiczenie 25

Wykaż, że jeśli $a$ , $b$ , $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi to $(a - b) (a + b) - (c - b) (c + b) = (a - c) (a + c)$ .

(a - b) (a + b) - (c - b) (c + b) = a^{2} - b^{2} - c^{2} + b^{2} = a^{2} - c^{2} = (a - c) (a + c)

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę

liczba pierwsza

liczba naturalna $n$ , która ma tylko dwa dzielniki $1$ i $n$

liczba złożona

liczba naturalna, większa od $1$ , która ma więcej niż dwa dzielniki

liczby ani pierwsze, ani złożone

liczby $0$ i $1$

dowodzenie (przeprowadzenie dowodu)

wykazanie, że pewne zdanie matematyczne jest prawdziwe; poszczególne kroki dowodu muszą wynikać z poprzednich lub być aksjomatami

3. Różnica kwadratów

5. Wzory skróconego mnożenia na deser