3. Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

R1MdXLDVjuWf9

Pewnie zauważyłeś, że w architekturze często pojawia się kąt prosty. W jaki sposób taki kąt wyznaczyć w przestrzeni? Na takie pytanie może pomóc odpowiedzieć twierdzenie o trzech prostych prostopadłych. Pozwala ono stwierdzić, kiedy dwie proste są do siebie prostopadłe.

R1GCrw6foyRpp

Ilustracja przedstawia dom z zakrzywionymi oknami i drzwiami, na środku jest pokryty szklaną ścianą. — Krzywy domek, Sopot
Źródło: JANBUR, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Twoje cele

Poznasz twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.
Zastosujesz twierdzenie o trzech prostych prostopadłych w zadaniach.
Rozwiniesz umiejętność uzasadniania, że dany kąt jest kątem prostym.

Jeśli chcemy udowodnić, że dany kąt jest kątem prostym na płaszczyźnie, możemy użyć twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. Mówi ono, że jeśli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków trójkąta jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt ten jest prostokątny. Wiadomo również, że kątem prostym jest wtedy kąt leżący naprzeciw najdłuższego boku. Twierdzenie to jest jednym z narzędzi pozwalającym badać prostopadłość prostych. W tym materiale poznamy kolejne twierdzenie mówiące, kiedy dwie proste są prostopadłe. Zanim przejdziemy do omówienia samego twierdzenia i jego dowodu przypomnijmy pewne fakty.

Prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $p$ , jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawierającej się w płaszczyźnie $p$ i przechodzącej przez punkt wspólny prostej $k$ i płaszczyzny $p$ .

Rzutem prostopadłym punktu na płaszczyznę jest punkt przecięcia prostej prostopadłej do tej płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt z tą płaszczyzną.

Dane są przecinające się płaszczyzny $p$ i $q$ . Jeżeli prosta $k$ zawarta w płaszczyźnie $p$ jest prostopadła do dwóch prostych $l$ i $m$ zawartych w płaszczyźnie $q$ , gdzie proste $k$ , $l$ i $m$ przecinają się w jednym punkcie, to płaszczyzna $p$ jest prostopadła do płaszczyzny $q$ .

O trzech prostych prostopadłych

Twierdzenie: O trzech prostych prostopadłych

Dana jest płaszczyzna $α$ i prosta $k$ przecinająca tę płaszczyznę w punkcie $P$ . Niech $k'$ będzie rzutem prostopadłymrzutem prostopadłym prostej $k$ na płaszczyznę $α$ . Wtedy prosta $m$ zawarta w płaszczyźnie $α$ i przechodząca przez punkt $P$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $k'$ , czyli

$m\perp k\Leftrightarrow m'\perp k'$

R2BBGaXHXXyFM

Ilustracja przedstawia płaszczyznę. Przechodzą przez nią dwie proste, prosta m oraz prosta k prim. Są one względem siebie prostopadłe. Prosta k przecina płaszczyznę pod kątem 90 stopni. W miejscu przecięcia płaszczyzny powstaje punkt P.

Dowód

Ponieważ prosta $k'$ jest rzutem prostej $k$ na płaszczyznę $α$ , więc płaszczyzna wyznaczona przez proste $k$ i $k'$ jest prostopadła do płaszczyzny $α$ .

Oznaczmy tę płaszczyznę przez $β$ .
Poprowadźmy prostą $l$ zawartą w płaszczyźnie $β$ , prostopadłą do prostej $k'$ i przechodzącą przez punkt $P$ . Wtedy prosta $l$ jest prostopadła do płaszczyzny $α$ . Zatem prosta $l$ jest prostopadła do prostej $m$ .

Jeśli prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k'$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $β$ , gdyż jest prostopadła do dwóch prostych zawartych w tej płaszczyźnie: $k'$ i $l$ . Stąd prosta $m$ jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $β$ , w szczególności do prostej $k$ .

Jeśli prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $β$ , gdyż jest prostopadła do dwóch prostych zawartych w tej płaszczyźnie: $k$ i $l$ . Stąd prosta $m$ jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $β$ , w szczególności do prostej $k'$ .

Przykład 1

Na płaszczyźnie $p$ dane są dwa punkty $A$ i $B$ . Przez punkt $B$ przechodzi prosta $k$ nachylona pod kątem $60 °$ do płaszczyzny $p$ . Na prostej $k$ dany jest punkt $D$ , którego rzutem prostopadłymrzutem prostopadłym na płaszczyznę $p$ jest punkt $C$ .
Wiedząc, że $|A B| = 3$ , $|A C| = \sqrt{13}$ i $|B C| = 2$ obliczymy odległość pomiędzy punktami $A$ i $D$ .

Rozwiązanie

RQ6piYcelIhTM

Ilustracja przedstawia płaszczyznę p. Na płaszczyźnie umieszczono prostą oraz dwa punkty A i B. Przez płaszczyznę oraz punkt B przechodzi kolejna prosta oznaczona jako prosta k, która jest nachylona o 60 stopni do płaszczyzny p. Na prostej k zaznaczono punkt D, który dzięki rzutowi prostopadłemu na płaszczyznę tworzy punkt C.

Zauważmy, że ${|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} = {|A C|}^{2}$ , więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kąt $A B C$ jest kątem prostym.

Ponieważ prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B C$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B D$ , czyli trójkąt $A B D$ jest trójkątem prostokątnym.

Z trójkąta prostokątnego $B C D$ otrzymujemy $\frac{2}{|B D|} = \frac{1}{2}$ , czyli $|B D| = 4$ .

Z trójkąta prostokątnego $A B D$ otrzymujemy $|A D| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Przykład 2

Na płaszczyźnie $p$ dane są dwa punkty $A$ i $B$ . Przez punkt $B$ przechodzi prosta $k$ nachylona pod kątem $α$ do płaszczyzny $p$ . Na prostej $k$ dany jest punkt $D$ , którego rzutem prostopadłym na płaszczyznę $p$ jest punkt $C$ . Wiedząc, że $|A B| = |B D| = a$ i pole trójkąta $A B D$ wynosi $\frac{1}{2} a^{2}$ obliczymy pole trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Rmdg74iSJnGkc

Oznaczmy przez $β$ kąt $A B D$ . Wówczas $\frac{1}{2} a^{2} \sin β = \frac{1}{2} a^{2}$ , czyli $\sin β = 1$ . Stąd $β = 90 °$ .

Ponieważ prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B D$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B C$ .

Z trójkąta prostokątnego $B C D$ otrzymujemy $\frac{|B C|}{a} = \cos α$ , czyli $|B C| = a \cos α$ . Pole trójkąta prostokątnego $A B C$ wynosi $P = \frac{1}{2} a^{2} \cos α$ .

Przykład 3

Na płaszczyźnie $p$ dane są dwa punkty $A$ i $B$ . Przez punkt $B$ przechodzi prosta $k$ . Na prostej $k$ dany jest punkt $D$ , którego rzutem prostopadłym na płaszczyznę $p$ jest punkt $C$ . Wiedząc, że prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B C$ oraz stosunek pola trójkąta $A B C$ do pola trójkąta $A B D$ wynosi $s \leq 1$ wyznaczymy kąt, pod jakim prosta $k$ nachylona jest do płaszczyzny $p$ .

Rozwiązanie

R1RTV4268sK27

Ponieważ prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B C$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $k$ .

Oznaczmy kąt $C B D$ trójkąta prostokątnego $B C D$ przez $α$ . Kąt ten jest również kątem nachylenia prostej $k$ do płaszczyzny $p$ .

Ponieważ trójkąty $A B C$ i $A B D$ są prostokątne, więc $\frac{P_{△ A B C}}{P_{△ A B D}} = \frac{|A B| \cdot |B C|}{|A B| \cdot |B D|} = \frac{|B C|}{|B D|} = \cos α$ . Stąd $\cos α = s$ .

Prosta $k$ przecina płaszczyznę $p$ pod kątem $α$ spełniającym równanie $\cos α = s$ , gdzie $0 ° \leq α \leq 90 °$ .

Przykład 4

Dane są trzy punkty $A$ , $B$ i $C$ takie, że $|A C| = |B C|$ . Punkt $E$ jest środkiem odcinka $A B$ . Dany jest punkt $D$ taki, że prosta $D E$ jest prostopadła do prostej $A B$ . Uzasadnimy, że rzut prostopadły punktu $D$ na płaszczyznę $A B C$ należy do prostej $C E$ .

Rozwiązanie

RQO9JjhBRQCIO

Ilustracja przedstawia płaszczyznę na której zaznaczono trzy punkty A B i C. Odległość AC jest taka sama jak odległość BC. Punkt E jest środkiem odcinka AB. Nad płaszczyzną znajduję się punkt D, odcinek DE jest prostopadły do prostej AB.

Ponieważ trójkąt $A B C$ jest trójkątem równoramiennym $(|A C| = |B C|)$ , więc prosta $C E$ jest prostopadła do prostej $A B$ .

Niech punkt $F$ będzie rzutem prostopadłym punktu $D$ na płaszczyznę $A B C$ .

Ponieważ prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $D E$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $A B$ jest prostopadła do $E F$ .

Proste $A B$ , $C E$ i $E F$ leżą w jednej płaszczyźnie oraz prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $C E$ oraz $E F$ . Zatem proste $C E$ i $E F$ się pokrywają. Stąd punkt $F$ leży na prostej $C E$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj dokładnie poniższy aplet. Zastanów się, czy rozumiesz wszystkie kolejne kroki przedstawionego w nim rozumowania.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu. Zastanów się, czy rozumiesz wszystkie kolejne kroki przedstawionego w nim rozumowania.

Rh9zhSCTkafGR

Polecenie 2

Wyjaśnij na podstawie powyższego apletu, dlaczego, jeśli prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k'$ , to $m$ jest prostopadła do $k$ .

Wyjaśnij na podstawie opisu powyższego apletu, dlaczego, jeśli prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k'$ , to $m$ jest prostopadła do $k$ .

Z przeprowadzonej konstrukcji wynika, że prosta $m$ jest prostopadła do $l$ . Jeśli będzie również prostopadła do $k'$ , to będzie prostopadła do dwóch prostych zawartych w płaszczyźnie $β$ , czyli $m$ będzie prostopadła do płaszczyzny $β$ . Zatem $m$ będzie prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $β$ . W szczególności do prostej $k$ .

Polecenie 3

Dana jest płaszczyzna $α$ oraz prosta $k$ przecinająca tę płaszczyznę pod pewnym kątem w punkcie $P$ . Rzutem prostej $k$ na płaszczyznę $α$ jest prosta $k'$ . W prostej $k'$ zawarty jest odcinek $A B$ , którego środkiem jest punkt $P$ . Jaką miarę ma kąt pomiędzy symetralną odcinka $A B$ zawartą w płaszczyźnie $α$ a prostą $k$ . Odpowiedź uzasadnij.

Kąt prosty, gdyż kąt pomiędzy symetralną odcinka a odcinkiem jest kątem prostym. Stąd symetralna jest prostopadła do prostej $k'$ , czyli z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych jest prostopadła do prostej $k$ .

Ćwiczenie 1

Dany jest sześcian.

R7XTjaXQAvexg

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H. Po przekątnej ściany bocznej, przez odcinki AB oraz HG przebiega płaszczyzna

R1SxRAuWqF5G1

Ćwiczenie 2

Dany jest graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego o boku długości $a$ . Wysokość graniastosłupa wynosi $\sqrt{2} a$ .

R1cJWBaMD36sn

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego A B C D E F G H I J K L. Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa, przez odcinki CE oraz H L przebiega płaszczyzna.

R1HSRB1uNd1xm

W celu uzasadnienia, że czworokąt B C K G jest kwadratem, uzupełnij luki w tekście jednym z zamieszczonych określeń. Z trójkątów 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a C B H i E F L obliczamy długość odcinka, C H, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, E L, koniec długości odcinka, równa się1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a
Kąt w sześcianie foremnym ma miarę 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, więc z trójkątów 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a C E D i H L G
obliczamy długość odcinka, H L, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, C E, koniec długości odcinka, równa się1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a.
Ponieważ długość odcinka, H L, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, E L, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, L H, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, C H, koniec długości odcinka, więc czworokąt C E L H jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a.
Rzutem prostopadłym odcinka E L na płaszczyznę podstawy jest odcinek 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a oraz kąt C E F ma miarę 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a. Stąd prosta C E jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a do prostej E F, czyli z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych kąt C E L jest kątem 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a. Zatem romb C E L H jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a.

Ćwiczenie 3

RiG5vNa8huymm

Jeśli prosta $m$ byłaby prostopadła do prostej $k$ , to prosta $m$ byłaby prostopadła do prostej $k'$ . Stąd jeśli prosta $m$ nie jest prostopadła do prostej $k'$ , to prosta $m$ nie może być prostopadła do prostej $k$ .

Ćwiczenie 4

Dany jest graniastosłup o podstawie pięciokąta foremnego. Uzasadnij, że kąt $C A J$ nie jest kątem prostym.

RDGLhacn5yuPy

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie pięciokąta foremnego. A B C D E F G H I J. Przez podstawę przebiega przekątna AC, która tworzy z przekątną ściany bocznej A J pewien kąt.

Rzutem prostopadłym odcinka $A J$ na płaszczyznę podstawy jest odcinek $A E$ . Kąty pięciokąta foremnego mają miarę $108 °$ . Trójkąt $A C B$ jest trójkątem równoramiennym, więc kąt $B A C$ ma miarę $(180 ° - 108 °) : 2 = 36 °$ . Stąd kąt $C A E$ ma miarę $108 ° - 36 ° = 72 °$ . Ponieważ prosta $A C$ nie jest prostopadła do prostej $A E$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych wynika, że prosta $A C$ nie jest prostopadła do prostej $A J$ .

Ćwiczenie 5

REpz6URueDCiW

Dany jest ostrosłup A B C D, którego podstawą jest trójkąt prostokątny A B C, gdzie kąt A B C jest kątem prostym. Spodek wysokości E tego ostrosłupa należy do odcinka B C. Dobierz do każdego z stwierdzenia (a i b) odpowiadające mu uzasadnienie (A, B, C, D). a) Trójkąt A B D jest trójkątem prostokątnym. 1. D) Ponieważ odcinek B E jest rzutem prostokątnym odcinka B D na płaszczyznę A B C oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 2. C) Ponieważ odcinek A E jest rzutem prostokątnym odcinka A D na płaszczyznę A B C oraz

B C ⊥ D E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 3. A) Możemy tak wybrać punkt E, abyE, równa się, A., 4. B) Możemy tak wybrać punkt E, aby E, równa się, B.
b) Trójkąt B C D może być trójkątem prostokątnym. 1. D) Ponieważ odcinek B E jest rzutem prostokątnym odcinka B D na płaszczyznę A B C oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 2. C) Ponieważ odcinek A E jest rzutem prostokątnym odcinka A D na płaszczyznę A B C oraz

B C ⊥ D E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 3. A) Możemy tak wybrać punkt E, abyE, równa się, A., 4. B) Możemy tak wybrać punkt E, aby E, równa się, B.

Ćwiczenie 6

Dany jest ostrosłup $A B C D E$ , w którym prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ . Wykaż, że jeśli czworokąt $A B C D$ jest kwadratem, to wszystkie ściany boczne ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi.

RmLPRIKlUxHTI

Ilustracja przedstawia ostrosłup. A B C D E. Posiada cztery ściany boczne. Krawędź dwóch z nich tworzy wysokość ostrosłupa i są prostopadłe do podstawy.

Ponieważ prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ , więc $D E ⊥ A D$ i $D E ⊥ D C$ . Prosta $A D$ jest rzutem prostokątnym prostej $A E$ na płaszczyznę podstawy $A B C D$ oraz $A B ⊥ A D$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $A B ⊥ A E$ . Prosta $C D$ jest rzutem prostokątnym prostej $C E$ na płaszczyznę podstawy $A B C D$ oraz $B C ⊥ C D$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $B C ⊥ C E$ .

Ćwiczenie 7

R1QJIKnpapGTe

Ponieważ odcinek B E jest rzutem prostokątnym odcinka B D na płaszczyznę A B C oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥

... Z trójkąta prostokątnego A B C otrzymujemy długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Z trójkąta prostokątnego A B D otrzymujemy długość odcinka, A D, koniec długości odcinka, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Z trójkąta prostokątnego B E D otrzymujemy długość odcinka, B E, koniec długości odcinka, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Z trójkąta prostokątnego C E D otrzymujemy długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Połowa obwodu trójkąta A C D wynosi p, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Ze wzoru Herona pole trójkąta A C D wynosi P, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.

Ponieważ odcinek B E jest rzutem prostokątnym odcinka B D na płaszczyznę A B C oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥

Ćwiczenie 8

Dany jest ostrosłup $A B C D E$ , w którym podstawą jest kwadrat o boku długości $a$ . Prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ . Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej wynosi $(3 + \sqrt{5}) a^{2}$ wyznaczyć długość wysokości tego ostrosłupa.

R1DXsD5p7NHE2

Odcinek $D E$ jest wysokością tego ostrosłupa. Oznaczmy go przez $H$ . Ponieważ kąty $A D E$ , $C D E$ , $B A E$ i $B C E$ są kątami prostymi, więc $|A E| = |C E| = \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ oraz $P_{A D E} = P_{C D E} = \frac{1}{2} a H$ i $P_{A B E} = P_{B C E} = \frac{1}{2} a \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ .

Stąd $P_{c} = a^{2} + a H + a \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ .

Zatem

$a^{2} + a H + a \sqrt{a^{2} + H^{2}} = (3 + \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$a \sqrt{a^{2} + H^{2}} = (2 + \sqrt{5}) a^{2} - a H$ ,

$\sqrt{a^{2} + H^{2}} = (2 + \sqrt{5}) a - H$ ,

${(\sqrt{a^{2} + H^{2}})}^{2} = {((2 + \sqrt{5}) a - H)}^{2}$ , dla $(2 + \sqrt{5}) a \geq H$ ,

$a^{2} + H^{2} = (9 + 4 \sqrt{5}) a^{2} - 2 (2 + \sqrt{5}) a H + H^{2}$ ,

$2 (2 + \sqrt{5}) a H = (8 + 4 \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$2 (2 + \sqrt{5}) a H = 4 (2 + \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$H = 2 a$ .

Ponadto $(2 + \sqrt{5}) a \geq 2 a$ .

Zatem $H = 2 a$ jest rozwiązaniem.

Słownik

rzut prostopadły punktu na płaszczyznę

punkt przecięcia prostej prostopadłej do tej płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt z tą płaszczyzną

2. Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni

4. Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt dwuścienny

3. Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

Słownik