• Wyznaczysz rzut prostokątny prostej na płaszczyznę.

• Wyznaczysz kąt między prostą a płaszczyzną w przestrzeni.

• Określisz definicję kąta dwuściennego.

• Rozpoznasz kąty dwuścienne w bryłach geometrycznych.

Niech punktem wspólnym prostej $k$ przebijającej płaszczyznę $\pi$ będzie $A$. Mówimy, że prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, jeśli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $\pi$ przechodzącej przez punkt $A$.

RmXzQa4DXjbUQ

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę oznaczoną pi, która zawiera dwie proste przecinające się w punkcie A. Narysowano prostą k, prostopadłą do obu prostych oraz przebijającą płaszczyznę pi w punkcie A.

Rzutem równoległym na płaszczyznę $\pi$ w kierunku prostej $k$ nazywamy takie przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej, które każdemu punktowi $X$ tej przestrzeni przyporządkowuje punkt $X\text{'}$ płaszczyzny $\pi$, będący punktem przecięcia płaszczyzny $\pi$ oraz prostej równoległej do $k$ przechodzącej przez punkt $X$. Płaszczyznę $\pi$ w tym przekształceniu nazywamy rzutnią. Jeżeli punkt $X$ leży na rzutni, to obraz $X$ w rzutowaniu jest równy $X\text{'}$.

R79EHj7B4lntH

Na ilustracji przedstawiono dwa rysunki. Na rysunku pierwszym przedstawiono prostą k, stanowiącą kierunek rzutowania, która przebija płaszczyznę pi, czyli rzutnię. Na rysunku drugim dorysowano drugą prostą, na której zaznaczono punkt X oraz pod nim punkt X prim, stanowiący rzut punktu X w kierunku prostej k.

O rzucie prostokątnym mówimy wówczas, gdy prosta będąca kierunkiem rzutowania jest prostopadła do rzutni.

R6N13b6lociyT

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę pi, która stanowi rzutnię. Narysowano prostą k, która stanowi prostą prostopadłą do rzutni w punkcie A. Obok narysowano prostą, na której zaznaczono punkt X oraz poniżej punkt X prim, będący rzutem prostokątnym punktu X.

Jeżeli prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $\pi$ (czyli nie ma z nią punktów wspólnych lub jest w niej zawarta w całości), to przyjmujemy, że kąt między $k$ a $\pi$ ma miarę $0°$.

Jeżeli prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$prosta prostopadła do płaszczyznyprosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, to przyjmujemy, że kąt między $k$ a $\pi$ ma miarę $90°$.

Jeżeli prosta $k$ nie jest ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny $\pi$, to kąt między $k$ a $\pi$ definiujemy jako kąt między $\pi$ a rzutem prostokątnym prostej $k$ na płaszczyznę $\pi$.

R1MqInJxL4ajA

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie A, pod kątem ostrym. Na prostej zaznaczono punkty B, C i D. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt A, na którą zrzutowano punkty B, C i D i zaznaczono odpowiednio punkty B prim, C prim, D prim.

Odcinek $AB$ ma długość $5$ i jest nachylony do płaszczyzny $\pi$ pod kątemkąt między prostą, a płaszczyznąnachylony do płaszczyzny $\pi$ pod kątem $30°$. Obliczymy, jaką długość ma rzut prostokątny odcinka $AB$ na płaszczyznę $\pi$.

Rozwiązanie

Niech $A\text{'}$ i $B\text{'}$ oznaczają odpowiednio rzuty prostokątnerzut prostokątnyrzuty prostokątne punktów $A$ i $B$ na płaszczyznę $\pi$. Poprowadźmy proste $AB$ oraz $A\text{'}B\text{'}$. Zauważmy, że prosta $A\text{'}B\text{'}$ jest rzutem prostokątnym na $\pi$ prostej $AB$.

R10MGiDqHzKxj

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie O, pod kątem 30 stopni. Na prostej zaznaczono punkty A i B. Punkt B znajduje się poniżej punktu A. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt O, na którą zrzutowano punkty A oraz B i zaznaczono odpowiednio punkty A prim, B prim.

Możemy dorysować prostą $k$ równoległą do prostej $A\text{'}B\text{'}$ przechodzącą przez punkt $B$. Nazwijmy punkt wspólny prostych $AA\text{'}$ oraz $k$ przez $C$.

RztdE6JC0vWpr

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie O, pod kątem 30 stopni. Na prostej zaznaczono punkty A i B. Punkt B znajduje się poniżej punktu A. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt O, na którą zrzutowano punkty A oraz B i zaznaczono odpowiednio punkty A prim, B prim. Poprowadzono prostą równoległą do płaszczyzny pi, przechodzącą przez punkt B.

Wówczas utworzony trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym o jednym z kątów o mierze $30°$ oraz przeciwprostokątnej długości $5$.

R1cESjL5aFoje

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie O, pod kątem 30 stopni. Na prostej zaznaczono punkty A i B. Punkt B znajduje się poniżej punktu A. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt O, na którą zrzutowano punkty A oraz B i zaznaczono odpowiednio punkty A prim, B prim. Poprowadzono prostą równoległą do płaszczyzny pi, przechodzącą przez punkt B. $\angle BCA$ wynosi 90 stopni.

Z własności trójkąta o kątach $90°$, $60°$, $30°$ (ekierkowego) wynika, że $\left|BC\right|=2,5\sqrt{3}$. Ponieważ $BC\parallel B\text{'}A\text{'}$, więc $\left|B\text{'}A\text{'}\right|=2,5\sqrt{3}$.

Na poniższym rysunku zaznaczono punkt $A$ o współrzędnych $\left(3,4,5\right)$, jego rzuty prostokątne na płaszczyzny $XY$, $XZ$ i $YZ$ oraz rzuty na osie $X$, $Y$ i $Z$.

RuR3HnYH3wh0N

Na ilustracji przedstawiono trzy osie X, Y oraz Z parami prostopadłe, przecinające się w jednym punkcie. Kolorem czerwonym oznaczono oś X od -7 do siedmiu, kolorem zielonym oś Y od -7 do siedmiu oraz kolorem niebieskim oś Z od -3 do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono następujące punkty. Punkt A o współrzędnych $\left(3,4,5\right)$, $A\text{'}\left(3,0,0\right)$, $A\text{'}\text{'}\left(0,4,0\right)$, $A\text{'}\text{'}\text{'}\left(0,0,5\right)$, $B\left(3,4,0\right)$, $C\left(3,0,5\right)$, $D\left(0,4,5\right)$.

Dane są dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi, które dzielą przestrzeń na dwie części.

Kątem dwuściennym nazywamy sumę dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

RUSbLKiEUTl4X

Ilustracja przedstawia kąt dwuścienny. Składa się on z dwóch półpłaszczyzn podpisanych jako ściany, połączonych jedną krawędzią. Wnętrzem kąta jest obszar, który półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

Wspólną krawędź półpłaszczyzn nazywamy krawędzią kąta dwuściennego, a półpłaszczyzny – ścianami kąta dwuściennego.

Na poniższym rysunku ostrosłupaostrosłupostrosłupa czworokątnego zaznaczono pewien kąt dwuścienny. Opiszemy etapy wyznaczania tego kąta.

R18hIeEMcepjG

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny z zaznaczoną przekątną podstawy. Z obu końców przekątnej podstawy upuszczono dwie wysokości ścian bocznych ostrosłupa, które spotykają się w jednym punkcie należącym do bocznej krawędzi ostrosłupa. Kąt dwuścienny alfa znajduje się pomiędzy dwoma wysokościami.

Rozwiązanie:

1. Wyznaczamy krawędź wspólną sąsiednich ścian bocznych – jest to krawędź boczna ostrosłupa.

2. Na wybranych ścianach bocznych wykreślamy odcinki, które są prostopadłe do wyróżnionej krawędzi bocznej.

3. Narysowane odcinki są wysokościami trójkątów będących ścianami bocznymi ostrosłupa.

4. Kąt pomiędzy narysowanymi odcinkami jest kątem dwuściennym.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}F\text{'}$.

RouDRv3NkWMEW

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F A prim, B prim, C prim, D prim, E prim, F prim. Dolna podstawa składa się z sześciokąta foremnego A B C D E F, natomiast podstawa górna z sześciokąta foremnego A prim, B prim, C prim, D prim, E prim, F prim.

Wyznaczymy krawędź oraz ściany kąta dwuściennego, będącego kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi w tym graniastosłupie.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że istnieje dokładnie $12$ takich kątów.

Jednym z nich jest kąt, w którym:

• krawędź to odcinek $CC\text{'}$,

• ściany to półpłaszczyzny $BCC\text{'}B\text{'}$ oraz $CDD\text{'}C\text{'}$.

Pozostałe krawędzie oraz ściany kątów dwuściennych podaje się analogicznie.

Na rysunku przedstawiono sześcian o krawędzi $a$ z zaznaczoną płaszczyzną $\pi$ przechodzącą przez przekątne przeciwległych ścian bocznych. Opiszemy zaznaczone kąty $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ z rysunku.

RArIzBYzbMAib

Ilustracja przedstawia sześcian o krawędzi $a$. Na ilustracji została zaznaczona płaszczyzna znajdująca się pomiędzy przekątnymi naprzeciwległych boków sześcianu oraz przez krawędzie wspólne dla obu podstaw i pozostałych boków. Kąty alfa oznaczono jako kąty pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi sześcianu, kąt beta jako nachylenie płaszczyzny do podstawy sześcianu oraz kąt gamma jako nachylenie płaszczyzny do ściany bocznej.

Rozwiązanie:

Na rysunku zaznaczono poniższe kąty dwuścienne:

$\alpha$ – kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi sześcianu,

$\beta$ – kąt nachylenia płaszczyzny $\pi$ do płaszczyzny podstawy sześcianu,

$\gamma$ – kąt nachylenia płaszczyzny $\pi$ do ściany bocznej sześcianu.

Na rysunku zaznaczono kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną przechodzą przez przekątną podstawy sześcianu i jeden z wierzchołków górnej podstawy, a płaszczyzną podstawy tego sześcianu. Wyznaczymy długości odcinków $x$ oraz $y$, które są zawarte w ramionach tego kąta, wiedząc o tym, że krawędź prostopadłościanuprostopadłościanprostopadłościanu ma długość $a$.

R1QKjNxYz60Ad

Ilustracja przedstawia sześcian o krawędzi $a$. Na ilustracji została zaznaczona płaszczyzna znajdująca się pomiędzy przekątną podstawy oraz dwoma przekątnymi sąsiadujących ze sobą ścian. naprzeciwległych boków sześcianu oraz przez krawędzie wspólne dla obu podstaw i pozostałych boków. Kąty alfa oznaczono jako kąty pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi sześcianu, kąt beta jako nachylenie płaszczyzny do podstawy sześcianu oraz kąt gamma jako nachylenie płaszczyzny do ściany bocznej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że odcinek $x$ jest równy połowie długości przekątnej podstawy sześcianu, zatem:

$x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Długość odcinka $y$ możemy wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa, korzystając z trójkąta prostokątnego, jak na poniższym rysunku.

RnrKLKn9BMPyo

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. W dolnej części rysunku znajduje się krótsza przyprostokątna, której długość wynosi $x$. Długość drugiej przyprostokątnej wynosi $a$, zaś długość przeciwprostokątnej $y$. Na rysunku zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy krótszą przyprostokątna i przeciwprostokątną oraz kąt prosty

Zatem:

$x^2+a^2=y^2$

${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+a^2=y^2$

$\frac{a^2}{2}+a^2=y^2$

$y^2=\frac{3a^2}{2}$

$y=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Istnieją również kąty wielościenne. Kąt wielościenny jest częścią przestrzeni, domkniętą skończoną liczbą kątów płaskich, które mają wspólny wierzchołek i każde dwa następne kąty mają wspólne ramię.

prosta, która ma z daną płaszczyzną dokładnie jeden punkt wspólny

prosta $k$ przebijająca płaszczyznę $\pi$ w punkcie $A$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w $\pi$ przechodzącej przez $A$

rzutem prostokątnym na płaszczyznę $\pi$ nazywamy takie przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej, które dowolnemu punktowi $X$ przyporządkowuje taki punkt $X\text{'}$ należący do $\pi$, że prosta $XX\text{'}$ jest prostopadła do $\pi$

1) jeżeli prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $\pi$, to kąt między nimi jest równy $0°$;

2) jeżeli prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, to kąt między nimi jest równy $90°$;

3) jeżeli prosta $k$ jest przebija płaszczyznę $\pi$, ale nie jest do niej prostopadła, to kąt między nimi jest równy kątowi między $\pi$ a rzutem prostokątnym $k$ na $\pi$

równoległościan, w którym dowolne dwie ściany mające wspólną krawędź są prostopadłe

wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne trójkątami o wspólnym wierzchołku