4. Kąty w walcu

RRdvcwIimvN7S

W walcach wyróżniamy różnego typu odcinki: promień i średnicę podstawy, wysokość, tworzącą, przekątną przekroju osiowego, przekątne innych przekrojów. Odcinki te tworzą kąty i to nimi będziemy zajmować się w pierwszej części materiału.

Twoje cele

Rozpoznasz kąty pomiędzy odcinkami w walcu i obliczysz ich miary.
Obliczysz długości odcinków, pole powierzchni, objętość, pole przekroju walca, w którym dany będzie kąt pomiędzy odcinkami.
Nauczysz się zaznaczać kąty między płaszczyznami a odcinkami w walcu.
Wykorzystasz związki miarowe geometrii płaskiej do rozwiązywania zagadnień związanych z geometrią przestrzenną.

Kąty między odcinkami w walcu

Najważniejszymi odcinkami w walcu są: wysokość, promień podstawy, średnica podstawy i przekątna przekroju osiowegoprzekrój osiowy bryły obrotowejprzekroju osiowego.

Przypomnijmy, że przekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach $2 r \times h$ . Przekątna przekroju osiowego ma więc długość $\sqrt{4 r^{2} + h^{2}}$ .

ReH2Vhs3NsskF

Ilustracja przedstawia walec oraz jego przekrój osiowy będący prostokątem wewnątrz bryły.

Na rysunku poniżej zaznaczono kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a promieniem (średnicą) podstawy.

R11yVoZDG6oWl

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach H na dwa r, gdzie H jest wysokością walca, natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju o długości p będącą pod kątem alfa do płaszczyzny podstawy.

Trójkąt, którego bokami są średnica podstawy, wysokość walca i przekątna przekroju osiowego jest trójkątem prostokątnym.

Przykład 1

Obliczymy miarę kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do średnicy podstawy, jeżeli wysokość walca jest dwukrotnie dłuższa od promienia podstawy.

Rozwiązanie:

Jeżeli wysokość jest dwukrotnie dłuższa od promienia podstawy, to znaczy, że średnica ma długość równą długości wysokości. A zatem trójkąt prostokątny, którego bokami są średnica, wysokość i przekątna jest równoramienny. Szukany kąt ma więc miarę $45 °$ .

Przykład 2

Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a średnicą podstawy walca ma miarę $68 °$ . Obliczymy objętość i pole powierzchni tego walca, jeżeli wysokość tego walca wynosi $10 cm$ .

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RNz4oXHVTDRDZ

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach 10 na dwa r, gdzie wysokość ma długość dziesięć natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem sześćdziesięciu ośmiu stopni do płaszczyzny podstawy.

Mamy, że $tg 68 ° = \frac{10}{2 r}$

Czyli $\frac{5}{r} \approx 2, 4751$ , a stąd $r \approx 2, 02$ .

Mamy więc $V = π \cdot {(2, 02)}^{2} \cdot 10 \approx 40, 8 π$ oraz $P_{c} = 2 π \cdot 2, 02 \cdot (2, 02 + 10) \approx 48, 56 π$ .

Wysokość walca, która zawiera się w jego powierzchni bocznej, nazywamy tworzącą walca. Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a tworzącą walca.

RxIFAoaUfdzQm

Ilustracja przedstawia walec oraz jego przekrój osiowy będący prostokątem wewnątrz bryły. W prostokącie poprowadzono przekątną oraz zaznaczono kąt alfa przy górnej podstawie walca stworzonym z wysokości walca oraz przekątnej prostokąta.

Przykład 3

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $17$ , a promień $4$ . Obliczymy tangens kąta pomiędzy przekątną tego przekroju a tworzącą.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1Ok4lOsdH8bh

Obliczymy $h$ z z twierdzenia Pitagorasa: $8^{2} + h^{2} = 17^{2}$ , a stąd $h = 15$ . A zatem $tg α = \frac{8}{15}$ .

Uwaga!

Suma miar kątów pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a promieniem podstawy oraz pomiędzy przekątną przekroju osiowego, a tworzącą wynosi $90 °$ .

Przykład 4

Kąt pomiędzy przekątnymi pewnego przekrojuprzekrój bryłyprzekroju walca, prostopadłego do podstawy i odległego od środka o $5$ , ma miarę $37 °$ . Obliczymy pole tego przekroju wiedząc, że promień walca ma długość $13$ , a wysokość walca jest krótsza od boku przekroju zawartego w podstawie.

Rozpatrzmy teraz przekrój walca prostopadły do podstawy, różny od przekroju osiowego. Przekrój ten również ma kształt prostokąta.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1aSeD3hLETkJ

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem. W prostokącie o wymiarach h na dwa x, zaznaczono dwie przekątne przecinające się w środku prostokąta. Przecięcia te utworzyły trójkąt równoramienny o podstawie h oraz długości ramion y. Kąt pomiędzy ramionami tego trójkąta wynosi trzydzieści siedem stopni. Ze środka górnej podstawy walca poprowadzony dwa odcinki, pierwszy prostopadły odcinek o długości pięć, dzielący dłuższy bok przekroju zawartego w górnej podstawie na pół. Drugim odcinkiem jest promień podstawy walca o długości trzynaście, łączący środek okręgu z końcem dłużej ściany bocznej prostokąta zawartej w górnej podstawie bryły. Powstał prostokątny zawarty w podstawie walca, o długości przyprostokątnych pięć oraz x, oraz przeciwprostokątnej o długości trzynaście .

Obliczymy długość boku przekroju zawartego w podstawie walca:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: $5^{2} + x^{2} = 13^{2}$ . A zatem $x = 12$ .

Stąd bok przekroju zawarty w podstawie ma długość $24$ .

Obliczymy długość przekątnych tego przekroju z twierdzenia cosinusów:

$y^{2} + y^{2} - 2 y^{2} \cos 143 ° = 24^{2}$

A stąd $3, 5972 y^{2} = 576$ , a zatem $y \approx 12, 65$ . Cała przekątna ma więc długość około $25, 3$ .

Pole przekroju możemy obliczyć ze wzoru $P = \frac{1}{2} p^{2} \sin α$ , gdzie $p$ jest długością przekątnej, a $α$ miarą kąta pomiędzy przekątnymi. Mamy więc $P \approx \frac{1}{2} \cdot {(25, 3)}^{2} \cdot 0, 6018 \approx 192, 6$ .

Łącząc każdy z punktów na okręgu podstawy walca ze środkiem drugiej podstawy otrzymujemy odcinki, które są tworzącymi stożka o tej samej wysokości i tym samym promieniu co walec.

Rg9UlpoiMegBP

Ilustracja przedstawia walec oraz stożek posiadający ten samą podstawę co walec. Stożek ten został utworzony poprzez połączenie wszystkich punktów na okręgu w górnej podstawie walca ze środkiem przeciwległej podstawy bryły.

Mówimy wtedy, że stożek jest wpisany w walec.

Przykład 5

Dany jest walec o promieniu $3$ i wysokości $4$ . W walcu tym poprowadzono przekrój osiowy. Obliczymy miarę kąta pomiędzy odcinkami łączącymi wierzchołki dłuższego boku przekroju ze środkiem drugiej podstawy. Odpowiemy na pytanie, czym ten kąt jest dla stożka powstałego przez połączenie punktów na brzegu podstawy ze środkiem drugiej podstawy.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R13MWhrOoZGuf

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że odcinek $x$ ma długość $5$ . Obliczymy miarę kąta $α$ z twierdzenia cosinusów:

$6^{2} = 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos α$

A zatem $\cos α = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} = 0, 28$ . Stąd $α \approx 74 °$ .

Dla stożka wpisanego w walec kąt ten jest kątem rozwarcia stożka.

Polecenie 1

Ustaw długość promienia na $4$ i długość wysokości na $8$ . Odczytaj z rysunku miary kątów pomiędzy przekątną przekroju osiowego a tworzącą, przekątną przekroju osiowego a średnicą podstawy oraz pomiędzy przekątnymi przekroju osiowego. Sprawdź swoją odpowiedź z apletem.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu.

RT7BAa7hIRKIW

Polecenie 2

Na podstawie apletu odpowiedz na pytanie: Kiedy kąt pomiędzy przekątnymi, który jest zaznaczony na rysunku, jest rozwarty?
Wprowadźmy oznaczenia: $α$ – kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a tworzącą; $β$ – kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a średnicą podstawy oraz $γ$ – kąt pomiędzy przekątnymi (zaznaczony na rysunku w aplecie). Określ związki między tymi kątami.

Kąt pomiędzy przekątnymi jest rozwarty, gdy wysokość jest krótsza od średnicy podstawy walca.
$γ = 180^{\circ} - 2 β = 2 α$

Kąty między płaszczyznami a odcinkami w walcu

W tej części materiału wykorzystamy definicję kąta między prostą a płaszczyznąkąt pomiędzy prostą a płaszczyznąkąta między prostą a płaszczyzną. Przeanalizujemy zadania dotyczące kątów jakie możemy wykreślić w walcu pomiędzy jego płaszczyzną podstawy a odpowiednim odcinkiem.

Zapoznaj się z apletem Geogebry i zaznacz odpowiednio kąty:

kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy;
kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a wysokością walca;
kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a płaszczyzną podstawy;
kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a wysokością walca.

R1MLH7nfX3mKJ

Zwróć uwagę, że do zaznaczenia poszczególnych kątów wystarczy wykreślić sam przekrój osiowy walca. Spostrzeżenie to pomoże nam zaplanować strategię rozwiązania zadań.

Przykład 6

Pole powierzchni przekroju osiowego walca wynosi $24 \sqrt{3} {cm}^{2}$ . Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy walca ma miarę $30 °$ . Oblicz objętość walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R18ckhiHndtOe

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną B D. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek A D został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B D został zaznaczony kąt o mierze trzydziestu stopni, który znajduje się przy wierzchołu B.

$H = |D A|$ - długość wysokości walca;
$2 r = |A B|$ - długość średnicy podstawy walca.

Objętość walca obliczymy ze wzoru $V_{w} = π r^{2} H$ .

Z warunków zadania otrzymujemy zależności $2 r \cdot H = 24 \sqrt{3}$ i $\frac{H}{2 r} = tg 30 °$ .

Wyznaczając z drugiej zależności $H = 2 r \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ i podstawiając odpowiednio do pierwszej zależności, otrzymujemy $2 r \cdot 2 r \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 24 \sqrt{3}$ .

Wynika stąd, że $r = 3 \sqrt{2}$ i $H = 2 \sqrt{6}$ . Ostatecznie objętość walca wynosi $V_{w} = π {(3 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{6}$ stąd $V_{w} = 36 \sqrt{6} π {cm}^{3}$ .

Przykład 7

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o przekątnej długości $k$ i tworzy ona z wysokością walca kąt miary $α$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy rysunek pomocniczy. Prostokąt $A B C D$ przedstawia powierzchnię boczną walca.

Re3snuLzRKKsm

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną B D o długości k. Odcinek A B ma długość dwa pi r, natomiast odcinek A D został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B D został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku D.

Przyjmijmy oznaczenia:
$H = |A D|$ - długość wysokości walca;
$2 π r = |A B|$ - obwód okręgu tworzącego podstawę walca, gdzie $r$ oznacza długość promienia podstawy walca;
$k = |D B|$ - długość przekątnej powierzchni bocznej walca po rozwinięciu;
$α = |∢ A D B|$ - miara kąta pomiędzy wysokością walca a przekątną powierzchni bocznej walca.

Pole całkowite walca obliczymy ze wzoru $P = 2 π r (r + H)$ . Zauważmy, że z trójkąta $A B D$ otrzymujemy zależności: $\frac{H}{k} = \cos α$ i $\frac{2 π r}{k} = \sin α$ , stąd $H = k \cos α$ i $r = \frac{k \sin α}{2 π}$ .

Wynika stąd, że $P = k \sin α (\frac{k \sin α}{2 π} + k \cos α) = k^{2} (\frac{\sin^{2} α}{2 π} + \sin α \cos α)$ .

Przykład 8

Wysokość walca ma długość $8 cm$ . Przekątne przekroju osiowego walca przecinają się pod kątem $60 °$ . Oblicz pole powierzchni bocznej walca. Rozważ dwa przypadki.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

RPoZO91yUMWrB

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty. Pierwszy przypadek. Prostokąt A B C D z zaznaczonymi przekątnymi B D i A C. Miejsce przecięcia się przekątnych zostało oznaczone jako E. Powstał kąt B E C o mierze sześćdziesięciu stopni. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C ma długość osiem. Przypadek drugi. . Prostokąt A B C D z zaznaczonymi przekątnymi B D i A C. Miejsce przecięcia się przekątnych zostało oznaczone jako E. Powstał kąt A E B o mierze sześćdziesięciu stopni. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C ma długość osiem.

$H = |B C| = 8$ - długość wysokości;
$|A B| = 2 r$ - długość średnicy podstawy walca.

Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru $P_{b} = 2 π r H$ .

Przypadek 1

Zauważmy, że trójkąt $B E C$ jest trójkątem równobocznym, zatem $|E B| = |A E| = 8$ i $|∢ A E B| = 120 °$ . Z trójkąta $A E B$ i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność ${(2 r)}^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120 °$ , dalej mamy $4 r^{2} = 128 - 128 \cdot (- \frac{1}{2})$ , stąd $r = 4 \sqrt{3}$ .

Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem $P_{b} = 2 π \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 8 = 64 \sqrt{3} π {cm}^{2}$ .

Przypadek 2

Zauważmy, że trójkąt $A E B$ jest trójkątem równobocznym, zatem $|B E| = |C E| = 2 r$ i $|∢ B E C| = 120 °$ . Z trójkąta $B E C$ i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność $8^{2} = {(2 r)}^{2} + {(2 r)}^{2} - 2 \cdot 2 r \cdot 2 r \cdot \cos 120 °$ , dalej mamy $64 = 8 r^{2} - 8 r^{2} \cdot (- \frac{1}{2})$ , stąd $r = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem $P_{b} = 2 π \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 8 = \frac{64 \sqrt{3} π}{3} {cm}^{2}$ .

Przykład 9

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe $12 π {cm}^{2}$ , a pole jego powierzchni bocznej wynosi $8 π {cm}^{2}$ . Wyznacz miarę kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy walca i przyjmujemy oznaczenia:

R1FWwCaapzANw

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku A.

$H = |B C|$ - długość wysokości walca;
$2 r = |A B|$ - długość średnicy podstawy walca;
$α = |∢ C A B|$ - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Z warunków zadania mamy $2 π r (r + H) = 12 π$ i $2 π r H = 8 π$ . Wyznaczmy z drugiej zależności $H = \frac{4}{r}$ i podstawmy odpowiednio do równania $2 π r (r + H) = 12 π$ . Stąd mamy $2 r (r + \frac{4}{r}) = 12$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą $r : r^{2} = 2$ , zatem $r = \sqrt{2}$ . Wynika stąd, że $H = 2 \sqrt{2}$ . Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem $α = 45 °$ .

Przykład 10

Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej jest równy $2 : 3$ . Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy przekątna przekroju osiowego walca z jego podstawą.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

Rox1XGU2ha40I

$H = |B C|$ - długość wysokości walca;
$2 r = |A B|$ - długość średnicy podstawy walca;
$α = |∢ C A B|$ - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Z warunków zadania mamy zależność $\frac{P_{b}}{P} = \frac{2}{3}$ , gdzie $P_{b}$ oznacza pole powierzchni bocznej walca i $P$ pole powierzchni całkowitej walca. Mamy zatem $\frac{2 π r H}{2 π r (r + H)} = \frac{2}{3}$ . Stąd po uproszczeniu $\frac{H}{r + H} = \frac{2}{3}$ . Należy wyznaczyć tangens kąta $α$ , zatem z trójkąta $A B C$ mamy $tg α = \frac{H}{2 r}$ . Zauważmy, że $\frac{r + H}{H} = \frac{3}{2}$ , stąd $\frac{r}{H} + 1 = \frac{3}{2}$ , stąd $\frac{r}{H} = \frac{1}{2}$ , dalej mamy $\frac{2 r}{H} = 1$ , a stąd $\frac{H}{2 r} = 1$ . Ostatecznie $tg α = 1$ .

Polecenie 3

Rozważmy odcinek łączący brzeg podstawy walca, czyli dowolny punkt okręgu podstawy, ze środkiem drugiej podstawy. W galerii zdjęć interaktywnych przedstawiono metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca oraz metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a wysokością walca. Zapoznaj się z tymi technikami i wykonaj polecenia umieszczone pod galerią.

RV2v0heIXExRd

Rt93wEj9dIRoc

RXTWO2A4zasdh

R1d0U1UUoYtaX

RhhUrCZRkFCwQ

Polecenie 4

W walcu poprowadzono odcinek łączący brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy. Wyznacz cosinus kąta zawartego pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca, jeśli długość wysokości walca wynosi $15 cm$ , zaś długość promienia podstawy walca wynosi $8 cm$ .

Wykreślmy przekrój osiowy walca i zaznaczmy odpowiedni kąt.

Rsqcw7wSwIF8U

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi środkami boków A D w punkcie O oraz boku B C w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu. Oba punkty wyznaczające środki boków prostokąta zostały połączone i tworzą odcinek o długości O O indeks dolny jeden koniec indeksu o długości H. Wierzchołek A został połączony z punktem O indeks dolny jeden koniec indeksu tworząc trójkąt prostokątny O A O indeks dolny jeden koniec indeksu. Odcinek O A ma długość r, natomiast odcinek A O indeks dolny jeden koniec indeksu jest nachylony do odcinka O A pod kątem alfa.

Przyjmijmy oznaczenia:
$H = |O O_{1}|$ - długość wysokości walca;
$r = |O A|$ - długość promienia podstawy walca;
$α$ - kąt nachylenia odcinka $A O_{1}$ do płaszczyzny podstawy walca.

Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego $O A O_{1}$ mamy zależność $\cos α = \frac{r}{|A O_{1}|}$ .

Do wyznaczenia długości odcinka $A O_{1}$ wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa. Mamy zatem ${|A O_{1}|}^{2} = r^{2} + H^{2}$ , stąd ${|A O_{1}|}^{2} = 8^{2} + 15^{2}$ , zatem $|A O_{1}| = 17$ . Wyznaczając wartość cosinusa kąta $O A O_{1}$ otrzymujesz $\cos α = \frac{8}{17}$ .

Polecenie 5

Wysokość walca ma długość $12 cm$ . Oblicz pole powierzchni bocznej walca wiedząc, że $\sin α = \frac{3}{5}$ , gdzie kąt $α$ jest kątem zawartym pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy i wysokością walca.

Wykreślmy przekrój osiowy walca i zaznaczmy odpowiedni kąt.

R1S0WILOURHBE

Przyjmijmy oznaczenia:
$H = |O O_{1}|$ - długość wysokości walca;
$r = |O A|$ - długość promienia podstawy walca;
$α$ - kąt pomiędzy odcinkiem $A O_{1}$ a wysokością walca.

Pole powierzchni bocznej walca wyznaczymy ze wzoru $P_{b} = 2 π r H$ .

Z warunków zadania mamy $H = 12$ i $\sin α = \frac{3}{5}$ . Zauważmy, że z trójkąta $O A O_{1}$ mamy $\sin α = \frac{r}{|A O_{1}|}$ . Zatem prawdziwa jest zależność $\frac{r}{|A O_{1}|} = \frac{3}{5}$ , stąd $r = \frac{3}{5} |A O_{1}|$ . Dla rozważanego trójkąta wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa $r^{2} + H^{2} = {|A O_{1}|}^{2}$ , po podstawieniu otrzymujemy ${(\frac{3}{5} |A O_{1}|)}^{2} + 12^{2} = {|A O_{1}|}^{2}$ . Wynika stąd, że $|A O_{1}| = 15$ i $r = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9$ . Zatem pole boczne walca ma wartość $P_{b} = 2 π \cdot 9 \cdot 12 = 216 π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 1

Ustaw zaznaczone na rysunku, kąty $α$ , $β$ , $γ$ w kolejności od najmniejszego do największego.

RGQW1qARPV2a8

R1El5shLfO6BG

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono kilka kątów pomiędzy odcinkami w walcu.

RfULoSeKnPdC3

Ry5ukn9sT9OXK

RXQBuMFHl8krj1

Ćwiczenie 3

R2jFFhPuGOyWQ2

Ćwiczenie 4

R1OOWYtozrD3O2

Ćwiczenie 5

R19Tef1LnNDQ92

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Walec przecięto w odległości $7$ od środka płaszczyzną prostopadłą do podstaw otrzymując czworokąt $A B C D$ . Cosinus kąta $A S B$ (gdzie $S$ jest środkiem podstawy, na brzegu której leżą punkty $A$ i $B$ ) wynosi $(- 0, 8432)$ . Kąt nachylenia przekątnej tego przekroju do tworzącej ma miarę $30 °$ . Oblicz pole powierzchni tego walca.

Zróbmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy na nim oznaczenia.

RPPZt73YDCCyL

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt A B C D znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem. W prostokącie A B C D poprowadzono przekątną pod kątem trzydziestu stopni do wysokości walca B C. W podstawie walca powstał trójkąt równoramienny A B S z wysokością poprowadzoną z wierzchołka S, który równocześnie jest środkiem podtawy, upuszczoną na bok A B w punkcie L.

Kąt $L S B$ na rysunku ( $L$ jest środkiem odcinka $A B$ ) jest dwukrotnie mniejszy od kąta $A S B$ , a zatem $\cos (∢ A S B) = 2 \cos^{2} (∢ L S B) - 1$ . Stąd $\cos^{2} (∢ L S B) = \frac{- 0, 8432 + 1}{2} = 0, 0784$ . A zatem $\cos (∢ L S B) = 0, 28$ . Mamy więc $\frac{|L S|}{|S B|} = 0, 28$ . Czyli $\frac{7}{|S B|} = 0, 28$ i ostatecznie $|S B| = 25$ .

Z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość odcinka $L B : {|L B|}^{2} + 7^{2} = 25^{2}$ . A stąd $|L B| = 24$ . Czyli $|A B| = 48$ . Z trójkąta $B C D$ mamy $\frac{48}{|B C|} = tg 30 °$ . Stąd $|B C| = 48 \sqrt{3}$ .

Mamy więc $r = 25$ i $h = 48 \sqrt{3}$ .

A zatem $P_{c} = 2 \cdot 25^{2} π + 2 π \cdot 25 \cdot 48 \sqrt{3} = 1250 π + 2400 \sqrt{3} π = 50 π (25 + 48 \sqrt{3})$ .

Ćwiczenie 8

Czworokąty $A B C D$ i $A D E F$ są przystającymi przekrojami prostopadłymi do podstaw walca o promieniu $2$ i wysokości $4$ . Odcinek $E C$ jest średnicą podstawy. Oblicz miarę kąta pomiędzy odcinkami $F D$ i $B D$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1WsIuAb9ejiH

Ilustracja przedstawia walec oraz dwa prostokąty A B C D oraz A D E F będącymi przekrojami prostopadłymi do podstawy walca. Odcinki F B i E C są średnicami walca, natomiast odcinki B C i F E są jego wysokościami. Z wierzchołków B oraz F znajdujących się w dolnej podstawie figury proste ograniczone punktem D znajdującym się w górnej podstawie walca. Powstał trójkąt równoramienny B F D gdzie ramionami są odcinki D B oraz F D ustawione do siebie pod kątem alfa.

Ponieważ odcinek $E C$ jest średnicą, to odcinek $F B$ również jest średnicą podstawy, a to oznacza, że $B A F$ jest trójkątem prostokątnym. Przekroje $A B C D$ i $A D E F$ są przystające, a zatem trójkąt $B A F$ jest również równoramienny. Mamy więc $|A B| = |A F| = 2 \sqrt{2}$ . Obliczmy długość odcinków $F D$ i $B D$ – są to przekątne zaznaczonych przekrojów. Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa.

Mamy zatem: ${|B D|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|A D|}^{2}$ , a stąd $| B D | = \sqrt{8 + 16} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ .

Do obliczenia miary kąta $α$ skorzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $B D F$ . Czyli:

${|B F|}^{2} = {|B D|}^{2} + {|F D|}^{2} - 2 |B D| \cdot |F D| \cos α$

A stąd $16 = 24 + 24 - 48 \cos α$ . Co daje nam $\cos α = \frac{32}{48} = \frac{2}{3} \approx 0, 6667$ , czyli $α \approx 48 °$ .

Ćwiczenie 9

RO34RRqNiwH6C

R1Y2uwEm2ukD3

Ćwiczenie 10

Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z podstawą kąt $α$ , taki że $tg α = \frac{7}{3}$ . Pole przekroju osiowego walca wynosi $84 {cm}^{2}$ . Oblicz objętość walca. W rachunkach przyjmij $π \approx \frac{22}{7}$ . Zakoduj odpowiednio cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

R1USuF3E3w1TR

RyHwLpZveCRaf

R19UWVZJuBJij2

Ćwiczenie 11

RhGf5EkJfc0un2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Pole przekroju osiowego walca jest równe $300 {cm}^{2}$ , a przekątna tego przekroju jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ takim, że $\cos α = \frac{4}{5}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

Rtk1g7Yydqgdf

$H = |B C|$ – długość wysokości walca;
$2 r = |A B|$ – długość średnicy podstawy walca;
$α = |∢ C A B|$ – miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Zauważmy, że z warunków zadania mamy $\cos α = \frac{4}{5}$ . Zatem z definicji cosinusa kąta ostrego i z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że istnieje taki $x$ , że $|B C| = H = 3 x$ , $|A B| = 2 r = 4 x$ i $|A C| = 5 x$ . Z warunków zadania mamy także $4 x \cdot 3 x = 300$ , zatem $x = 5$ .

Stąd otrzymujemy odpowiednio: $2 r = 20$ , stąd $r = 10$ i $H = 15$ . Pole powierzchni całkowitej walca obliczymy ze wzoru $P = 2 π r (r + H)$ , zatem $P = 2 π \cdot 10 \cdot (10 + 15) = 500 π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 14

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem. Przekątna otrzymanego prostokąta ma długość $p$ i tworzy z wysokością walca kąt $α$ . Wyznacz objętość tego walca.

Wykreślmy prostokąt odpowiadający powierzchni bocznej walca i przyjmijmy oznaczenia:

RTCnB2k29JN5K

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C o długości p. Odcinek A B ma długość dwa pi r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku C.

$H = |B C|$ - długość wysokości walca;
$2 π r = |A B|$ - długość okręgu o promieniu długości $r$ stanowiącego podstawę walca;
$α$ kąt pomiędzy przekątną prostokąta a wysokością walca.

Objętość walca wyznaczymy ze wzoru $V = π r^{2} H$ . Z trójkąta $A B C$ mamy $\frac{H}{p} = \cos α$ , stąd $H = p \cos α$ . Dalej mamy $\frac{2 π r}{p} = \sin α$ , stąd $r = \frac{p \sin α}{2 π}$ . Zatem objętość walca $V = π \cdot {(\frac{p \sin α}{2 π})}^{2} \cdot p \cos α = \frac{p^{3} \sin^{2} α \cos α}{4 π}$ .

Ćwiczenie 15

Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej wynosi $3 : 4$ . Uzasadnij, ze stosunek długości promienia podstawy walca do długości wysokości walca wynosi $1 : 3$ .

Przyjmijmy oznaczenia:
$r$ – długość promienia podstawy walca,
$H$ – długość wysokości walca.
Z warunków zadania mamy $\frac{2 π r H}{2 π r (r + H)} = \frac{3}{4}$ , stąd $\frac{H}{r + H} = \frac{3}{4}$ . Wynika stąd, że $\frac{r + H}{H} = \frac{4}{3}$ , zatem $\frac{r}{H} + 1 = \frac{4}{3}$ , stąd $\frac{r}{H} = \frac{1}{3}$ , co należało uzasadnić.

Ćwiczenie 16

Wysokość walca jest o $7 cm$ krótsza od średnicy podstawy walca, natomiast przekątna przekroju osiowego walca jest o $7 cm$ dłuższa od promienia podstawy walca. Wyznacz sinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy walca.

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

RQUpZjT9zi7TH

$H$ – wysokość walca;
$2 r$ - średnica walca;
$p$ – przekątna przekroju osiowego walca;
$α$ – kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy walca.

Z warunków zadania mamy odpowiednio: $H = 2 r - 7$ i $p = r + 7$ . Z trójkąta $A B C$ i twierdzenia Pitagorasa wynika ${(2 r)}^{2} + {(2 r - 7)}^{2} = {(r + 7)}^{2}$ , stąd mamy po uporządkowaniu $7 r^{2} - 42 r = 0$ . Po rozwiązaniu równanie otrzymujemy $r = 6$ .

Z trójkąta $A B C$ mamy $\sin α = \frac{H}{p}$ , zatem $\sin α = \frac{5}{13}$ .

Słownik

przekrój bryły

figura geometryczna będąca częścią wspólną bryły i płaszczyzny, która ją przecina

przekrój osiowy bryły obrotowej

przekrój bryły obrotowej zawierający oś obrotu

przekrój osiowy walca

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca; przekrój osiowy walca jest prostokątem

kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę

3. Kula

5. Kąty w stożku

4. Kąty w walcu

Kąty między odcinkami w walcu

Kąty między płaszczyznami a odcinkami w walcu

Słownik