• Rozpoznasz kąty między odcinkami w stożku.

• Użyjesz funkcji trygonometrycznych do wyznaczania miar kątów między odcinkami w stożku.

• Nauczysz się zaznaczać kąty między płaszczyznami a odcinkami w stożku.

• Wykorzystasz związki miarowe geometrii płaskiej oraz związki trygonometryczne do rozwiązywania zagadnień związanych z geometrią przestrzenną.

Stożek to bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła osi, będącej przyprostokątną tego trójkąta.

Na poniższym rysunku przedstawiono elementy budowy stożka.

RxVp6CZ6gZ35I

Ilustracja przedstawia stożek oraz elementy jego budowy. Promień podstawy o długości r, tworzącą stożka o długości l, wysokość stożka o długości h. Zaznaczono także podstawę stożka oraz wierzchołek stożka.

Jeżeli trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątną długości $c$, to funkcje trygonometryczne kąta $\alpha$ z rysunku przedstawiają się następująco:

R15GGOXIUfRUL

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny leżący na przyprostokątnej b. Na ilustracji zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy bokiem o długości b, a przeciwprostokątną o długości c.

Wyznaczymy kąt między tworzącą stożka a promieniem podstawy, jeżeli pole podstawy stożka wynosi $28\pi$, a objętość $56\pi$.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RqPqGXzXESYY8

Ilustracja przedstawia stożek oraz kąt alfa zaznaczony pomiędzy tworzącą o długości l, a promieniem stożka o długości r. Zaznaczono także wysokość o długości h.

Jeżeli pole podstawy stożka wynosi $28\pi$, to do wyznaczenia długości promienia podstawy $r$ rozwiązujemy równanie:

$\pi r^2=28\pi$

$r^2=28$

$r=2\sqrt{7}$.

Do wyznaczenia długości wysokości stożka rozwiązujemy równanie, korzystając ze wzoru na objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}\pi r^2·h$

$56\pi =\frac{1}{3}·28\pi ·h$

$h=6$.

Otrzymujemy trójkąt prostokątny o wymiarach, jak na rysunku:

R1Mvusi8FebJA

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Podstawą trójkąta jest przyprostokątna o długości $2\sqrt{7}$, druga przyprostokątna ma długość sześć. Na ilustracji został zaznaczony także kąt alfa znajdujący się pomiędzy podstawą trójkąta a przeciwprostokątna.

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens mamy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{6}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

Zatem $\alpha \approx 53°$.

Promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $8$. Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy wysokością a tworzącą tego stożka.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R15YuqHZhEY7q

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt alfa zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy tworzącą o długości l a wysokością stożka o długości h.

Jeżeli promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $8$, to:

$h=r+8$,

$l=r+16$.

Zatem:

$r^2+{\left(r+8\right)}^2={\left(r+16\right)}^2$

$r^2+r^2+16r+64=r^2+32r+256$

$r^2-16r-192=0$

$r_1=\frac{16-32}{2}=-8<0$,

$r_2=\frac{16+32}{2}=24>0$.

Zatem $r=24$, $h=32$, $l=40$.

Jeżeli wykorzystamy funkcję trygonometryczną sinus, to $\sin \alpha =\frac{24}{40}=0,6$.

Wobec tego $\alpha \approx 37°$.

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy tworzącą stożka a promieniem podstawy, jeżeli objętość stożka jest równa $30\pi$ a pole podstawy stożka wynosi $25\pi$.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek, zaznaczmy kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R6Ljab8P4t5gD

Ilustracja przedstawia stożek oraz kąt alfa zaznaczony pomiędzy tworzącą o długości l, a promieniem stożka o długości r. Zaznaczono także wysokość o długości h.

Jeżeli $V=8\pi$ oraz $P_p=25\pi$, to do wyznaczenia długości promienia podstawy oraz wysokości stożka rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\pi }{r}^2=25\mathrm{\pi }\\ \frac{1}{3}\mathrm{\pi }{r}^2·h=30\mathrm{\pi }\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}r=5\\ \frac{1}{3}·25·h=30\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}r=5\\ h=3,6\end{array}\right.$

Zatem tangens rozpatrywanego kąta wynosi:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3,6}{5}=0,72$.

Wobec tego $\alpha \approx 36°$.

Wiadomo, że pole powierzchni bocznej stożka jest czterokrotnie większe od pola jego podstawy. Wyznaczymy kąt rozwarcia stożka.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1BUgSQg0zSA8

Ilustracja Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt beta zaznaczony pomiędzy tworzącą o długości l, a wysokością stożka o długości h. Zaznaczono także kąt beta zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka.

Wiadomo, że $P_b=4·P_p$, zatem:

$\pi r·l=4·\pi ·r^2$.

Wobec tego $\sin \beta =\frac{r}{l}=\frac{r}{4r}=\frac{1}{4}=0,25$, zatem $\beta \approx 15°$.

Ponieważ $\alpha =2\beta$, zatem $\alpha \approx 30°$.

Obliczymy miarę kąta rozwarcia stożka, w którym promień podstawy ma długość $8$, a tworząca długość $10$.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek, zaznaczmy odpowiedni kąt oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1dLG5ydyve89

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt alfa będącym kątem rozwarcia stożka. Został zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy ramionami trójkąta o długości l, który jest przekrojem osiowym stożka.

Z zadania wiadomo, że $r=8$ oraz $l=10$. Do wyznaczenia miary kąta użyjemy twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów.

Zatem:

${\left(2r\right)}^2=l^2+l^2-2·l·l·\cos \alpha$

${16}^2={10}^2+{10}^2-2·10·10·\cos \alpha$

$256=100+100-200·\cos \alpha$

$56=-200·\cos \alpha$

$\cos \alpha =-\frac{56}{200}=-\frac{7}{25}=-0,28$.

Jeżeli skorzystamy z zależności $\cos \left(180°-\alpha \right)=-\cos \alpha$ dla $\alpha \in \left(0°,90°\right)$, to $\alpha \approx 106°$.

Pole powierzchni przekroju osiowego stożka wynosi $80 {\mathrm{cm}}^2$. Kąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy stożkakąt pomiędzy prostą i płaszczyznąKąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy stożka ma miarę $\alpha$. Obliczmy objętość stożka.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RZwtntA003Cbi

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

$H=\left|OS\right|$ - długość wysokości stożka
$l=\left|BS\right|$ - długość tworzącej stożka
$2r=\left|AB\right|$ - długość średnicy podstawy stożka
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - miara kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka

Z warunków zadania mamy układ zależności: $\frac{1}{2}·2r·H=80 \mathrm{i} \frac{H}{r}=tg\alpha$.

Stąd $H=r·tg\alpha$, zatem $r·r·tg\alpha =80$.

Stąd wynika, że $r=\sqrt{\frac{80}{tg\alpha }}=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{tg\alpha }}$ i $H=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{tg\alpha }}·tg\alpha =4\sqrt{5tg\alpha }$.

Objętość stożka obliczamy ze wzoru $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$, zatem $V=\frac{1}{3}\pi ·\frac{80}{tg\alpha }·4\sqrt{5tg\alpha }=\frac{320\sqrt{5tg\alpha }}{3tg\alpha }\pi {\mathrm{cm}}^3$.

Trójkąt równoramienny o bokach długości $a$, $a$, $a\sqrt{3}$ jest przekrojem osiowym stożka. Wyznaczmy miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia.

Rest6PKL81MI1

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki trójkąta mają długość a, a krawędź podstawy $a\sqrt{3}$. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

$\left|AB\right|=a\sqrt{3}$ - długość średnicy podstawy stożka
$\left|BS\right|=a$ - długość tworzącej stożka
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Zauważmy, że $\cos \alpha =\frac{\left|OB\right|}{\left|BS\right|}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, stąd mamy $\alpha =30°$.

Długość tworzącej stożka jest o $4 \mathrm{cm}$ dłuższa od długości średnicy podstawy stożka. Tworząca stożka tworzy z płaszczyzną podstawy stożka kąt $\alpha$, taki, że $\sin \alpha =\frac{\sqrt{55}}{8}$. Obliczmy pole powierzchni bocznej stożka.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy stożka i przyjmujemy oznaczenia.

RW0mHLgBsU4RD

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

$\left|BS\right|=l$ - długość tworzącej stożka
$\left|BO\right|=r$ - długość promienia podstawy stożka
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - kąt pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Z warunków zadania mamy układ zależności: $l=2r+4$ i $\cos \alpha =\frac{r}{l}$.

Korzystając z zależności ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, wyznaczymy wartość $\cos \alpha$.

Mamy zatem ${\left(\frac{\sqrt{55}}{8}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$. Wiedząc, że kąt $\alpha$ jest kątem ostrym otrzymujemy $\cos \alpha =\frac{3}{8}$.

Podstawiając do naszego układu warunków otrzymujemy zależność: $\frac{3}{8}=\frac{r}{2r+4}$, stąd $3\left(2r+4\right)=8r$, a stąd wynika, że $r=6$ i $l=16$.

Pole powierzchni bocznej stożka wynosi $P_b=\pi rl=\pi ·6·16=96\pi {\mathrm{cm}}^2$.

Na wspólnej podstawie zbudowano dwa stożki (jeden wewnątrz drugiego). Kąt pomiędzy tworzącą „niższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę $\alpha$, a kąt pomiędzy tworzącą „wyższego” stożka i płaszczyzną podstawy ma miarę $\beta$. Różnica wysokości stożków jest równa $a$. Wyznaczmy objętość bryły zawartej pomiędzy powierzchniami bocznymi tych stożków.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy tak zbudowanych stożków i przyjmijmy oznaczenia.

Ra50kDzU8fwst

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy dwóch stożków o tej samej podstawie, niższy trójkąt równoramienny A B S indeks dolny jeden koniec indeksu oraz wyższy trójkąt A B S indeks dolny dwa koniec indeksu. Z wierzchołka S indeks dolny 2 koniec indeksu poprowadzona jest wysokość przechodząca przez wierzchołek S indeks dolny jeden koniec indeksu padająca na środek krawędzi podstawy A B w punkcie O. Różnica wysokości obu trójkątów ma długość a. Odcinek O B oznaczono literą r. Zaznaczono również dwa kąty wewnętrze, pierwszy między tworzącą S indeks dolny jeden koniec indeksu a płaszczyzną podstawy O B  o mierze $\alpha$ oraz drugi między tworzącą S indeks dolny dwa koniec indeksu a płaszczyzną podstawy O B  o mierze beta.

$\left|O{S}_1\right|$ - długość wysokości „niższego” stożka
$\left|O{S}_2\right|$ - długość wysokości „wyższego” stożka
$\left|OB\right|=r$ - długość promienia podstawy stożka

Objętość części zawartej pomiędzy powierzchniami bocznymi stożka obliczymy jako różnicę objętości odpowiednio stożka „wyższego” i „niższego”. Mamy zatem:
$V=\frac{1}{3}\pi r^2·\left|O{S}_2\right|-\frac{1}{3}\pi r^2·\left|O{S}_1\right|=\frac{1}{3}\pi r^2·\left(\left|O{S}_2\right|-\left|O{S}_1\right|\right)=\frac{1}{3}\pi r^2·a$

Wystarczy zatem wyznaczyć długość promienia podstawy stożka.

Zauważmy, że z trójkąta $OB{S}_1$ mamy zależność $tg\alpha =\frac{\left|O{S}_1\right|}{r}$, stąd $\left|O{S}_1\right|=r·tg\alpha$ i z trójkąta $OB{S}_2$ mamy zależność $tg\beta =\frac{\left|O{S}_2\right|}{r}$, stąd $\left|O{S}_2\right|=r·tg\beta$.

Z warunków zadania wiemy, że $a=\left|O{S}_2\right|-\left|O{S}_1\right|$, zatem $a=r·tg\beta -r·tg\alpha$.

Stąd $a=r\left(tg\beta -tg\alpha \right)$, zatem $r=\frac{a}{tg\beta -tg\alpha }$.

Szukana objętość wyraża się zatem wzorem $V=\frac{1}{3}\pi ·{\left(\frac{a}{tg\beta -tg\alpha }\right)}^2·a=\frac{a^3\pi }{3{\left(tg\beta -tg\alpha \right)}^2}$.

Stosunek pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni bocznej stożka jest równy $\frac{\sqrt{3}+2}{2}$. Wyznaczmy miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy stożka i przyjmijmy oznaczenia.

RLuEAbzGMrSNV

Ilustracja przedstawia przekrój osiowy stożka, trójkąt równoramienny ASB. Z wierzchołka S poprowadzona jest wysokość padająca na środek krawędzi podstawy AB w punkcie O. Ma ona długość H. Ponadto boki oznaczono literą l, a odcinek OB literą r. Zaznaczono również kąt wewnętrzy między tworzącą a płaszczyzną podstawy o mierze $\alpha$.

$\left|BS\right|=l$ - długość tworzącej stożka
$\left|BO\right|=r$ - długość promienia podstawy stożka
$\left|\sphericalangle ABS\right|=\alpha$ - miara kąta pomiędzy tworzącą stożka i płaszczyzną podstawy stożka

Z warunków zadania mamy: $\frac{P_c}{P_b}=\frac{\pi r\left(r+l\right)}{\pi rl}=\frac{r+l}{r}=\frac{r}{l}+1$.

Zauważmy, że $\frac{r}{l}=\cos \alpha$, zatem $\frac{r}{l}+1=\frac{\sqrt{3}+2}{2}$, stąd $\frac{r}{l}=\frac{\sqrt{3}+2}{2}-1$.

Stąd wynika, że $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, zatem $\alpha =30°$.

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej

w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku równa się sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwójny iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi

przekrój stożka płaszczyzną zawierającą oś obrotu stożka; przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę