Strefa wyzwań

Już wiesz

Jakimi błędami obarczone są obliczenia numeryczne.
Czym jest błąd względny i błąd bezwzględny oraz umiesz je obliczyć.
Na czym polega różnica między przybliżeniami z nadmiarem i niedomiarem.

Teraz czas sprawdzić swoją wiedzę i umiejętności w praktyce.

R1Q3F4V49C78A

Ćwiczenie 1

R1J1HJG3BVSCJ

Ćwiczenie 2

RXDZDH7PG35MA

Ćwiczenie 3

R15U1Z8N6B66M

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Pewna wydawczyni przygotowała kosztorys druku najnowszej książki poczytnego autora. Założyła, że druk 10 000 egzemplarzy będzie kosztował 35 000 złotych. Po analizie pozostałych kosztów doszła do wniosku, że jej obliczenia mogą być obarczone błędem względnym o wartości 17%. Po ich przekroczeniu koszt druku byłby za wysoki do szacowanej sprzedaży. Wysłała zapytanie do czterech drukarni. Otrzymała następujące wyliczenia:

pierwsza drukarnia: 40 000 złotych;
druga drukarnia: 33 000 złotych;
trzecia drukarnia: 45 000 złotych, ale przy założeniu, że minimalny drukowany nakład wynosi 12 000 egzemplarzy;
czwarta drukarnia 45 000 złotych.

Które drukarnie mieszczą się w założonych kosztach? Wydawczyni jest skłonna zwiększyć nakład i proporcjonalnie do niego budżet.

RT9CKO2C8KUCX

W założonych kosztach mieści się pierwsza, druga oraz trzecia drukarnia.

Obliczenia:

Pierwsza drukarnia: $\frac{|40000 - 35000|}{40000} \cdot 100 % = \frac{5000}{40000} \cdot 100 % = \frac{5}{40} \cdot 100 % = \frac{1}{8} \cdot 100 % = \frac{100 %}{8} = 12, 5 %$

Druga drukarnia: nie musimy wykonywać obliczeń, ponieważ drukarnia zaproponowała kwotę niższą niż zakładana.

Trzecia drukarnia: najpierw musimy sprawdzić, ile wynosiłby budżet dla 12 000 egzemplarzy (x).

$x = \frac{12000 \cdot 35000}{10000} = \frac{420000000}{10000} = 42000$

Budżet dla 12 000 egzemplarzy wynosiłby 42 000 złotych. Możemy obliczyć wartość błędu względnego.

$\frac{|45000 - 42000|}{45000} \cdot 100 % = \frac{3000}{42000} \cdot 100 % = \frac{3}{42} \cdot 100 % = \frac{300 %}{42} = 7, 1 %$

Czwarta drukarnia: $\frac{|45000 - 35000|}{45000} \cdot 100 % = \frac{10000}{45000} \cdot 100 % = \frac{10}{45} \cdot 100 % = \frac{2}{9} \cdot 100 % = \frac{200 %}{9} = 22, 2 %$

Ćwiczenie 6

Napisz program zaokrąglający podaną liczbę x tak, aby błąd względny nie przekroczył ustalonej wartości krytycznej blad_krytyczny.

Przetestuj działanie programu, zaokrąglając liczbę 0,054256, dopóki błąd względny nie przekroczy wartości 5%.

Specyfikacja problemu:

Dane:

x – zaokrąglana wartość; liczba rzeczywista z przedziału [0, 1]
blad_krytyczny – wartość krytyczna; liczba rzeczywista z przedziału [0, 100]

Wynik:

wartość zaokrąglenia liczby

RcaJS667Dgj5r

Przykładowe rozwiązanie zadania:

from math import *

x = 0.054256
blad_krytyczny = 5

def zaokraglenie(liczba, po_przecinku):
	return round(liczba * (pow(10, po_przecinku)))/(pow(10, po_przecinku))

for i in range(1,6):
	x_zaokraglony = zaokraglenie(x, 6 - i)
	blad_bezwzgledny = fabs(x - x_zaokraglony)
	blad_wzgledny = (blad_bezwzgledny / x) * 100

	if blad_wzgledny > blad_krytyczny:
		x_zaokraglony = zaokraglenie(x, 7 - i)
		break
		
	
print(x_zaokraglony)

Plik z programem do pobrania:

R1FVUFONQPHPP

Plik zawiera rozwiązanie ćwiczenia w języku Python.

Plik TXT o rozmiarze 448.00 B w języku polskim

Ćwiczenie 7

Korzystając ze zdefiniowanej w programie stałej PIERWIASTEK_Z_2, sprawdź, z dokładnością do ilu miejsc po przecinku należy wypisać jej przybliżenie, aby błąd względny między wartością pierwotną a przybliżoną wynosił mniej niż 0,01%. Wypisz wyznaczoną liczbę cyfr.

Przykład:

Błąd względny między przybliżeniem pierwiastka z liczby 2 do dwóch cyfr po przecinku a wartością 1,41421356237 wynosi:

$\frac{1, 41421356237 - 1, 41}{1, 41421356237} \cdot 100 % = 0, 29794385247 %$

Potrzeba zatem przybliżenia do dwóch cyfr po przecinku, aby błąd względny wyniósł mniej niż 0,3%.

RE0XMKjroHf1E

from math import *

PIERWIASTEK_Z_2 = 1.41421356237
liczba_cyfr = 0

def blad_wzgledny(wartosc_zmierzona, wartosc_oczekiwana):
    return abs(wartosc_oczekiwana - wartosc_zmierzona) / wartosc_oczekiwana

def przyblizenie(wartosc, liczba_cyfr):
    potega_10 = 10 ** liczba_cyfr
    przyblizenie = potega_10 * wartosc
    przyblizenie_10 = int(przyblizenie)

    return przyblizenie_10 / potega_10



while blad_wzgledny(przyblizenie(PIERWIASTEK_Z_2, liczba_cyfr), PIERWIASTEK_Z_2) > 0.0001:
    liczba_cyfr += 1

print(liczba_cyfr)

Plik z programem do pobrania:

RNSXDCKBTM3NG

Plik zawiera rozwiązanie ćwiczenia w języku Python.

Plik TXT o rozmiarze 553.00 B w języku polskim

Ćwiczenie 8

Liczba Eulera może być zdefiniowana przez sumę następującego szeregu:

$e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + . . .$

Sprawdź, dla jakiego $n$ błąd względny wyznaczonego przybliżenia liczby $e$ będzie mniejszy niż 0,0000005. Jako wartość dokładną przyjmij stałą matematyczną math.e. Wypisz minimalną wartość $n$ .

R1SvDGwgWQQp2

Misja druga: Ćwicz i zwyciężaj