Leonardo Fibonacci

R1PUOU92E5J7X1

Portret Leonardo Fibonacciego przedstawiający postać ubraną w długą, ciemną szatę z szerokimi ramionami. Na głowie widoczny jest charakterystyczny średniowieczny kaptur z długim, opadającym fałdem materiału po lewej stronie.

Fibonacci, znany również jako Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci czy Leonardo Pisano, to włoski matematyk. Żył w latach 1175–1250. Fibonacci kształcił się w Afryce Północnej, najpierw pod nadzorem arabskiego nauczyciela, a następnie do 25 roku życia uczył się samodzielnie, jednocześnie podróżując po różnych krajach, dzięki czemu poznał dorobek wielu matematyków.

Ciąg Fibonacciego – historia o królikach

Fibonacci w swojej książce Liber abaci sformułował problem: Pewien mężczyzna ma parę królików w zamkniętym pomieszczeniu. Chce on się dowiedzieć, ile par królików będzie miał za rok, jeśli króliki będą się rozmnażać i każda para będzie płodzić kolejne nowe pary królików. Dodatkowo zapisał też następujące zasady:

• króliki nie chorują, nie starzeją się ani nie umierają, więc ich liczba nie maleje;

• nowo narodzona para królików może mieć potomstwo dopiero po miesiącu od urodzenia;

• każda para królików, która jest wystarczająco dorosła, a więc ma przynajmniej miesiąc, wydaje na świat kolejną parę królików.

Na początku mężczyzna miał jedną parę królików. Były młode i niezdolne do rozmnażania się, a więc po miesiącu mężczyzna nadal miał tylko jedną parę królików.

• Po pierwszym miesiącu para ta zdolna była już do rozmnażania się, dzięki czemu w trzecim miesiącu urodziła się nowa para królików, a więc mężczyzna miał już dwie pary.

• W kolejnym miesiącu młode króliki nie mogły się jeszcze rozmnażać, więc tylko jedna para była zdolna do wydania młodych.

• W czwartym miesiącu urodziła się nowa para królików. Mężczyzna miał więc już trzy pary królików, z czego dwie mogły się rozmnażać.

• W piątym miesiącu urodzą się zatem dwie pary królików, a trzy zdolne będą do rozmnażania się – w sumie pięć par.

• W miesiącu szóstym urodzą się trzy pary królików, a pięć par będzie zdolnych do rozmnażania – w sumie osiem par.

• W miesiącu siódmym urodzi się pięć par królików, a osiem zdolnych będzie do rozmnażania się – w sumie trzynaście par.

• W miesiącu ósmym urodzi się osiem par królików, a trzynaście par zdolnych będzie do rozmnażania się – w sumie dwadzieścia jeden par.

• W miesiącu dziewiątym urodzi się trzynaście par królików, a dwadzieścia jeden par zdolnych będzie do rozmnażania się – w sumie trzydzieści cztery pary.

• W miesiącu dziesiątym urodzi się dwadzieścia jeden par królików, a trzydzieści cztery pary zdolne będą do rozmnażania się – w sumie pięćdziesiąt pięć par.

• W miesiącu jedenastym urodzą się trzydzieści cztery pary królików, a pięćdziesiąt pięć par zdolnych będzie do rozmnażania się – w sumie osiemdziesiąt dziewięć par.

• W miesiącu dwunastym, a więc po roku, urodzi się pięćdziesiąt pięć par królików, a osiemdziesiąt dziewięć par zdolnych będzie do rozmnażania się – w sumie sto czterdzieści cztery pary.

Czytając taki opis, trudno zauważyć zależności między kolejnymi miesiącami a liczbą par królików. Przedstawmy więc je na schemacie. Z racji dużej liczby par, na schemacie ograniczymy się do sześciu miesięcy.

R1S64QQXRZCRQ

Grafika przedstawia diagram ilustrujący problem rozmnażania się królików. Diagram składa się z sześciu poziomych rzędów reprezentujących kolejne miesiące, z symbolami królików przedstawionymi jako małe ilustracje królików w dwóch kolorach - białym (młode pary) i szarym (dojrzałe pary). Miesiąc pierwszy W górnej części diagramu znajduje się pojedyncza para białych królików (młoda para), która dopiero co się narodziła i nie jest jeszcze zdolna do rozrodu. Drugim rząd widoczna jest para szarych królików, reprezentująca tę samą parę, która osiągnęła już dojrzałość płciową i może rozpocząć rozmnażanie. Trzeci rząd pokazuje dwie pary królików - jedną szarą (pierwotną parę) i jedną białą (nowo narodzoną parę potomstwa). Strzałka wskazuje na połączenie między dojrzałą parą a jej potomstwem. Czwarty rząd przedstawia trzy pary królików - dwie szare (dojrzałe) i jedną białą (młodą). Para narodzona w trzecim miesiącu osiągnęła dojrzałość. Piąty rząd zawiera pięć par królików, z czego trzy to pary dojrzałe (szare) i dwie młode pary (białe). Strzałki pokazują relacje reprodukcyjne między dojrzałymi parami a ich potomstwem. Najniższy rząd diagramu przedstawia osiem par królików - pięć dojrzałych par (szarych) i trzy młode pary (białe), ilustrując dalszy wzrost populacji zgodnie z sekwencją Fibonacciego.

Niech aIndeks dolny 1₁ oznacza liczbę par królików w pierwszym miesiącu, aIndeks dolny 2₂ liczbę par w drugim miesiącu oraz aIndeks dolny n_n liczbę par w n‑tym miesiącu (tzn. gdy n = 3, to jest to liczba par w trzecim miesiącu, a gdy n = 4, to w czwartym itd.).

Dzięki tak przedstawionym informacjom możemy zapisać następujące zależności:

Oznacza to, że dwie pierwsze liczby (które w ciągu nazywamy wyrazami) ciągu Fibonacciego równe będą 1, a każdy następny wyraz będzie sumą dwóch poprzednich wyrazów. Obliczając kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego na kartce papieru, możemy to zrobić w prosty sposób, tak jak przedstawiono to na ilustracji poniżej:

RKKK51G4P6SZN

Ilustracja