Przeczytaj - Opisujemy zależność ogniskowej soczewki od jej krzywizny oraz współczynnika załamania

R5hejQoXjDolb

To ciekawe

Soczewka jest podstawowym elementem optycznym. Możesz ją zobaczyć w okularach do korekcji wad wzroku, w aparacie fotograficznym, mikroskopie, teleskopie i wielu, wielu innych urządzeniach (Rys. a). Jej popularność i powszechność są tak ogromne, że stała się wręcz niezauważalna. Z tego też względu powinniśmy przyjrzeć się jej bliżej. W niniejszym materiale zwrócimy uwagę na zależność pomiędzy ogniskową soczewki, a promieniem krzywizny i współczynnikiem załamania.

RcIQVMZ1IjmYZ1

Rys. a. Na czterech zdjęciach przedstawiono urządzenia wykorzystujące soczewki. Od lewej są to: okulary teleskopów i lunet, aparat fotograficzny, lornetka i mikroskop. — Rys. a. Szereg zastosowań soczewek w przyrządach optycznych [Źródło: Wikimedia Commons / Public domain]

Twoje cele

Przeczytanie niniejszego materiału sprawi, że:

dowiesz się, czym są i jaką rolę spełniają w optyce soczewki,
poznasz najpopularniejszy podział soczewek,
dowiesz się, czym jest zdolność skupiająca soczewki,
przeanalizujesz, jak zmienia się ogniskowa soczewki w zależności od promienia jej krzywizny oraz współczynnika załamania,
zastosujesz poznany wzór do rozwiązywania zadań rachunkowych.

Warto przeczytać

Soczewka jest bryłą wykonaną z przezroczystego dla światła materiału (zwykle ze szkła lub sztucznego tworzywa), ograniczoną co najmniej z jednej strony powierzchnią sferyczną. Czasem zdarza się tak, że powierzchnia ta jest paraboliczna bądź walcowata, jednak takich przypadków rozpatrywać nie będziemy. Soczewki mogą mieć zatem różne kształty. Wśród najpopularniejszych ich typów wymienić można:

a) soczewki dwuwypukłe – ograniczone z obu stron powierzchniami kulistymi wypukłymi (Rys. 1.)

R5BH8skb03tl6

Rys. 1. Rysunek przedstawia schematycznie niebieską soczewkę dwuwypukłą. Soczewka to kawałek przezroczystego materiału np. szkła w tym wypadku obydwie jej strony są wypukle. — Rys. 1. Soczewka dwuwypukła

b) soczewki płasko‑wypukłe – z jednej strony ograniczone powierzchnią płaską, z drugiej – kulistą wypukłą (Rys. 2.)

RBQdymqLCJptC

Rys. 2. Rysunek przedstawia schematycznie niebieską soczewkę płasko‑wypukłą. Soczewka to kawałek przezroczystego materiału np. szkła w tym wypadku lewa jej strona jest płaska a prawa wypukła. — Rys. 2. Soczewka płasko‑wypukła

c) soczewki wklęsło‑wypukłe – ograniczone z jednej strony powierzchnią kulistą wklęsłą, z drugiej – kulistą wypukłą (Rys. 3.)

RYcb2x0RTYmPI

Rys. 3. Rysunek przedstawia schematycznie niebieską soczewkę wklęsło‑wypukłą. Soczewka to kawałek przezroczystego materiału np. szkła w tym wypadku lewa jej strona jest wklęsła a prawa wypukła. — Rys. 3. Soczewka wklęsło‑wypukła

d) soczewki dwuwklęsłe – z obu stron ograniczone powierzchnią kulistą wklęsłą (Rys. 4.)

RWM6Ip4DGRG5l

Rys. 4. Rysunek przedstawia schematycznie niebieską soczewkę dwuwklęsłą. Soczewka to kawałek przezroczystego materiału np. szkła w tym wypadku obydwie jej strony są wklęsłe. — Rys. 4. Soczewka dwuwklęsła

e) soczewki płasko‑wklęsłe – z jednej strony ograniczone powierzchnią płaską, z drugiej – kulistą wklęsłą (Rys. 5.)

RpvxYWOpS3Ff4

Rys. 5. Rysunek przedstawia schematycznie niebieską soczewkę płasko‑wklęsłą. Soczewka to kawałek przezroczystego materiału np. szkła w tym wypadku lewa jej strona jest płaska a prawa wklęsła. — Rys. 5. Soczewka płasko‑wklęsła

f) soczewki wypukło‑wklęsłe – z jednej strony ograniczone powierzchnią kulistą wypukłą, z drugiej – kulistą wklęsłą (Rys. 6.)

RYnv8zOK5ggzw

Rys. 6. Rysunek przedstawia schematycznie niebieską soczewkę wypukło‑wklęsłą. Soczewka to kawałek przezroczystego materiału np. szkła w tym wypadku lewa jej strona jest wypukła a prawa wklęsła. — Rys. 6. Soczewka wypukło‑wklęsła

Chcąc opisać takie soczewki powinniśmy przyjąć pewną konwencję, która pozwoli nam tego dokonać. Ustalmy, że:

Prostą przechodzącą przez środki powierzchni ograniczających soczewkę nazywać będziemy osią optyczną soczewki.
W przypadku, gdy mamy do czynienia z powierzchnią wypukłą, przyjmiemy, że promień jej krzywizny jest dodatni, zaś dla powierzchni wklęsłej – przyjmiemy promień ujemny.
Gdy powierzchnia ograniczająca soczewkę będzie płaska, założymy, że jej promień krzywizny jest nieskończony, zatem (jak wiadomo z matematyki) wyrażenie $1 / R$ przyjmie wartość 0.

Warto przypomnieć sobie także, że równoległa wiązka promieni świetlnych padająca na soczewkę, po przejściu przez nią, może skupić się w punkcie zwanym ogniskiemogniskoogniskiem (oznaczanym literą F). Taką soczewkę nazywamy skupiającą. W sytuacji, gdy promienie po przejściu przez soczewkę, oddalają się od osi optycznej (czyli wiązka jest rozbieżna), to ich przedłużenia przecinają się w ogniskuogniskoognisku pozornym . Soczewkę taką nazywamy rozpraszającą. Światło może padać na soczewkę zarówno z prawej, jak i z lewej strony. Każda soczewka ma zatem dwa ogniskaogniskoogniska leżące na osi optycznej, po obu jej stronach, w takiej samej odległości od środka. Odległość ogniskaogniskoogniska od środka soczewki nazywana jest ogniskowąogniskowaogniskową, oznaczana jako $f$ i wyrażana w metrach. Soczewka skupiająca ma ogniskowąogniskowaogniskową dodatnią, a rozpraszająca ujemną.

Soczewkę charakteryzuje jeszcze jedna wielkość, a mianowicie jej zdolność skupiającazdolność skupiająca soczewkizdolność skupiająca (zbierająca) $Z$ :

Z = \frac{1}{f} (1)

Zdolność skupiającazdolność skupiająca soczewkiZdolność skupiająca jest odwrotnością ogniskowejogniskowaogniskowej. Jej podstawową jednostką jest $\frac{1}{m}$ , określaną popularnie jako dioptria.

Zdolność skupiającą soczewkizdolność skupiająca soczewkiZdolność skupiającą soczewki określa się również bardziej rozbudowanym wzorem, łączącym w sobie zarówno oba promienie krzywizny soczewki $R_{1}$ oraz $R_{2}$ , jak i współczynniki załamania ośrodka, z którego dana soczewka została wykonana $n_{s o c z e w k i}$ i ośrodka ją otaczającego $n_{o t o c z e n i a}$ . Wzór ten przyjmuje postać:

\frac{1}{f} = (\frac{n_{s o c z e w k i}}{n_{o t o c z e n i a}} - 1) (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}) (2)

Stosuje się go do soczewek cienkich, czyli takich, których grubość jest znacznie mniejsza od promienia krzywizny powierzchni ograniczającej soczewkę.

Dla przykładu, dostosowując się do zaproponowanej wyżej konwencji, możemy zapisać:

dla soczewki dwuwypukłej:

R16Clj2r5tb9a

Rys. 7. Rysunek przedstawia schematycznie (w uproszczeniu) sposób rysowania soczewki dwuwypukłej. Za pomocą dwóch cyrkli o ustawionych promieniach opisanych wielkimi literami R z indeksami dolnymi odpowiednio jeden i dwa, rysujemy z dwóch wybranych punktów na osi optycznej dwa przecinające się ze sobą łuki. Obszar pomiędzy łukami stanowi soczewkę dwuwypukłą. Obydwa łuki rysujemy od strony materiału soczewki np. szkła dlatego te promienie uznajemy za dodatnie. — Rys. 7. W przypadku soczewki dwuwypukłej promienie krzywizn przyjmują wartości większe od zera, zatem czynnik $(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}})$ jest dla soczewki dwuwypukłej zawsze dodatni

\frac{1}{f} = (\frac{n_{s o c z e w k i}}{n_{o t o c z e n i a}} - 1) (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}})

dla soczewki płasko‑wypukłej:

RMbzTiI4rKQP0

Rys. 8. Rysunek przedstawia schematycznie (w uproszczeniu) sposób rysowania soczewki płasko wypukłej. Za pomocą cyrkla o ustawionym promieniu opisanym wielką literą R z indeksem dolnym dwa, rysujemy z wybranego punktu na osi optycznej łuk. Obszar pomiędzy łukiem, a prostą zamykającą łuk stanowi soczewkę płasko‑wypukłą. — Rys. 8. W przypadku soczewki płasko‑wypukłej $R_{1} = \infty$ , zaś $R_{2} > 0$ , zatem $\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = 0 + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{R_{2}} > 0$ , więc czynnik zawierający promienie jest dodatni

\frac{1}{f} = (\frac{n_{s o c z e w k i}}{n_{o t o c z e n i a}} - 1) (0 + \frac{1}{R_{2}})

dla soczewki dwuwklęsłej:

RJphUoZyucMr3

Rys. 9. Rysunek przedstawia schematycznie (uproszczony) sposób rysowania soczewki dwuwklęsłej. Za pomocą dwóch cyrkli o ustawionych promieniach opisanych wielkimi literami minus R z indeksami dolnymi odpowiednio jeden i dwa rysujemy z dwóch wybranych punktów na osi optycznej dwa łuki (łuki te się nie przecinają). Obszar pomiędzy łukami stanowi soczewkę dwuwklęsłą. Obydwa łuki rysujemy od strony materiału otoczenia (a nie soczewki) np. powietrza dlatego te promienie uznajemy za ujemne. — Rys. 9. W przypadku soczewki dwuwklęsłej oba promienie przyjmują wartości ujemne, zatem $- \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} < 0$ , więc czynnik zawierający promienie jest mniejszy od zera

\frac{1}{f} = (\frac{n_{s o c z e w k i}}{n_{o t o c z e n i a}} - 1) (- \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})

Jak już wcześniej wspomniano, ogniskowaogniskowaogniskowa soczewki nie zależy wyłącznie od krzywizny powierzchni, ale również od rodzaju materiału, z którego dana soczewka została wykonana – a ściślej rzecz ujmując – od jego współczynnika załamania. Jeśli $n_{s o c z e w k i} < n_{o t o c z e n i a}$ , to wyrażenie zawarte w pierwszym nawiasie przyjmie wartość mniejszą od zera. Jeśli iloczyn obu nawiasów, będący odwrotnością ogniskowejogniskowaogniskowej, przyjmie wartość dodatnią – mamy wówczas do czynienia z soczewką skupiającą, jeśli zaś wartość mniejszą od zera – z soczewką rozpraszającą. Co to oznacza? Otóż, w przypadku soczewki skupiającej promień świetlny po przejściu przez nią zostanie odchylony w kierunku osi optycznej (Rys. 10.). W przypadku soczewki rozpraszającej promień zostanie odchylony w kierunku przeciwnym (Rys. 11.).

RvVQIOgb04WC9

Rys. 10. Rysunek przedstawia schematycznie bieg promienia przez soczewkę skupiającą. Soczewka taka jest przedstawiona w postaci pionowego odcinka prostopadłego do osi optycznej ze strzałkami na obu końcach skierowanymi na zewnątrz. Promień poruszający się równolegle do osi optycznej po przejściu przez taką soczewkę skręca częściowo w kierunku osi optycznej (jest skupiany). — Rys. 10. Bieg promienia przechodzącego przez soczewkę skupiającą

R1NNJa0WUuxiw

Rys. 11. Rysunek przedstawia schematycznie bieg promienia przez soczewkę rozpraszającą. Soczewka taka jest przedstawiona w postaci pionowego odcinka prostopadłego do osi optycznej ze strzałkami na obu końcach skierowanymi do wewnątrz. Promień poruszający się równolegle do osi optycznej po przejściu przez taką soczewkę skręca częściowo w kierunku przeciwnym do osi optycznej (jest rozpraszany). — Rys. 11. Bieg promienia przechodzącego przez soczewkę rozpraszającą

Warto także zwrócić uwagę na to, że soczewka może być skupiająca bądź rozpraszająca zależnie od ośrodka, w którym się znajduje. Tym samym soczewka, która w powietrzu jest soczewką skupiającą, po zanurzeniu w odpowiedniej cieczy, może stać się rozpraszająca (Rys. 12.).

RSTBxTS3h9bCa

Rys. 12. Rysunek składa się z dwóch schematów. Schemat po lewej przedstawia soczewkę dwuwypukłą (np. szklaną) znajdującą się w powietrzu. Promienie poruszające się równolegle do osi optycznej po przejściu przez tę soczewkę ulegają skupieniu. Schemat po prawej przedstawia soczewkę dwuwypukłą (np. szklaną) znajdującą się w cieczy o większym współczynniku załamania niż materiał, z którego zrobiona jest soczewka. Promienie poruszające się równolegle do osi optycznej po przejściu przez tę soczewkę ulegają rozproszeniu. — Rys. 12. Po zanurzeniu w cieczy o współczynniku załamania większym od współczynnika załamania soczewki, soczewka, która w powietrzu była skupiająca, stała się rozpraszająca

Słowniczek

Ognisko

(ang.: focus) punkt układu optycznego, leżący na osi optycznej, charakteryzujący się tym, że promienie początkowo równoległe do osi optycznej po przejściu przez soczewkę przecinają się w nim.

Ogniskowa

(ang.: focus lenght) odległość pomiędzy ogniskiem a środkiem soczewki mierzona wzdłuż osi optycznej.

Zdolność skupiająca soczewki

(ang.: optical power) wielkość fizyczna równa co do wartości odwrotności ogniskowej soczewki.

Przemyśl

Opisujemy zależność ogniskowej soczewki od jej krzywizny oraz współczynnika załamania

To ciekawe

Warto przeczytać

Słowniczek