Przemyśl

Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym

W tym miejscu przeanalizujesz co ma większą energię kinetyczną: kula czy walec, jeśli mają tę samą masę i prędkość kątową, a walec ma tę samą wysokość co kula.

Jest to zadanie podobne do opisanego w przykładzie w treści e‑materiału – ale teraz zamiast takiego samego promienia mamy taką samą wysokość (wynik jest odwrotny niż w przykładzie).

R4B1yX3NDpSlH

Polecenie 1

Wykonaj do tego filmu rysunek analogiczny do tego zaprezentowanego w przykładzie 2 w rozdziale „Przeczytaj”. Czy widzisz, dlaczego teraz kula ma większą energię kinetyczną?

Polecenie 1

Dlaczego moment bezwładności kuli będzie większy od momentu bezwładności walca?

Polecenie 2

Skoro wiesz już jak wygląda moment bezwładności jednorodnego walca względem jego osi symetrii (patrz rozdział „Przeczytaj”), zastanów się jak wygląda moment bezwładności jednorodnego walca względem osi prostopadłej do walca i przechodzącej przez jego środek?

Przyjmij, że wzór na moment bezwładności pręta (mającego masę m i długość l) względem osi przechodzącej przez jego koniec ma postać:

I = k m l^{2}

gdzie k jest współczynnikiem bezwymiarowym.

Zauważ, że moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek masy można przedstawić jako sumę momentów bezwładności jego połówek względem osi przechodzących przez ich końce, czyli:

I_{p} = 2 k \frac{m}{2} {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{k}{4} m l^{2}

Zgodnie z twierdzeniem Steinera:

I = m {(\frac{l}{2})}^{2} + I_{p} = \frac{1}{4} m l^{2} + \frac{k}{4} m l^{2} = \frac{1 + k}{4} m l^{2}

Po przyrównaniu prawych stron powyższych równości mamy:

k m l^{2} = \frac{1 + k}{4} m l^{2} \to k = \frac{1}{3}

Ostatecznie otrzymujemy wzór wyrażający moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek masy, który wygląda następująco:

I_{p} = \frac{1}{12} m l^{2}

Polecenie 3

Moment bezwładności jednorodnej kuli względem dowolnej osi przechodzącej przez środek kuli jest już znany (patrz w rozdziale „Przeczytaj”). Ile wynosi moment bezwładności cienkiej, pustej w środku sfery względem dowolnej osi przechodzącej przez środek sfery?

Moment bezwładności liczymy względem osi. Powierzchnię sfery tniemy na współosiowe pierścienie o promieniu x i szerokości dx. Moment bezwładności pojedynczego pierścienia dI wynosi:

d I = x^{2} d m, d m = σ d A; d A = 2 π x d s; d s = R d φ; x = R \sin φ

d I = 2 π σ R^{4} \sin^{2} φ \sin φ d φ = 2 π σ R^{4} (1 - \cos^{2} φ) \sin φ d φ

Wartość I znajdujemy przez całkowanie względem phi w granicach od do pi (stosujemy podstawienie cos phi = u; - sin phi dphi = du) i znajdujemy dla sfery:

I = \frac{2 m R^{2}}{3}

Przeczytaj

Przećwicz

Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym