Pewien zakład pracy zatrudnia $4$ pracowników. W maju pracownicy  przepracowali odpowiednio: $160$ godzin, $220$ godzin, $140$ godzin, $180$ godzin. Obliczymy średnią godzin przepracowanych w maju przez jednego pracownika.

Rozwiązanie:

Zbiorowość statystyczną tworzą pracownicy zakładu pracy. Jest $4$ pracowników, zatem liczba jednostek statystycznych to $n=4$.

Badana cecha to liczba przepracowanych godzin. Wartości tej cechy:

$x_1=160$ godzin, $x_2=220$ godzin, $x_3=140$ godzin, $x_4=180$ godzin.

Wykonujemy obliczenia, podstawiając wyznaczone liczby do wzoru na średnią arytmetyczną.

$\overline{x}=\frac{160+220+140+180}{4}=\frac{700}{4}$

$\overline{x}=175$ godzin

Odpowiedź:

Średnio w maju pracownik przepracował $175$ godzin. Dwóch pracowników przepracowało mniej godzin, a dwóch więcej od średniej.

Średnie miesięczne wynagrodzenie w firmie zatrudniającej $9$ pracowników wynosiło $3600 \mathrm{zł}$. Zatrudniono nowego pracownika i teraz średnie miesięczne wynagrodzenie wzrosło o $5\%$. Obliczymy ile zarabia nowo zatrudniony pracownik.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$x_1 \mathrm{zł}$ – zarobki pierwszego pracownika,
$x_2 \mathrm{zł}$ – zarobki drugiego pracownika,
...
$x_9 \mathrm{zł}$ – zarobki dziewiątego pracownika,
$x_{10} \mathrm{zł}$ – zarobki dziesiątego, nowo przyjętego pracownika.

Wtedy:

$\frac{x_1+x_2+\dots +x_9}{9}=3600$

Stąd:

$x_1+x_2+...+x_9=32400$

Po zatrudnieniu nowego pracownika średnia arytmetyczna zarobków wzrosła i wynosi teraz:

$105\%·3600=3780 \mathrm{zł}$

Podstawiając uzyskane dane do wzoru na średnią arytmetyczną, wyznaczymy wynagrodzenie nowo zatrudnionego pracownika.

$\frac{x_1+x_2+\dots x_9+x_{10}}{10}=3780 |·10$

$x_1+x_2+...+x_9+x_{10}=37800$

$32400+x_{10}=37800$

$x_{10}=5400 \mathrm{zł}$

Odpowiedź:

Nowo zatrudniony pracownik zarabia $5400 \mathrm{zł}$.

Wystawiając ocenę końcoworoczną z biologii w pewnej szkole, bierze się pod uwagę trzy liczby:

$s$ – średnią arytmetyczną ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego,
$p$ – ocenę z obowiązkowej pracy projektowej,
$u$ – udział w konkursach, olimpiadach, turniejach.

Wynik końcowy $k$ ustala się według wzoru:

$k=\frac{3}{4}s+\frac{1}{8}p+\frac{1}{8}u$

Największe znaczenie (największą wagę) ma więc średnia ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego, oceny $p$ i $u$ mają mniejszą wagę.

Mówimy, że końcowa ocena $k$ jest średnią ważoną ocen $s$, $p$, $u$ z wagami odpowiednio $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{8}$.

Obliczymy średnią ważoną liczb z podanymi wagami.

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

${\overline{x}}_w=\frac{x_1{w}_1+x_2{w}_2+\dots +x_n{w}_n}{w_1+w_2+\dots +w_n}$

W rozważanym przypadku:

$x_1=3$, $x_2=6$, $x_3=18$

$w_1=2$, $w_2=3$, $w_3=1$

Stąd:

${\overline{x}}_w=\frac{3·2+6·3+18·1}{2+3+1}=\frac{42}{6}=7$

Odpowiedź:

Średnia ważona podanego zestawu liczb jest równa $7$.

Aneta na egzaminie maturalnym zdawała trzy przedmioty w zakresie rozszerzonym: matematykę, fizykę i język angielski. Z matematyki uzyskała $42$ punkty, z fizyki $28$ punktów i z języka angielskiego $26$ punktów.

Aby Aneta została przyjęta na wybrane studia, średnia ważona liczby uzyskanych przez nią punktów powinna wynosić co najmniej $35$.

Przy czym punktom zdobytym z matematyki przypisywano wagę $6$, z fizyki wagę $4$ i z języka obcego wagę $1$.

Ustalimy, czy Aneta dostanie się na wybrane przez siebie studia.

Rozwiązanie:

Przedstawimy wszystkie dane w tabeli.

Obliczamy średnią ważoną liczby uzyskanych punktów.

${\overline{x}}_w=\frac{390}{11}\approx 35,5$

$\mathrm{35,5}>35$

Odpowiedź:

Średnia ważona uzyskanych przez Anetę punktów jest większa od wymaganej, zatem dostanie się ona na studia.

Uzyskane wyniki można zinterpretować następująco: pomimo, że Aneta otrzymała mniejszą liczbę punktów od wymaganej z fizyki i języka angielskiego, to wysoka waga liczby punktów uzyskanych z matematyki spowodowała, że w konsekwencji uzyskała wymaganą liczbę punktów.

Zauważmy też, że gdyby o przyjęciu na studia decydowała średnia arytmetyczna, to Aneta nie dostałaby się na studia, gdyż średnia ta jest równa $\frac{42+28+26}{3}=32$.

Obliczymy średnią arytmetyczną zestawu danych: $2$, $4$, $6$, $10$, $2$, $2$, $4$, $6$, $10$, $10$, $2$, $4$.

Rozwiązanie:

I sposób:

Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.

$\overline{x}=\frac{2+4+6+10+2+2+4+6+10+10+2+4}{12}=\frac{62}{12}=5\frac{1}{6}$

II sposób:

Zamiast średniej arytmetycznej obliczymy średnią ważoną, przyjmując, że wagami są liczebności danych.

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

${\overline{x}}_w=\frac{62}{12}=5\frac{1}{6}$

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same liczby.

Odpowiedź:

Średnia arytmetyczna zestawu danych jest równa $5\frac{1}{6}$.

Wyznaczymy medianę zestawu liczb: $1$, $6$, $2$, $8$, $5$, $4$, $3$.

Porządkujemy zestaw danych: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$.

Jest $7$ liczb. Środkowa to liczba $4$ (z prawej i lewej strony liczby $4$ znajdują się po $3$ elementy).

RL69C6iw7ru5e

Ilustracja przedstawia ciąg liczb: jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, osiem. Liczba cztery występująca w srodku ciągu opisana jest jako mediana, em równa się cztery..

Grupę dziewcząt zapytano: Ile uprawiasz dyscyplin sportowych?

Otrzymano następujące dane: $0$, $0$, $0$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $3$.

Określimy medianę tego zestawu danych.

Uzyskany szereg statystyczny jest już uporządkowany. Liczba elementów jest nieparzysta, zatem medianą będzie wartość środkowa, równa $1$.

R1Yr4jhYCOEFf

Ilustracja przedstawia ciąg cyfr: zero, zero, zero, jeden, jeden, jeden, jeden, jeden, dwa, dwa, trzy. Jedynka występująca w środku ciągu, która ma obu stronach po pięć cyfr, jest opisana jako em równa się jeden.

Interpretacja wyniku: połowa dziewcząt nie uprawia żadnej dyscypliny sportowej lub uprawia jedną, a druga połowa uprawia co najmniej jedną dyscyplinę sportową.

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

Liczba elementów szeregu: $n=7$.

Medianą jest liczba $x_k$, gdzie $k=\frac{7+1}{2}=4$.

Stąd $M=x_4=10$.

Medianą zestawu danych jest liczba $10$.

Wyznaczymy medianę zestawu danych: $1$, $4$, $4$, $6$, $1$, $1$, $5$,$2$.

Porządkujemy dane: $1$, $1$, $1$, $2$, $4$, $4$, $5$,$6$.

Liczba danych jest parzysta. Gdybyśmy zaznaczyli  prostą, dzielącą zbiór danych na dwie równe części, to mediana byłaby  średnią arytmetyczną dwóch liczb, sąsiadujących z prawej i lewej strony z linią podziału. Czyli dwóch liczb „środkowych”.

RCCLqNkjpDB4V

Ilustarcja przedstawia ciąg liczb: jeden, jeden, jeden, dwa, cztery, cztery, pięć, sześć. Liczby dwa i cztery ułożone w środku ciągu to mediana i jest opisana jako em równa się dwa dodać cztery przez dwa równa się trzy.

Medianą danego zbioru danych jest liczba $3$.

Określimy medianę wieku grupy $6$ osób, od których uzyskano następujące dane: $10 \mathrm{lat}$, $14 \mathrm{lat}$, $20 \mathrm{lat}$, $18 \mathrm{lat}$, $16 \mathrm{lat}$, $25 \mathrm{lat}$.

Tworzymy szereg uporządkowany: $10$, $14$, $16$, $18$, $20$, $25$.

Liczba danych jest parzysta. Obliczamy średnią arytmetyczną dwóch liczb „środkowych”.

$\frac{16+18}{2}=17$

$M=17 \mathrm{lat}$

Mediana wieku badanej grupy osób jest równa 17 lat.   

Interpretacja mediany: $50\%$ badanych osób ma wiek mniejszy bądź równy $17 \mathrm{lat}$, $50\%$ badanych osób ma wiek większy bądź równy $17 \mathrm{lat}$.

W zbiorze: $\{$gorzki, słodki, kwaśny, gorzki, gorzki, kwaśny, kwaśny, gorzki $\}$ dominantą jest gorzki (ten element w zbiorze danych wystąpił najwięcej razy).

Na grzędce rosną: $3$ astry, $6$ róż, dwie aksamitki i $4$ fiołki. Najwięcej jest róż. Zatem, jeśli rozważymy zbiór kwiatów rosnących na tej grządce, to dominantą będzie róża.

W zbiorze danych: $1$, $4$, $6$, $6$, $6$, $7$, $9$, $9$, $9$ są dwie dominanty: $6$ i $9$. Obie te liczby występują w danym zbiorze tyle samo razy.

$D\in \left\{6, 9\right\}$

W każdym z $6$ pokoi policzono liczbę okien i otrzymano następujące wyniki: $1$, $1$, $2$, $2$, $3$, $3$.

W tym zestawie wszystkie wyniki powtarzają się po tyle samo razy. Przyjmujemy, że ten zbiór nie ma dominanty.

W tabeli przedstawiono oceny z historii uzyskane przez Anię, Ewę i Julka.

$R=6–4=2$

$R=4–3=1$

$R=5–1=4$

Policzono ile bombek zawieszono na $4$ choinkach stojących na Placu Ratuszowym. Otrzymano następujące wyniki: $126$, $47$, $24$, $183$.

Obliczymy średnią arytmetyczną liczby bombek i dla każdego wyniku podamy odchylenie od średniej liczb bombek.

Rozwiązanie:

Obliczamy średnią arytmetyczną:

$\overline{x}=\frac{126+47+24+183}{4}=95$

Obliczamy odchylenie od średniej.

Wniosek:

Największe odchylenie od średniej jest w przypadku choinki, na której zawieszono $183$ bombki.

Obliczymy odchylenie przeciętne dla zestawu danych z Przykładu $2$.

$d=\frac{31+48+71+88}{4}=59,5\approx 60$

Możemy powiedzieć, że liczby bombek na poszczególnych choinkach różnią się o ok. $60$ od średniej dla wszystkich choinek.

W loterii fantowej wzięły udział $3$ osoby. Każda wyciągnęła $10$ losów. Pierwsza z osób wyciągnęła 4 losy pełne, druga $6$, a trzecia $2$. Obliczymy wariancję wyciagnięcia losów pełnych.

Obliczamy średnią arytmetyczną liczb: $4$, $6$, $2$.

$\overline{x}=\frac{4+6+2}{3}=4$

Obliczamy wariancję.

${\sigma }^2=\frac{{\left(4-4\right)}^2+{\left(6-4\right)}^2+{\left(2-4\right)}^2}{3}=\frac{0+4+4}{3}=\frac{8}{3}\approx 2,7$

Wariancja jest równa w przybliżeniu $2,7$.

Obliczymy wariancję dla zestawu danych zapisanych w tabeli liczebności.

Obliczamy średnią arytmetyczną.

$\overline{x}=\frac{2·2+4·5+6·1+10·2}{2+5+1+2}=\frac{4+20+6+20}{10}=5$

Obliczymy wariancję.

${\sigma }^2=\frac{2·{\left(2-5\right)}^2+5·{\left(4-5\right)}^2+1·{\left(6-5\right)}^2+2·{\left(10-5\right)}^2}{10}$

${\sigma }^2=\frac{2·9+5·1+1·1+2·25}{10}=\frac{74}{10}=7,4$

Wariancja dla podanego zestawu danych jest równa $7,4$.

Obliczymy rozstęp, średnią arytmetyczną, odchylenie przeciętne i wariancję dla zestawu danych: $-4$, $10$, $-1$, $0$, $5$.

Rozwiązanie:

Zapisujemy dane w postaci uporządkowanego szeregu statystycznego.

Obliczamy rozstęp.

$R=x_5-x_1=10-\left(-4\right)=14$

Obliczamy średnią arytmetyczną.

$\overline{x}=\frac{-4-1+0+5+10}{5}=2$

Obliczamy odchylenie przeciętne.

$d=\frac{\left|-4-2\right|+\left|10-2\right|+\left|-1-2\right|+\left|0-2\right|+\left|5-2\right|}{5}=\frac{6+8+3+2+3}{5}=4,4$

Obliczamy wariancję.

${\sigma }^2=\frac{{\left(-4-2\right)}^2+{\left(10-2\right)}^2+{\left(-1-2\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2+{\left(5-2\right)}^2}{5}$

${\sigma }^2=\frac{6^2+8^2+3^2+2^2+3^2}{5}=\frac{122}{5}=24,4$

Na podstawie wartości uzyskanych parametrów zauważamy, że zróżnicowanie danych jest duże (różnica między wartością największą a najmniejszą to aż $14$, wariancja to $24,4$).

Zbadano liczbę czekoladek w pudełkach z napisem „zawartość $500 \mathrm{g}$”. Otrzymano wyniki: $20$, $21$, $23$, $19$, $17$. Obliczymy odchylenie standardowe tych danych.

Rozwiązanie:

Porządkujemy dane według rosnących wartości.

Określamy liczbę danych: $n=5$.

Obliczamy średnią arytmetyczną.

$\overline{x}=\frac{17+19+20+21+23}{5}=20$

Obliczamy odchylenia od średniej dla każdej z danych.

$\left|17-20\right|=3$

$\left|19-20\right|=1$

$\left|20-20\right|=0$

$\left|21-20\right|=1$

$\left|23-20\right|=3$

Obliczamy odchylenie standardowe, podstawiając do wzoru wyznaczone odchylenia od średniej.

$\sigma =\sqrt{\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\dots +{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n}}$

$\sigma =\sqrt{\frac{3^2+1^2+0^2+1^2+3^2}{5}}$

$\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=2$

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe jest równe $2$, co oznacza, że liczba czekoladek w pudełkach różni się przeciętnie od średniej o $2$ czekoladki.

Zbadano cenę pączków w kilku sklepach. Otrzymano następujące wyniki: $2 \mathrm{zł}$, $2,5 \mathrm{zł}$, $3 \mathrm{zł}$, $1,5 \mathrm{zł}$, $4 \mathrm{zł}$, $2 \mathrm{zł}$. Obliczymy odchylenie standardowe ceny pączków od średniej.

Rozwiązanie:

Porządkujemy dane: $1,5 \mathrm{zł}$, $2 \mathrm{zł}$, $2 \mathrm{zł}$, $2,5 \mathrm{zł}$, $3 \mathrm{zł}$, $4 \mathrm{zł}$.

Obliczamy średnią arytmetyczną cen.

$\overline{x}=\frac{1,50+2+2+2,50+3+4}{6}$

$\overline{x}=\frac{15}{6}$

$\overline{x}=2,5 \mathrm{zł}$

Obliczamy odchylenie od średniej dla każdej z danych.

$\left|1,50-2,50\right|=1$

$\left|2-2,50\right|=0,50$

$\left|2,50-2,50\right|=0$

$\left|3-2,50\right|=0,50$

$\left|4-2,50\right|=1,50$

Obliczamy odchylenie standardowe.

$\sigma =\sqrt{\frac{1^2+{\left(0,50\right)}^2+{\left(0,50\right)}^2+0^2+{\left(0,5\right)}^2+{\left(1,5\right)}^2}{6}}$

$\sigma =\sqrt{\frac{4}{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\sigma \approx \mathrm{0,82}zł$

Odpowiedź:

Odchylenie standardowe jest równe w przybliżeniu $\mathrm{0,82}zł$, co oznacza, że ceny różnią się przeciętnie o $\mathrm{0,82}zł$ od średniej ceny.