1. Sześcian sumy

R1dXLYgV0pBV7

ROkw3Y97alPvr1

Obraz przedstawia dojrzałego mężczyznę w eleganckim stroju przepasanego czerwonym aksamitem. — Johann Wolfgang von Goethe
Źródło: Gerhard von Kügelgen, dostępny w internecie: www.wikimedia.commons.org, domena publiczna.

Matematycy to osobliwy naród – wszystko chcą upraszczać. Nie wystarczy im mnożenie wielomianów, ale jeszcze muszą wymyślać dziwne wzory, które według jednych pomagają, a według innych tylko gmatwają obliczenia algebraiczne.

Nawet Goethe zauważył, że Matematycy są jak Francuzi: cokolwiek im się powie, od razu przekładają to na swój własny język i wówczas staje się to zupełnie czymś innym.

Czy więc warto poznawać kolejne wzory skróconego mnożenia?

Wiemy już, że wzory skróconego mnożenia przydają się przy mnożeniu lub potęgowaniu wyrażeń algebraicznych. Znamy już takie wzory stopnia drugiego. Teraz zajmiemy się wzorami skróconego mnożenia stopnia trzeciego. Na początek pierwszy z nich wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy w obliczeniach arytmetycznych.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy w przekształceniach algebraicznych.

Obliczymy dwoma sposobami objętość sześcianu przedstawionego na rysunku. Zakładamy, że $a > 0$ , $b > 0$ .

R1pLwVOklKiK0

Na ilustracji znajduje się sześcian z wyznaczonymi na swoim boku w innych kolorach długościami A oraz B. Na jednej ze ścian sześcianu widnieje równanie: otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Krawędź sześcianu ma długość $a + b$ , zatem:

V = {(a + b)}^{3}

Rmvadwsig2WnP

Na ilustracji znajduje się sześcian z wyznaczonymi długościami A oraz B. Na jednej ze ścian sześcianu oznaczone kolorem jest pole A do potęgi trzeciej. Na kolejnych dwóch ścianach oznaczone zostało pole B do potęgi trzeciej. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Objętość sześcianu obliczamy teraz jako sumę objętości sześcianu o krawędzi długości $a$ , sześcianu o krawędzi długości $b$ , trzech prostopadłościanów o krawędziach długości $a$ , $a$ , $b$ oraz trzech prostopadłościanów o krawędziach długości $a$ , $b$ , $b$ .

V = a^{3} + b^{3} + 3 \cdot a \cdot a \cdot b + 3 \cdot a \cdot b \cdot b = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń.

bg‑azure

Wzór na sześcian sumy dwóch wyrażeń:

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń plus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując sześcian sumy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

{(a + b)}^{3} = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2}) =

= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Korzystając ze wzoru na sześcian sumy, można podnosić do sześcianu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

{(x + 1)}^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} + 1^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

{(a + \sqrt[3]{2})}^{3} = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot \sqrt[3]{2} + 3 \cdot a \cdot {(\sqrt[3]{2})}^{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{3} =

= a^{3} + 3 \sqrt[3]{2} a^{2} + 3 \sqrt[3]{4} a + 2

{(x^{2} + 3)}^{3} = x^{6} + 3 \cdot x^{4} \cdot 3 + 3 \cdot x^{2} \cdot 9 + 3^{3} = x^{6} + 9 x^{4} + 27 x^{2} + 27

{(2 x + 5 a)}^{3} = {(2 x)}^{3} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 5 a + 3 \cdot 2 x \cdot {(5 a)}^{2} + {(5 a)}^{3} =

= 8 x^{3} + 60 a x^{2} + 150 a^{2} x + 125 a^{3}

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na sześcian sumy.

{(x y + 2 \sqrt{5})}^{3} = {(x y)}^{3} + 3 \cdot {(x y)}^{2} \cdot 2 \sqrt{5} + 3 \cdot x y \cdot {(2 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{3} =

= x^{3} y^{3} + 6 \sqrt{5} x^{2} y^{2} + 60 x y + 40 \sqrt{5}

{(a^{4} x^{3} + 0,1)}^{3} = a^{12} x^{9} + 3 \cdot a^{8} x^{6} \cdot 0,1 + 3 \cdot a^{4} x^{3} \cdot {(0,1)}^{2} + {(0,1)}^{3} =

= a^{12} x^{9} + 0,3 a^{8} x^{6} + 0,03 a^{4} x^{3} + 0,001

Jeżeli oba składniki sumy, którą należy podnieść do sześcianu, poprzedzone są znakiem „ $-$ ”, można wyłączyć $(- 1)$ przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia. W wyniku zmieniamy znaki otrzymanej sumy na przeciwne.

Na przykład:

{(- 4 x - y)}^{3} = {[(- 1) (4 x + y)]}^{3} = {(- 1)}^{3} (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}) =

= - 64 x^{3} - 48 x^{2} y - 12 x y^{2} - y^{3}

Wykorzystanie wzoru na sześcian sumy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt[3]{7}$ .

3 \cdot {(x + \frac{1}{3})}^{3} - x \cdot (3 x + 1) = 3 \cdot (x^{3} + x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{27}) - 3 x^{2} - x = 3 x^{3} + \frac{1}{9}

3 \cdot {(- \sqrt[3]{7})}^{3} + \frac{1}{9} = - 20 \frac{8}{9}

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $- 20 \frac{8}{9}$ .

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

R8n9E6SP5NNCk

Kwadrat do potęgi trzeciej plus trzy kwadrat do potęgi drugiej koło plus trzy kwadrat koło do potęgi drugiej plus koło do potęgi trzeciej równa się otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

125 a^{3} + 75 a^{2} + 15 a + 1 = (5 a + 1) (5 a + 1) (5 a + 1)

27 x^{3} + 216 x^{2} y + 576 x y^{2} + 512 y^{3} = (3 x + 8 y) (3 x + 8 y) (3 x + 8 y)

3 a^{3} + 3 \sqrt[3]{9} a^{3} + 3 \sqrt[3]{3} a^{3} + a^{3} = (\sqrt[3]{3} a + a) (\sqrt[3]{3} a + a) (\sqrt[3]{3} a + a)

k^{3} + 1,5 k^{2} m + 0,75 k m^{2} + 0,125 m^{3} = (k + 0,5 m) (k + 0,5 m) (k + 0,5 m)

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumyWzór skróconego mnożenia na sześcian sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

{(2 + \sqrt{2})}^{3} - 14 \sqrt{2} = 8 + 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 2 + \sqrt{8} - 14 \sqrt{2} =

= 20 + 14 \sqrt{2} - 14 \sqrt{2} = 20

(4 + 3 \sqrt[3]{9} + 3 \sqrt[3]{3}) - {(1 + \sqrt[3]{3})}^{2} = {(1 + \sqrt[3]{3})}^{3} - {(1 + \sqrt[3]{3})}^{2} =

= {(1 + \sqrt[3]{3})}^{2} (1 + \sqrt[3]{3} - 1) = \sqrt[3]{3} {(1 + \sqrt[3]{3})}^{2}

Polecenie 1

Zapisz podane iloczyny w postaci sum, wykonując odpowiednie mnożenia.

a) $(1 + m) (1 + m) (1 + m)$

b) $(x + 2 y) (x + 2 x) (x + 2 y)$

c) $(2 x^{2} + 3 x) {(2 x^{2} + 3 x)}^{2}$

d) ${(4 + \sqrt{2})}^{2} (4 + \sqrt{2})$

Zapoznaj się z filmem samouczkiem i jeszcze raz zamień iloczyny na sumy – tym razem korzystając z odpowiedniego wzoru. Porównaj otrzymane wyniki.

RsnJyPEKCgIrT

Polecenie 2

Oblicz objętość sześcianu o boku długości $(a + 2)$ . Podaj ilustrację geometryczną wykonanego działania.

$V = a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8$

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumyWzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia sześcianów niektórych liczb.

Przykład 6

Aby obliczyć sześciany liczb $14$ , $31$ , $102$ zapisujemy każdą z nich w postaci sumy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

14^{3} = {(10 + 4)}^{3} = 10^{3} + 3 \cdot 100 \cdot 4 + 3 \cdot 10 \cdot 16 + 4^{3} = 2744

31^{3} = {(30 + 1)}^{3} = 30^{3} + 2700 + 90 + 1^{3} = 27000 + 2791 = 29791

102^{3} = {(100 + 2)}^{3} = 100^{3} + 60000 + 1200 + 2^{3} = 1000000 + 61208 = 1061208

Przykład 7

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy sześciany liczb mieszanych $2 \frac{1}{3}$ , $1 \frac{3}{4}$ .

{(2 \frac{1}{3})}^{3} = {(2 + \frac{1}{3})}^{3} = 2^{3} + 4 + \frac{2}{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 12 \frac{2}{3} + \frac{1}{27} = 12 \frac{19}{27}

{(1 \frac{3}{4})}^{3} = {(1 + \frac{3}{4})}^{3} = 1^{3} + \frac{9}{4} + \frac{27}{16} + {(\frac{3}{4})}^{3} = 1 + \frac{9}{4} + \frac{27}{16} + \frac{27}{64} = 5 \frac{23}{64}

Przykład 8

Wykażemy, że liczba $K = \sqrt[3]{2021 + 2020 \cdot 2021 \cdot 2022}$ jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:

Oznaczmy: $m = 2021$ .

Wtedy:

$m - 1 = 2020$

$m + 1 = 2022$

Stąd:

K = \sqrt[3]{m + (m - 1) m (m + 1)}

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i zapisujemy iloczyn $(m - 1) (m + 1)$ jako różnicę kwadratów: $m^{2} - 1$ .

Przekształcamy wyrażenie podpierwiastkowe.

K = \sqrt[3]{m + (m^{2} - 1) m}

K = \sqrt[3]{m + m^{3} - m}

K = \sqrt[3]{m^{3}} = m

Ponieważ $m = 2021$ , stąd $K = \sqrt[3]{2021^{3}} = 2021$ .

Liczba $2021$ jest liczbą całkowitą, co należało udowodnić.

Wzór ${(a + b)}^{3}$ zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania stopnia trzeciego.

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125 = 0$ .

Rozwiązanie:

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci sześcianu dwumianu.

x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125 = 0

{(x + 5)}^{3} = 0

Stąd:

x + 5 = 0

x = - 5

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 5)$ .

Przykład 10

Rozwiążemy równanie $x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$ .

Rozwiązanie:

Przekształcamy lewą stronę równania tak, aby otrzymać „rozwinięcie” sześcianu sumy i kwadratu sumy.

x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0

(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) + (x^{2} + 4 x + 4) = 0

„Zwijamy” sumy w nawiasach odpowiednio w sześcian sumy i kwadrat sumy.

{(x + 2)}^{3} + {(x + 2)}^{2} = 0

Wyłączamy wspólny czynnik (czyli ${(x + 2)}^{2}$ ) przed nawias.

{(x + 2)}^{2} (x + 2 + 1) = 0

{(x + 2)}^{2} (x + 3) = 0

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.

$x + 2 = 0$ lub $x + 3 = 0$

$x = - 2$ lub $x = - 3$

Odpowiedź:

Równanie ma dwa pierwiastki $- 3$ i $- 2$ (pierwiastek podwójny).

Wzór ${(a + b)}^{3}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 11

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $M = \frac{8 x^{3} + 6 x y^{2} + 12 x^{2} y + y^{3}}{(2 y + 4 x) (2 x + y)}$ .

Wyłączmy wspólny czynnik w mianowniku wyrażenia.

M = \frac{8 x^{3} + 6 x y^{2} + 12 x^{2} y + y^{3}}{2 (y + 2 x) (2 x + y)}

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci sześcianu dwumianu, a w mianowniku w postaci kwadratu dwumianu.

M = \frac{{(2 x + y)}^{3}}{2 {(2 x + y)}^{2}}

Skracamy.

M = \frac{2 x + y}{2}

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na sześcian sumywzór skróconego mnożenia na sześcian sumy w dowodzeniu twierdzeń, trzeba najpierw dokładnie przeanalizować założenie oraz tezę twierdzenia. O zastosowaniu wzoru najczęściej wnioskujemy na podstawie zapisanych w treści twierdzenia wyrażeń algebraicznych.

Przykład 12

Uzasadnimy, że jeśli $x$ , $y$ są liczbami rzeczywistymi takimi, że $x + y + z = 0$ to $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 x y z$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeśli $x + y + z = 0$ to $z = - x - y$ , czyli $x + y = - z$ .

Stąd:

x^{3} + y^{3} + z^{3} = x^{3} + y^{3} - {(x + y)}^{3} = - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} = 3 x y (- x - y) = 3 x y z

Przykład 13

Uzasadnimy, ze jeśli liczba $a + \frac{1}{a}$ jest liczbą całkowitą, to liczba $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ też jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:

Oznaczmy: $K = a + \frac{1}{a}$ .

Podnosimy do sześcianu obie strony zapisanej równości.

K^{3} = {(a + \frac{1}{a})}^{3}

K^{3} = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{a} + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{3}}

K^{3} = a^{3} + 3 a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^{3}}

Grupujemy odpowiednio wyrazy i przekształcamy tak, aby po lewej stronie otrzymać rozważaną sumę.

K^{3} = 3 (a + \frac{1}{a}) + (a^{3} + \frac{1}{a^{3}})

a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = K^{3} - 3 K

Ponieważ $K$ jest liczbą całkowitą, zatem i prawa strona równości jest liczbą całkowitą, a co za tym idzie i lewa strona równości to liczba całkowita, co należało wykazać.

Polecenie 3

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Spróbuj każdy przykład rozwiązać najpierw samodzielnie i dopiero porównać z galerią.

R15l77o1H5aXq

R6YyMCCR9DLkH

R1A6iGwFco6HQ

RzZcSSMORoVSM

R82BQBOOc8aDP

Polecenie 4

Wykaż, że $2 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \geq a b (a + b) + b c (b + c) + a c (a + c)$ .

(a^{3} + b^{3}) + (a^{3} + c^{3}) + (b^{3} + c^{3}) \geq a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + a c^{2} + b^{2} c + b c^{2}

R1UyADiEtlbP01

Ćwiczenie 1

R1ce60GoD3wdS11

Ćwiczenie 2

RENa15lr6r5c52

Ćwiczenie 3

R3tPwPE0ppWOU2

Ćwiczenie 4

R18VHuCqbjkkG2

Ćwiczenie 5

RGSoEEV7knHLC2

Ćwiczenie 6

R1OL3un7X2A9e3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że sześcian liczby naturalnej nieparzystej jest liczbą nieparzystą.

$2 n + 1$ , gdy $n \in N$ – liczba nieparzysta,

${(2 n + 1)}^{3}$ – sześcian liczby nieparzystej,

${(2 n + 1)}^{3} = 8 n^{3} + 12 n^{2} + 6 n + 1 = 2 (4 n^{3} + 6 n^{2} + 3 n) + 1$ – sześcian liczby nieparzystej w dzieleniu przez $2$ daje resztę $1$ , zatem jest to liczba nieparzysta.

RohIhDUe3qKSK1

Ćwiczenie 9

RnnGrCy7jKWB41

Ćwiczenie 10

R1an5aoL39VEv2

Ćwiczenie 11

R1YEw1zqlXcHh2

Ćwiczenie 12

Rrmpy9QDmOjA72

Ćwiczenie 13

R1bMYyYBJZ3Jw2

Ćwiczenie 14

RWVeDYTB94Xba2

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Wykaż, że wyrażenie ${(x + 2)}^{3} - {(x + 1)}^{3} - 3 x (x + 3)$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartość dodatnią.

{(x + 2)}^{3} - {(x + 1)}^{3} - 3 x (x + 3) =

= x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 1 - 3 x^{2} - 9 x = 7

7 > 0

Ćwiczenie 17

Wiadomo, że $x y = 6$ i $x + y = 5$ . Wyznacz $x^{3} + y^{3}$ wiedząc, że $x > 0$ , $y > 0$ .

Do wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy podstawiamy dane liczby.

{(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2}

5^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y)

x^{3} + y^{3} = 125 - 3 \cdot 6 \cdot 5

x^{3} + y^{3} = 35

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy

sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń plus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia

2. Sześcian różnicy

M_R_W14_M1 Wzory skróconego mnożenia

1. Sześcian sumy

Słownik