2. Sześcian różnicy

RzidKu1u2PQMm

RBPva8CgA3KZX1

Na ilustracji znajduje się portret starszego mężczyzny ubranego w koszulę z dużym kołnierzem oraz ciemną pelerynę. Mężczyzna ma duże oczy, orli nos, wąs z małą brodą pod ustami oraz gęste loki do ramion i grzywkę. — Portret Kartezjusza autorstwa Fransa Halsa (1648)
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Na pewno znasz słynne twierdzenie cogito ergo sum (myślę, więc jestem) wybitnego siedemnastowiecznego francuskiego filozofa Rene Descartesa, zwanego Kartezjuszem.

Ale czy wiesz, że to Kartezjusz wprowadził konsekwentnie małe litery z początku alfabetu: a, b, c, ... na oznaczenie stałych?

Zatem to jemu zawdzięczamy w dużej mierze ujednolicenie symboliki algebraicznej, a w konsekwencji jednoznaczne rozumienie przez różnojęzycznych matematyków zapisów typu ${(a + b)}^{3}$ czy ${(a - b)}^{3}$ .

Omówimy teraz wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń. Wzór ten ma wiele zastosowań. Przede wszystkim pozwala szybciej wykonywać mnożenie niektórych wyrażeń algebraicznych, jak również zamieniać niektóre wyrażenia na iloczyny. Ma zastosowanie przy przekształcaniu wzorów, rozwiązywaniu równań i nierówności, znajdowaniu pierwiastków wielomianu.

Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy pozwoli na obliczenie sześcianu różnicy dwóch wyrażeń, bez konieczności redukcji wyrazów podobnych.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy w obliczeniach arytmetycznych.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy w przekształceniach algebraicznych.

Wyprowadzimy teraz wzór na sześcian różnicy dwóch wyrażeń. W tym celu sześcian zapiszemy w postaci iloczynu dwumianu oraz kwadratu dwumianu i wykonamy mnożenie.

{(a - b)}^{3} = (a - b) {(a - b)}^{2} = (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2})

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Stąd:

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie, plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego, minus sześcian drugiego wyrażenia.

Korzystając ze wzoru na sześcian różnicy, można podnosić do sześcianu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

{(x - 1)}^{3} = x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} - 1^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

{(a - \sqrt[3]{3})}^{2} = a^{3} - 3 \cdot a^{2} \cdot \sqrt[3]{3} + 3 \cdot a \cdot \sqrt[3]{9} - 3 = a^{3} - 3 \sqrt[3]{3} a^{2} + 3 \sqrt[3]{9} a - 3

{(x^{2} - 4)}^{3} = x^{6} - 3 \cdot x^{4} \cdot 4 + 3 \cdot x^{2} \cdot 4^{2} - 4^{3} = x^{6} - 12 x^{4} + 48 x^{2} - 64

{(2 x - 3 a)}^{3} = {(2 x)}^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 a + 3 \cdot 2 x \cdot {(3 a)}^{2} - {(3 a)}^{3} =

= 8 x^{3} - 36 a x^{2} + 54 x a^{2} - 27 a^{3}

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na sześcian różnicy.

{(x y - 2 \sqrt{3})}^{3} = {(x y)}^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot y^{2} \cdot 2 \sqrt{3} + 3 \cdot x y {(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{3} =

= x^{3} y^{3} - 6 \sqrt{3} x^{2} y^{2} + 36 x y - 24 \sqrt{3}

{(a^{4} x^{3} - 0,1)}^{3} = a^{12} x^{9} - 3 \cdot a^{8} x^{6} \cdot 0,1 + 3 \cdot a^{4} x^{3} {(0,1)}^{2} - 0,001 =

= a^{12} x^{9} - 0,3 a^{8} x^{6} + 0,03 a^{4} x^{3} - 0,001

Wykorzystanie wzoru na sześcian różnicy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie ${(1 - x)}^{3} - {(1 + x)}^{3} + 2 x^{3}$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - 0, 5$ .

{(1 - x)}^{3} - {(1 + x)}^{3} = (1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3}) - (1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}) + 2 x^{3}

{(1 - x)}^{3} - {(1 + x)}^{3} = 1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3} - 1 - 3 x - 3 x^{2} - x^{3} + 2 x^{3}

{(1 - x)}^{3} - {(1 + x)}^{3} = - 6 x

- 6 \cdot 0, 5 = - 3

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $(- 3)$ .

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

RoBNYNX79w2jz

Grafika przedstawia wyrażenie przedstawione za pomocą kółek oraz kwadratów. Wyrażenie jest następujące: kwadrat do potęgi trzeciej minus trzy kwadraty do potęgi drugiej razy koło plus trzy kwadraty razy koło do potęgi drugiej minus koło do potęgi trzeciej równa się otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu kwadrat minus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

125 a^{3} - 75 a^{2} + 15 a - 1 = (5 a - 1) (5 a - 1) (5 a - 1)

27 x^{3} - 135 x^{2} y + 225 x y^{2} - 125 y^{3} = (3 x - 5 y) (3 x - 5 y) (3 x - 5 y)

3 a^{3} - 9 a^{2} c + 9 a c^{2} - 3 c^{3} = 3 (a - c) (a - c) (a - c)

k^{3} - 3 \sqrt{3} k^{2} + 9 k - 3 \sqrt{3} = (k - \sqrt{3}) (k - \sqrt{3}) (k - \sqrt{3})

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicyWzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy można zastosować, obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

{(3 - \sqrt{3})}^{3} + 30 \sqrt{3} = 27 - 27 \sqrt{3} + 27 - 3 \sqrt{3} + 30 \sqrt{3} = 54

{(\sqrt{2} - 2 \sqrt{5})}^{3} - (62 \sqrt{2} - 52 \sqrt{5}) = {(\sqrt{2} - 2 \sqrt{5})}^{3} - {(\sqrt{2} - 2 \sqrt{5})}^{3} = 0

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady.

Następnie porównaj rozwiązania.

RpyvrpXbWvqcD1

Infografika przedstawia wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń. Najpierw zapisany został sześcian różnicy: nawias a, minus, b zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, następnie został on wymnożony i przedstawiony w następującej postaci: a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, gdzie a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian pierwszego wyrażenia, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b to potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie wyrażenie, trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego to potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego wyrażenia, a minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian drugiego wyrażenia. Następnie zaprezentowany został przykład numer jeden. Gdzie zapisano w postaci sumy sześcian różnicy liczb x i dwa y. Nasz sześcian różnicy to: nawias x, minus, dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, w postaci sumy wygląda tak: x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy, razy, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, dwa y, plus, trzy, razy, x, razy, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Przy czym x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego to sześcian pierwszego wyrażenia. Następnie Odejmujemy potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia, czyli liczby x, przez drugie wyrażenie, czyli dwa y, człon ten to minus, trzy, minus, r indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y. Kolejno dodajemy potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia, czyli liczby x, przez kwadrat drugiego wyrażenia, czyli dwa y. Część ta to trzy, plus, x, razy, nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. I na koniec Odejmujemy sześcian drugiego wyrażenia, czyli dwa y co wygląda tak: nawias dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Następnie dokonujemy mnożenia składników i potęgowania, co daje nam następującą formę wyrażenia: nawias x, minus, dwa y zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, plus, trzy, razy, x, razy, cztery y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Na koniec zapisujemy wyrażenie nawias, x, minus, dwa y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego w postaci sumy. I otrzymujemy: x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y, plus, dwanaście x y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Przykład drugi: nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego również zapisujemy za pomocą sumy i otrzymujemy: nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy, razy, nawias pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, trzy, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, razy, nawias pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Przyglądnijmy się kolejnym składnikom wyrażenia: Od początku: nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, Następnie w drugim członie wyrażenia nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy, Następnie zauważmy, że nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa Oraz nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Następnym krokiem jest wykonanie działań na elementach, które można ze sobą zsumować lub je odjąć. Zatem w wyrażeniu : trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dziewięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka dokonujemy następujących działań: trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka oraz dziewięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, jedenaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Ostatecznie nasze wyrażenie ma postać: równa się, dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, jedenaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka

Sześcian różnicy liczb $a$ i $b$ to różnica $a$ i $b$ zapisana w nawiasie i podniesiona do potęgi trzeciej.

Sześcian różnicy liczb $a$ i $b$ zapisany jako sumę algebraiczną to a sześcian minus trzy razy $a$ kwadrat $b$ plus trzy razy $a$ $b$ kwadrat minus $b$ sześcian.

Możesz spróbować udowodnić ten wzór zapisując trzecią potęgę jako iloczyn trzech takich samych składników: $a$ minus $b$ i wykonując standardowe mnożenie nawiasów.

Rozważymy teraz dwa przykłady. Przykład $1$ : Zapisz wyrażenie $x - 2 y$ do potęgi trzeciej jako sumę algebraiczną

Rolę $a$ we wzorze pełni $x$ natomiast rolę $b$ pełni $2 y$

Zatem sześcian różnicy $x$ i $2 y$ to $x$ sześcian odjąć $3$ razy $x$ kwadrat razy $2 y$ plus $3$ razy $x$ razy $2 y$ do kwadratu i $2 y$ do potęgi trzeciej. Po uproszczeniu otrzymujemy $x$ sześcian minus $6$ $x$ kwadrat $y$ plus dwanaście $x$ $y$ kwadrat minus osiem $y$ sześcian.

Przykład $2$ : Oblicz, ile wynosi sześcian różnicy pierwiastka z trzech i pierwiastka z dwóch.

Ponownie korzystamy z wzoru na sześcian różnicy. Mamy więc wyrażenie: pierwiastek z trzech do potęgi trzeciej minus trzy razy trzy razy pierwiastek z dwóch plus trzy razy pierwiastek z trzech razy dwa minus pierwiastek z dwóch do potęgi trzeciej. Po wykonaniu działań otrzymujemy trzy pierwiastki z trzech minus dziewięć pierwiastków z dwóch plus sześć pierwiastków z trzech minus dwa pierwiastki z dwóch, czyli dziewięć pierwiastków z trzech minus trzynaście jedenaście pierwiastków z dwóch.

Polecenie 2

Zapisz ${(x - 2 \sqrt{3})}^{3}$ w postaci sumy algebraicznej.

$x^{3} - 6 \sqrt{3} x^{2} + 36 x - 24 \sqrt{3}$

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicyWzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia sześcianów niektórych liczb.

Przykład 6

Aby obliczyć sześciany liczb $19$ , $38$ , $197$ zapisujemy każdą z nich w postaci różnicy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

19^{3} = {(20 - 1)}^{3} = 20^{3} - 3 \cdot 400 \cdot 1 + 3 \cdot 20 \cdot 1 - 1^{3} = 6859

38^{3} = {(40 - 2)}^{3} = 40^{3} - 9600 + 480 - 2^{3} = 64000 - 9128 = 54872

197^{3} = {(200 - 3)}^{3} = 200^{3} - 360000 + 5400 - 3^{3} =

= 8000000 - 354627 = 7645373

Przykład 7

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy sześciany liczb mieszanych $2 \frac{1}{3}$ , $1 \frac{3}{4}$ .

{(2 \frac{1}{3})}^{3} = {(3 - \frac{2}{3})}^{3} = 3^{3} - 18 + 4 - {(\frac{2}{3})}^{3} = 13 - \frac{8}{27} = 12 \frac{19}{27}

{(1 \frac{3}{4})}^{3} = {(2 - \frac{1}{4})}^{3} = 2^{3} - 3 + \frac{3}{8} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 5 + \frac{24}{64} - \frac{1}{64} = 5 \frac{23}{64}

Przykład 8

Nie wykonując dodawania wykażemy, że liczba $M = \sqrt[3]{2197 - 1521 + 351 - 27}$ jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $2197 = 13^{3}$ i $27 = 3^{3}$ .

Sprawdzamy jeszcze, że $1521 = 3 \cdot 13^{2} \cdot 3$ i $352 = 3 \cdot 13 \cdot 3^{2}$ .

Wynika z tego, że $2197 - 1521 + 352 - 27 = {(13 - 3)}^{3} = 10^{3}$ .

Wtedy:

M = \sqrt[3]{2197 - 1521 + 351 - 27} = \sqrt[3]{10^{3}} = 10

Liczba $10$ jest liczbą całkowitą, co należało udowodnić.

Wzór ${(a - b)}^{3}$ zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania stopnia trzeciego.

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 = 0$ .

Rozwiązanie:

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci sześcianu różnicy.

x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 = 0

{(x - 5)}^{3} = 0

Stąd:

x - 5 = 0

x = 5

Rozwiązaniem równania jest liczba $5$ .

Przykład 10

Rozwiążemy równanie $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4 = 0$ .

Rozwiązanie:

Przekształcamy lewą stronę równania tak, aby otrzymać „rozwinięcie” sześcianu różnicy i kwadratu różnicy.

x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4 = 0

(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) + (x^{2} - 4 x + 4) = 0

„Zwijamy” sumy w nawiasach odpowiednio w sześcian różnicy i kwadrat różnicy.

{(x - 2)}^{3} + {(x - 2)}^{2} = 0

Wyłączamy wspólny czynnik (czyli ${(x - 2)}^{2}$ ) przed nawias.

{(x - 2)}^{2} (x - 2 + 1) = 0

{(x - 2)}^{2} (x - 1) = 0

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.

$x - 2 = 0$ lub $x - 1 = 0$

$x = 2$ lub $x = 1$

Odpowiedź:

Równanie ma dwa pierwiastki $1$ i $2$ (pierwiastek podwójny).

Wzór ${(a - b)}^{3}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 11

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie

M = \frac{4 x^{3} - 24 x^{3} y + 48 x^{3} y^{2} - 32 x^{3} y^{3}}{(2 - 8 y + 8 y^{2}) (x^{3} - 2 x^{3} y)}

Rozwiązanie:

W liczniku wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli $4 x^{3}$ . W mianowniku z pierwszego nawiasu wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli $2$ . Z drugiego nawiasu wyłączamy wspólny czynnik poza nawias, czyli $x^{3}$ .

M = \frac{4 x^{3} (1 - 6 y + 12 y^{2} - 8 y^{3})}{2 \cdot (1 - 4 y + 4 y^{2}) \cdot x^{3} \cdot (1 - 2 y)}

Skracamy.

M = \frac{2 \cdot (1 - 6 y + 12 y^{2} - 8 y^{3})}{(1 - 4 y + 4 y^{2}) (1 - 2 y)}

Zauważmy, że $1 - 6 y + 12 y^{2} - 8 y^{3} = {(1 - 2 y)}^{3}$ i $1 - 4 y + 4 y^{2} = {(1 - 2 y)}^{2}$ .

Zatem:

M = \frac{2 \cdot {(1 - 2 y)}^{3}}{{(1 - 2 y)}^{2} \cdot (1 - 2 y)}

Ponownie skracamy.

M = 2

Dowodząc twierdzenia zapisanego za pomocą wyrażeń arytmetycznych lub algebraicznych, nie zawsze łatwo jest rozpoznać, że warto skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy. W wielu wypadkach należy najpierw odpowiednio „rozpisać” dane wyrażenie.

Przykład 12

Wykażemy, że $\sqrt[3]{14 \sqrt{2} + 20} = 4 - \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}}$ .

Rozwiązanie:

Zapisujemy liczbę $14 \sqrt{2} + 20$ w postaci, która powoli nam stwierdzić, że dane wyrażenie jest sześcianem pewnego wyrażenia.

14 \sqrt{2} + 20 = 12 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 12 + 8 = 8 + 12 \sqrt{2} + 12 + 2 \sqrt{2} = {(2 + \sqrt{2})}^{3}

Podobnie przekształcamy liczbę $20 - 14 \sqrt{2}$ . Tym razem „rozpisujemy” wyrażenie tak, aby pokazać, że jest to sześcian różnicy.

20 - 14 \sqrt{2} = 8 + 12 - 12 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = 8 - 12 \sqrt{2} + 12 - 2 \sqrt{2} = {(2 - \sqrt{2})}^{3}

Stąd:

\sqrt[3]{14 \sqrt{2} + 20} = 4 - \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}}

\sqrt[3]{{(2 + \sqrt{2})}^{3}} = 4 - \sqrt[3]{{(2 - \sqrt{2})}^{3}}

Ponieważ $\sqrt[3]{a} = a$ , zatem:

2 + \sqrt{2} = 4 - 2 + \sqrt{2}

2 + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}

W wyniku przekształceń równoważnych otrzymaliśmy równość prawdziwą, czyli równość $\sqrt[3]{14 \sqrt{2} + 20} = 4 - \sqrt[3]{20 - 14 \sqrt{2}}$ jest tożsamością, co należało wykazać.

Przykład 13

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ równość ${(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3} + {(c - a)}^{3} = 3 (a - b) (b - c) (c - a)$ jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Przekształcimy lewą stronę równości, wykonując odpowiednie działania.

L = (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}) + (b^{3} - 3 b^{2} c + 3 c^{2} b - c^{3}) +

+ (c^{3} - 3 c^{2} a + 3 a^{2} c - a^{3})

L = - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - 3 b^{2} c + 3 c^{2} b - 3 c^{2} a + 3 a^{2} c

L = 3 \cdot (- a^{2} b + a b^{2} - b^{2} c + c^{2} b - c^{2} a + a^{2} c)

Przekształcimy teraz prawą stronę równości.

P = 3 \cdot (a - b) (b c - b a - c^{2} + c a)

P = 3 \cdot (a b c - b a^{2} - a c^{2} + a^{2} c - b^{2} c + b^{2} a + b c^{2} - a b c)

P = 3 \cdot (- b a^{2} - a c^{2} + a^{2} c - b^{2} c + b^{2} a + b c^{2})

L = P

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją. Spróbuj każdy przykład rozwiązać najpierw samodzielnie i dopiero porównać z animacją.

R1OIcEnWMlLKc

Polecenie 4

Wykaż, że ${(a - b)}^{3} + {(a - c)}^{3} + 3 a b (a - b) + 3 a c (a - c) = 2 a^{3} - b^{3} - c^{3}$ .

$L = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} + a^{3} - 3 a^{2} c + 3 a c^{2} - c^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + 3 a^{2} c - 3 a c^{2}$

$L = 2 a^{3} - b^{3} - c^{3}$

$L = P$

R11XErdUqxhvw1

Ćwiczenie 1

Rp5G7Za9rHjjG1

Ćwiczenie 2

Dopasuj działanie do wyniku. nawias, a, minus, dziesięć b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzysta a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, tysiąc b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzysta a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzydzieści a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 3. tysiąc b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy tysiące b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, a, plus, trzy tysiące a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, zero przecinek trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, zero przecinek zero zero jeden b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego nawias, dziesięć a, minus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzysta a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, tysiąc b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzysta a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzydzieści a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 3. tysiąc b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy tysiące b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, a, plus, trzy tysiące a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, zero przecinek trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, zero przecinek zero zero jeden b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego nawias, minus, dziesięć a, plus, dziesięć b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzysta a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, tysiąc b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzysta a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzydzieści a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 3. tysiąc b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy tysiące b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, a, plus, trzy tysiące a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, zero przecinek trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, zero przecinek zero zero jeden b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego nawias, dziesięć a, minus, zero przecinek jeden b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzysta a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, tysiąc b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 2. tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzysta a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, trzydzieści a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 3. tysiąc b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy tysiące b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, a, plus, trzy tysiące a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, minus, tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. tysiąc a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b, plus, zero przecinek trzy a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, zero przecinek zero zero jeden b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego

R355VcFx3GUJu2

Ćwiczenie 3

RiAQ8rIOBVeDY2

Ćwiczenie 4

RmDTrTiFgnS1R2

Ćwiczenie 5

RBHN5mh6FzN9F2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równe liczby. nawias, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, razy
razy, nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści jeden, minus, trzynaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 2. dwadzieścia dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwadzieścia pięć, 3. trzydzieści jeden pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, pięćdziesiąt osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. sto sześćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, sto trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka nawias, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, razy
razy, nawias, siedem, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści jeden, minus, trzynaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 2. dwadzieścia dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwadzieścia pięć, 3. trzydzieści jeden pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, pięćdziesiąt osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. sto sześćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, sto trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka nawias, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści jeden, minus, trzynaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 2. dwadzieścia dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwadzieścia pięć, 3. trzydzieści jeden pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, pięćdziesiąt osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. sto sześćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, sto trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści jeden, minus, trzynaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 2. dwadzieścia dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwadzieścia pięć, 3. trzydzieści jeden pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, pięćdziesiąt osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. sto sześćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, sto trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka

Rq2neXunoUZHo3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych dodatnich dzieli się przez $3$ .

$n - 1$ , $n$ , $n + 1$ – kolejne liczby naturalne, gdy $n \in ℕ$ i $n \geq 2$ .

{(n - 1)}^{3} + n^{3} + {(n + 1)}^{3} = 3 n^{3} + 6 n = 3 (n^{2} + 2 n)

RPLXBlXgCfLk31

Ćwiczenie 9

R1GdO8BrEHQeX1

Ćwiczenie 10

RVwLF6YZcjYwL2

Ćwiczenie 11

RS6WrWGvnHnC32

Ćwiczenie 12

RVYd0kIfWORwQ2

Ćwiczenie 13

R185wMPcYM3S72

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wykaż, że wyrażenie ${(x - 2)}^{3} - {(x - 1)}^{3} + 3 x (x - 3)$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartość ujemną.

{(x - 2)}^{3} - {(x - 1)}^{3} + 3 x (x - 3) =

= x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 + 3 x^{2} - 9 x = - 7

- 7 < 0

Ćwiczenie 16

Wiadomo, że $x y = 15$ i $x - y = 2$ . Wyznacz i $x^{3} - y^{3}$ wiedząc, że $x > 0$ , $y > 0$ .

Do wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy podstawiamy dane liczby.

{(x - y)}^{3} = x^{3} - y^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2}

2^{3} = x^{3} - y^{3} + 3 x y (- x + y)

x^{3} - y^{3} = 8 + 6 \cdot 15

x^{3} - y^{3} = 98

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy

sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrojony iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie, plus potrojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego, minus sześcian drugiego wyrażenia

1. Sześcian sumy

3. Suma sześcianów i różnica sześcianów

2. Sześcian różnicy

Słownik