3. Suma sześcianów i różnica sześcianów

R1X5X8gRmi1Ak

RpSQ0po3SRNfl1

Na ilustracji znajduje się zdjęcie portretowe starszego mężczyzny ubranego w marynarkę i płaszcz. Mężczyzna ma spięte włosy. Na nosie ma okulary korekcyjne. — Ernst Mach
Źródło: dostępny w internecie: http://wikimedia.commons.org, domena publiczna.

Austriacki fizyk i filozof Ernst Mach (1838 r. – 1916 r.), zaliczany do empiriokrytycyzmu (zwanego drugim pozytywizmem), twierdził, że należy usunąć z nauki wiele pojęć uważanych przez niego za metafizyczne (np. pojęcia „atom”, „przyczyna”). Opisy zjawisk naukowych powinny być, według Macha, jak najkrótsze, aby skierować wysiłek na przedstawianie faktów. Taki punkt widzenia kwestionował tradycyjny sposób postrzegania nauki, aby dostarczać drobiazgowej wiedzy. Wpłynął jednak znacząco na rozwój logicznego pozytywizmu.

Dla Macha matematyka była dziedziną wiedzy, która najlepiej realizuje głoszone przez niego idee. Uważał, że: potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych.

W przekonania Macha o upraszczaniu języka naukowego dobrze wpisują się wzory skróconego mnożenia.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów.
Poznasz wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.
Zastosujesz wzory skróconego mnożenia na sumę i różnicę sześcianów do przekształcania wyrażeń algebraicznych i arytmetycznych.

Wzór naę sumę sześcianów

Kolejny wzór skróconego mnożenia który poznamy, nie jest tak łatwy do wyprowadzenia jak poprzednie. Aby uzyskać ten wzór, rozłożymy na czynniki dwumian $a^{3} + b^{3}$ . Niestety nie bardzo wiadomo jak się do tego zabrać. Nie ma tu możliwości grupowania wyrazów, ani stosowania znanych nam wzorów skróconego mnożenia, ani wyłączenia wspólnego czynnika poza nawias. Musimy więc zastosować inny „chwyt” – dodamy $a^{2} b$ odejmiemy $a^{2} b$ .

a^{3} + b^{3} = a^{3} + a^{2} b - a^{2} b + b^{3}

Grupujemy wyrazy i z pierwszej sumy wyłączamy poza nawias $a^{2}$ , a z drugiej $b$ .

a^{3} + b^{3} = a^{2} (a + b) - b (a^{2} - b^{2})

Różnicę $a^{2} - b^{2}$ zapisujemy w postaci iloczynu $(a + b) (a - b)$ , korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i z tak powstałego wyrażenia, wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli $(a + b)$ .

a^{3} + b^{3} = a^{2} (a + b) - b (a + b) (a - b) = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

W ten sposób otrzymaliśmy wzór na sumę sześcianów dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów dwóch wyrażeń.

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń pomniejszoną o iloczyn tych wyrażeń.

Niekiedy wyrażenie $a^{2} - a b + b^{2}$ nazywamy niepełnym kwadratem różnicy wyrażeń $a$ i $b$ . Wtedy wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianówwzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów możemy zapisać słownie: suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez niepełny kwadrat ich różnicy.

Wyprowadzony wzór ma podobne zastosowania jak poznane wcześniej wzory skróconego mnożenia.

Korzystając ze wzoru na sumę sześcianów, można niektóre sumy zapisywać w postaci iloczynów.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci iloczynu.

x^{3} + 1 = x^{3} + 1^{3} = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

a^{3} + 2 = (a + \sqrt[3]{2}) (a^{2} - a \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})

x^{6} + 27 = {(x^{2})}^{3} + 3^{3} = (x^{2} + 3) (x^{4} - 3 x^{2} + 9)

8 x^{3} + 125 x = {(2 x)}^{3} + {(5 \sqrt[3]{x})}^{3} = (2 x + 5 \sqrt[3]{x}) (4 x^{2} - 2 x \cdot 5 \sqrt[3]{x} + 25 \sqrt[3]{x^{2}}) =

= (2 x + 5 \sqrt[3]{x}) (4 x^{2} - 10 x \sqrt[3]{x} + 25 \sqrt[3]{x^{2}})

Przykład 2

Przekształcimy sumy potęg na iloczyny, wykorzystując wzór na sumę sześcianów.

x^{6} + a^{6} = {(x^{2})}^{3} + {(a^{2})}^{3} = (x^{2} + a^{2}) (x^{4} - a^{2} x^{2} + a^{4})

\frac{8}{27} + x^{12} = (\frac{2}{3} + x^{4}) (\frac{4}{9} - \frac{2}{3} x^{4} + x^{8})

Jeżeli oba składniki sumy sześcianów poprzedzone są znakiem „ $-$ ”, można wyłączyć $(- 1)$ przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia. W wyniku zmieniamy znaki otrzymanej sumy na przeciwne.

Na przykład:

- 64 - x^{3} y^{3} = - (64 + x^{3} y^{3}) = - (4 + x y) (16 - 4 x y + x^{2} y^{2})

Wykorzystanie wzoru na sumę sześcianów dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1}$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = \sqrt{2}$ .

Rozwiązanie:

Licznik i mianownik podanego ułamka rozkładamy na czynniki i skracamy.

\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} = \frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia – w miejsce $x$ wstawiamy $\sqrt{2}$ , wykonujemy wskazane działania i usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

\frac{{(\sqrt{2})}^{2} - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(3 - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 \sqrt{2} + 3 - 2 - \sqrt{2}}{2 - 1} =

= 2 \sqrt{2} + 1

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $2 \sqrt{2} + 1$ .

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów jest zapisywanie iloczynu w postaci sumy.

R1L41veVQY4Tg

Ilustracja przedstawia równość pokazaną za pomocą kwadratów i kół użytych zamiast liczb. Lewa strona równości to iloczyn dwóch nawiasów. Nawias pierwszy to suma kwadratu i koła. Nawias drugi to kwadrat do potęgi drugiej odjąć kwadrat razy koło dodać koło do potęgi drugiej. To równa się stronie prawej, czyli kwadrat do potęgi trzeciej dodać koło do potęgi trzeciej.

Przykład 4

Zapiszemy iloczyny algebraiczne w postaci sum.

(5 a + 1) (25 a^{2} - 5 a + 1) = {(5 a)}^{3} + 1^{3} = 125 a^{3} + 1

(3 x + 2 y) (9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2}) = {(3 x)}^{3} + {(2 y)}^{3} = 27 x^{3} + 8 y^{3}

(\sqrt[3]{3} a + a) (\sqrt[3]{9} a^{2} - \sqrt[3]{3} a^{2} + a^{2}) = 3 a^{3} + a^{3} = 4 a^{3}

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

(2 + \sqrt[3]{2}) (4 - 2 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = 8 + 2 = 10

(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2} + 2) = 1^{3} + {(\sqrt{2})}^{3} = 1 + 2 \sqrt{2}

Polecenie 1

Zapisz podane iloczyny w postaci sum, wykonując odpowiednie mnożenia.

$(1 + m) (m^{2} - m + 1)$ ,
$(x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})$ ,
$(2 x^{2} + 3 x) (4 x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2})$ ,
$(4 + \sqrt{2}) (16 - 4 \sqrt{2} + 2)$ ,

Zapoznaj się z poniższą animacją i jeszcze raz zamień iloczyny na sumy – tym razem korzystając z odpowiedniego wzoru. Porównaj otrzymane wyniki.

$m^{3} + 1$ ,
$x^{3} + 8 y^{3}$ ,
$8 x^{6} + 27 x^{3}$ ,
$64 + 2 \sqrt{2}$ ,

RiFCO2hHHgmWa

Polecenie 2

Oblicz objętość prostopadłościanu, którego wysokość jest równa $\frac{1}{2} + x$ , a pole podstawy jest równe $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x + x^{2}$ , gdy $x > 0$ .

$V = \frac{1}{8} + x^{3}$

Wzór naę różnicę sześcianów

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianówWzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń możemy wyprowadzić w podobny sposób jak wzór na sumę sześcianów lub skorzystać po prostu ze wzoru na sumę sześcianów.

Poniżej oba sposoby otrzymania wzoru.

Pierwszy sposób

Chcemy zapisać wyrażenie $a^{3} - b^{3}$ w postaci iloczynu. W tym celu do wyrażenia dodamy $a^{2} b$ i odejmiemy $a^{2} b$ .

a^{3} - b^{3} = a^{3} + a^{2} b - a^{2} b - b^{3}

Grupujemy wyrazy i z pierwszej sumy wyłączamy przed nawias $a^{2}$ , a z drugiej $b$ .

a^{3} - b^{3} = a^{3} - a^{2} b + a^{2} b - b^{3} = a^{2} (a - b) + b (a^{2} - b^{2})

a^{3} - b^{3} = a^{2} (a - b) + b (a + b) (a - b) = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Drugi sposób

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, do którego w miejsce $b$ podstawiamy $(- b)$ .

a^{3} + {(- b)}^{3} = [a + (- b)] \cdot [a^{2} - a \cdot (- b) + {(- b)}^{2}] = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

W ten sposób otrzymaliśmy wzór na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.

bg‑azure

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń:

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń powiększoną o iloczyn tych wyrażeń.

Niekiedy wyrażenie $a^{2} + a b + b^{2}$ nazywamy niepełnym kwadratem sumy wyrażeń $a$ i $b$ . Wtedy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianówwzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów możemy zapisać słownie: różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez niepełny kwadrat ich sumy.

Wyprowadzony wzór ma podobne zastosowania jak poznane wcześniej wzory skróconego mnożenia.

Korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów, można niektóre sumy zapisywać w postaci iloczynów.

Przykład 6

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci iloczynu.

x^{3} - 1 = x^{3} - 1^{3} = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

a^{3} - 2 = (a - \sqrt[3]{2}) (a^{2} + a \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})

x^{6} - 27 = {(x^{2})}^{3} - 3^{3} = (x^{2} - 3) (x^{4} + 3 x^{2} + 9)

8 x^{3} - 125 x = {(2 x)}^{3} - {(5 \sqrt[3]{x})}^{3} = (2 x - 5 \sqrt[3]{x}) (4 x^{2} + 2 x \cdot 5 \sqrt[3]{x} + 25 \sqrt[3]{x^{2}}) =

= (2 x - 5 \sqrt[3]{x}) (4 x^{2} + 10 x \sqrt[3]{x} + 25 \sqrt[3]{x^{2}})

Przykład 7

Przekształcimy różnice potęg na iloczyny, wykorzystując wzór na różnicę sześcianów.

x^{6} - a^{6} = {(x^{2})}^{3} - {(a^{2})}^{3} = (x^{2} - a^{2}) (x^{4} + a^{2} x^{2} + a^{4})

\frac{8}{27} - x^{12} = (\frac{2}{3} - x^{4}) (\frac{4}{9} + \frac{2}{3} x^{4} + x^{8})

Wykorzystanie wzoru na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 8

Zapiszemy wyrażenie $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Licznik i mianownik podanego ułamka rozkładamy na czynniki i skracamy.

\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia – w miejsce $x$ wstawiamy $\sqrt{3}$ , wykonujemy wskazane działania i usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

\frac{{(\sqrt{3})}^{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(4 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}

= \frac{4 \sqrt{3} - 4 + 3 - \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{2}

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $\frac{3 \sqrt{3} - 1}{2}$ .

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów jest zapisywanie iloczynu w postaci różnicy.

Rci5VP1oigbbC

Ilustracja przedstawia równanie zobrazowane za pomocą kwadratów i kół wstawionych w miejscu liczb. Lewa strona równania stanowi iloczyn dwóch nawiasów. Nawias pierwszy to różnica kwadratu i koła. Nawias drugi to kwadrat do potęgi drugiej dodać kwadrat mnożone przez koło dodać koło do potęgi drugiej. To równa się stronie prawej, czyli kwadrat do potęgi trzeciej odjąć koło do potęgi trzeciej.

Przykład 9

Zapiszemy iloczyny algebraiczne w postaci różnic.

(5 a - 1) (25 a^{2} + 5 a + 1) = {(5 a)}^{3} - 1^{3} = 125 a^{3} - 1

(3 x - 2 y) (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2}) = {(3 x)}^{3} - {(2 y)}^{3} = 27 x^{3} - 8 y^{3}

(\sqrt[3]{3} a - a) (\sqrt[3]{9} a^{2} + \sqrt[3]{3} a^{2} + a^{2}) = 3 a^{3} - a^{3} = 2 a^{3}

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 10

(2 - \sqrt[3]{2}) (4 + 2 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = 8 - 2 = 6

(1 - \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2} + 2) = 1^{3} - {(\sqrt{2})}^{3} = 1 - 2 \sqrt{2}

Polecenie 3

Zapisz podane iloczyny w postaci różnic, wykonując odpowiednie mnożenia.
Następnie zapoznaj się z animacją i jeszcze raz zamień iloczyny na różnice – tym razem korzystając z odpowiedniego wzoru. Porównaj otrzymane wyniki.

$(1 - m) (m^{2} + m + 1)$
$(x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2})$
$(2 x^{2} - 3 x) (4 x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2})$
$(4 - \sqrt{2}) (16 + 4 \sqrt{2} + 2)$

$1 - m^{3}$
$x^{3} - 8 y^{3}$
$8 x^{6} - 27 x^{3}$
$64 - 2 \sqrt{2}$

RAIgY6lBOonNz

Polecenie 4

Oblicz objętość prostopadłościanu, którego wysokość jest równa $x - \frac{1}{2}$ , a pole podstawy jest równe $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x + x^{2}$ , gdy $x > \frac{1}{2}$ .

$V = x^{3} - \frac{1}{8}$

Zastosowanie wzorów na sumę i różnicę sześcianów

Nie dysponując kalkulatorem czy innym urządzeniem, który pomoże nam w podniesieniu do potęgi $3$ dodawanych bądź odejmowanych liczb, można zamienić sumy (różnice) na iloczyny, zawierające co najwyżej kwadraty danych liczb, których wartości często znamy na pamięć.

Przykład 11

Aby obliczyć $13^{3} + 7^{3}$ wykorzystamy wzór na sumę sześcianów.

13^{3} + 7^{3} = (13 + 7) (13^{2} - 13 \cdot 7 + 7^{2}) =

= 20 \cdot (169 - 91 + 49) = 20 \cdot 127 = 2540

Przykład 12

W podobny sposób jak w przykładzie $1$ , ale wykorzystując wzór na różnicę sześcianów, obliczymy $15^{3} - 5^{3}$ .

15^{3} - 5^{3} = (15 - 5) (15^{2} + 15 \cdot 5 + 5^{2}) =

= 10 \cdot (225 + 75 + 25) = 10 \cdot 325 = 3250

Przykład 13

Obliczymy wartość wyrażenia $W = 14^{4} + 12^{3} + 6^{3} - 2^{3}$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy najpierw, że dodając $14$ i $6$ otrzymamy „pełną” dziesiątkę: $14 + 6 = 20$ .

Podobnie, odejmując $12$ i $2$ otrzymamy „pełną” dziesiątkę: $12 - 2 = 10$ .

Zatem wykonując obliczenia, wygodnie będzie pogrupować odpowiednio składniki i dopiero zastosować odpowiednie wzory skróconego mnożenia.

W = 14^{4} + 12^{3} + 6^{3} - 2^{3}

W = (14^{3} + 6^{3}) + (12^{3} - 2^{3})

Obliczymy wartość wyrażenia z pierwszego nawiasu, stosując wzór na sumę sześcianów.

14^{3} + 6^{3} = (14 + 6) (14^{2} - 14 \cdot 6 + 6^{2}) = 20 \cdot 148 = 2960

Obliczamy wartość wyrażenia z drugiego nawiasu, stosując wzór na różnicę sześcianów.

12^{3} - 2^{3} = (12 - 2) (12^{2} + 12 \cdot 2 + 2^{2}) = 10 \cdot 172 = 1720

Stąd:

W = 2960 + 1720 = 4680

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $4680$ .

Przykład 14

Stosując poznany wzór skróconego mnożenia, usuniemy niewymierność z mianownika ułamka $A = \frac{2}{\sqrt[3]{2} - 1}$ .

Rozszerzamy ułamek przez $\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1$ , aby zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

A = \frac{2}{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{2}{\sqrt[3]{2} - 1} \cdot \frac{(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1)}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}

Wykonujemy wskazane działania.

A = \frac{2 \cdot (\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1)}{{(\sqrt[3]{2})}^{3} - 1^{3}} = \frac{2 \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{2} + 2}{2 - 1}

A = 2 \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{2} + 2

Przykład 15

Wykażemy, że liczba $M = \frac{2 - \sqrt[3]{3}}{4 - 2 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} + \frac{\sqrt[3]{9}}{11}$ jest liczbą wymierną.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że w mianowniku pierwszego ułamka znajduje się niepełny kwadrat wyrażenia $2 - \sqrt[3]{3}$ .

Zatem chcąc usunąć niewymierność z mianownika tego ułamka, należy pomnożyć licznik i mianownik przez $2 + \sqrt[3]{3}$ i zastosować w mianowniku wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów, a w liczniku wzór na różnicę kwadratów.

\frac{2 - \sqrt[3]{3}}{4 - 2 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} = \frac{2 - \sqrt[3]{3}}{4 - 2 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}} \cdot \frac{2 + \sqrt[3]{3}}{2 + \sqrt[3]{3}} = \frac{2^{2} - {(\sqrt[3]{3})}^{2}}{2^{3} + {(\sqrt[3]{3})}^{3}} = \frac{4 - \sqrt[3]{9}}{11}

Stąd:

M = \frac{4 - \sqrt[3]{9}}{11} + \frac{\sqrt[3]{9}}{11} = \frac{4}{11}

Liczba $M$ jest wymierna, gdyż można ją zapisać w postaci ilorazu liczb całkowitych $4$ i $11$ .

Wzory na sumę sześcianówsumę sześcianów oraz różnicę sześcianówróżnicę sześcianów zastosujemy teraz do zapisu sum algebraicznych w postaci iloczynów, czyli do rozkładu sum na czynniki.

Przykład 16

Rozwiążemy równanie $\frac{x^{3} - 64}{x - 4} = 13$ dla $x \neq 4$ .

Rozwiązanie:

\frac{x^{3} - 64}{x - 4} = 13

Rozkładamy na czynniki licznik ułamka znajdującego się po lewej stronie zapisanej równości i skracamy ułamek.

\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x - 4} = 13

x^{2} + 4 x + 16 = 13

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

x^{2} + 4 x + 16 - 13 = 0

x^{2} + 4 x + 3 = 0

Δ = 16 - 12 = 4 > 0

x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2} = - 3

x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1

Oba uzyskane pierwiastki są różne od $4$ , zatem równanie ma dwa rozwiązania: $(- 3)$ i $(- 1)$ .

Przykład 17

Wykażemy, że suma sześcianów $3$ kolejnych liczb naturalnych dodatnich, jest podzielna przez $3$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

$n - 1$ , $n$ , $n + 1$ – kolejne liczby naturalne, gdy $n \geq 2$ .

Wtedy:

$S = {(n - 1)}^{3} + n^{3} + {(n + 1)}^{3}$ – suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych.

Przekształcamy otrzymaną sumę, korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

S = {(n - 1)}^{3} + n^{3} + {(n + 1)}^{3} = [{(n - 1)}^{3} + {(n + 1)}^{3}] + n^{3}

S = [(n - 1 + n + 1) (n^{2} - 2 n + 1 + n^{2} + 2 n + 1 - n^{2} + 1)] + n^{3}

S = 2 n \cdot (n^{2} + 3) + n^{3}

Wykonujemy mnożenie i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias.

S = 2 n^{3} + 6 n + n^{3}

S = 3 \cdot (n^{3} + 2 n)

Otrzymane wyrażenie jest iloczynem liczby $3$ i sumy liczb naturalnych, zatem liczba $S$ jest podzielna przez $3$ , co należało wykazać.

Polecenie 5

Przeanalizuj przykłady podane w galerii zdjęć interaktywnych i spróbuj rozwiązać je innymi sposobami niż proponowane.

R1AS1xPJKhmtr

R1MQ1VesIOFnh

R3v3yAQR5A7CL

RPIVTP2pYM0y8

R5NA23YLulY56

Rd1yqfxgHplV7

Polecenie 6

Usuń niewymierność z mianownika ułamka $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}$ .

\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{9} \cdot (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})} = 3 - \sqrt[3]{18}

R1GIU56U3EeS61

Ćwiczenie 1

RS1FTsyA0vC1e1

Ćwiczenie 2

R1AsRBXoanoN22

Ćwiczenie 3

R1SEg3r8GW3sW2

Ćwiczenie 4

R1CQKeyW5Fqty2

Ćwiczenie 5

RXrcXcG2baE0a2

Ćwiczenie 6

RyaOHq6ynzLvV3

Ćwiczenie 7

RePLBv2jsQCEA3

Ćwiczenie 8

R1FqZG7yPIP5I1

Ćwiczenie 9

ReHQFXbL54j8I1

Ćwiczenie 10

Rl5pVs3gumDMd2

Ćwiczenie 11

RkYQOV8tVpvqM2

Ćwiczenie 12

Dostępne opcje do wyboru: a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, k indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, jeden, plus, k, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem, x, minus, czterdzieści dziewięć, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, k, minus, k indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x, minus, siedem. Polecenie: Uzupełnij poniższe równości, wybierając odpowiednie wyrażenia spośród podanych. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzysta czterdzieści trzy, równa się, nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu, razy, nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, siedem x, plus, czterdzieści dziewięć zamknięcie nawiasu

pięć, minus, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, równa się, nawias pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu

k indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, k indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, równa się, nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu, razy, nawias k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, k indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, k indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu

RAYLf6zcfWLau2

Ćwiczenie 13

RmKUAliPGCHb62

Ćwiczenie 14

RTN3TpwhvgWXM3

Ćwiczenie 15

R1LI1jxAw5nNV3

Ćwiczenie 16

RqJQzlIPQEZWN1

Ćwiczenie 17

RWhwjH4ntB0Mn1

Ćwiczenie 18

Ćwiczenie 19

Uprość wyrażenie $x^{3} - {(x - 1)}^{3}$ .

$x^{3} - {(x - 1)}^{3} =$

$= x^{3} - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) =$

$= x^{3} - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 =$

$= 3 x^{2} - 3 x + 1$

R1bi2EKoxGquy2

Ćwiczenie 20

R19fs4SXaE1oX2

Ćwiczenie 21

RHt5F2L5LT0qs2

Ćwiczenie 22

Rbg0Md2Jz2o0O3

Ćwiczenie 23

RozltjDjCh2NG3

Ćwiczenie 24

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów

suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń pomniejszoną o iloczyn tych wyrażeń

wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów

różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń powiększoną o iloczyn tych wyrażeń

2. Sześcian różnicy

4. Symbol Newtona. Wzór Newtona. Trójkąt Pascala