7. Wzór na różnicę n‑tych potęg - M_R_W14_M1 Wzory skróconego mnożenia

R155ewhGYsAdL

6. Wzór na różnicę n‑tych potęg

RK3PJBD3MZick1

Ilustracja przedstawia stronę papieru. U góry napisy: Diophanti Alexandrini Arithmeticorvm libri Sex, poniżej kilka obrazków oprawionych ramką. — Strona tytułowa oryginalnego wydania łacińskiego z 1621 r. autorstwa Claude'a Gasparda Bacheta de Méziriac z Diophantus' Arithmetica
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Diofantos, matematyk grecki, żyjący w $III$ wieku, zamiast spędzać przyjemnie czas na plaży (mieszkał w Aleksandrii leżącej nad Morzem Śródziemnym), zajmował się poszukiwaniem uniwersalnego algorytmu na rozwiązywanie w zbiorze liczb naturalnych niektórych typów równań.

Przykładem takiego równania (zwanego obecnie diofantycznym) jest równanie $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ , które dla $n = 2$ przedstawia zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym. Dla $n > 2$ równanie to nie ma rozwiązań (stanowi to treść wielkiego twierdzenia Fermata).

Niestety, Diofantos nie zalazł poszukiwanego algorytmu, za to pozostawił w spadku następnym pokoleniom matematyków wiele pytań z nim związanych.

Wielowiekowe próby odpowiedzi na pytania postawione przez Diofantosa doprowadziły do szybkiego rozwoju metod algebraicznych rozwiązywania równań. A co za tym idzie wzorów skróconego mnożenia, pomocnych w rozkładzie na czynniki wyrażeń algebraicznych.

W tym materiale poznasz dwa z takich wzorów – wzór na różnicę $n$ –tych potęg i wzór na sumę $n$ –tych potęg.

Twoje cele

Zapiszesz różnicę potęg o wykładnikach naturalnych dwóch wyrażeń w postaci sumy jednomianów.
Zapiszesz sumę potęg o wykładnikach naturalnych dwóch wyrażeń w postaci sumy jednomianów.
Wykorzystasz poznane wzory skróconego mnożenia do przekształcania wyrażeń algebraicznych.

Wzór na różnicę $n$ –tych potęg

Zapiszmy kilka różnic kolejnych naturalnych potęg liczb $x$ oraz $y$ .

$x^{1} - y^{1} = x - y$

$x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$

$x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$

$x^{4} - y^{4} = (x - y) (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3})$

$x^{5} - y^{5} = (x - y) (x^{4} + x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3} + y^{4})$

Zauważ, że w powyższych wzorach liczba wyrazów w drugim nawiasie jest równa wykładnikowi potęg stojących z lewej strony równości.

Analizując powyższe wzory zauważamy też inne analogie, które można ująć w postaci wzoru ogólnego.

Ważne!

Wzór na różnicę $n$ –tych potęgwzór na różnicę n–tych potęgWzór na różnicę $n$ –tych potęg:

Dla liczb rzeczywistych $x$ , $y$ i dowolnej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwy jest wzór

x^{n} - y^{n} = (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2} y + . . . + x y^{n - 2} + y^{n - 1})

Pokażemy teraz kilka zastosowań powyższego wzoru.

Przykład 1

Zapiszemy w postaci iloczynu $a^{5} - 32$ .

Ponieważ $32 = 2^{5}$ , więc do wzoru

$x^{5} - y^{5} = (x - y) (x^{4} + x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3} + y^{4})$

podstawiamy:

$x = a$ , $y = 2$

$a^{5} - 2^{5} = (a - 2) (a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} \cdot 2^{2} + a \cdot 2^{3} + 2^{4})$

Wykonujemy wskazane działania w nawiasie.

$a^{5} - 32 = (a - 2) (a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16)$

Zauważmy, że wzór na różnicę $n$ –tych potęgwzór na różnicę n–tych potęgZauważmy, że wzór na różnicę $n$ –tych potęg dla $n = 2$ to znany nam już wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń. Zatem jeśli wykładnik potęgi jest liczbą parzystą, to, rozkładając na czynniki wyrażenie $x^{n} - y^{n}$ można skorzystać (w niektórych przypadkach kilkakrotnie) właśnie z tego wzoru.

Przykład 2

Zapiszemy w postaci iloczynu: $M = 625 - k^{4}$ .

Zauważmy, że $625 = 25^{2}$ i $k^{4} = {(k^{2})}^{2}$ .

Aby zapisać podane wyrażenie w postaci iloczynu, korzystamy dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$M = 625 - k^{4} = 25^{2} - {(k^{2})}^{2} = (25 - k^{2}) (25 + k^{2})$

$M = (5 - k) (5 + k) (25 + k^{2})$

Przykład 3

Zapiszemy iloczyn $(b + 2 c - 2) (b + 2 c + 2)$ w postaci różnicy potęg.

Oznaczmy:

$x = b + 2 c$

Możemy wtedy zapisać:

$(b + 2 c - 2) (b + 2 c + 2) = (x - 2) (x + 2)$

Prawa strona równości to iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę – skorzystamy więc ze wzoru na różnicę kwadratów

$(b + 2 c - 2) (b + 2 c + 2) = x^{2} - 2^{2} = {(b + 2 c)}^{2} - 2^{2}$

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $(x^{3} + x) (x^{2} - 1) = 1 - x$ .

Przenosimy wyrazy z prawej strony równania na lewą.

$(x^{3} + x) (x^{2} - 1) + x - 1 = 0$

Różnicę kwadratów zapisujemy w postaci iloczynu.

$(x^{3} + x) (x - 1) (x + 1) + (x - 1) = 0$

Wyłączamy wspólny czynnik poza nawias.

$(x - 1) \cdot [(x^{3} + x) (x + 1) + 1] = 0$

W nawiasie kwadratowym wykonujemy wskazane działania.

$(x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = 0$

Iloczyn stojący po lewej stronie równania to różnica piątych potęg liczb $x$ oraz $1$ .

$x^{5} - 1 = 0$

Stąd:

$x = 1$

Rozwiązaniem równania jest liczba $1$ .

Ważne!

Jeśli $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, $a$ , $b$ – to dowolne liczby rzeczywiste, to

x^{2 n} - y^{2 n} = (x - y) (x + y) (x^{2 n - 2} + x^{2 n - 4} y^{2} + x^{2 n - 6} y^{4} + . . . + x^{2} y^{2 n - 4} + y^{2 n - 2})

Wzór na sumę $n$ –tych potęg

Zapiszmy kilka sum kolejnych nieparzystych naturalnych potęg liczb $x$ oraz $y$ .

$x^{1} + y^{1} = x + y$

$x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

$x^{5} + y^{5} = (x + y) (x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4})$

$x^{7} + y^{7} = (x + y) (x^{6} - x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{3} y^{3} + x^{2} y^{4} - x y^{5} + y^{6})$

Analizując powyższe wzory, zauważamy pewne analogie, które można ująć w postaci wzoru ogólnego.

Ważne!

Wzór na sumę $n$ –tych potęg:

Dla liczb rzeczywistych $x$ , $y$ i dowolnej liczby naturalnej nieparzystej $n$ prawdziwy jest wzór

$x^{n} + y^{n} = (x + y) (x^{n - 1} - x^{n - 2} y + \dots - x y^{n - 2} + y^{n - 1})$

Pokażemy teraz kilka zastosowań powyższego wzoru.

Przykład 5

Zapiszemy w postaci iloczynu każdą z sum.

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ –tych potęg.

$x^{5} + 32 = x^{5} + 2^{5} = (x + 2) (x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x + 16)$

$x^{3} + 8 = x^{3} + 2^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

$m^{3} + 1 = (m + 1) (m^{2} - m + 1)$

${(x y)}^{7} + 7^{7} = (x y + 7) (x^{6} y^{6} - 7 \cdot x^{5} y^{5} + 7^{2} \cdot x^{4} y^{4} - 7^{3} \cdot x^{3} y^{3} + 7^{4} \cdot x^{2} y^{2} - 7^{5} \cdot x y + 7^{6})$

W niektórych przypadkach w postaci iloczynu można zapisać też sumy potęg o wykładnikach parzystych.

Przykład 6

Korzystając z tożsamości Sophie Germain, zapiszemy każdą z sum w postaci iloczynu.

$a^{18} + 8 b^{18} = (a^{6} + 2 b^{6}) (a^{12} - 2 a^{6} b^{6} + 4 b^{12})$

$a^{12} + 8 b^{12} = (a^{4} + 2 b^{4}) (a^{8} - 2 a^{4} b^{4} + 4 b^{8})$

Przykład 7

Wykażemy, że liczba $M = 6^{20} + 1$ jest liczbą złożoną.

$M = 6^{20} + 1 = 6^{4 \cdot 5} + 1^{5} = (6^{4} + 1) (6^{16} - 6^{12} + 6^{8} - 6^{4} + 1)$

Liczba $M$ jest iloczynem dwóch liczb naturalnych, z których każda jest większa od $1$ , jest więc liczbą złożoną.

Polecenie 1

Zapoznaj się z materiałem przedstawionym w animacji. Zapisz dwie następne różnice potęg, wynikające z równości podanych w Przykładzie 1.

R1dVijlsBv3ca

Polecenie 2

Wykaż, że liczba $2^{10} + 7^{12}$ jest liczbą złożoną.

${(2^{5} + 7^{6})}^{2} - 2 \cdot 2^{5} \cdot 7^{6} = (2^{5} + 7^{6} + 2^{3} \cdot 7^{3}) (2^{5} + 7^{6} - 2^{3} \cdot 7^{3})$

R1JFGpOXLIZYa11

Ćwiczenie 1

RUi5HNWRzAHyE1

Ćwiczenie 2

RnOb9hLxi3OpB2

Ćwiczenie 3

RJ91nsiel7nyW2

Ćwiczenie 4

RXe4NrqYeVSst2

Ćwiczenie 5

RNvHRxObdhKNe2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wykaż, że $x^{4} + y^{4} \leq \frac{x^{6}}{y^{2}} + \frac{y^{6}}{x^{2}}$ , gdy $x \neq 0$ i $y \neq 0$

$x^{4} + y^{4} \leq \frac{x^{6}}{y^{2}} + \frac{y^{6}}{x^{2}}$

$x^{6} y^{2} + x^{2} y^{6} - x^{8} - y^{8} \leq 0 | \cdot (- 1)$

$x^{8} - x^{6} y^{2} + y^{8} - x^{2} y^{6} \geq 0$

${(x^{2} - y^{2})}^{2} \cdot (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}) \geq 0$

Ćwiczenie 8

Wykaż, że wyrażenie $x^{4} - y^{4}$ można zapisać w postaci iloczynu dwoma sposobami: $x^{4} - y^{4} = (x - y) (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3})$ lub $x^{4} - y^{4} = (x + y) (x^{3} - x^{2} y + x y^{2} - y^{3})$ .

W każdym z podanych przypadków wykonamy mnożenie po prawej stronie równości.

$P_{1} = x^{4} + x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3} - x^{3} y - x^{2} y^{2} - x y^{3} - y^{4} = x^{4} - y^{4} = L_{1}$

$P_{2} = x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + x^{3} y - x^{2} y^{2} + x y^{3} - y^{4} = L_{2}$

Słownik

wzór na różnicę n–tych potęg

dla liczb rzeczywistych $x$ , $y$ i dowolnej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwy jest wzór

x^{n} - y^{n} = (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2} y + . . . + x y^{n - 2} + y^{n - 1})

6. Wzór na n‑tą potęgę różnicy

M_R_W14_M1 Wzory skróconego mnożenia

6. Wzór na różnicę n‑tych potęg

Wzór na różnicę n–tych potęg

Wzór na sumę n–tych potęg

Słownik

Wzór na różnicę $n$ –tych potęg

Wzór na sumę $n$ –tych potęg