6. Wzór na n‑tą potęgę różnicy - M_R_W14_M1 Wzory skróconego mnożenia

RArV9BEXbOxyg

5. Wzór na n‑tą potęgę różnicy

R1X6qLCFbObZI1

Ilustracja przedstawia portret mężczyzny w starszym wieku. Jest łysy na czubku głowy, włosy ma tylko po bokach i z tyłu. jest ubrany w garnitur i długi płaszcz. Ma ręce splecione z tyłu i trzyma cylinder. — Profesor Moriarty, ilustracja Sidney Paget, która towarzyszyła oryginalnej publikacji "Ostatecznego problemu"
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

W niektórych opowiadaniach o Sherlocku Holmesie napisanych przez Arthura Conana Doyle’a występuje fikcyjna postać – profesor James Moriarty. Doyle opisuje Moriarty’ego jako makiawelicznego przestępcę, wroga Sherolocka Holmesa, ale też genialnego matematyka. Przypisuje mu odkrycie wzoru na współczynniki rozwinięcia $n$ –tej potęgi dwumianu.

W rzeczywistości metody otrzymywania tych współczynników znane były już w $XIII$ wieku.

W tym materiale poznamy współczesne sposoby określania współczynników rozwinięcia $n$ –tej potęgi różnicy.

Twoje cele

Określisz współczynniki $n$ –tej potęgi dwumianu różnicy, korzystając z trójkąta Pascala.
Zapiszesz $n$ –tą potęgę dwumianu różnicy w postaci sumy, korzystając z dwumianu Newtona.
Wykorzystasz wzory na $n$ –tą potęgę różnicy przekształcając wyrażenia algebraiczne.

Jeśli chcemy zapisać w postaci sumy potęgę ${(a - b)}^{2}$ lub potęgę ${(a - b)}^{3}$ możemy skorzystać z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia. W przypadku, gdy wykładnik potęgi jest większy, potęgę możemy zapisać w postaci iloczynu i wykonać odpowiednie mnożenie.

Na przykład:

${(a - b)}^{4} = {(a - b)}^{2} \cdot {(a - b)}^{2}$

${(a - b)}^{4} = (a^{2} - 2 a b + b^{2}) (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

${(a - b)}^{4} = a^{4} - 2 a^{3} b + a^{2} b^{2} - 2 a^{3} b + 4 a^{2} b^{2} - 2 a b^{3} + a^{2} b^{2} - 2 a b^{3} + b^{4}$

${(a - b)}^{4} = a^{4} - 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} - 4 a b^{3} + b^{4}$

Analizując podany przykład można zauważyć, że zamiana potęgi różnicy na sumę za pomocą mnożenia, jest pracochłonna i łatwo przy tym popełnić błąd. Warto więc skorzystać z innych metod określania wyrazów szukanej sumy.

Zastosowanie trójkąta Pascala

Przyjrzyjmy się kolejnym zapisom w postaci sumy wyrażenia ${(a - b)}^{n}$ , gdzie $n$ – liczba naturalna.

R6MkXJs96GlMw

Ilustracja przedstawia konstrukcję trójkąta Pascala. Z lewej strony zapisano kolejne potęgi różnicy a odjąć b. Potęgi to od góry: 0, 1, 2, 3, 4, pięć. Po prawej stronie zapisano trójkąt Pascala w postaci rozwinięć tych potęg różnicy.Rozwinięciem potęgi zerowej różnicy a minus b jest zerowy wiersz trójkąta, który wynosi jeden.Poniżej zapisano pierwszą potęgę różnicy a minus b. Rozwinięcie zapisane w trójkącie wynosi a minus b.Poniżej zapisano kwadrat różnicy a minus b. Rozwinięcie w trójkącie tej potęgi wynosi a kwadrat odjąć dwa a b dodać b kwadrat.Poniżej zapisano sześcian różnicy a minus b. Rozwinięcie w trójkącie tej potęgi wynosi a do sześcianu odjąć trzy razy a kwadrat razy b dodać trzy razy a razy b kwadrat odjąć b do sześcianu.Poniżej zapisano czwartą potęgę różnicy a minus b. Rozwinięcie w trójkącie tej potęgi wynosi a do potęgi czwartej odjąć 4 razy a do sześcianu razy b dodać 6 razy a kwadrat razy b kwadrat odjąć 4 razy a razy b do sześcianu dodać b do potęgi czwartej.Poniżej zapisano piątą potęgę różnicy a minus b. W trójkącie wynosi ona a do potęgi piątej odjąć 5 razy a do potęgi czwartej razy b dodać 10 razy a do sześcianu razy b do kwadratu odjąć 10 razy a kwadrat razy b do sześcianu dodać 5 razy a razy b do potęgi czwartej odjąć b do potęg piątej.

W otrzymanej sumie pierwszy wykładnik, do której podniesiona jest liczba $a$ jest równy potędze rozważanego dwumianu. Każdy kolejny wykładnik jest mniejszy o $1$ od poprzedniego, aż do ostatniego, który jest równy $0$ . Wykładniki liczby $b$ zmieniają się w odwrotnej kolejności – wzrastają od $0$ do wykładnika, do którego podniesiony jest rozważany dwumian. W każdym ze składników suma wykładników liczb $a$ i $b$ jest równa potędze, do której podniesiony jest dwumian $a - b$ . Znak „minus” poprzedza co drugi składnik.

Aby znaleźć rozwinięcia kolejnych potęg dwumianu $(a - b)$ , stworzymy najpierw tablicę współczynników liczbowych poprzednich rozwinięć.

RI19wiV14FiCa

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty Pascala z sześcioma rzędami opisanymi od góry od zera do pięciu. Na pierwszym z lewej opisano tylko cyfry, od góry: jeden, poniżej jeden, jeden, poniżej jeden, dwa, jeden, poniżej jeden, trzy, trzy, jeden, poniżej jeden, cztery, sześć, cztery, jeden, i ostatni rząd na dole: jeden, pięć, dziesięć, dziesięć, pięć, jeden. Na trójkącie po prawej z tymi samymi cyframi co wcześniej wyrózniono jednym kolorem trzy zbiory cyfr: w rzędzie pierwszym i drugim dwie jedynki i dwójka, w rzędzie trzecim i czwartym trójka, jedynka i czwórka, w rzędzie czwartym i piątym jedynka, czwórka i piątka. Cyfry wyróżnione są w taki sposób, że dwie cyfry w wyższym sumują się do cyfry umieszczonej w niższym rzędzie.

Zauważmy, że skrajne liczby w uzyskanym „trójkącie” (zwanym trójkątem Pascala) to jedynki. Liczby w kolejnych wierszach powstają poprzez dodanie dwóch sąsiednich liczb z wiersza stojącego wyżej. Korzystające z tej obserwacji, dopisujemy kolejne wiersze.

R1Lpycz7tleVd

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala zbudowany z dziewięciu rzędów opisanych od góry od zera do ośmiu. Rzad zero na wierzchołku: jeden, rząd pierwszy jeden, jeden, rząd drugi jeden, dwa, jeden, rząd trzeci jeden, trzy, trzy jeden, rząd czwarty jeden, cztery, sześć, cztery, jeden, rząd piąty jeden, pięć, dziesięć, dziesięć, pięć, jeden, rząd szósty jeden, sześć, piętnaście, dwadzieścia, piętnaście, sześć, jeden, rząd siódmy jeden, siedem, dwadzieścia jeden, trzydzieści pięć, trzydzieści pięć, dwadzieścia jeden, siedem, jeden, rząd ósmy na samym dole trójkąta jeden, osiem, dwadzieścia osiem, pięćdziesiąt sześć, siedemdziesiąt, pięćdziesiąt sześć, dwadzieścia osiem, osiem, jeden.

Możemy teraz utworzyć następny wzór.

${(a - b)}^{6} = 1 \cdot a^{6} - 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} - 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} - 6 a b^{5} + 1 \cdot b^{6}$

Zapiszemy nasze spostrzeżenia w postaci twierdzenia.

n

–ta potęga różnicy

Twierdzenie:

n

–ta potęga różnicy

Dla każdej liczby naturalnej parzystej $n$ i liczb $a$ , $b$ :

${(a - b)}^{n} = c_{0} a^{n} - c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots - c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} b^{n}$

gdzie:
liczby $c_{0}, c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n - 1}, c_{n}$ są kolejnymi liczbami w $n$ –tym wierszu trójkąta Pascala.

Dla każdej liczby naturalnej nieparzystej $n$ i liczb $a$ , $b$ :

${(a - b)}^{n} = c_{0} a^{n} - c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{2} a^{n - 2} b^{2} + . . . + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} - c_{n} b^{n}$

gdzie:
liczby $c_{0}, c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n - 1}, c_{n}$ są kolejnymi liczbami w $n$ –tym wierszu trójkąta Pascala.

Przykład 1

Zapiszemy w postaci sumy wyrażenie ${(1 - d)}^{4}$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z powyższego twierdzenia, odczytując potrzebne współczynniki w $4$ wierszu trójkąta Pascala.

R3JQRLiyhuOMt

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala z sześcioma rzędami opisanymi od góry od zera do pięciu. Innym kolorem oznaczono rząd czwarty jeden, cztery, sześć, cztery, jeden.

${(1 - d)}^{4} = 1^{4} - 4 \cdot 1^{3} \cdot d + 6 \cdot 1^{2} d^{2} - 4 \cdot 1 \cdot d^{3} + d^{4}$

${(1 - d)}^{4} = 1 - 4 d + 6 d^{2} - 4 d^{3} + d^{4}$

Przykład 2

Znajdziemy szósty wyraz rozwinięcia potęgi ${(3 - \sqrt{3})}^{6}$ .

Rozwiązanie:

Odpowiedni współczynnik liczbowy odczytujemy z trójkąta Pascala.

R71okBRrxEBhb

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala zbudowany z ośmiu rzędów opisanych od góry od zera do siedmiu. W trójkącie w szóstym rzędzie wyróżniono szóstkę z prawej stronie.

Jest to liczba $6$ .

W rozwinięciu dwumianu ${(3 - \sqrt{3})}^{6}$ wykładniki potęg liczby $3$ zmniejszają się, a liczby $\sqrt{3}$ zwiększają się.

Zatem iloczyn potęg tych liczb będzie równy $3^{1} \cdot {(\sqrt{3})}^{5} = 3 \cdot 9 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$ .

Stąd wyraz szósty to:

$- 6 \cdot 27 \sqrt{3} = - 162 \sqrt{3}$

Zastosowanie dwumianu Newtona

Korzystając z trójkąta Pascala łatwo jest zapisać w postaci sumy jednomianów potęgę różnicy o niewielkim wykładniku. Natomiast w przypadku dużego wykładnika, trudno jest znaleźć potrzebne współczynniki. Prostszy sposób wyznaczania tych współczynników to wykorzystanie wzoru dwumianowego Newtona, zwanego krótko dwumianem Newtonadwumian Newtonadwumianem Newtona.

Dwumian Newtona

Twierdzenie: Dwumian Newtona

Jeżeli $x$ , $y$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, $n$ jest liczbą naturalną parzystą, to

${(x - y)}^{n} = (\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}) x^{n} - (\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}) x^{n - 1} y + (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) x^{n - 2} y^{2} + . . . - (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) x y^{n - 1} + (\begin{array}{l} n \\ n \end{array}) y^{n}$

Jeżeli $x$ , $y$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, $n$ jest liczbą naturalną nieparzystą, to

${(x - y)}^{n} = (\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}) x^{n} - (\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}) x^{n - 1} y + (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) x^{n - 2} y^{2} + . . . + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) x y^{n - 1} - (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) y^{n}$

Aby móc korzystać z dwumianu Newtona, przypominijmy, że $(\begin{array}{l} n \\ k \end{array})$ (czytamy: $n$ nad $k$ lub $n$ po $k$ ) to tzw. symbol Newtona.

$(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ , dla $0 \leq k \leq n$

Przypomnijmy jeszcze, że zapis $k!$ (czytamy: $k$ silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych dodatnich, nie większych od $k$ .

$k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot . . . \cdot k$

Przykład 3

Zapiszemy w postaci sumy jednomianów ${(x - 1)}^{7}$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z dwumianu Newtonadwumian Newtonadwumianu Newtona.

${(x - 1)}^{7} = (\begin{array}{l} 7 \\ 0 \end{array}) x^{7} \cdot 1^{0} - (\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array}) x^{6} \cdot 1^{1} + (\begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}) x^{5} \cdot 1^{2} - (\begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}) x^{4} \cdot 1^{3} + (\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) x^{3} \cdot 1^{4} - (\begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}) x^{2} \cdot 1^{5} +$

$+ (\begin{array}{l} 7 \\ 6 \end{array}) x^{1} \cdot 1^{6} - (\begin{array}{l} 7 \\ 7 \end{array}) x^{0} \cdot 1^{7}$

Obliczamy kolejne współczynniki.

$(\begin{array}{l} 7 \\ 0 \end{array}) = \frac{7!}{0! (7 - 0)!} = \frac{7!}{1 \cdot 7!} = 1$

$(\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array}) = \frac{7!}{1! (7 - 1)!} = \frac{7!}{1 \cdot 6!} = \frac{6! \cdot 7}{6!} = 7$

$(\begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}) = \frac{7!}{2! (7 - 2)!} = \frac{7!}{2 \cdot 5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 5!} = 21$

$(\begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}) = \frac{7!}{3! (7 - 3)!} = \frac{7!}{6 \cdot 4!} = \frac{4! 5 \cdot 6 \cdot 7}{6 \cdot 4!} = 35$

$(\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) = \frac{7!}{4! (7 - 4)!} = \frac{7!}{24 \cdot 3!} = \frac{3! 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{24 \cdot 3!} = 35$

$(\begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}) = \frac{7!}{5! (7 - 5)!} = \frac{7!}{120 \cdot 2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{120 \cdot 2!} = 21$

$(\begin{array}{l} 7 \\ 6 \end{array}) = \frac{7!}{6! (7 - 6)!} = \frac{6! \cdot 7}{6! \cdot 1!} = 7$

$(\begin{array}{l} 7 \\ 7 \end{array}) = \frac{7!}{7! (7 - 7)!} = \frac{7!}{7! \cdot 0!} = 1$

Do uzyskanego wyrażenia podstawiamy wyznaczone liczby.

${(x - 1)}^{7} = x^{7} - 7 x^{6} + 21 x^{5} - 35 x^{4} + 35 x^{3} - 21 x^{2} + 7 x^{1} - 1$

Na wszelki wypadek, możemy sprawdzić, czy dobrze wykonaliśmy obliczenia, korzystając z trójkąta Pascala.

RbyvzfkFsDrFD

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala zbudowany z dziewięciu rzędów opisanych od góry od zera do ośmiu. Innym kolorem wyróżniono rząd siódmy gdzie są liczby: jeden, siedem, dwadzieścia jeden, trzydzieści pięć, trzydzieści pięć, dwadzieścia jeden, siedem, jeden.

Przykład 4

Znajdziemy piąty wyraz rozwinięcia dwumianu ${(\frac{1}{a} + a)}^{9}$ .

Rozwiązanie:

Piąty wyraz tego rozwinięcia to

$(\begin{array}{l} 9 \\ 4 \end{array}) \cdot {(\frac{1}{a})}^{5} \cdot a^{4} = \frac{9!}{4! (9 - 4)!} \cdot \frac{a^{4}}{a^{5}} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \cdot \frac{1}{a} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{24} \cdot a^{- 1} = 126 a^{- 1}$

Odpowiedź:

Piąty wyraz to $126 a^{- 1}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją. Rozwiąż najpierw zamieszczone tam zadania, a następnie porównaj z podanymi rozwiązaniami.

R44EfquAt1Bih

Polecenie 2

Znajdź wartość wyrażenia $W = {(\sqrt{5} - \frac{1}{5})}^{5}$ . Wynik zapisz z dokładnością do $0, 1$ .

$W = {(\sqrt{5} - \frac{1}{5})}^{5}$

$W = {(\sqrt{5})}^{5} - 5 \cdot {(\sqrt{5})}^{4} \cdot \frac{1}{5} + 10 \cdot {(\sqrt{5})}^{3} \cdot \frac{1}{5^{2}} - 10 \cdot {(\sqrt{5})}^{2} \cdot \frac{1}{5^{3}} + 5 \cdot {(\sqrt{5})}^{1} \cdot \frac{1}{5^{4}} - \frac{1}{5^{5}}$

$W = 25 \sqrt{5} - 25 + 2 \sqrt{5} - \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{5}}{125} - \frac{1}{3125}$

$W = 27, 008 \sqrt{5} - 25, 40032$

$W \approx 34, 99 \approx 35, 0$

Ćwiczenie 1

R1Zwh8T1lLRJn11

RhulNpAuevpbO

RvOKqmILhYSt91

Ćwiczenie 2

R1bc5QjkEkqgh2

Ćwiczenie 3

R14phjguZBENX2

Ćwiczenie 4

RDcVMtD33I74X2

Ćwiczenie 5

RSfBpy5VI62Py2

Ćwiczenie 6

RWga77EN0OLsq3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Znajdź szósty wyraz rozwinięcia dwumianu ${(2 x - \frac{1}{x})}^{7}$ , korzystając z dwumianu Newtona.

$- (\begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}) \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{5} = - 21 \cdot 4 x^{2} \cdot x^{- 5} = - 84 x^{- 3}$

Słownik

dwumian Newtona

twierdzenie określające sposób zamiany $n$ –tej potęgi dwumianu na sumę jednomianów

5. Wzór na n‑tą potęgę sumy

7. Wzór na różnicę n‑tych potęg

5. Wzór na n‑tą potęgę różnicy

Zastosowanie trójkąta Pascala

Zastosowanie dwumianu Newtona

Słownik