• Określisz rodzaj równania ze względu na liczbę niewiadomych i stopień niewiadomej.

• Rozpoznasz równania wyższych stopni z jedną niewiadomą.

• Rozwiążesz proste równanie wielomianowe.

• Rozwiążesz równania zapisane w postaci iloczynu równań liniowych lub kwadratowych.

• Sprowadzisz równania wyższych stopni do postaci iloczynu równań jak najmniejszego stopnia i podasz ich rozwiązania (jeżeli istnieją).

• Opiszesz za pomocą równania sytuację przedstawioną słownie.

Równaniem wielomianowym stopnia $n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, nazywamy równanie, które można zapisać w postaci

gdzie:
$W\left(x\right)$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$, dla której zachodzi warunek $W\left(a\right)=0$.

Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej jest nie większa, niż stopień wielomianu $W\left(x\right)$.

Rozwiążemy równanie wielomianowe $-2·\left(x-3\right)\left(2x+1\right)\left(3-2x\right)=0$.

Jest to równanie postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)=-2·\left(x-3\right)\left(2x+1\right)\left(3-2x\right)$ jest wielomianem zapisanym w postaci iloczynowej.

Aby $W\left(x\right)=0$, zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.

$-2=0$ lub $x-3=0$ lub $2x+1=0$ lub $3-2x=0$

Sprzeczność lub $x=3$ lub $x=-\frac{1}{2}$ lub $x=\frac{3}{2}$

Równanie ma trzy rozwiązania $-\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$, $3$.

Rozwiążemy równanie wielomianowe metodą wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias.

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3·\left(x+2\right)$

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)-3·\left(x+2\right)=0$

Wyłączymy sumę algebraiczną $\left(x+2\right)$ przed nawias.

$\left(x+2\right)\left(x-1-3\right)=0$

$\left(x+2\right)\left(x-4\right)=0$

$x+2=0$ lub $x-4=0$

$x=-2$ lub $x=4$

Równanie ma dwa rozwiązania $-2$, $4$.

Rozwiążemy równanie wielomianowerównanie wielomianowerównanie wielomianowe $x^3+x^2+x+1=0$ metodą grupowania wyrazów.

$x^3+x^2+x+1=0$

Grupujemy pierwsze dwa wyrażenia  i   wyłączymy przed nawias $x^2$.

$x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=0$

Wyłączymy sumę algebraiczną $\left(x+1\right)$ przed nawias.

$\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=0$

Otrzymaliśmy równanie zapisane w postaci iloczynowej.

$x+1=0$ lub $x^2+1=0$

$x=-1$ lub $x^2=-1$ – sprzeczność

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=-1$.

Rozwiążemy równanie $4x^4-4x^2+1=0$.

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

Czyli:

${\left(2x^2\right)}^2-2·2x^2·1+1^2=0$

${\left(2x^2-1\right)}^2=0$

$2x^2-1=0$

Teraz skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$\left(\sqrt{2}x-1\right)\left(\sqrt{2}x+1\right)=0$

$\left(\sqrt{2}x-1\right)=0$ lub $\left(\sqrt{2}x+1\right)=0$

$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ lub $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Iloczyn kwadratu pewnej liczby oraz kwadratu liczby o $2$ od niej mniejszej jest równy $64$. Obliczymy szukane liczby.

Niech:
$x$ – szukana liczba,
$x-2$ – szukana liczba zmniejszona o $2$,
$x^2{\left(x-2\right)}^2$ – iloczyn kwadratów liczb.

Równanie opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu to:

$x^2{\left(x-2\right)}^2=64$

${\left[x\left(x-2\right)\right]}^2-8^2=0$

$\left[x\left(x-2\right)-8\right]\left[x\left(x-2\right)+8\right]=0$

$\left(x^2-2x-8\right)\left(x^2-2x+8\right)=0$

$x^2-2x-8=0$ lub $x^2-2x+8=0$

Zajmiemy się rozwiązaniem równania $x^2-2x-8=0$.

$∆={\left(-2\right)}^2-4·\left(-8\right)=4+32=36\Rightarrow \sqrt{∆}=6$

$x_1=\frac{2-6}{2}=-2$

$x_2=\frac{2+6}{2}=4$

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego $x^2-2x+8=0$.

$∆={\left(-2\right)}^2-4·8=4-32=-28<0$ – brak rozwiązań

Zatem szukane liczby to $-2$, $-4$ lub $4$, $2$.

Rozwiążemy równanie $x^3-5x^2+6x=0$.

Aby uzyskać postać iloczynową równaniapostać iloczynowa równaniapostać iloczynową równania wielomianowego trzeciego stopnia wyłączymy $x$ przed nawias.

$x\left(x^2-5x+6\right)=0$

$x=0$ lub $\left(x^2-5x+6\right)=0$

Ze wzorów Viete’a łatwo odgadniemy, że liczby $2$ i $3$ są rozwiązaniami drugiego równania.

Zatem równanie ma trzy rozwiązania $x=0$, $x=2$, $x=3$.

Rozwiążemy równanie $x\left(x+2\right){(x-1)}^2\left(x^2-4\right)=0$.

Lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Iloczyn równa się zero jeżeli przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Czyli otrzymujemy:

$x=0$ lub $x+2=0$ lub ${\left(x-1\right)}^2=0$ lub $x^2-4=0$.

$x=0$ lub $x=-2$ lub $x=1$ lub $x=1$ lub $x=-2$ lub $x=2$

Stąd wynika, że nasze równanie ma cztery rozwiązania:

$x=-2$ lub $x=0$ lub $x=1$ lub $x=2$,

przy czym liczba $-2$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $1$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $0$ jest pierwiastkiem pojedynczym, liczba $2$ jest pierwiastkiem pojedynczym.

Rozwiążemy równanie ${\left(x-4\right)}^2\left(x^3-27\right)\left(4-x^2\right)\left(x-3\right)=0$ i określimy krotność pierwiastków.

Lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

${\left(x-4\right)}^2=0$ lub $\left(x^3-27\right)=0$ lub $\left(4-x^2\right)=0$ lub $\left(x-3\right)=0$

Zatem: $x=4$ lub $x=4$ lub $x=3$ lub $x=-2$ lub $x=2$ lub $x=3$.

Stąd wynika, że nasze równanie ma cztery rozwiązania:

$x=-2$ lub $x=2$ lub $x=3$ lub $x=4$,

przy czym liczba $3$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $4$ jest pierwiastkiem podwójnym, liczba $2$ jest pierwiastkiem pojedynczym, liczba $-2$ jest pierwiastkiem pojedynczym.

Rozwiążemy równanie $2·\left(x-1\right)=x\left(x-1\right)$.

Najpierw przeniesiemy wszystkie wyrażenia na jedną stronę równania.

$2·\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)=0$

Zauważmy, że suma algebraiczna $\left(x-1\right)$ powtarza się w obydwu wyrażeniach algebraicznych.

Wyciągniemy wyrażenie $\left(x-1\right)$ przed nawias.

$\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0$

W ten sposób otrzymaliśmy równanie zapisane w postaci iloczynowej. Dalej już łatwo rozwiążemy równanie, przyrównując każdy z czynników do zera.

$x-1=0$ lub $2-x=0$

$x=1$ lub $x=2$

Równanie ma dwa rozwiązania: $x=1$ lub $x=2$.

równanie, które można zapisać w postaci

gdzie:
$W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$, dla $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

zapisanie równania za pomocą iloczynu czynników, w których niewiadoma jest jak najniższego  stopnia