• Sprowadzisz równania wyższych stopni do postaci iloczynowej metodą grupowania wyrazów.

• Rozwiążesz równania wielomianowe dające się sprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania wyrazów.

• Rozwiążesz równania wielomianowe dające się sprowadzić do postaci iloczynowej z pomocą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

• Rozwiążesz równania wielomianowe dające się sprowadzić do postaci iloczynowej z pomocą wzoró skróconego mnożenia.

Rozwiążemy równanie $x^3+3x^2-2x-6=0$ metodą grupowania wyrazów.

$x^3+3x^2-2x-6=0$

Grupujemy wyrazy pierwszy z drugim oraz trzeci z czwartym. Z pierwszej pary wyłączamy przed nawias jednomian $x^2$, z drugiej pary liczbę $\left(-2\right)$.

$x^2\left(x+3\right)-2·\left(x+3\right)=0$

Następnie wspólny czynnik $\left(x+3\right)$ wyłączamy przed nawias.

$\left(x+3\right)\left(x^2-2\right)=0$

Otrzymaliśmy równanie wielomianowe zapisane w postaci iloczynowejpostać iloczynowa równaniapostaci iloczynowej. Aby iloczyn dwóch wyrażeń był równy zero, przynajmniej jedno z tych wyrażeń musi być równe zero.

$x+3=0$ lub $x^2-2=0$

$x=3$ lub $x=-\sqrt{2}$ lub $x=\sqrt{2}$

Rozwiązaniem równania są liczby $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $3$.

Rozwiążemy równanie $x^5+x^3-x^2-1=0$metodą grupowania wyrazówmetoda grupowania wyrazówmetodą grupowania wyrazów.

$x^5+x^3-x^2-1=0$

Grupujemy wyrazy.

$x^3\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)=0$

Wyłączamy wspólny czynnik $\left(x^2+1\right)$ przed nawias.

$\left(x^2+1\right)\left(x^3-1\right)=0$

$x^2+1=0$ lub $x^3-1=0$

Suma algebraiczna $x^2+1$ przyjmuje zawsze wartości dodatnie.

$x^2+1>0$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$

Zatem równanie $x^2+1=0$ nie posiada rozwiązań.

$x^3-1=0$

$x^3=1$

$x=1$

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=1$.

Rozwiążemy równanie $x^2-7x+6=0$ metodą grupowania wyrazów.

$x^2-7x+6=0$

Jednomian $-7x$ zapiszemy jako sumę algebraiczną $-x-6x$.

$x^2-x-6x+6=0$

Grupujemy wyrazy.

$x\left(x-1\right)-6·\left(x-1\right)=0$

Wyłączamy wspólny czynnik $\left(x-1\right)$ przed nawias.

$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0$

$x-1=0$ lub $x-6=0$

$x=1$ lub $x=6$

Równanie ma dwa rozwiązania $x=1$, $x=6$.

Rozwiążemy równanie $x^5+x^4+x^3+8x^2+8x+8=0$.

Tym razem równanie jest sumą sześciu jednomianów.

Z pierwszych trzech jednomianów wyłączymy przed nawias $x^3$, zaś z pozostałych jednomianów wyłączymy przed nawias liczbę $8$.

$x^3\left(x^2+x+1\right)+8·\left(x^2+x+1\right)=0$

$\left(x^2+x+1\right)\left(x^3+8\right)=0$

$x^2+x+1=0$ lub $x^3+8=0$

Rozwiążemy najpierw równanie $x^2+x+1=0$.

$∆=1-4=-3<0$

Równanie nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Zajmiemy się teraz rozwiązaniem drugiego równania.

$x^3=-8$

$x=-2$

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=-2$.

Rozwiążemy równanie $12x^4-3x^2=0$ metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

$12x^4-3x^2=0$

Zauważymy, że ze wszystkich wyrazów wielomianu możemy włączyć przed nawias wspólny czynnik $3x^2$.

$3x^2·\left(4x^2-1\right)=0$

Otrzymaliśmy postać iloczynową równaniapostać iloczynowa równaniapostać iloczynową równania.

Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

$3x^2=0$ lub $4x^2-1=0$

$x=0$ lub $\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$

$x=0$ lub $x=\frac{1}{2}$ lub $x=-\frac{1}{2}$

Równanie ma trzy rozwiązania $x=-\frac{1}{2}$, $x=0$, $x=\frac{1}{2}$.

Rozwiążemy równanie $x^4+6x^2=5x^3$.

$x^4+6x^2=5x^3$

Najpierw uporządkujemy równanie, doprowadzając je do postaci $W\left(x\right)=0$.

$x^4-5x^3+6x^2=0$

Zauważymy, że możemy wyłączyć przed nawias jednomian $x^2$.

$x^2\left(x^2-5x+6\right)=0$

Czyli

$x^2=0$ lub $x^2-5x+6=0$

$x=0$

Równanie kwadratowe $x^2-5x+6=0$ możemy rozwiązać korzystając z obliczenia wyróżnika trójmianu kwadratowego i pierwiastków równania, lub zgadując pierwiastki  $x_1$ i $x_2$ ze wzorów Viète’a

$x^2-5x+6=0\iff x=2$ lub $x=3$.

Rozwiązaniem równania są liczby $x=0$, $x=2$, $x=3$.

Rozwiążemy równanie $\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)=\left(x+2\right)\left(x+3\right)$ wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

$\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)=\left(x+2\right)\left(x+3\right)$

$\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)-\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0$

W obu składnikach wielomianu powtarza się $\left(x+2\right)$. Zatem sumę algebraiczną $\left(x+2\right)$ możemy wyłączyć przed nawias.

$\left(x+2\right)·\left[x^2-1-\left(x+3\right)\right]=0$

$\left(x+2\right)\left(x^2-1-x-3\right)=0$

$\left(x+2\right)\left(x^2-x-4\right)=0$

$x+2=0$ lub $x^2-x-4=0$

$x=-2$

lub

$\Delta =1+16=17\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{17}$

$x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

$x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Równanie ma trzy rozwiązania $-2$, $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{17}}{2}$.

Rozwiążemy równanie $x^5-2x^3-8x=0$.

Najpierw wyłączymy $x$ przed nawias

$x\left(x^4-2x^2-8\right)=0$

$x=0$ lub $x^4-2x^2-8=0$

Zajmiemy się rozwiązaniem równania czwartego stopnia.

$x^4-2x^2-8=0$

Niech $x^2=t$, $t\ge 0$

$t^2-2t-8=0$

$\Delta =4+4·8=36\Rightarrow \sqrt{\Delta }=6$

$t_1=\frac{2-6}{2}$

$t_1=-2<0$ – nie spełnia warunków zadania

$t_2=\frac{2+6}{2}=4$

Wracamy do podstawienia $x^2=t$

$x^2=4$

$x=2$ lub $x=-2$

Równanie ma trzy rozwiązania $x=-2$, $x=0$, $x=2$.

Rozwiążemy równanie $x^3-2x^2+4x-8=0$.

W tym równaniu nie znajdziemy wspólnego czynnika który się powtarza w każdym wyrazie wielomianu. Połączymy wyrazy wielomianu w pary i w parach wyłączymy wspólny czynnik.

$\left(x^3-2x^2\right)+\left(4x-8\right)=0$

$x^2\left(x-2\right)+4·\left(x-2\right)=0$

Pogrupowaliśmy wyrazy równania tak, aby miały wspólny czynnik. Sumę algebraiczną $\left(x-2\right)$ możemy teraz wyłączyć przed nawias.

$\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)=0$

Rozłożyliśmy lewą stronę równania na czynniki

$x-2=0$ lub $x^2+4=0$

$x=2$

lub

$x^2+4>0$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$ – równanie nie posiada rozwiązań

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=2$.

Rozwiążemy równanie $9x^4-1=0$, rozkładając lewą stronę równania na czynniki, za pomocą wzorów skróconego mnożenia.

Wykorzystamy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

$a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

$9x^4-1=0$

$\left(3x^2-1\right)\left(3x^2+1\right)=0$

$\left(\sqrt{3}x-1\right)\left(\sqrt{3}x+1\right)\left(3x^2+1\right)=0$

$\sqrt{3}x-1=0$ lub $\sqrt{3}x+1=0$ lub $3x^2+1=0$

$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ lub        $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ ,  trzecie równanie nie posiada rozwiązań

$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ lub $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rozwiążemy równanie $9x^4-6x^2+1=0$.

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Czyli:

${\left(3x^2\right)}^2-2·3x^2·1+1^2=0$

${\left(3x^2-1\right)}^2=0$

$3x^2-1=0$

$\left(\sqrt{3}x-1\right)\left(\sqrt{3}x+1\right)=0$

$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ lub $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rozwiążemy równanie $x^6-64=0$, rozkładając lewą stronę równania na czynniki.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.

$a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

$x^6-64=0$

${\left(x^2\right)}^3-4^3=0$

$\left(x^2-4\right)\left[{\left(x^2\right)}^2+4x^2+4^2\right]=0$

$\left(x^2-4\right)\left(x^4+4x^2+16\right)=0$

$x^2-4=0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x=2$ lub $x=-2$

$x^4+4x^2+16=0$

$x^2=z\ge 0$

$z^2+4z+16=0$

$∆=16-4·16=16-64=-48<0$ – brak rozwiązań

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-2$, $x=2$.

Rozwiążemy równanie $x^4+4=0$, rozkładając lewą stronę na czynniki możliwie najmniejszego stopnia.

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$ zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$x^4+4x^2-4x^2+4=0$

$x^4+4x^2+4-4x^2=0$

${\left(x^2+2\right)}^2-{\left(2x\right)}^2=0$

Teraz skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)=0$

$\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)=0$

$x^2-2x+2=0$ lub $x^2+2x+2=0$

Wyróżnik trójmianu kwadratowego dla obu równań jest ujemny.

$∆=4-8=-4<0$ – brak rozwiązań

Równanie nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Rozwiążemy równanie $x^6-6x^4+12x^2-8=0$.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.

${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$x^6-6x^4+12x^2-8=0$

Zapiszemy równanie w postaci:

${\left(x^2\right)}^3-3·x^4·2+3·x^2·4-8=0$

${\left(x^2-2\right)}^3=0$

$x^2-2=0$

$\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$

$x=\sqrt{2}$ lub $x=-\sqrt{2}$

Równanie ma dwa rozwiązania $x=-\sqrt{2}$, $x=\sqrt{2}$.

zapisanie równania za pomocą iloczynu czynników, z których każdy jest niższego stopnia niż dane równanie

polega na takim pogrupowaniu wyrazów, aby można było wyłączyć przed nawias wspólny czynnik