4. Dzielniki i wielokrotności

R1348BTPCNJB7

W jednej z egipskich piramid znaleziono kamienną płytę z wyrytą w postaci hieroglifu liczbą $2520$ .

Otóż $2520$ dzieli się przez wszystkie liczby naturalne od $1$ do $10$ . Nie istnieje mniejsza od $2520$ liczba naturalna różna od zera o tej własności. Liczba $2520$ jest więc najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $\dots$ , $9$ , $10$ .

Od kiedy wiesz jak wykonywać działania na ułamkach zwykłych, mniej lub bardziej świadomie używasz dzielników i wielokrotności liczb. Dzieje się to m.in. wówczas, gdy skracasz lub dodajesz ułamki, wyłączasz czynnik przed znak pierwiastka czy rozkładasz liczbę na czynniki pierwsze.

W tej lekcji przypomnimy, rozszerzymy i uporządkujemy wiadomości o dzielnikach i wielokrotnościach.

Twoje cele

Wyznaczysz dzielniki dowolnej liczby naturalnej.
Wyznaczysz wielokrotności liczb naturalnych.
Wyznaczysz całkowite wielokrotności liczb rzeczywistych.
Zastosujesz cechy podzielności przez wybrane liczby naturalne.
Poznasz i udowodnisz twierdzenie o istnieniu nieskończonej ilości liczb pierwszych

Dzielnik liczby naturalnej

Definicja: Dzielnik liczby naturalnej

Dzielnikiem liczby naturalnej $m$ nazywamy taką liczbę naturalną dodatnią $d$ , dla której istnieje dokładnie jedna liczba naturalna $k$ taka, że $m = d \cdot k$ .

Dzielnik całkowity liczby całkowitej

Definicja: Dzielnik całkowity liczby całkowitej

Dzielnikiem całkowitym liczbydzielnik całkowity liczby mDzielnikiem całkowitym liczby całkowitej $m$ nazywamy taką niezerową liczbę całkowitą $d$ , dla której istnieje dokładnie jedna liczba całkowita $k$ taka, że $m = d \cdot k$ .

Zatem ilekroć będzie mowa o dzielniku, będziemy rozważać dzielnik będący liczbą naturalną.

Przykład 1

$3 | 6$ , bo $6 = 2 \cdot 3$

$- 3 | 12$ , bo $12 = - 3 \cdot (- 4)$

$- 3 | (- 18)$ , bo $- 18 = - 3 \cdot 6$

$3 | (- 21)$ , bo $- 21 = 3 \cdot (- 7)$

Dzielniki liczbydzielnik liczby mDzielniki liczby naturalnej $m$ mniejsze od liczby $m$ nazywamy dzielnikami właściwymi liczby $m$ .

Przykład 2

Dzielniki liczby $6$ to $1$ , $2$ , $3$ i $6$ . Dzielniki właściwe liczby $6$ to $1$ , $2$ , $3$ .

Dzielniki liczby $28$ to $1$ , $2$ , $4$ , $7$ , $14$ , $28$ . Dzielniki właściwe liczby $28$ to $1$ , $2$ , $4$ , $7$ , $14$ .

Ciekawostka

Zauważ, że suma dzielników właściwych liczb $6$ i $28$ jest równa tym liczbom ( $1 + 2 + 3 = 6$ oraz $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ ). Takie liczby nazywamy doskonałymi.

Liczbę naturalną nazywamy deficytową, jeśli suma jej dzielników właściwych jest mniejsza niż ona sama.

Liczbę naturalną nazywamy nadmiarową, jeśli suma jej dzielników właściwych jest większa niż ona sama.

Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych każdej z tych liczb równa się drugiej liczbie.

Przykład 3

Suma dzielników właściwych liczby $10$ to $1 + 2 + 5 = 8$ .

Suma dzielników właściwych liczby $12$ to $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$ .

Liczba $10$ jest liczbą deficytową, bo wszystkie jej dzielniki właściwe to $1$ , $2$ i $5$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 5 = 8 < 10$ .

Liczba $12$ jest liczbą nadmiarową, bo wszystkie jej dzielniki właściwe to $1$ , $2$ , $3$ , $4$ i $6$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12$ .

Przykład 4

Rozważmy liczby $220$ i $284$ .

Dzielniki właściwe liczby $220$ to: $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $11$ , $20$ , $22$ , $44$ , $55$ , $110$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$ .

Dzielniki właściwe liczby $284$ to: $1$ , $2$ , $4$ , $71$ , $142$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220$ .

Oznacza to, że liczby $220$ i $284$ to liczby zaprzyjaźnione.

Liczba pierwsza

Definicja: Liczba pierwsza

Liczba pierwszaliczba pierwszaLiczba pierwsza to liczba naturalna, która posiada dokładnie dwa różne dzielniki: $1$ i samą siebie.

Przykład 5

Liczba $7$ jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się tylko przez $1$ i samą siebie.

Liczba 6 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się przez liczby $1$ , $2$ , $3$ , $6$ .

Liczbę naturalną, która posiada więcej niż dwa dzielniki nazywamy liczbą złożoną.

Ważne!

Zauważ, że liczby $0$ i $1$ nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Twierdzenie Euklidesa o ilości liczb pierwszych

Twierdzenie: Twierdzenie Euklidesa o ilości liczb pierwszych

Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Chcąc udowodnić powyższe twierdzenie, wykorzystamy podstawowe twierdzenie arytmetyki:

Każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo da się ją jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Z powyższego twierdzenia wynika, że istnieje dokładnie jeden sposób, w jaki można przedstawić dowolną liczbę złożoną w postaci iloczynu liczb pierwszych. Np. $77 = 7 \cdot 11$ , $100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$ , itd. Tę własność wykorzystamy w dowodzie nie wprost, czyli wnioskowaniu prowadzącym do sprzeczności.

Dowód: Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych jest skończony i zawiera dokładnie $q$ elementów, które oznaczymy symbolami $p_{1}$ , $p_{2}$ , ... $p_{q}$

Rozważmy teraz liczbę:

$P = p_{1} \cdot p_{2} \cdot . . . . . p_{q} + 1$ .

Liczba $P$ jest albo liczbą pierwszą, albo liczbą złożoną. Jeśli $P$ jest liczbą złożoną, to dzieli się przez którąś z liczb pierwszych $p_{1} \cdot p_{2} \cdot . . . . . p_{q}$ . Zauważmy jednak, że w wyniku dzielenia $P$ przez $p_{1}$ otrzymujemy resztę, a więc $P$ nie dzieli się przez $p_{1}$ (bez reszty). Stosując analogiczne rozumowanie dla pozostałych liczb możemy pokazać, że $P$ nie dzieli się przez żadną z wartości $p_{1}$ , $p_{2}$ , ... $p_{q}$ , a w naszym założeniu są to liczby pierwsze. Wnioskując oznacza to, że $P$ jest liczbą pierwszą różną od każdej z dotychczasowych liczb $p_{1}$ , $p_{2}$ , ... $p_{q}$ , co stoi w sprzeczności z założeniem, że naszych liczb pierwszych jest skończona lista. Zbiór liczb pierwszych ma więc więcej niż $q$ elementów, co kończy dowód.

Cechy podzielności liczb

Przy szukaniu dzielników liczby przydają się cechy podzielnościcecha podzielnościcechy podzielności. Przypomnimy teraz kilka z nich.

R1ZQJ836UJAS9

Ilustracja przedstawia kule bilardowe z numerami: dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, osiem, dziewięć dwanaście, dwadzieścia pięć. Opisane są: 1. Kula z numerem dwa: Liczba n dzieli się przez dwa dokładnie wtedy, gdy cyfra znajdująca się w rzędzie jedności liczby n dzieli się przez dwa (czyli w rzędzie jedności jest jedna z cyfr: zero, dwa, cztery sześć, osiem., 2. Kula z numerem trzy: Liczba n dzieli się przez trzy dokładnie wtedy, gdy suma cyfr liczby n dzieli się przez trzy., 3. Kula z numerem cztery: Liczba n dzieli się przez cztery dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie dziesiątek i rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez cztery (czyli w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero zero, zero dwa, zero cztery, zero sześć i tak dalej aż do dziewięć sześć., 4. Kula z numerem pięć: Liczba n dzieli się przez pięć dokładnie wtedy, gdy cyfra znajdująca się w rzędzie jedności liczby n dzieli się przez pięć (czyli w rzędzie jedności jest jedna z cyfr: zero, pięć)., 5. Kula z numerem sześć: Liczba n dzieli się przez sześć dokładnie wtedy, gdy liczba n dzieli się przez dwa i przez trzy., 6. Kula z numerem osiem: Liczba n dzieli się przez osiem dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie setek, w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez osiem (czyli w rzędzie setek, w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero zero zero, zero zero osiem, zero jeden sześć i tak dalej aż do dziewięć dziewięć dwa., 7. Kula z numerem dziewięć: Liczba n dzieli się przez dziewięć dokładnie wtedy, gdy suma cyfr liczby n dzieli się przez dziewięć., 8. Kula z numerem dwanaście: Liczba n dzieli się przez dwanaście dokładnie wtedy, gdy liczba n dzieli się przez cztery i przez trzy., 9. Kula z numerem dwadzieścia pięć: Liczba n dzieli się przez dwadzieścia pięć dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie dziesiątek i rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez dwadzieścia pięć (czyli w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero zero, dwa pięć, pięć zero, siedem pięć).

Zwróćmy przy okazji uwagę na wyrażenia typu “cyfra znajdująca się w rzędzie jedności dzieli się przez $2$ ” oraz “suma cyfr”. Cyfr nie można dodawać ani dzielić, ponieważ są to znaki graficzne do zapisywania liczb. Powyższe wyrażenia funkcjonują jako związki frazeologiczne i są skrótami odpowiednio od “liczba jednocyfrowa reprezentowana przez cyfrę znajdującą się w rzędzie jedności” oraz “suma liczb jednocyfrowych reprezentowanych przez cyfry danej liczby”.

Chociaż cechy podzielności łatwo się stosuje, to ich formalne dowody nie zawsze są proste i często wykorzystują pojęcia takie jak kongruencje (czyli przystawanie liczb modulo), które wykraczają poza program szkoły średniej.

Przykład 6

Wyznaczymy cyfrę oznaczoną literą $x$ tak, aby liczba $12345678 x$ była podzielna przez $6$ .

Aby liczba była podzielna przez $6$ wystarcza, aby była podzielna przez $2$ i przez $3$ .

Z podzielności przez $2$ wynika, że $x$ jest jedną spośród liczb: $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $8$ .

Suma cyfr rozważanej liczby to $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + x = 36 + x$ . Będzie ona podzielna przez 3, gdy $x$ będzie równe $0$ , $3$ , $6$ lub $9$ . Zatem jedynymi liczbami spełniającymi oba warunki są $0$ i $6$ .

Stąd $x = 0$ lub $x = 6$ .

Wielokrotnością liczbywielokrotność liczby mWielokrotnością liczby naturalnej $m$ nazywamy każdy jej iloczyn przez dodatnią liczbę naturalną $k$ . Zatem kolejnymi wielokrotnościami liczby $m$ są: $m$ , $2 m$ , $3 m$ , $4 m$ , $. . .$ , $k \cdot m$ , $. . .$

Ważne!

Zauważmy, że liczba naturalna ma nieskończenie wiele wielokrotności.

Całkowitą wielokrotnością liczbycałkowita wielokrotność liczby xCałkowitą wielokrotnością liczby rzeczywistej $x$ nazywamy każdy jej iloczyn przez liczbę całkowitą $k$ .

Wielokrotnościami liczby $3$ są liczby $3$ , $6$ , $9$ , $12$ , $. . .$ , $3 k$ , $. . .$ , gdzie $k$ jest dodatnią liczbą naturalną.

Rozwiązując równania trygonometryczne spotkasz się z całkowitymi wielokrotnościami liczby $π$ : $. . .$ , $- 3 π$ , $- 2 π$ , $- π$ , $0$ , $π$ , $2 π$ , $3 π$ , $. . .$

Test interaktywny

Sprawdź się! Przed Tobą test składający się z siedmiu pytań jednokrotnego wyboru. Powodzenia!

Rozwiąż test jednokrotnego wyboru składający się z siedmiu pytań.

RRD7S2J8A9Z7U

Ćwiczenie 1

RMDQQF9ZBXCFF

Ćwiczenie 2

R12LTTVJ3EX8U

Ćwiczenie 3

RR4Q53V613Q3J

Ćwiczenie 4

RCFT3HOEX43NJ

Ćwiczenie 5

RQPT4GN5EFSH6

Ćwiczenie 6

RBEU56A7VV491

Ćwiczenie 7

RU26BULPZ34F2

Polecenie 1

Przygotuj dla koleżanki lub kolegi podobną grę. Ułóż samodzielnie 5 pytań na temat dzielników i wielokrotności.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1RVE8LXFCNAC1

Ćwiczenie 1

R1EJZBGUKL8SR1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Udowodnij, że liczba $496$ jest liczbą doskonałą.

Zauważmy, że dzielnikami właściwymi liczby $496$ są liczby $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $31$ , $62$ , $124$ , $248$ .

Sprawdźmy ich sumę $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496$ .

Ponieważ suma dzielników właściwych liczby $496$ jest równa liczbie $496$ , więc jest ona liczbą doskonałą.

Ćwiczenie 4

Udowodnij, że liczby $1184$ i $1210$ są liczbami zaprzyjaźnionymi.

Zauważmy, że dzielniki właściwe liczby $1184$ to $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $37$ , $74$ , $148$ , $296$ , $592$ .

Obliczmy sumę dzielników właściwych liczby $1184$ :

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592 = 1210$

Zauważmy, że dzielniki właściwe liczby $1210$ to $1$ , $2$ , $5$ , $10$ , $11$ , $22$ , $55$ , $110$ , $121$ , $242$ , $605$ .

Obliczmy sumę dzielników właściwych liczby $1210$ :

$1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 242 + 605 = 1184$

Ponieważ suma dzielników właściwych liczby $1210$ jest równa liczbie $1184$ oraz suma dzielników właściwych liczby $1184$ jest równa liczbie $1210$ , więc liczby $1210$ i $1184$ są liczbami zaprzyjaźnionymi.

RREL9OB33CD852

Ćwiczenie 5

RVC8XOJFMTLLE21

Ćwiczenie 6

R16E6BTQZO8SZ3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Znana jest cecha podzielności przez $11$ :

Liczba $n$ dzieli się przez $11$ dokładnie wtedy, gdy przez $11$ dzieli się różnica sumy cyfr liczby $n$ stojących na miejsca parzystych i sumy cyfr liczby $n$ stojących na miejscach nieparzystych.

Sprawdźmy, czy liczba $981357$ dzieli się przez $11$ .

Suma cyfr stojących na miejscach parzystych to $5 + 1 + 9 = 15$ .

Suma cyfr stojących na miejscach nieparzystych to $7 + 3 + 8 = 18$ .

Różnica tych sum to $15 - 18 = - 3$ .

Ponieważ $(- 3)$ nie jest podzielna przez $11$ , więc liczba $981357$ również nie dzieli się przez $11$ .

R1BPEUBPNQKOE

Słownik

całkowita wielokrotność liczby x

liczba rzeczywista w jest całkowitą wielokrotnością liczby $x$ , gdy istnieje liczba całkowita $k$ , dla której $w = m \cdot k$

cecha podzielności

sposób (metoda, algorytm) umożliwiający sprawdzenie, czy jedna liczba naturalna $d$ dzieli inną liczbę naturalną $m$ bez wykonywania dzielenia; zwykle sprowadza się do sprawdzenia, czy inna liczba – mniejsza od liczby $m$ – dzieli się przez $d$ , co jest równoważne podzielności $m$ przez $d$

liczba pierwsza

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która posiada dokładnie dwa różne dzielniki: $1$ i samą siebie.

dzielnik liczby m

liczba naturalna dodatnia $d$ jest dzielnikiem liczby naturalnej $m$ , gdy istnieje liczba naturalna $k$ , dla której $m = d \cdot k$

dzielnik całkowity liczby m

niezerowa liczba całkowita $d$ jest dzielnikiem całkowitym liczby całkowitej $m$ , gdy istnieje liczba całkowita $k$ , dla której $m = d \cdot k$

wielokrotność liczby m

liczba naturalna w jest wielokrotnością liczby naturalnej $m$ , gdy istnieje dodatnia liczba naturalna $k$ , dla której $w = m \cdot k$

3. Działania w zbiorze liczb wymiernych i rzeczywistych

5. Podzielność w zbiorze liczb naturalnych – dzielenie z resztą i bez reszty