5. Podzielność w zbiorze liczb naturalnych – dzielenie z resztą i bez reszty - Zbiory liczbowe

R1AD88121TMRX

5. Podzielność w zbiorze liczb naturalnych – dzielenie z resztą i bez reszty

RQRgzpsQS9AdG1

Rys. a. Rysunek przedstawia malowany farbami portret Carla Friedricha Gaussa. Jest to starszy mężczyzna o zaokrąglonej twarzy i wysokim czole. Ma długie bokobrody, które sięgają mu blisko ust. Mężczyzna lekko się uśmiecha. Na głowie ma założoną czarną czapkę. Nosi białą koszulę, zawiązaną pod szyją, z postawionym kołnierzem, a na koszuli brązowy surdut. — Rys. a. Portret Carla Friedricha Gaussa (1777‑1855).
Źródło: Gottlieb Biermann, dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg [dostęp 28.03.2022], domena publiczna.

W świecie nauki krąży anegdota, jakoby jeden z najwybitniejszych matematyków, Carl Friedrich Gauss ( $1777 - 1855$ ), powiedział swego czasu, że z powodu swojej całkowitej nieprzydatności to właśnie teoria liczb jest królową matematyki. Ciekawe, co powiedziałby Gauss, gdyby się dowiedział, że to dzięki nauce o liczbach naturalnych możemy dziś przesyłać szyfrowane wiadomości (np. hasła), dzięki którym do kont bankowych i skrzynek mailowych dostęp mają tylko ich właściciele...

Podzielność liczb jest podstawowym pojęciem dziedziny matematyki zwanej teorią liczb. Z pojęciem podzielności związanych jest wiele innych terminów matematycznych takich jak dzielnik, wielokrotność, liczby pierwsze, liczby złożone, liczby względnie pierwsze, liczby doskonałe ...

Twoje cele

Podzielisz z resztą liczbę naturalną przez liczbę naturalną.
Podzielisz bez reszty liczbę naturalną przez liczbę naturalną.
Zapiszesz wyrażenie algebraiczne oznaczające dowolną liczbę o podanych własnościach.
Udowodnisz własności liczb naturalnych związanych z podzielnością.

Zaczniemy od definicji podzielności:

Podzielność

Definicja: Podzielność

Mówimy, że liczba naturalna $n$ różna od zera dzieli liczbę naturalną $m$ , jeśli istnieje liczba naturalna $k$ , dla której zachodzi równość $m = n \cdot k$ . Mówimy również, że $n$ jest dzielnikiem liczby $m$ lub że liczba $m$ jest podzielna przez liczbę $n$ . Ponadto jeśli liczby $m$ i $n$ są różne oraz $n$ jest dzielnikem $m$ , to $n$ nazywamy dzielnikiem właściwym liczby $m$ . Liczbę $k$ nazywamy ilorazem liczby $m$ przez liczbę $n$ .

Fakt, że liczba naturalna $n$ dzieli liczbę naturalną $m$ , możemy zapisać symbolicznie $n | m$ . Na oznaczenie faktu, że liczba $n$ nie dzieli liczby $m$ używamy symbolu przekreślonej pionowej kreski: $n | m$ .

Zwróć uwagę, że słowo dzielnik ma dwa znaczenia. Dzielnik może oznaczać liczbę przez którą dzielimy. Wtedy może to być dowolna liczba rzeczywista różna od zera. DzielnikdzielnikDzielnik liczby naturalnej $a$ oznacza liczbę naturalną, która dzieli liczbę $a$ bez reszty.

Czasami, zwłaszcza, gdy chcemy coś udowodnić, przydaje się algebraiczny zapis (równość) oznaczający podzielność. W poniższej w tabeli podamy kilka przykładowych zdań dotyczących podzielności i ich “tłumaczenia” na język algebry. Przy okazji przypomnijmy, że napis $x \in A$ oznacza, że liczba $x$ należy do zbioru $A$ ( $x$ – jest elementem zbioru $A$ ).

Przykład 1

Zapiszemy symbolicznie i algebraicznie informacje o liczbie $x$ .

Zdanie	Zapis symboliczny lub algebraiczny
Liczba $x$ jest parzysta i dodatnia.	1) $2 \| x$ , $x \in ℕ$ 2) $x = 2 k$ , dla pewnej liczby naturalnej $k$ 3) Istnieje liczba naturalna $n$ , dla której $x = 2 n$ . 4) $x = 2 m$ , gdzie $m \in ℕ$
$3$ jest dzielnikiem liczby naturalnej $x$ .	1) $3 \| x$ , $x \in ℕ$ 2) $x = 3 n$ , gdzie $n \in ℕ$
Liczba naturalna $x$ jest podzielna przez $5$ .	1) $5 \| x$ , $x \in ℕ$ 2) $x = 5 n$ , gdzie $n \in ℕ$

Przykład 2

Zauważmy, że:

$2 | 6$ , bo $6 = 2 \cdot 3$ ,

$3 | 15$ , bo $15 = 3 \cdot 5$ ,

$3 | 16$ , bo $3 \cdot 5 = 15$ i $3 \cdot 6 = 18$ , zatem nie istnieje liczba naturalna $k$ , dla której $3 \cdot k = 16$ .

Przykład 3

Udowodnimy, że suma liczb naturalnych podzielnych przez liczbę naturalną $k$ również dzieli się przez $k$ .

Rozważymy sumę dwóch liczb podzielnych przez $k$ , ale twierdzenie pozostaje prawdziwe dla dowolnej liczby składników.

Niech liczby naturalne $x$ i $y$ będą podzielne przez liczbę $k$ . Wówczas każdą z nich można zapisać w postaci $x = k \cdot a$ , $y = k \cdot b$ dla pewnych liczb naturalnych $a$ i $b$ . Sumę liczb $x$ i $y$ możemy zapisać w postaci $x + y = k \cdot a + k \cdot b = k \cdot (a + b)$ .

Ponieważ $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, więc liczba $a + b$ również jest naturalna, co oznacza, że liczba $x + y$ jest podzielna przez $k$ .

Ważne!

Jeśli liczba $n$ nie dzieli liczby $m$ , to możemy zdefiniować tzw. iloraz całkowity i resztę z dzielenia.

Przypomnijmy na kilku przykładach, na czym polega dzielenie z resztą.

Przykład 4

Liczba $30$ z dzielenia przez $7$ daje iloraziloraziloraz całkowity równy $4$ (bo liczba $7$ mieści się w liczbie $30$ dokładnie $4$ razy) i resztę $2$ .

Możemy zapisać równość $30 = 4 \cdot 7 + 2$ .

Liczba $5$ z dzielenia przez $8$ daje iloraz całkowity równy $0$ (bo liczba $8$ mieści się w liczbie $5$ dokładnie $0$ razy) i resztę $5$ .

Możemy zapisać równość $5 = 0 \cdot 8 + 5$ .

Liczba $46$ z dzielenia przez $10$ daje iloraz całkowity równy $4$ (bo liczba $10$ mieści się w liczbie $46$ dokładnie $4$ razy) i resztę $6$ .

Możemy zapisać równość $46 = 10 \cdot 4 + 6$ .

Dzieląc liczbę naturalną $m$ przez liczbę naturalną $n$ definiujemy iloraz całkowity jako liczbę określającą, ile razy liczba $n$ “mieści się” w liczbie $m$ , czyli ile pełnych dzielników “mieści się” w dzielnej. Reszta z dzielenia to liczba, którą należy dodać do iloczynu dzielnika i ilorazu całkowitego, aby otrzymać dzielnądzielnadzielną.

Jeżeli dzieląc liczbę naturalną $m$ przez liczbę naturalną $n$ otrzymujemy iloraz całkowityiloraz całkowityiloraz całkowity $q$ i resztę $r$ , to zachodzi równość $m = n q + r$ .

Zauważmy, że $r$ jest jedną z liczb ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, . . ., n - 1\}$ .

Innymi słowy reszta z dzielenia przez $n$ jest liczbą naturalną mniejszą od $n$ .

Jeśli $n$ jest dzielnikiem liczby $m$ , to przyjmujemy, że reszta z dzieleniareszta z dzieleniareszta z dzielenia $m$ przez $n$ jest równa zeru.

Przykład 5

Zapiszemy algebraicznie informacje o liczbie $x$ .

Informacja o liczbie $x$	Zapis algebraiczny liczby $x$
Liczba naturalna $x$ jest nieparzysta.	$x = 2 k + 1$ , gdzie $k \in ℕ$
Liczba naturalna $x$ z dzielenia przez $3$ daje resztę równą $1$ .	$x = 3 k + 1$ , gdzie $k \in ℕ$
Liczba naturalna $x$ z dzielenia przez $3$ daje resztę równą $2$ .	$x = 3 k + 2$ , gdzie $k \in ℕ$
Liczba naturalna $x$ z dzielenia przez $4$ daje resztę równą $3$ .	$x = 4 k + 3$ , gdzie $k \in ℕ$
Liczba naturalna $x$ z dzielenia przez $6$ daje resztę równą $4$ .	$x = 6 k + 4$ , gdzie $k \in ℕ$

Rozważmy jedną równość: $x = 6 k - 2$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$ .

Wykonajmy przekształcenie $x = 6 k - 2 = 6 k - 6 + 4 = 6 \cdot (k - 1) + 4$ .

Ponieważ $k$ jest liczbą naturalną dodatnią, więc $k - 1$ jest liczbą naturalną.

Oznacza to, że liczba $x$ z dzielenia przez $6$ daje resztę $4$ .

Zatem powyższą tabelę możemy uzupełnić o inne sposoby zapisania tej samej informacji o liczbie $x$ .

Przykład 6

Zapiszemy algebraicznie informacje o liczbie $x$ .

Informacja o liczbie $x$	Zapis algebraiczny liczby $x$
Liczba naturalna $x$ jest nieparzysta.	$x = 2 k + 1$ , gdzie $k \in ℕ$ $x = 2 k - 1$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$
Liczba naturalna $x$ z dzielenia przez $3$ daje resztę równą $1$ .	$x = 3 k + 1$ , gdzie $k \in ℕ$ $x = 3 k - 2$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$
Liczba naturalna $x$ z dzielenia przez $3$ daje resztę równą $2$ .	$x = 3 k + 2$ , gdzie $k \in ℕ$ $x = 3 k - 1$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$
Liczba naturalna $x$ z dzielenia przez $4$ daje resztę równą $3$ .	$x = 4 k + 3$ , gdzie $k \in ℕ$ $x = 4 k - 1$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$
Liczba naturalna $x$ z dzielenia przez $6$ daje resztę równą $4$ .	$x = 6 k + 4$ , gdzie $k \in ℕ$ $x = 6 k - 2$ , gdzie $k \in ℕ_{+}$

Przykład 7

Rozważmy równość $x = 7 m + 10$ , gdzie $m \in ℕ$ .

Zauważmy, że $x = 7 m + 10 = 7 m + 7 + 3 = 7 \cdot (m + 1) + 3$ .

Ponieważ $m \in ℕ$ , więc również $(m + 1) \in ℕ$ , co oznacza, że liczba $x$ z dzielenia przez $7$ daje resztę $3$ .

Animacja multimedialna

Przeanalizuj informacje zawarte w animacji. Na ich podstawie wykonaj polecenie.

RQ1J54E9QB7LJ

Polecenie 1

R1PQEL48QAEBJ

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R17676T3MOA3A1

Ćwiczenie 1

R1J2V5JK28AJ11

Ćwiczenie 2

REMLUHA2TSZEO1

Ćwiczenie 3

RUEB19GQBTTKE1

Ćwiczenie 4

Połącz w pary warunki niosące tę samą informację o liczbie naturalnej x. dwadzieścia, linia pionowa, x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, dwadzieścia k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 2. x, równa się, sześć k i x, równa się, dziesięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 3. x, równa się, dwa k i x, równa się, pięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 4. x, równa się, trzy k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 5. x, równa się, cztery k i x, równa się, piętnaście m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne trzy, linia pionowa, x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, dwadzieścia k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 2. x, równa się, sześć k i x, równa się, dziesięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 3. x, równa się, dwa k i x, równa się, pięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 4. x, równa się, trzy k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 5. x, równa się, cztery k i x, równa się, piętnaście m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne dziesięć, linia pionowa, x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, dwadzieścia k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 2. x, równa się, sześć k i x, równa się, dziesięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 3. x, równa się, dwa k i x, równa się, pięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 4. x, równa się, trzy k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 5. x, równa się, cztery k i x, równa się, piętnaście m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne trzydzieści, linia pionowa, x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, dwadzieścia k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 2. x, równa się, sześć k i x, równa się, dziesięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 3. x, równa się, dwa k i x, równa się, pięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 4. x, równa się, trzy k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 5. x, równa się, cztery k i x, równa się, piętnaście m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne sześćdziesiąt, linia pionowa, x Możliwe odpowiedzi: 1. x, równa się, dwadzieścia k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 2. x, równa się, sześć k i x, równa się, dziesięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 3. x, równa się, dwa k i x, równa się, pięć m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne, 4. x, równa się, trzy k, gdzie k, należy do, liczby naturalne, 5. x, równa się, cztery k i x, równa się, piętnaście m, gdzie k, należy do, liczby naturalne i m, należy do, liczby naturalne

R1Z5RLPOX54VE2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

R1T1DVKA4XVOK

Rozwiąż test. W każdym pytaniu możliwa jest poprawna odpowiedź.

RF7OPPGAJBMPR

R1MP3GAUKU2MR

R67487CC635ZA

RQCJS5H358HGO

ROGBNJ5HNBL83

Ćwiczenie 7

R2KUPANO8TEAB

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $3$ .

Jeśli $n$ jest liczbą naturalną, to trzy kolejne liczby naturalne możemy zapisać w postaci $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ .

Wówczas ich suma ma postać $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 \cdot (n + 1)$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, więc też $n + 1$ jest liczbą naturalną, co oznacza, że liczba $3 \cdot (n + 1)$ jest podzielna przez $3$ .

Ćwiczenie 9

Udowodnij, że suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $5$ .

Jeśli $n$ jest liczbą naturalną, to pięć kolejnych liczby naturalnych możemy zapisać w postaci $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ , $n + 4$ .

Wówczas ich suma ma postać $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5 n + 10 = 5 \cdot (n + 2)$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, więc też $n + 2$ jest liczbą naturalną, co oznacza, że liczba $5 \cdot (n + 2)$ jest podzielna przez $5$ .

Ćwiczenie 10

R19491DSREBS6

RHBGJEDHJH3NA

Słownik

iloraz

wynik dzielenia

dzielna

liczba $a$ w dzieleniu $a : b$

dzielnik

1) liczba $b$ w dzieleniu $a : b$ ; dzielnik nie może być równy zeru
2) dzielnik liczby naturalnej $a$ to każda liczba naturalna, która dzieli liczbę $a$

iloraz całkowity

liczba naturalna mówiąca, ile maksymalnie razy dzielnik mieści się w dzielnej

reszta z dzielenia

liczba naturalna, którą należy dodać do iloczynu dzielnika i ilorazu całkowitego, aby otrzymać dzielną (równoważnie: najmniejsza liczba naturalna, która należy odjąć od dzielnej, aby otrzymać liczbę podzielną przez dzielnik)

4. Dzielniki i wielokrotności

6. Rozkład liczby na czynniki pierwsze