2. Liczba rozwiązań równania liniowego

R1DATHHJJNJR8

Wiesz już, że równania można zilustrować za pomocą wagi, a także, że rozwiązania możesz szukać przez podstawianie kolejnych liczb. Kiedy masz do dyspozycji więcej niż jedną wagę, możesz układać dostępne przedmioty w dowolnej konfiguracji i sprawdzać, kiedy szalki wagi będą w równowadze. Czy ułatwi Ci to znalezienie rozwiązania?

Nie zawsze udaje się odgadnąć lub znaleźć liczbę, która jest rozwiązaniem równania.

Czasem spotykamy się z równaniami, które nie posiadają rozwiązań lub z równaniami, które są spełnione przez wiele liczb rzeczywistych.

W tym materiale poznasz równania, których rozwiązanie nie istnieje. Poznasz też równania spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą.

Ustalimy ile rozwiązań może mieć równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Twoje cele

Sformułujesz definicję równań równoważnych.
Rozpoznasz równania równoważne.
Wykorzystasz wiadomości o równaniach równoważnych do rozwiązywania równań.
Określisz liczbę rozwiązań równania.
Rozpoznasz równania tożsamościowe i równania sprzeczne.

Sprawdzimy, które równanie z występujących w poniższych przykładach spełnia liczba $2$ .

Przykład 1

3 x - 1 = x + 3

Do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczamy wartość otrzymanego wyrażenia.

L = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5

P = 2 + 3 = 5

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmuje tę samą wartość. Oznacza to, że liczba $2$ jest rozwiązaniem tego równania.

L = P

Przykład 2

- 2 \cdot (x - 2) = - 2 x + (1 - 2 x)

Do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczymy wartość wyrażenia arytmetycznego.

L = - 2 \cdot (2 - 2) = - 2 \cdot 0 = 0

P = - 2 \cdot 2 + (1 - 2 \cdot 2) = - 4 + (1 - 4) = - 4 - 3 = - 7

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmują różne wartości. Oznacza to, że liczba $2$ nie jest rozwiązaniem tego równania.

L \neq P

Przykład 3

3 - 2 x = \frac{x}{2} - 2

Podobnie jak w poprzednich przykładach do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczamy wartość otrzymanego wyrażenia.

L = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = - 1

P = \frac{2}{2} - 2 = 1 - 2 = - 1

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmuje tę samą wartość. Oznacza to, że liczba $2$ jest rozwiązaniem tego równania.

L = P

Równania: $3 x - 1 = x + 3$ i $3 - 2 x = \frac{x}{2} - 2$ spełnia liczba $2$ . Równania te mają taki sam zbiór rozwiązań.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi, które posiadają taką samą dziedzinę są równoważne wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Rozwiązać równanie oznacza znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu zapisujemy równania równoważne danemu, pamiętając o tym, że:

do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $\frac{1}{2} x - 3 = 2 \cdot (x + 1)$ metodą równań równoważnych.

\frac{1}{2} x - 3 = 2 \cdot (x + 1)

Najpierw pozbędziemy się nawiasu.

\frac{1}{2} x - 3 = 2 x + 2

Od obu stron równania odejmiemy jednomian $2 x$ .

\frac{1}{2} x - 2 x - 3 = 2

Redukujemy wyrazy podobne.

- 1 \frac{1}{2} x - 3 = 2

Do obu stron równania dodamy liczbę $3$ .

- 1 \frac{1}{2} x - 3 + 3 = 2 + 3

Redukujemy wyrazy podobne.

- 1 \frac{1}{2} x = 5

Podzielimy obie strony równania przez liczbę $- 1 \frac{1}{2}$ .

- 1 \frac{1}{2} x = 5 | : (- 1 \frac{1}{2})

x = 5 : (- \frac{3}{2})

x = 5 \cdot (- \frac{2}{3})

x = - \frac{10}{3}

x = - 3 \frac{1}{3}

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 3 \frac{1}{3})$ .

Przykład 5

Sprawdzimy, czy równania $2 x - 3 \cdot (1 - x) = 4$ i $4 x - 2 = 5 - x$ są równoważne.

Aby równania były równoważnerównania równoważnerównania były równoważne muszą mieć ten sam zbiór rozwiązań.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem pierwszego równania metodą równań równoważnych.

2 x - 3 \cdot (1 - x) = 4

2 x - 3 + 3 x = 4

5 x - 3 = 4

5 x = 4 + 3

5 x = 7 | : 5

x = \frac{7}{5}

x = 1 \frac{2}{5}

Teraz rozwiążemy drugie równanie metodą równań równoważnych.równania równoważnerównań równoważnych.

4 x - 2 = 5 - x

4 x + x - 2 = 5

5 x - 2 = 5

5 x = 5 + 2

5 x = 7 | : 5

x = \frac{7}{5}

x = 1 \frac{2}{5}

Liczba $1 \frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem obu równań liniowych. Równania te nie posiadają innych rozwiązań, poza liczbą $1 \frac{2}{5}$ . Zatem równania te posiadają ten sam zbiór rozwiązań, czyli są równoważne.

Przykład 6

Sprawdzimy, ile rozwiązań ma równanie $x^{2} + 4 = 0$ .

Jeżeli do równania w miejsce $x$ podstawimy liczbę $3$ to lewa strona równania będzie przyjmowała wartość $13$ , a prawa wartość $0$ . Jeżeli podstawimy liczbę $(- 3)$ sytuacja będzie analogiczna.

Czy uda się znaleźć taką liczbę rzeczywistą $x$ , dla której wartość wyrażenia po lewej stronie równania będzie się równała $0$ ? Jest to niemożliwe, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu przyjmuje nieujemną wartość. Po dodaniu liczby $4$ wartość wyrażenia będzie zawsze dodatnia.

Zatem nie ma liczby rzeczywistej $x$ , która spełnia równanie $x^{2} + 4 = 0$ .

Przykład 7

Zastanowimy się teraz, ile rozwiązań ma równanie $x^{2} = 4$ .

Na pewno wiesz, że liczba $2$ podniesiona do kwadratu daje liczbę $4$ . Czy jest to jednak jedyna liczba spełniająca nasze równanie?

Istnieje inna liczba, która podniesiona do kwadratu jest równa $4$ . To liczba $(- 2)$ .

Zatem są dwie liczby spełniające równanie $x^{2} = 4$ .

W dalszych przykładach skoncentrujemy się na równaniach stopnia pierwszego z jedną niewiadomą. Są to równania, w których niewiadoma występuje w pierwszej potędze.

Przykład 8

Określimy liczbę rozwiązań równania $2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$ .

Po pozbyciu się nawiasu otrzymamy równanie: $2 x + 4 = 2 x + 4$ .

Równanie to jest równoważne równaniu $0 = 0$ , które jest spełnione przez dowolną liczbę rzeczywistą.

Zatem rozwiązaniem równania $2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$ jest dowolna liczba rzeczywista.

Przykład 9

Określimy liczbę rozwiązań równania $2 x + 2 = 2 \cdot (x + 2)$ .

Po pozbyciu się nawiasu otrzymamy równanie: $2 x + 2 = 2 x + 4$ .

Równanie to jest równoważne równaniu $2 = 4$ , które nie jest spełnione przez żadną liczbę rzeczywistą.

Równanie nie ma rozwiązania.

Przykład 10

Określimy liczbę rozwiązań równania $3 x + 1 = 2 \cdot (x + 2)$ .

Rozwiążemy równanie metodą równań równoważnych.

3 x + 1 = 2 \cdot (x + 2)

3 x + 1 = 2 x + 4

3 x - 2 x = 4 - 1

x = 3

Równanie $3 x + 1 = 2 \cdot (x + 2)$ ma jedno rozwiązanie. Jest to liczba $3$ .

Ważne!

Równanie pierwszego stopniarównanie pierwszego stopnia (liniowe)Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:

nie mieć żadnego rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznymrównanie sprzecznerównaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe / tożsamość

Definicja: Równanie tożsamościowe / tożsamość

Równanie, które jest spełnione przez wszystkie liczby nazywamy tożsamością lub równaniem tożsamościowym.równanie tożsamościowerównaniem tożsamościowym.

Podział oraz przykłady równań:

RD9KGTOVOZVSV1

Infografiki1

Zapoznaj się infografiką, a następnie wykonaj polecenie 1.

R1E384H5DRPNE1

Polecenie 1

Rozwiąż równanie metodą równań równoważnych

$3 \cdot (\frac{2}{3} x - 2) - 2 x = \frac{1}{4} \cdot (2 x - 8)$

$x = - 8$

Zapoznaj się z infografiką przedstawiającą rodzaje równań oraz z klasyfikacją równań ze względu na liczbę rozwiązań.

RG3B91SABQ2QU1

R1LQZV9LH7Z6A

Ćwiczenie 1

RTKXVRBK79QXL

Ćwiczenie 2

R1D137EU27OSF

Ćwiczenie 3

Polecenie 2

Jakie są rodzaje równań ze względu na liczbę rozwiązań? Do każdego z rodzajów podaj po minimum trzy przykłady równań.

Polecenie 3

Dopisz do równania takie wyrażenie algebraiczne lub arytmetyczne, aby równanie $2 x + 4 = x + \dots$ było:

a) tożsamościowe,

b) sprzeczne,

c) oznaczone.

a) $x + 4$ ,

b) np.: $x + 1$ ,

c) np.: $1$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1FL677D8VJQM1

Ćwiczenie 1

R1S59289PECXN1

Ćwiczenie 2

R2BABG6MF3OZC2

Ćwiczenie 3

RX4NNHBKT7DP42

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R186RGMM2AH5J2

Liczbami spełniającymi równania są:

a) $1$ ,

b) $- 1$ ,

c) $- 1.5$ ,

d) $0, 4$

Ćwiczenie 6

R1Z4CXZ4ZZR3F2

Liczbami spełniającymi równania są:

a) $4$ ,

b) $7$ ,

c) $\frac{1}{3}$ ,

d) $- \frac{2}{3}$

Ćwiczenie 7

R1MF3LAVE2O4J

R5T7S5DCPZNLC

R6M1CVLVQAL1U2

Ćwiczenie 8

RPRBGP3VCOCEG1

Ćwiczenie 9

R1ROAR8LRVFFA1

Ćwiczenie 10

RD39Z24ECNOGE

Ćwiczenie 11

RH4OGEUU3D3TJ2

Ćwiczenie 12

RAAX8X6U41VP22

Ćwiczenie 13

Brak rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, trzy, plus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, sześćdziesiąt osiem, przecinek, 2. zero, razy, x, równa się, dwadzieścia osiem, 3. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 4. cztery, razy, x, równa się, minus, jeden, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, jeden, 6. trzy x, minus, trzy, równa się, trzy x, plus, trzy, 7. pięć x, plus, jeden, równa się, jeden, plus, pięć x, 8. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery, 9. siedem x, plus, dwa, równa się, dwadzieścia siedem x, plus, dwa, równa się, dwa, 10. minus, trzy x, plus, siedem, równa się, minus, trzy x, 11. minus, x, równa się, minus, x, 12. zero, razy, x, równa się, zero Jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, trzy, plus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, sześćdziesiąt osiem, przecinek, 2. zero, razy, x, równa się, dwadzieścia osiem, 3. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 4. cztery, razy, x, równa się, minus, jeden, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, jeden, 6. trzy x, minus, trzy, równa się, trzy x, plus, trzy, 7. pięć x, plus, jeden, równa się, jeden, plus, pięć x, 8. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery, 9. siedem x, plus, dwa, równa się, dwadzieścia siedem x, plus, dwa, równa się, dwa, 10. minus, trzy x, plus, siedem, równa się, minus, trzy x, 11. minus, x, równa się, minus, x, 12. zero, razy, x, równa się, zero Nieskończenie wiele rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa nawias, trzy, plus, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, sześćdziesiąt osiem, przecinek, 2. zero, razy, x, równa się, dwadzieścia osiem, 3. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 4. cztery, razy, x, równa się, minus, jeden, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, jeden, 6. trzy x, minus, trzy, równa się, trzy x, plus, trzy, 7. pięć x, plus, jeden, równa się, jeden, plus, pięć x, 8. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery, 9. siedem x, plus, dwa, równa się, dwadzieścia siedem x, plus, dwa, równa się, dwa, 10. minus, trzy x, plus, siedem, równa się, minus, trzy x, 11. minus, x, równa się, minus, x, 12. zero, razy, x, równa się, zero

RDLDOSMR6QCO13

Ćwiczenie 14

Słownik

równania równoważne

równania z tymi samymi niewiadomym, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań

równanie sprzeczne

równanie pierwszego stopnia, które nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych

równanie tożsamościowe

równanie pierwszego stopnia, którego rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste

równanie pierwszego stopnia (liniowe)

równanie, w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze

1. Równania liniowe

3. Rozwiązywanie równań liniowych